semelhança de triângulos - aulas particulares para todas as séries e...

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Semelhança de Triângulos

1. (Uem 2014) João dispõe de três pedaços triangulares de palha de aço, sendo a área de

cada pedaço diretamente proporcional à massa do mesmo. Um pedaço possui 10,0 g de massa, o segundo possui 12,0 g de massa e o terceiro, 18,0 g. Ele queimou completamente os dois primeiros pedaços e mediu novamente suas massas, tendo obtido, respectivamente, 10,5 g e 12,6 g. Com base na situação exposta, assinale o que for correto. 01) O aumento de massa se deve à reação química que causou uma redução nos átomos de

ferro que reagiram. 02) As proporções iguais entre massa final e inicial de cada pedaço de palha de aço queimado

se devem à Lei de Proust. 04) Se João queimar completamente o terceiro pedaço, a massa final do mesmo deverá ficar

em torno de 18,9 g. 08) Verificou-se um aumento de 0,5 % na massa de cada um dos pedaços de palha de aço

queimados. 16) Se, antes do experimento, os pedaços triangulares de 18 g e 10 g constituíam um par de

triângulos semelhantes, a razão de semelhança entre eles era de 9/10. 2. (Espm 2014) A figura abaixo mostra a trajetória de um móvel a partir de um ponto A, com

BC CD, DE EF, FG GH, HI IJ e assim por diante.

Considerando infinita a quantidade desses segmentos, a distância horizontal AP alcançada por esse móvel será de: a) 65 m b) 72 m c) 80 m d) 96 m e) 100 m


3. (Acafe 2014) Analise as proposições abaixo e classifique-as em V - verdadeiras ou F -

falsas. ( ) O triângulo ABC é equilátero e seu perímetro é 12cm. Sabendo que temos uma

circunferência inscrita e outra circunscrita ao triângulo ABC, então, a razão entre a área

da circunferência inscrita e a área da circunferência circunscrita é 1

.4

( ) Uma das diagonais de um quadrado está contida na reta x y 4 0. Sabendo que a

reta suporte da outra diagonal passa pelo ponto de coordenadas (5, 3), pode-se

concluir que o perímetro desse quadrado, em unidades de comprimento, é igual a 16 2.

( ) Na figura abaixo, ABCD, é um quadrado inscrito num triângulo PRQ. Sendo RQ 36cm e

a altura relativa a essa base igual a 24cm, então, a área da região hachurada vale, aproximadamente, 225cm

2.

A sequência correta, de cima para baixo, é: a) V - V - F b) V - F - V c) V - F - F d) F - F - V 4. (Ufsc 2014) Duas cidades, marcadas no desenho abaixo como A e B, estão nas margens

retilíneas e opostas de um rio, cuja largura é constante e igual a 2,5 km, e a distâncias de

2,5 km e de 5 km, respectivamente, de cada uma das suas margens. Deseja-se construir uma

estrada de A até B que, por razões de economia de orçamento, deve cruzar o rio por uma ponte de comprimento mínimo, ou seja, perpendicular às margens do rio. As regiões em cada lado do rio e até as cidades são planas e disponíveis para a obra da estrada. Uma possível planta de tal estrada está esboçada na figura abaixo em linha pontilhada:

Considere que, na figura, o segmento HD é paralelo a AC e a distância HK' 18km.

Calcule a que distância, em quilômetros, deverá estar a cabeceira da ponte na margem do lado

da cidade B (ou seja, o ponto D) do ponto K, de modo que o percurso total da cidade A até a

cidade B tenha comprimento mínimo.


5. (Cefet MG 2014) A figura abaixo tem as seguintes características:

- o ângulo E é reto;

- o segmento de reta AE é paralelo ao segmento BD;

- os segmentos AE, BD e DE, medem, respectivamente, 5, 4 e 3.

O segmento AC, em unidades de comprimento, mede

a) 8. b) 12. c) 13. d) 61. e) 5 10.

6. (Insper 2014) Considere o retângulo ABCD da figura, de dimensões AB b e AD h, que

foi dividido em três regiões de áreas iguais pelos segmentos EF e GH.

