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3EM DO COLÉGIO ANCHIETA RESOLUÇÃO DA 1a AVALIAÇÃO DE MATEMÁTICA

UNIDADE 1 – MARÇO DE 2019 PESQUISA:

PROF. ADRIANO CARIBÉ E PROF. WALTER PORTO RESOLUÇÃO POR PROFA. MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA

19-124415(S)_1ªAval-Mat-3ªEM-U1-T1-(prof)-12-03_dej

Questão 01.

Suponha que nos pontos A e B da figura abaixo localizam-se dois observatórios num mesmo plano e que, num dado momento, um balão é visto pelos dois sob ângulos de 40º e 70º.

Se a distância entre os dois observatórios é de 27 km, a que altura o balão está do solo?

A) 36,48 km C) 34,72 km E) 30,28 km B) 35,24 km D) 32,76 km

RESOLUÇÃO:

No triângulo retângulo “BalãoBC”: xtghx

htg .7070 (I)

No triângulo retângulo “BalãoAC”:

)27.(4027

40 xtghx

htg

(II)

De (I) e (II): xtg .70 = )27.(40 xtg )27(84,073,2 xx

.76,3212.73,2

1268,2289,184.068,2273,2

hh

xxxx

RESPOSTA: Alternativa D.

Dados: tg 40º = 0,84 tg 70º = 2,73

19-124415(S)_1ªAval-Mat-3ªEM-U1-T1-(prof)-12-03_dej 2

Questões 02 e 03. (ENEM – 2015)

No jogo mostrado na figura, uma bolinha desloca-se somente de duas formas: ao longo das linhas retas da

figura ou dos arcos de circunferências da figura centradas no ponto O e raios variando de 1 a 8 cm.

Questão 02.

Durante o jogo, a bolinha que estiver no ponto P deverá realizar a seguinte sequência de movimentos: mover-se 2 cm no mesmo sentido utilizado para ir do ponto O até o ponto A e, no sentido anti-horário, um arco de circunferência cujo ângulo central é 120º.

Após a sequência de movimentos descrita, a bolinha estará no ponto

A) B. B) D. C) E. D) F. E) G.

RESOLUÇÃO:

A região circular está dividida em 12 ângulos centrais congruentes, então cada ângulo

mede 360°/12 = 30°.O percurso está indicado na figura em vermelho.


Questão 03.

Imaginemos agora, neste jogo, que a bolinha esteja no ponto H e desejemos deslocá-la até o ponto G. Qual é a menor distância que ela pode percorrer? A) 13 cm B) aproximadamente 12 cm C) aproximadamente 11,5 cm D) aproximadamente 10,4 cm E) aproximadamente 9,2 cm


RESOLUÇÃO:

O caminho mais curto está representado, em vermelho, na figura acima e mede:

1cm + (2.6.3,14:4) = 1cm + 9,42cm = 10,42cm.


Questão 04. (Enem 2013)

Um restaurante utiliza, para servir bebidas, bandejas com base quadradas. Todos os copos desse restaurante têm o formato representado na figura:

Considere que 7

AC BD5

e que é a medida de um dos lados da base da bandeja.

Qual deve ser o menor valor da razão BD

para que uma bandeja tenha capacidade

de portar exatamente quatro copos de uma só vez?

A) 2

B) 14

5

C) 4

D) 24

5

E) 28

5

RESOLUÇÃO:

Considerando rBD , então, r5

7AC e =

r

5

24

5

5r7r7r5rrr

5

7r

5

7r

5

24

r

r5

24

BD

l



Questão 05. (EBMSP-2016.1)

Na figura, tem-se a reprodução de parte de um painel em que cada região sombreada é interior a um quadrado e exterior a um quadrante de círculo inscrito no quadrado.

Sendo a medida do lado do quadrado maior igual a 8u.c., as três regiões sombreadas totalizam uma área que

mede: (Use = 3) A) 24 u.a. B) 26 u.a. C) 28 u.a. D) 30 u.a. E) 32 u.a.

RESOLUÇÃO:

Inicialmente, na figura original denomine-se todos os pontos importantes para o desdobramento da figura:

Observando a figura ao lado conclui-se que a medida da área 1S é dada por 4

².RSABCD

.

.4

64²8 11 16π64 SS

Considerando que BE, diagonal do quadrado EHBL, mede 8.

Como 2xBE , então, 242

828 xxx .

Calculando o valor de S1:

.

4

²24²24 22 8π32 SS

FB, diagonal do quadrado FIBJ, mede 24 .

Como 2yFB , então, 4224 yy .

Então,

.4

²4²4 33 4π16 SS

Finalmente: 28K 42828112.1664321 4π168π32πSSS

RESPOSTA: Alternativa C.


Questão 06. (INSPER – 2015)

A figura abaixo mostra o alvo de uma academia de arco e flecha. A pontuação que um jogador recebe ao acertar uma flecha em cada uma das faixas circulares está indicada na respectiva faixa. O raio do círculo maior mede 60 cm, o do menor mede 10 cm e a diferença entre os raios de quaisquer dois círculos consecutivos é de 10 cm. Todos os círculos têm o mesmo centro.

