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PROVA DE MATEMÁTICA - TURMAS DO 3o ANO DO ENSINO MÉDIO COLÉGIO ANCHIETA-BA - JUNHO DE 2012.

ELABORAÇÃO: PROFESSORES ADRIANO CARIBÉ E WALTER PORTO.

RESOLUÇÃO: PROFESSORA MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA QUESTÃO 01 15% dos membros de uma população foram afetados por uma doença epidêmica. 8% das pessoas afetadas morreram. A porcentagem de mortalidade relativamente à população inicial, é: 01) 23% 02) 12% 03) 7% 04) 1,2% 05) 0,8% RESOLUÇÃO: Seja x o número da população inicial. 0,15x dessa população foram afetados por uma doença epidêmica. Destes, 8% morreram, logo 0,08. 0,15x = 0,012x = 1,2% de x. RESPOSTA: Alternativa 04 QUESTÃO 02 Um tanque de um pesque-pague contém apenas 12 peixes, sendo 75% destes carpas. Um usuário do pesque-pague lança uma rede no tanque e pesca apenas 10 peixes. Sabe-se que a probabilidade de que ele tenha pescado exatamente 8 carpas é igual à fração irredutível a/b. O valor numérico de a + b é: 01) 23 02) 25 03) 27 04) 29 05) 31 RESOLUÇÃO: Os carpas contidos no tanque são em número de 0,75 × 12 = 9. O número de possibilidades do usuário pescar exatamente 9 carpas é: 2739CC 3,19,8 =×=× .

O número de possibilidades do usuário pescar 10 peixes é: 66.2

1112CC 12,212,10 =

×==

A probabilidade pedida é: b

a

22

9

66

27p === , logo, 31.ba =+

RESPOSTA: Alternativa 05.

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QUESTÃO 03

Em relação ao desenvolvimento do binômio 8

2 12

+

xx , foram feitas as seguintes afirmações:

I) Este desenvolvimento possui 9 termos. II) O termo médio desse binômio é aquele que possui o maior de todos os coeficientes. III) Não existe termo independente de x.

01) Existe apenas uma alternativa correta 02) Somente as alternativas I e II estão corretas 03) Somente as alternativas I e III estão corretas 04) Somente as alternativas II e III estão corretas 05) Todas as alternativas estão corretas ou todas são falsas.

RESOLUÇÃO:

I) VERDADEIRA.

O desenvolvimento do binômio 8

2 12

+

xx tem 8 + 1 = 9 termos.

II) FALSA.

O termo médio desse binômio é o de número =+

2

19 5.

Os coeficientes do desenvolvimento desse binômio são:

.12C 16,2C

112,2C 448,2C 1120,2C 1792,2C 1792,2C 1024,2C 256,2C

08,88,7

28,6

38,5

48,4

58,3

68,2

78,1

88,0

=×=×

=×=×=×=×=×=×=×

Onde 11202C 48,4 =× é o coeficiente do quinto termo que não é o maior coeficiente.

III) VERDADEIRA.

O termo geral do desenvolvimento de 8

2 12

+

xx é dado pela expressão

( ) ( ) ( )p1p828p8,

pp82

p8,1p xx2Cx

12xCT −−−−

+ =

=

p .

Logo no termo independente de x deve-se ter: 16 – 2p – p = 0 ⇒ p = 16/3, o que é impossível, pois o

valor de p deve ser um número natural. Conclui-se que no desenvolvimento de 8

2 12

+

xx não exste

termo independente de x.



QUESTÃO 04

Sobre Geometria Plana considere as seguintes afirmativas:

(I) Se na figura ao lado, as retas r e s são

paralelas, então a medida x do ângulo

assinalado é 35°.

(II) Se na circunferência ao lado, de

centro O, os ângulos BÂO e AÔC medem

respectivamente 28° e 140°, então a

medida x do ângulo assinalado é 42°.

(III) Se o triangulo ABC tem lados medindo AB = 13, AC = 13 e BC = 10, então o raio da circunferência

inscrita no triângulo ABC é menor que 4.

Podemos afirmar que: 01) apenas a afirmativa I é falsa. 02) apenas a afirmativa II é falsa. 03) apenas a afirmativa III é falsa. 04) apenas uma afirmativa é verdadeira. 05) todas as afirmativas são verdadeiras.


RESOLUÇÃO: (I) VERDADEIRA.

Denominando de C e E, respectivamente, os vértices dos ângulos

de 80° e 100°, e por esses pontos passando as retas u e t

paralelas às retas r e s, tem-se a figura ao lado.

Nesta figura DCB e CBA são ângulos colaterais internos,

CÊF e ECD são ângulos alternos internos e IGH eFÊG são

ângulos correspondentes, todos formados por paralelas e

transversais.