As retas EF, BD e GH são paralelas. Dessa forma, sendo AE x e AF y, a razão x

b é igual

a

a) 2 2

.3

b) 2

.2

c) 3

.2

d) 6

.4

e) 6

.3


7. (G1 - cftmg 2014) A figura a seguir apresenta um quadrado DEFG e um triângulo ABC cujo

lado BC mede 40 cm e a altura AH, 24 cm.

A medida do lado desse quadrado é um número a) par. b) primo. c) divisível por 4. d) múltiplo de 5. 8. (G1 - ifce 2014)

O valor do lado de um quadrado inscrito em um triângulo retângulo, conforme o esboço mostrado na figura, é a) 10. b) 8. c) 6. d) 4. e) 2.


9. (Fgv 2014) a) Para medir a largura x de um rio sem necessidade de cruzá-lo, foram feitas

várias medições como mostra a figura abaixo. Calcule a largura x do rio.

b) Demonstre que a distância do vértice B ao baricentro M de um triângulo é o dobro da

distância do ponto E ao baricentro M.

10. (Upf 2014) O triângulo ABC mostrado a seguir foi dividido em três figuras: I, II e III.

Então, é correto afirmar que: a) A área da figura II é maior do que a área da figura I. b) A área da figura II é menor do que a área da figura I. c) A área da figura I é o dobro da área da figura III. d) A área da figura I é igual à área da figura II. e) A área da figura III é 1/3 da área da figura I. 11. (Pucrs 2014) Considere a imagem abaixo, que representa o fundo de uma piscina em

forma de triângulo com a parte mais profunda destacada.

O valor em metros da medida ―x‖ é a) 2 b) 2,5 c) 3 d) 4 e) 6


12. (Fuvest 2014) Uma circunferência de raio 3 cm está inscrita no triângulo isósceles ABC, no

qual AB AC. A altura relativa ao lado BC mede 8 cm. O comprimento de BC é, portanto,

igual a a) 24 cm b) 13 cm c) 12 cm d) 9 cm e) 7 cm 13. (G1 - cftmg 2014) Numa festa junina, além da tradicional brincadeira de roubar bandeira no alto do pau de sebo, quem descobrisse a sua altura ganharia um prêmio. O ganhador do desafio fincou, paralelamente a esse mastro, um bastão de 1m. Medindo-se as sombras projetadas no chão pelo bastão e pelo pau, ele encontrou, respectivamente, 25 dm e 125 dm. Portanto, a altura do ―pau de sebo‖, em metros, é a) 5,0. b) 5,5. c) 6,0. d) 6,5. TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: Potencialmente, os portos da região Norte podem ser os canais de escoamento para toda a produção de grãos que ocorre acima do paralelo 16 Sul, onde estão situados gigantes do agronegócio. Investimentos em logística e a construção de novos terminais portuários privados irão aumentar consideravelmente o número de toneladas de grãos embarcados anualmente. 14. (Uea 2014) Suponha que dois navios tenham partido ao mesmo tempo de um mesmo porto A, em direções perpendiculares e a velocidades constantes. Sabe-se que a velocidade do

navio B é de 18 km / h e que, com 30 minutos de viagem, a distância que o separa do navio C

é de 15 km, conforme mostra a figura:

Desse modo, pode-se afirmar que, com uma hora de viagem, a distância, em km, entre os dois navios e a velocidade desenvolvida pelo navio C, em km/h, serão, respectivamente, a) 30 e 25. b) 25 e 22. c) 30 e 24. d) 25 e 20. e) 25 e 24.


15. (Ufsc 2013) Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). 01) Na figura abaixo, o triângulo ABC é equilátero e o quadrilátero MNPQ é um quadrado.

Então os pontos P e Q são pontos médios dos lados BC e AC, respectivamente.

02) Na figura abaixo, ABCD é um quadrilátero e o segmento DB é paralelo ao segmento CE.

Então a área do quadrilátero ABCD é igual à área do triângulo ADE.

04) Na figura abaixo, o triângulo ABC é retângulo e o ponto M é o ponto médio da hipotenusa

AC. A perpendicular à hipotenusa AC pelo ponto M cruza o segmento BC no ponto E, que está entre B e C. Então a área do triângulo MEC é menor do que a metade da área do triângulo ABC.

08) Considere um octaedro regular inscrito em uma esfera de raio 6cm. O volume do octaedro

é 288cm3.