A soma das áreas das faixas em cinza na figura é igual a

A) 900 cm2. C) 1300 cm2. E) 1700 cm2.

B) 1100 cm2. D) 1500 cm2. RESOLUÇÃO:

A soma das áreas, em cm2, das faixas em cinza na figura é igual a:

ODOEOBOCOA SSSSSS ocírculorai ocírculorai ocírculorai raio círculo raio círculo

500 1

900500100

600 1500 2400900100

S

S

S


Questão 07. (UFMG – 2013)

Nos séculos XVII e XVIII, foi desenvolvida no Japão uma forma particular de produzir matemática. Um dos hábitos que a população adotou foi o de afixar em templos placas contendo problemas, em geral de geometria. Essas placas, conhecidas como sangaku, apresentavam o problema com ilustrações e a resposta, sem registrar a solução dos autores. O seguinte problema foi adaptado de um desses sangakus: considere ABCD um retângulo com AB = 20 e AD = 10; tome uma circunferência de centro O tangente aos lados AB, BC e CD do retângulo, e seja BD uma de suas diagonais, interceptando a circunferência nos pontos P e Q.

A corda PQ mede:

A) 54 B) 8 C) 35 D) 26 E) 9


RESOLUÇÃO:

1. Associando à figura um sistema de coordenadas cartesianas cuja origem coincide com o vértice A do retângulo ABCD, percebe-se que o centro da circunferência é o ponto O(15, 5), que seu raio é 5.

2. AB//EF tem como extremidade o ponto médio do lado BC , logo Q é o

ponto médio da diagonal BD e xq é abscissa do ponto médio de AB , assim xq =10.Tem-se Q = (15, 5).

A equação da circunferência é (x – 15)2 + (y – 5)2 = 25.

A equação da reta que contém a diagonal BD é: 10x2

1y

Para determinar as coordenadas do ponto P resolve-se o sistema abaixo:

018028xx

0900140x5x

05x4

x25230xx

525x2

125230xx

525)(y)51(x

10x2

1y

2

2

22

22

22

1) P(18, 1y18x ou 01x2

828x

2

720-78428x PPQ

.

Sendo Q = (10, 5) e P = (18, 1), PQ = 54166448 22

RESPOSTA: ALTERNATIVA A.

Questão 08. (EBMSP – 2015/1)

O Homem Vitruviano de Leonardo da Vinci é usado como referência estética de simetria e proporção no mundo todo.

Na figura 2, tem-se um sistema de coordenadas

cartesianas no qual foram desenhados uma circunferência , de centro C, e um quadrado, como se observa na figura do Homem Vitruviano.

Assim sendo, o raio da circunferência é

A) 2 B) 2,5 C) 22 D) 32 E) 5

RESOLUÇÃO:

O lado do quadrado ADEF mede 4. Logo no triângulo retângulo ABC, AB = 2, BC = 4 – r e CA = r.

2,5r208rr²8r164r²r)²(42²r² .

O raio da circunferência é 2,5. RESPOSTA: ALTERNATIVA B.


Questão 09. (UNEB – 2001)

Na figura, x e y são os valores das medidas dos lados do triângulo de área igual a 18 u.a. O valor de x

y 2

é

igual a

A) 24 B) 36 C) 30 – 12 2 D) 30 – 12 3 E) 30 + 12 3

RESOLUÇÃO:

Como a área mede 18u.a. e BC = 12u.c.:

33612182

12 hh

h

No AHB, 62

1330 x

xx

hsen .

Aplicando a Lei dos Cossenos ao ABC, cujos lados medem x =6, y e 12:

.3721802

3.14418030cos.12.6.214436 222 yyy

Agora:

312306

)31230(6

6

372180 22

x

y

x

y


Questão 10.

Calcule o raio do círculo inscrito num triângulo de lados 6 cm, 4 cm e 4 cm.

A) cm7

73

B) cm

7

74

C) cm

7

7

D) cm

3

7

E) NRA

RESOLUÇÃO:

Se o perímetro de um triângulo é representado por 2p, portanto, p é o seu semiperímetro. A área de um triângulo em função do raio do círculo nele inscrito, pode ser calculado usando os triângulos determinados pelo centro do círculo e os vértices do triângulo nos quais as alturas são raios do círculo.

p

SrrpS

rpS

rcbaS

rcrbraS .

2

.2

2

).(

2

.

2

.

2

.

Pela relação de Heron, a área de um triângulo é: ))()(( cpbpappS

Como p

c)b)(pa)(pp(pr

p

Sr .

Aplicando esta relação na questão: 7

73

7

63

7

)47)(47)(67(7

rrr .

RESPOSTA: Alternativa A.


Questão 11. (FGV)

Uma senha é formada por 8 caracteres, permutando-se os elementos do conjunto {a, b, c, d, e, 1, 3, 5}. Quantas senhas diferentes podem ser formadas de modo que na 2a posição haja uma letra e na 6a posição um algarismo?

