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  • PR-VESTIBULARLIVRO DO PROFESSOR

    MATEMTICA

    Esse material parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.aulasparticularesiesde.com.br

  • 2006-2009 IESDE Brasil S.A. proibida a reproduo, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorizao por escrito dos autores e do detentor dos direitos autorais.

    Produo Projeto e Desenvolvimento Pedaggico

    Disciplinas Autores

    Lngua Portuguesa Francis Madeira da S. Sales Mrcio F. Santiago Calixto Rita de Ftima BezerraLiteratura Fbio Dvila Danton Pedro dos SantosMatemtica Feres Fares Haroldo Costa Silva Filho Jayme Andrade Neto Renato Caldas Madeira Rodrigo Piracicaba CostaFsica Cleber Ribeiro Marco Antonio Noronha Vitor M. SaquetteQumica Edson Costa P. da Cruz Fernanda BarbosaBiologia Fernando Pimentel Hlio Apostolo Rogrio FernandesHistria Jefferson dos Santos da Silva Marcelo Piccinini Rafael F. de Menezes Rogrio de Sousa Gonalves Vanessa SilvaGeografia DuarteA.R.Vieira Enilson F. Venncio Felipe Silveira de Souza Fernando Mousquer

    I229 IESDE Brasil S.A. / Pr-vestibular / IESDE Brasil S.A. Curitiba : IESDE Brasil S.A., 2009. [Livro do Professor]

    660 p.

    ISBN: 978-85-387-0571-0

    1. Pr-vestibular. 2. Educao. 3. Estudo e Ensino. I. Ttulo.

    CDD 370.71

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  • 1EM

    _V_M

    AT

    _024

    Introduo trigonometria

    Iniciaremos agora um novo assunto. A trigo-nometria tem diversas aplicaes prticas e teis. Nos auxiliar em resolues de questes difceis da Geometria e ser uma ferramenta poderosa no estudo dos nmeros complexos. O detalhe importante que voc perceber rapidamente como esse assunto tranquilo e vrios pontos certos sero conquistados nos principais vestibulares do Brasil. Vamos l.

    Circunferncia trigonomtrica

    Chamamos de circunferncia trigonomtrica uma circunferncia de raio unitrio orientada.

    Na referida circunferncia, fixamos um ponto (A) como origem dos arcos, convencionamos um sentido (o anti-horrio) como sendo o positivo e o horrio como sendo negativo.

    Medida de arcos (ou ngulos) em radianos

    A medida de um arco, em radianos, a razo entre o comprimento do arco e o raio da circunfe-rncia.

    - ngulo central

    medida de = medida do arco AB

    = comprimento do arco AB

    Pela definio, temos:

    = /R

    O arco AB medir 1 radiano (1 rad), se o seu comprimento for igual ao raio da circunfe-rncia.

    O arco de uma volta, cuja medida em graus 360, tem comprimento igual a 2 R. A sua medida em radianos ser:

    = lR

    = 2 RR

    = 2 rad

    Portanto, 360 equivale a 2 rad

    180 equivale a rad

    90 equivale a /2 rad

    ... E assim por diante.

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  • 2 EM

    _V_M

    AT

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    Comprimento da circunferncia (C)

    C = 2R R = raio

    Arco trigonomtrico

    Chamamos de arco trigonomtrico ao conjunto de todos os arcos com origem em A e extremidade em P.

    Na figura exemplificada, a medida de 1.a determinao positiva do arco AP.

    Analogamente, chamamos de ngulo trigono-mtrico AP ao conjunto de todos os ngulos de lado inicial OA e lado terminal OP.

    Aos arcos (ou ngulos) que possuam a mesma origem e a mesma extremidade, denominamos arcos (ou ngulos) cngruos.

    Exemplo: `

    40, -320, 760, 1120 so medidas de arcos (ou n-gulos) cngruos.

    Expresso geral de um arco (ou ngulo) trigonomtrico

    AP = + k . 360 (em graus)

    ou

    AP = + 2k (em radianos)

    k Z, ou seja K {... 3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...}

    Observe que quando k = 0 AP = (1. de-terminao positiva ou negativa).

    Linhas trigonomtricas de mesmo arco

    OP = sen OS = cossec

    OR = cos OT = sec

    AT = tg BS = cotg

    Como o raio do crculo trigonomtrico vale 1, tomemos os seguintes tringulos semelhantes.

    c

    Logo observando os tringulos, chegamos s seguintes relaes:

    cateto opostohipotenusa

    = sen

    cateto adjacentehipotenusa

    = cos

    cateto opostocateto adjacente

    = sen cos

    = tg

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  • 3EM

    _V_M

    AT

    _024

    Analogamente

    cotg = 1tg

    sec = 1cos

    cossec = 1sen

    Trigonometria no tringulo retngulo

    Os egpcios usavam muita trigonometria para fazer seus clculos nas construes das pirmides, e a maioria eram realizados em cima das razes tri-gonomtricas no tringulo retngulo.