16) Se em um quadrilátero as diagonais são bissetrizes dos ângulos internos, então o

quadrilátero é um losango.


16. (Uem 2013) Considere um triângulo ABC com medidas AB 5cm, AC 2cm e

BC 4cm. Sejam D o ponto médio de BC e E o ponto médio de AB. Assinale o que for

correto. 01) Os triângulos ABC e EBD são congruentes. 02) A área do triângulo ABC é menor do que 4 cm

2.

04) O triângulo EBD é obtusângulo. 08) O centro da circunferência circunscrita ao triângulo ABC está no interior desse triângulo. 16) A área do quadrilátero AEDC é o triplo da área do triângulo EBD. 17. (Ufmg 2013) Nos séculos XVII e XVIII, foi desenvolvida no Japão uma forma particular de

produzir matemática. Um dos hábitos que a população adotou foi o de afixar em templos placas contendo problemas, em geral de geometria. Essas placas, conhecidas como sangaku, apresentavam o problema com ilustrações e a resposta, sem registrar a solução dos autores. O seguinte problema foi adaptado de um desses sangakus: considere ABCD um retângulo com

AB 160 e AD 80; tome uma circunferência de centro O tangente aos lados AB, BC e CD

do retângulo, e seja BD uma de suas diagonais, interceptando a circunferência nos pontos P e Q.

Considerando essas informações, a) DETERMINE o raio QO da circunferência. b) DETERMINE o comprimento do segmento PQ.

18. (Fgv 2013) Na figura, ABCD é um quadrado de lado 4 cm, e M é ponto médio de CD .

Sabe-se ainda que BD é arco de circunferência de centro A e raio 4 cm, e CD é arco de

circunferência de centro M e raio 2 cm, sendo P e D pontos de intersecção desses arcos.

A distância de P até CB , em centímetros, é igual a

a) 4

5 b)

19

25 c)

3

4 d)

7

10 e)

17

25


19. (Enem 2013) O dono de um sítio pretende colocar uma haste de sustentação para melhor

firmar dois postes de comprimentos iguais a 6m e 4m. A figura representa a situação real na qual os postes são descritos pelos segmentos AC e BD e a haste é representada pelo EF, todos perpendiculares ao solo, que é indicado pelo segmento de reta AB. Os segmentos AD e BC representam cabos de aço que serão instalados.

Qual deve ser o valor do comprimento da haste EF? a) 1m

b) 2 m

c) 2,4 m

d) 3 m

e) 2 6 m

TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: Suzana quer construir uma piscina de forma triangular em sua casa de campo, conforme a figura abaixo (ilustrativa). Ela deseja que: — as medidas s e t sejam diferentes; — a área da piscina seja 50 m

2;

— a borda de medida s seja revestida com um material que custa 48 reais o metro linear; — a borda de medida t seja revestida com um material que custa 75 reais o metro linear.

20. (Insper 2013) Ao conversar com o arquiteto, porém, Suzana foi informada de que já foi

construída uma saída de água que fica a uma distância de 3 m da borda de medida t e a 7 m da borda de medida s. Para que a terceira borda da piscina passe por esse ponto, t deve ser aproximadamente igual a a) 10,00 m. b) 13,33 m. c) 16,67 m. d) 20,00 m. e) 23,33 m.


21. (Uerj 2012) Para construir a pipa representada na figura abaixo pelo quadrilátero ABCD,

foram utilizadas duas varetas, linha e papel.

As varetas estão representadas pelos segmentos AC e BD. A linha utilizada liga as

extremidades A, B, C e D das varetas, e o papel reveste a área total da pipa.

Os segmentos AC e BD são perpendiculares em E, e os ângulos ˆABC e ˆADC são retos.

Se os segmentos AE e EC medem, respectivamente, 18 cm e 32 cm, determine o

comprimento total da linha, representada por AB BC CD DA.

22. (Insper 2012) Duas cidades X e Y são interligadas pela rodovia R101, que é retilínea e apresenta 300 km de extensão. A 160 km de X, à beira da R101, fica a cidade Z, por onde passa a rodovia R102, também retilínea e perpendicular à R101. Está sendo construída uma nova rodovia retilínea, a R103, que ligará X à capital do estado. A nova rodovia interceptará a R102 no ponto P, distante 120 km da cidade Z.