A) 40 320 C) 720 E) 14 400 B) 10 800 D) 4 320 RESOLUÇÃO:

2a posição 6a posição

Letra Algarismo

No de possibilidades 6 5 5 4 3 3 2 1

Para a segunda posição existem 5 opções diferentes e para a sexta posição 3 opções. Escolhida a letra e o algarismo para ocupar, respectivamente, a segunda posição e a sexta posição, para as outras seis posições restam seis opções (4 letras e 2 algarismos) permutadas de todas as formas possíveis, logo o total de senhas diferentes será: 5 . 3 . 6! =10 800. RESPOSTA: Alternativa B.

Questão 12. (ESPM)

O número de anagramas da palavra COLEGA em que as letras L, E e G aparecem juntas, em qualquer ordem, é igual a:

A) 72 B) 144 C) 120 D) 60 E) 24 RESOLUÇÃO:

C O L E G A

Observar que a questão consiste inicialmente em determinar a quantidade de anagramas formada por quatro “símbolos” distintos: C, O, LEG, A, logo, o número de possibilidades é 4! = 24. Porém as letras do símbolo LEG aparecem em qualquer ordem, tem-se então, 3! = 6 opções diferentes para este símbolo. Finalmente, o número de anagramas que satisfazem às características exigidas na questão é 24 . 6 = 144. RESPOSTA: Alternativa B.

Questão 13. (FATEC – 2016)

No Boxe, um dos esportes olímpicos, um pugilista tem à sua disposição quatro golpes básicos: o jab, o direto, o cruzado e o gancho. Suponha que um pugilista, preparando-se para os Jogos Olímpicos do Rio, em 2016, queira criar uma sequência com 6 golpes, empregando necessariamente dois jabs, dois cruzados, um direto e um gancho. Mas ele deseja iniciar a sequência com um direto ou um gancho.

Assim, o número máximo de sequências que ele poderá criar, obedecendo às condições definidas, será de A) 60. B) 120. C) 180. D) 240. E) 720. RESOLUÇÃO:

INÍCIO QUANTIDADE DE GOLPES

Direto ou gancho Jabs Cruzado Direto Gancho

2 2 2 1 1


A permutação dos k elementos de um conjunto com, alguns elementos que se repetem k1 vezes, k2 vezes,

........,kn vezes, é calculada usando a fórmula: !.k ..... !.!.!.

!

n321

k, ,,, n321

kkk

kP

kkkk .

Então, no caso em questão, tem-se: 602

120

!1!.1!.2!.2

!5.2!.2 4321 ,,,

5 kkkk

P

RESPOSTA: Alternativa A.

Questão 14. (Escola Bahiana de Medicina e Saúde Pública)

Cada uma das 12 pessoas inscritas para participar de um trabalho voluntário recebeu um crachá com um número de identificação distinto – de 1 a 12 – de acordo com a ordem de inscrição.

Desejando-se organizar grupos formados por três pessoas que não estejam identificadas por três números consecutivos, o número máximo possível de grupos distintos que se pode formar é

A) 230 B) 225 C) 220 D) 215 E) 210 RESOLUÇÃO:

O total de possibilidades de se organizar as 12 pessoas em grupos de 3 é determinado por

.2202.3

10.11.12

)!312!.(3

!123,12

C

Os modos das 12 fichas serem organizadas 3 a 3 por três números consecutivos, formam o conjunto abaixo

constituído de 10 elementos: A = {(1, 2, 3), (2, 3, 4), (3, 4, 5), (4, 5, 6), (5, 6, 7), (6, 7, 8), (7, 8, 9), (8, 9, 10), (9, 10, 11), (10, 11, 12)} Finalmente, o número máximo possível de grupos distintos que podem ser formados com três pessoas que não

estejam identificadas por três números consecutivos, é 220 – 10 = 210. RESPOSTA: Alternativa E. Questão 15. (IBMEC)

LOTOGOL é um jogo de loteria em que o apostador marca seu palpite de placar em 5 jogos de futebol de uma rodada. Ganha premiação aquele que acerta 3, 4 ou 5 dos palpites. Estas são as instruções do jogo:

Como jogar

Acerte a quantidade de gols feitos pelos times de futebol na rodada e concorra a uma bolada. Para apostar, basta marcar no volante o número de gols de cada time de futebol participante dos 5 jogos do concurso. Você pode assinalar 0, 1, 2, 3 ou mais gols (esta opção está representada pelo sinal +). Os clubes participantes estão impressos nos bilhetes emitidos pelo terminal.

Exemplo de aposta

(http://loterias.caixa.gov.br. Adaptado)


O número total de diferentes apostas que podem ser feitas no LOTOGOL é igual a

A) 56 B) 510 – 5 C) 55 D) 510 E) 55 – 5 RESOLUÇÃO:

Para cada jogo, isolodamente, existem 5 . 5 = 25 possibilidades de resultados. Para o conjunto dos 5 jogos existem então, 25 . 25 . 25 . 25. 25 = 510 possibilidades de resultados diferentes. RESPOSTA: Alternativa D.

3em do colÉgio anchieta resoluÇÃo da 1a avaliaÇÃo de matemÁtica...

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