Do triângulo HGI, vem que a medida x do ângulo assinalado é 35°.

(II) VERDADEIRA.

Na circunferência dada, prolonga-se o raio OC determinando em

AB o ponto D. O ângulo ODB externo ao triângulo ADO mede

68°. O ângulo inscrito CBA mede 70°.

Como x +70° + 68° = 180°, então x mede 42°.

(III) VERDADEIRA

Na figura ao lado tem-se o triângulo ABC da questão onde foram traçadas a altura relativa à base e a circunferência inscrita nesse triângulo. Resolvendo o triângulo retângulo AHC tem-se a altura h do triângulo AHC: 12h144h16925h 22

=⇒=⇒+= . Os triângulos AHC e ADO são semelhantes, então:

3,33..r6018r13r5r605

13

r

r12

5

13

r

rh=⇒=⇒=−⇒=

−⇒=

−

RESPOSTA: Alternativa 05


QUESTÃO 05 (UNIOESTE)

A equação 0

1111

24010

2507,5

1/10x0x 2

=

−

possui duas raízes. A respeito destas raízes pode-se afirmar

que

01) uma delas é nula. 02) sua soma é 1. 03) seu produto é 1. 04) sua soma é –1. 05) seu produto é –1.

RESOLUÇÃO:

( ) ⇒=−−++−⇒=

−

−⇒=

−

+ 015x8x520x310x0

2410

257,510

1xx

110

1111

24010

2507,5

1/10x0x

22

2

24

2

12

2'x'.x'025x2x 2

==⇒=++


QUESTÃO 06 Na figura abaixo, a reta t é tangente a circunferência de centro 0.

Calcule a medida x do ângulo assinalado: 01) 20° 02) 30° 03) 40° 04)50° 05) 60°


RESOLUÇÃO:

Como o ângulo de segmento FÂE mede 70°, o menor arco AC mede

140°.

Se a medida do ângulo CBD é x, a medida do arco CD é 2x.

Sendo 80° a medida do ângulo excêntrico interno AÊB, então,

(I) 160y2x802

y2x°=+⇒°=

+.

Da figura tem-se também (II) 40y2x180y2x140 °=+−⇒°=+−°

Resolvendo o sistema formado pelas equações (II) e (I) :

°=

°=

°=

⇒

°=+−

°=+

30x

100y

2002y

40y2x

160y2x

RESPOSTA: Alternativa 02. QUESTÃO 07

(UEPB) Em relação ao sistema linear nas variáveis

+=−+

=+

p12)y(ppx

4y2xy x, , podemos afirmar que a

única alternativa correta é:

01) O sistema admite solução qualquer que seja “p” real 02) Se p = 4, o sistema tem infinitas soluções 03) O sistema não admite solução para p ≠ 4 04) Se p = 4, o sistema não tem solução 05) O sistema admite solução única se p = 4 RESOLUÇÃO:

+=−+

=+

p12)y(ppx

4y2x

Seja A a matriz formada pelos coeficientes das variáveis:

4pp42p2pp

12∆det(A)

2pp

12A −=−−=

−==⇒

−= .

O sistema somente terá solução para ∆ ≠ 0 ⇒ p – 4 ≠ 0 ⇒ p ≠ 4



QUESTÃO 08 (BAHIANA 2010.2)

O origami é uma tradicional arte japonesa de criar seres ou objetos através

de dobras geométricas de uma peça de papel, sem cortá-la ou colá-la, com

o objetivo de desenvolver a atenção, a coordenação motora e,

consequentemente, o cérebro.

Para fazer um objeto, utilizou-se uma peça quadrada de papel,

representada na figura, sendo que a primeira dobra foi feita levando-se o

canto inferior esquerdo do quadrado a um ponto P da diagonal AC, de tal

modo que o triângulo MNP fosse isósceles e o MNC, equilátero.

Tendo o triângulo MNP hipotenusa igual a cm28 , o valor que mais se aproxima do perímetro, em cm,

da peça quadrada de papel utilizada é:

01) 36 02) 40 03) 44 04) 48 05) 52

RESOLUÇÃO:

Sendo MNC, um triângulo equilátero e se MN mede cm28 , MC também tem essa medida.