O governo está planejando, após a conclusão da obra, construir uma estrada ligando a cidade Y até a R103. A menor extensão, em quilômetros, que esta ligação poderá ter é a) 250. b) 240. c) 225. d) 200. e) 180.


23. (Espm 2012) A figura abaixo mostra o paralelogramo BMNP inscrito no triângulo retângulo

ABC, onde AB = 5cm e BC = 13cm.

Sabe-se que o paralelogramo tem área máxima quando M é ponto médio de BC. Então, a maior área que o paralelogramo pode ter é igual a: a) 12 cm

2

b) 18 cm2

c) 15 cm2

d) 7,5 cm2

e) 9 cm2

TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: Considere um triângulo ABC cuja base AB mede 27dm. Traçando-se uma reta ―t‖, paralela à

base, ela determina sobre os lados AC e BC, respectivamente, os pontos D e E. Sabe-se que

DC mede 14dm, BE mede 8dm e DE mede 18dm.

24. (G1 - ifal 2012) Assinale a alternativa falsa. a) Os triângulos ABC e DEC são semelhantes. b) Os triângulos ABC e CDE são semelhantes.

c) CD 2.AD.

d) A razão de semelhança é 3

.2

e) O lado BC mede 24dm.

25. (Ufpe 2011) Na figura abaixo AB AD 25, BC 15 e DE 7. Os ângulos ˆˆDEA,BCA e

ˆBFA são retos. Determine AF.


26. (G1 - epcar (Cpcar) 2011) A figura abaixo representa o logotipo que será estampado em

450 camisetas de uma Olimpíada de Matemática realizada entre os alunos do ―Colégio Alfa‖. Essa figura é formada por um círculo de centro O inscrito num triângulo isósceles cuja base

BCmede 24 cm e altura relativa a esse lado mede 16 cm

O círculo será pintado com tinta cinza e sabe-se que é necessário, exatamente, 1 pote de tinta

cinza para pintar 25400 cm .

Adote 3π

Com base nesses dados, é correto afirmar que o número de potes necessários para pintar o círculo em todas as camisetas é igual a a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 27. (G1 - ccampos 2011) Na figura abaixo, O é o centro de uma circunferência que tangencia o segmento BQ no ponto T. Considerando também que o segmento BA é perpendicular ao segmento AO, que M é o ponto médio do segmento AO e que BM = 4.MT , determine a medida

do ângulo ^

TMO


28. (Unemat 2010) No triângulo equilátero ABC, os pontos M e N são respectivamente pontos

médios dos lados AB e AC .

O segmento MNmede 6 cm.

A área do triângulo ABC mede:

a) 218 3 cm

b) 224 2 cm

c) 230 2 cm

d) 230 3 cm

e) 236 3 cm 29. (Fuvest 2010) Na figura, o triângulo ABC é retângulo com catetos BC = 3 e AB = 4. Além

disso, o ponto D pertence ao cateto AB , o ponto E pertence ao cateto BC e o ponto F

pertence à hipotenusa AC , de tal forma que DECF seja um paralelogramo. Se DE = 3

2, então

a área do paralelogramo DECF vale

a) 63

25

b) 12

5

c) 58

25

d) 56

25

e) 11

5


30. (Ufg 2010) As ―Regras Oficiais de Voleibol‖, aprovadas pela Federação Internacional de

Voleibol (FIVB), definem que a quadra para a prática desse esporte deve ser retangular, medindo 18 m de comprimento por 9 m de largura. A rede, colocada verticalmente sobre a linha central da quadra, deve ter uma altura de 2,43 m para jogos profissionais masculinos. Em cada campo da quadra há uma linha de ataque, desenhada a 3 m de distância da linha central, marcando a zona de frente, conforme a figura a seguir. Durante um jogo profissional masculino, um jogador fez um ponto do seguinte modo: estando sobre a linha de ataque de seu campo, saltou verticalmente batendo na bola no ponto H, fazendo-a descrever uma trajetória retilínea, passando rente ao topo da rede, no ponto R, tocando a quadra exatamente num ponto B, pertencente à linha de fundo do campo adversário.

Segundo as condições descritas, calcule a altura, AH, que o jogador alcançou para conseguir fazer o ponto.