    Funes trigonomtricas de um ngulo agudo

    Seja um tringulo ABC, reto em A. Os outros dois ngulos C e B, de medidas e , respectivamente, so agudos e complementares ( + = 90).

    a = medida da hipotenusa

    b = medida do cateto oposto ao ngulo e ad-jacente ao ngulo .

    c = medida do cateto oposto a e adjacente a .

    Por definio, temos:

    senoa)

    sen = ca

    = cateto opostohipotenusa

    sen = ba

    cossenob)

    cos = ba

    = cateto adjacentehipotenusa

    cos = ca

    tangentec)

    tg = cb

    = cateto opostocateto adjacente

    tg = bc

    cotangented)

    cotg = bc

    = cateto adjacentecateto oposto

    cotg = cb

    secantee)

    sec = ab

    = hipotenusacateto adjacente

    sec = ac

    cossecantef)

    cossec = ac

    = hipotenusacateto oposto

    cossec = ab

    Tabela de valores notveis

    x sen x cos x tg x

    3012

    32

    33

    45 22

    22

    1

    60 32

    12 3

    Funes trigonomtricas de dois ngulos complementares

    Quando dois ngulos so complementares, as funes trigonomtricas de um deles igual co-funo trigonomtrica do outro.

    Nas Funes Trigonomtricas de um ngulo Agudo, temos:

    sen = cos sen = cos

    tg = cotg tg = cotg

    sec = cossec sec = cossec

    Exemplo: `

    sen 30 = cos 60 sen 60 = cos 30

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  • 4 EM

    _V_M

    AT

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    Lei dos senosAs razes trigonomtricas em tringulos retn-

    gulos um pouco restrita, porm ajuda a demonstrar a Lei dos senos e cossenos que serve para qualquer tringulo e mais abrangente.

    Em todo tringulo, as medidas dos lados so proporcionais aos senos dos ngulos opostos e a razo de proporcionalidade a medida do dimetro do crculo circunscrito ao tringulo.

    Considere o tringulo ABC e a circunferncia de centro O e raio R.

    Temos, ento:

    A = BC2

    e D = BC2

    logo: A = D

    BCD = BAD

    2 =

    180o

    2 = 90o

    Do tringulo DBC vem:

    sen D = a2R

    sen A = a2R

    asen A

    = 2R

    analogamente, temos:

    bsen B

    = 2R csen C

    = 2R

    Da, a Lei dos senos:

    asen A

    = bsen B

    = csen C

    = 2R

    Lei dos cossenosEm todo tringulo, o quadrado da medida de

    um lado igual soma dos quadrados dos outros dois, menos duas vezes o produto desses lados pelo cosseno do ngulo interno formado por eles.

    ACD b2 = h2 + m2

    cos A = m

    b m = b . cos A

    ACD a2 = h2 + (c m)2

    a2 = h2 + m2 + c2 2cm

    b cos A

    h

    a2 = b2 + c2 2 . b . c cos A

    analogamente, podemos escrever:

    b2 = a2 + c2 2 . a . c cos Bc2 = a2 + b2 2 . b . a cos C

    Reconhecimento da natureza de um tringulo

    Conhecendo-se as medidas dos lados de um tringulo e chamando a maior delas de a e as outras duas de b e c, lembrando que:

    |b c| < a < b + c

    Reconhecemos a natureza de um tringulo, com base nas equivalncias abaixo:

    a2 < b2 + c2 tringulo acutngulo

    a2 = b2 + c2 tringulo retngulo

    a2 > b2 + c2 tringulo obtusngulo

    isso pode ser analisado pela lei dos cossenos.

    Relaes trigonomtricasAs relaes fundamentais so uma generaliza-

    o do que ocorre num tringulo retngulo para o crculo trigonomtrico.

    Seja o tringulo ABC e x um de seus ngulos agudos. Dividindo-se as medidas dos seus trs lados pela medida da hipotenusa, obtemos:

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  • 5EM

    _V_M

    AT

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    x x

    xcos x = b a

    sen x = c a

    Observe que os tringulos ABC e ABC so semelhantes e, por consequncia, tm os ngulos correspondentes congruentes.

    Relaes fundamentais

    sen2 x + cos2 x = 1a) (teorema de Pitgoras)

    tg x=sen x

    cos xb) (definio da funo tangente)

    cot g x= cos x

    sen xc) (definio da funo co-

    tangente)

    sec x= 1cos x

    d) (definio da funo secante)

    cossec x= sen x1e) (definio da funo

    cossecante)

    Relaes auxiliaresDividindo os dois membros da relao a) sen2 + cos2 x = 1 por cos2 x, temos:

    sen2 x = 1 + tg2 x

    Dividindo os dois membros da relao b) sen2 x + cos2 x = 1 por sen2 x, temos:

    cossec2 x = 1 + cotg2 x

    Passe para radianos os ngulos:1.

    120a)

    60b)

    Soluo: `

    180 1 a) rad

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