Como o triângulo MNP é retângulo e isósceles, os catetos AM e AN medem 8 cm, logo MD = llll – 8. Resolvendo o triângulo retângulo CDM:

444

1110,932

86,138

2

86,138

2

1928

2

128648

032812864162128)8( 2222

=

⇒≅=+

=⇒±

≅±

=+±

=

⇒=−−⇒=+−⇒=−+

l

ll

llllll



QUESTÃO 09

Sejam as matrizes

−−=

2t162

1z241

1y81

0x41

A ,

−−=

t242

z161

y121

x011

B com x, y, z e t números reais. Sabendo

que det A = – 20, então det (2B–1) é um número N tal que:

01) N < –5 02) –5 < N < –1 03) –1 < N < 1 04) 1 < N < 5 05) N > 5

RESOLUÇÃO:

Se ⇒−=−−

⇒−−

=⇒

−−= 20

2t42

1z61

1y21

0x11

4

2t162

1z241

1y81

0x41

det

2t162

1z241

1y81

0x41

A A

5

t242

z161

y121

x011

5

2t42

1z61

1y21

0x11

=−−

⇒−=−−

Como ( ) 3,25

16

5

122BdetN

5

1detB5detB

t242

z161

y121

x011

B 411==×==⇒=⇒=⇒

−−=

−− .



QUESTÃO 10 Na figura abaixo, AB é o diâmetro da circunferência maior e as quatro circunferências são todas tangentes entre si. Sabendo que o diâmetro da circunferência menor mede 20 cm, calcule o diâmetro da circunferência maior. 01) 40 cm 02) 48 cm 03) 80 cm

04) 60 cm 05) 64 cm

RESOLUÇÃO:

De acordo com a figura ao lado, o diâmetro da circunferência

maior mede 4r.

Na figura, ligando-se os pontos D, O e C tem-se o triângulo

retângulo DOC. Resolvendo este triângulo:

( )

60.4r51r060r4r

10020rr10040r5r10)(rr102r2

22222

=⇒=⇒=−

⇒++=+−⇒+=+−


QUESTÃO 11 . Três esferas rígidas estão imóveis em uma superfície plana horizontal, sendo que cada esfera está encostada nas outras duas. Dado que a maior delas tem um raio de 4 cm e as outras duas têm raios de 1 cm, os pontos em que as esferas tocam o chão formam um triângulo cujo perímetro é: 01) Menor que 10 cm. 02) 10 cm. 03) Maior que 10 cm e menor que 12 cm. 04) 12 cm. 05) Maior que 12 cm.


RESOLUÇÃO:

FIGURA I

FIGURA II

FIGURA I :

Ligando-se o centro da esfera maior ao centro da esfera menor, a ela tangente sendo T o ponto de

tangência, e projetando ortogonalmente o centro A ao raio OC , tem-se o triângulo retângulo ABO.

Resolvendo este triângulo: 4xAB25x9 2==⇒=+

Procedendo-se do mesmo modo em relação a outra esfera menor tem-se BF = 4.

FIGURA II

Projetando-se ortogonalmente o triângulo AOB sobre o plano α determina-se o triângulo CDE cujos lados

medem 4cm, 4cm e 2cm e cujo perímetro é 10cm.



QUESTÃO 12 Em 2010, Marília organizou um caixa do qual participaram 11 pessoas Em 2010, Marília organizou um caixa do qual participaram11 pessoas e que teve duração de 11 meses. Todo o mês 10 pessoas contribuiam com uma certa quantia e uma recebia total arrecadado com as contribuições das demais. Ficou combinado entre os participantes que o valor da contribuição de cada mês seria R$3,00 maior que a contribuição do mês anterior. Na tabela ao lado temos o beneficiário de cada mês e o valor das contribuições dos três primeiros meses:

MÊS VALOR DA CONTRIBUIÇÃ

BENEFICIÁRIO

FEV/10 R$ 200,00 Marília

MAR/10 R$ 203,00 Guilherme

ABR/10 R$ 206,00 Zé Carlos

MAI/10 Wanderlei

JUN/10 Marcelo

JUL/10 Valença

AGO/10 Caribé

SET/10 Edvaldo

OUT/10 Lílian

NOV/10 Cátia

DEZ/10 Chico

Ao final do caixa, em dezembro de 2010, depois de efetuadas todas as contribuições, podemos afirmar que Chico: 01) não obteve lucro nem prejuízo com esse caixa. 02) lucrou R$ 300,00. 03) lucrou R$ 185,00. 04) lucrou R$ 165,00. 05) lucrou R$ 150,00.

RESOLUÇÃO:

Os valores pagos por Chico, de fevereiro a novembro, formam uma PA de 10 termos onde o primeiro é

200 e o último é 200 + (10 – 1 ). 3 = 227. Sendo assim o valor total pago por Chico foi a soma dos termos

desta PA que é 21352

10).227200(=

+.

No mês de dezembro as contribuições foram de 227 + 3 = 230. Como 10 pessoas contribuíram Chico

recebeu 230 x 10 = 2300. Portanto Chico Lucrou 2300 – 2135 = 165.


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