Gabarito: Resposta da questão 1: 02 + 04 = 06. [Resposta do ponto de vista da disciplina de Química]

[02] As proporções iguais entre massa final e inicial de cada pedaço de palha de aço queimado se devem à Lei de Proust (proporções fixas).

[04] Se João queimar completamente o terceiro pedaço, a massa final do mesmo deverá ficar

em torno de 18,9 g.

após a queima

após a queima

após a queima

Pr imeiro pedaço (10,0 g) :

m 10,5 g

10,5 10,00,05 5 %

10

Segundo pedaço (12,0 g) :

m 12,6 g

12,6 12,00,05 5 %

12

Terceiro pedaço (18,0 g) :

m m

m 18,00,05

18

m 18,9 g

[Resposta do ponto de vista da disciplina de Matemática]

[16] Falsa, pois a razão de semelhança será 18 9 3

.10 5 5

Resposta da questão 2:

[C]

Pelo Teorema de Pitágoras aplicado no triângulo ABC, encontramos facilmente AC 20 m.

Os triângulos ABC, CDE, EFG, são semelhantes por AA. Logo, como a razão de semelhança

é igual a CD 12 3

,16 4AB

segue-se que AC 20 m, CE 15 m, 45

EG m,4

constituem uma

progressão geométrica cujo limite da soma dos n primeiros termos é dado por 20

80 m.3

14



[B]

Sejam r e R, respectivamente, o raio da circunferência inscrita e o raio da circunferência

circunscrita ao triângulo ABC. Sabendo que r 1

,R 2 vem

2 22

2

r r 1 1.

R 2 4R

π

π

Com os dados fornecidos podemos encontrar apenas a equação da reta suporte da outra diagonal. Portanto, nada se pode afirmar sobre o perímetro do quadrado.

Seja a medida do lado do quadrado ABCD. Como os triângulos PRQ e PAB são

semelhantes por AA, tem-se que

24 72cm.

24 36 5

Por conseguinte, a área hachurada é dada por

2236 24 72

225cm .2 5

Resposta da questão 4: Considere a figura.

O trajeto ACDB tem comprimento mínimo quando B, D e H são colineares. Com efeito, se D'

é um ponto da reta DK e C' é o pé da perpendicular baixada de D' sobre a reta HK', então,

pela Desigualdade Triangular, BD' D'H BD' AC' BD DH BH.

Portanto, como os triângulos BDK e DHC são semelhantes por AA, segue-se que

DK BK DK 5

2,5CH CD 18 DK

DK 12km.



[E]

Desde que os triângulos ACE e BCD são semelhantes por AA, vem

CD BD CD 4

5CE AE CD 3

CD 12.

Portanto, aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo ACE, encontramos

2 2 2 2 2 2AC AE CE AC 5 15

AC 5 10.


[E]

Seja (AEF) 2S. Pela simetria da figura, temos (EBDF) (BDHG) S. Além disso, os

triângulos AEF e ABD são semelhantes por AA. Portanto, como

(ABD) (AEF) (EBDF) 3S,

tem-se

2 2(AEF) 2Sx x

(ABD) 3Sb b

x 6,

b 3

que é o resultado pedido. Resposta da questão 7:

[D]

Seja a medida do lado do quadrado DEFG.

Os triângulos ABC e AEF são semelhantes por AA.

Portanto,

24120 5 3

40 24

15cm,

que é um múltiplo de 5.



[D] Considere a figura.

É fácil ver que os triângulos BFE e DGC são semelhantes por AA. Portanto, se é a medida

do lado do quadrado, temos

2816 4.

2


a) Supondo que CAB BED 90 , é fácil ver que os triângulos ABC e EBD são

semelhantes por AA. Desse modo, temos

AC AB x 24

2 2,5ED BE

x 19,2 m.

b) Queremos mostrar que BM 2 ME.

De fato, sabendo que D e E são pontos médios de AB e AC, respectivamente, tem-se que

DE é base média do triângulo ABC e, portanto, 1

DE BC2

e DE BC. Em consequência,

os triângulos DEM e BCM são semelhantes por AA. Daí,

BM BC BM BC

1ME DE ME BC2

BM 2 ME.

Resposta da questão 10: [D]

y2zx

x2

y

z~ IIII ΔΔ


Calculando a área de cada figura, temos:

2

yxA

yx2A

xy22

x2zA

III

II

I

Portanto, a área da figura I é igual à área da figura II. Resposta da questão 11:

[C]

O triângulo ADE é isósceles, logo AD = 8m. O triângulo ABC é semelhante ao triângulo ADE, portanto:

2 x8x 24 x 3m

8 12


[C]

Considere a figura, em que H é o pé da perpendicular baixada de A sobre BC, e D é o ponto

em que o lado AC tangencia a circunferência de centro em O.

Como OH OD 3cm e AH 8cm, segue que AO 5cm. Logo, AD 4cm. Além disso, os

triângulos AHC e ADO são semelhantes por AA e, assim,

AD DO 4 3

8AH HC HC

HC 6cm.

Portanto, como H é o ponto médio de BC, segue-se que BC 12cm.



[A] Sabendo que a altura é proporcional ao comprimento da sombra projetada, segue-se que a

altura h do pau de sebo é dada por

h 1h 5 m.

125 25

Resposta da questão 14: [C]

y 18 0,5 9km

Logo,

2 2 2x 9 15 x 12km

Depois de uma hora de viagem as distâncias serão dobradas, portanto, a distância entre os

navios B e C será de 30km.

A velocidade do navio C é de 12km a cada meia hora, ou seja, 24km / h. Resposta da questão 15:

02 + 04 + 08 + 16 = 30. 01) Falsa. Seria possível se a altura do triângulo tivesse a mesma medida que sua base. 02) Verdadeira, pois

AECD EDC AECD BEC

ADE AECD EDC

BEC EDC AECD ADE

A A A A

A A A

como A A , temos A A

04) Verdadeira. Área do triângulo MEC é menor do que a metade da área do triângulo ABC (área do triângulo MBC). Observe na figura:


8) Verdadeira. O volume do octaedro é o dobro do volume da pirâmide

V = 2.(1/3).x

2.h

V = 2.(1/3).72.6 V = 288 cm

3

16) Verdadeira, pois esta propriedade define um losango. Resposta da questão 16:

02 + 04 + 16 = 22.

[01] Incorreto. Como DE é uma base média do triângulo ABC, é fácil ver que os triângulos

ABC e EBD são semelhantes, com razão de semelhança igual a 2.

[02] Correto. Pela Fórmula de Heron, temos

2

11 11 11 11(ABC) 4 2 5

2 2 2 2

11 3 7 1

2 2 2 2

231

4

256

4

4cm .

[04] Correto. Como ABC e EBD são semelhantes, basta mostrar que ABC é obtusângulo.

De fato,

2 2 2 2 2 2AB BC AC 5 4 2 .

[08] Incorreto. Do item [04] sabemos que ABC é obtusângulo. Portanto, segue-se que o

circuncentro de ABC não está no seu interior.

[16] Correto. Do item [01], temos

2(ABC)2 4.

(EBD)

Daí, como (ABC) (EBD) (AEDC), segue que (AEDC) 3 (EBD).



a) O raio da circunferência é 80

402

.

b) Admita PQ = x 2 2 2BQ 40 80 BQ 40 5

POM ~ MQB, logo:

MQ 40

80 40 5

5MQ 80

MQ 16 5

Logo, MQ 32 5

Δ Δ



[A] Considere a figura.

Sejam Q, S e H, respectivamente, o pé da perpendicular baixada de P sobre BC, a

interseção de AM com DP e o pé da perpendicular baixada de M sobre CP.

Queremos calcular PQ.

Como AB AP 4cm, MD MP 2cm e AM é lado comum, segue-se que os triângulos

ADM e APM são congruentes por LLL. Desse modo, AM é mediatriz de DP.

Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo APM, vem

2 2 2 2 2 2AM AP MP AM 4 2

AM 2 5 cm.

Além disso, temos

2 2MP AM MS 2 2 5 MS

2MS cm.

5

É fácil ver que o triângulo CPD é retângulo em P. Logo, HP MS. Por outro lado, CM MP e

HM CP implica em CH HP. Daí, 4

CP 2 HP cm.5

Finalmente, como os triângulos HMP e QCP são semelhantes, encontramos

4

PQ CP PQ 5

2 2HP MP

5

4PQ .

5



[C]

É fácil ver que os triângulos AEC e BED são semelhantes. Logo,

AF AC AF 4

6BF BD BF

AF BF 2 3

2AF

AF 2.

5AF BF

Além disso, como os triângulos AEF e ABD também são semelhantes, vem

AF EF AF EF

6AB BD AF BF

EF 2

6 5

EF 2,4 m.

Resposta da questão 20: [E] Considere a figura.

Sabendo que BE DF 7 m e BF DE m 3, segue que AE t 7 e CF s 3. Logo, como

os triângulos AED e DFC são semelhantes, vem

CF DF s 3 7

3 t 7DE AE

3ts .

t 7

Além disso, como a área da piscina é 250 m e s t, encontramos

2

3ts t 100 t 100

t 7

3t 100t 700 0

t 23,33.



Sabendo que a soma dos ângulos internos de um quadrilátero convexo é igual a 360 e que

os ângulos ABC e ADC são retos, temos que o quadrilátero ABCD é inscritível. Além disso,

como AC BD, segue que DE EB e, portanto,

2

DE EB AE EC DE 18 32

DE 9 2 32

DE 3 8

DE 24cm.

Desse modo, como AE 18 3 6 e DE 24 4 6, vem que AD 5 6 30. Por outro lado,

como EC 32 4 8 e DE 24 3 8, obtemos CD 5 8 40.

Portanto, como os triângulos ABE e ADE são congruentes, bem como os triângulos BCE e

CDE, vem

AB BC CD DA 2 30 2 40 140cm. Resposta da questão 22: [E]

Determinando o valor de k no triângulo XZP: K

2 = 120

2 + 160

2

K = 200 km.

XZP XDYΔ Δ

200 1202d 360 d 180km

300 d



[C]

Como os triângulos ABC e APN são semelhantes, conclui-se que AP = PB = 5/2. AC

2 = 13

2 – 5

2

AC = 12

12sen

13α

Cálculo de h,

12sen

13

h 12 30h

5 13 13

2

α

Portanto, a área do paralelogramo é A = 13 30

. 152 13

.

Resposta da questão 24: [B]

14 CE 18 2CDE ~ CAB AC 21 e CE 16.

AC CE 18 27 3Δ Δ



Considere a figura.

Como AB 25 5 5 e BC 15 5 3, segue que o triângulo ABC é semelhante ao triângulo

retângulo de lados 5, 3 e 4. Logo, AC 5 4 20.

Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo ADE, vem

2 2 2 2 2 2AD DE AE AE 25 7

AE 576

AE 24.

Como os triângulos ADE e BGC são semelhantes por AA, temos que

GC BC 15 7 35GC .

24 8DE AE

Logo, 35 125

AG AD GC 20 .8 8

Por outro lado, os triângulos ADE e AGF também são semelhantes por AA. Desse modo,

12524

AF AG 8AF 15.25AE AD



[A]

2 2 2AC 16 12 AC 20

R 16 RAOD ~ ACM R 6

12 20Δ Δ

Área que será pintada.

A = 2 2 2A 450. .R 450.3.6 48600cmπ

Número de potes = 48600

95400


Os triângulos MTO e MAB são semelhantes, logo: 2 2k aa 4k a 2k

a 4k .

Logo, no triângulo MTO, temos: ok 1cos 60

2k 2α α .



[E] AMN ~ ABC logo, BC = 2.6 = 12

Área do ABC = 4

3122

= 336 cm2

Resposta da questão 29: [A]

(AC)2 = 4

2 + 3

2 AC = 5

∆DBE ~ ∆ABC 5

2

3

34

yx x = 1,2 e y = 0,9

A base do paralelogramo será 3 – 0,9 = 2,1 e sua altura será x = 1,2

Logo sua área será A = 2,1. 1,2 = 25

63

100

252

10

12

10

21


Como AC PD, pelo Teorema de Tales segue que

AP CD AP 3 1.

9 3PB DB PB

Os triângulos HAB e RPB são semelhantes. Portanto,

HA AB HA AP PB HA 4HA 3,24 m.

2,43 3RP PB RP PB

semelhança de triângulos - aulas particulares para todas as séries e...

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