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Teorema de Tales O Teorema de Tales possui diversas aplicações no cotidiano, que devem ser demonstradas a fim de verificar sua importância. O Teorema diz que “retas paralelas, cortadas por transversais, formam segmentos correspondentes proporcionais”. Algumas considerações preliminares O enunciado do Teorema de Tales será compreensível a partir da consideração, nesse primeiro momento, de alguns elementos básicos: um feixe de retas paralelas r, s e t que cortam as retas transversais u e v. Neste exemplo, o feixe de retas é formado por apenas três retas paralelas e duas transversais, mas outros feixes podem ser formados com maior número de retas paralelas contidas num mesmo plano. No feixe acima, destacam-se os seguintes elementos: Pontos correspondentes: A e D, B e E, C e F; Segmentos correspondentes: AB e DE, BC e EF, AC e DF. O teorema de Tales: Se duas retas transversais são cortadas por um feixe de retas paralelas, então a razão entre quaisquer dos segmentos determinados em uma das transversais é igual à razão entre os segmentos correspondentes da outra transversal. No feixe de retas exemplificado anteriormente, podemos destacar, de acordo com o Teorema de Tales, as seguintes razões:

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Page 1: Teorema de Tales - · PDF file1 – Determine a medida da hipotenusa do triângulo representado pela figura a seguir: 2 ... adjacente a esse ângulo e a medida da hipotenusa. Assim:

Teorema de Tales

O Teorema de Tales possui diversas aplicações no cotidiano, que devem ser

demonstradas a fim de verificar sua importância. O Teorema diz que “retas

paralelas, cortadas por transversais, formam segmentos correspondentes

proporcionais”.

Algumas considerações preliminares

O enunciado do Teorema de Tales será compreensível a partir da

consideração, nesse primeiro momento, de alguns elementos básicos: um feixe

de retas paralelas r, s e t que cortam as retas transversais u e v.

Neste exemplo, o feixe de retas é formado por apenas três retas paralelas e

duas transversais, mas outros feixes podem ser formados com maior número

de retas paralelas contidas num mesmo plano.

No feixe acima, destacam-se os seguintes elementos:

Pontos correspondentes: A e D, B e E, C e F;

Segmentos correspondentes: AB e DE, BC e EF, AC e DF.

O teorema de Tales:

“Se duas retas transversais são cortadas por um feixe de retas paralelas, então

a razão entre quaisquer dos segmentos determinados em uma das transversais

é igual à razão entre os segmentos correspondentes da outra transversal.”

No feixe de retas exemplificado anteriormente, podemos destacar, de acordo

com o Teorema de Tales, as seguintes razões:

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Aplicação do teorema

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c) Fuvest–SP) Três terrenos têm frente para a rua A e para a rua B, como na

figura. As divisas laterais são perpendiculares à rua A. Qual a medida de frente

para a rua B de cada lote, sabendo que a frente total para essa rua tem 180m?

Com base no enunciado, vamos fazer umas anotações na imagem.

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ATIVIDADES

1) Determine o valor de x, y e z em cada uma das figuras:

a)

b)

c)

d)

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e)

f)

2) Ao realizar a instalação elétrica de um edifício, um eletricista observou

que os dois fios r e s eram transversais aos fios da rede central

demonstrados por a, b, c, d. Sabendo disso, calcule o comprimento x e y

da figura.

Obs.: os fios da rede central são paralelos.

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3) No triângulo ABC da figura abaixo temos que DE//BC Sabendo que a

medida do lado BC do triângulo é 14 cm, calcule as medidas dos

lados AB e AC o perímetro desse triângulo.

4) No triângulo da figura abaixo, as medidas são consideradas em

centímetros. Se BC=32 cm, calcule o valor de x – y.

5) No triângulo ABC a seguir, o segmento DE é paralelo ao segmento BC.

Determine o valor de x aplicando a proporcionalidade entre segmentos

paralelos cortados por segmentos transversais.

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6) Observe a figura r // s // t. Calcule o valor de x de acordo com o Teorema

de Tales.

7) Nas figuras, a//b//c, calcule o valor de x:

a)

b)

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c)

d)

e)

f)

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Teorema de Pitágoras

Considerado um dos mais importantes teoremas da Matemática, o

Teorema de Pitágoras foi desenvolvido por Pitágoras de Samos, filósofo grego

que viveu no séc. VI a.C., fundador da mística Escola Pitágorica.

O Teorema de Pitágoras pode ser aplicado em qualquer triângulo

retângulo no intuito de determinar uma das medidas quando conhecidas as

outras duas. O Teorema não se restringiu somente ao triângulo retângulo, de

acordo com estudos da época, eram conhecidos os números inteiros e as

frações, sendo através das aplicações do Teorema iniciado o estudo dos

números irracionais.

O Teorema consistia na seguinte relação:

“A medida do quadrado da hipotenusa é igual à soma das medidas dos

quadrados dos catetos”

Exemplos

1 – Determine a medida da hipotenusa do triângulo representado pela figura a

seguir:

2 – Dado o triângulo retângulo a seguir, determine a medida do cateto y.

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3) Calcule a altura do muro x:

4) Encontre o valor de c:

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ATIVIDADES

1) Usando o teorema de Pitágoras encontre o valor de x nas seguintes figuras:

a)

b)

c)

d)

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2) Um avião percorreu a distância de 5 000 metros na posição inclinada, e em

relação ao solo, percorreu 3 000 metros. Determine a altura do avião.

3) Do topo de uma torre, três cabos de aço estão ligados à superfície por meio

de ganchos, dando sustentabilidade à torre. Sabendo que a medida de cada

cabo é de 30 metros e que a distância dos ganchos até à base da torre é de

15 metros, determine a medida de sua altura.

4) Calcule a metragem de arame utilizado para cercar um terreno triangular com

as medidas perpendiculares de 60 e 80 metros, considerando que a cerca de

arame terá 4 fios.

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Lista 2

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LISTA 3

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Razões trigonométricas

Catetos e Hipotenusa Em um triângulo chamamos o lado oposto ao ângulo reto de hipotenusa e os lados adjacentes de catetos. Observe a figura:

Seno, Cosseno e Tangente Considere um triângulo retângulo BAC:

Hipotenusa: , m( ) = a.

Catetos: , m( ) = b.

, m( ) = c.

Ângulos: , e .

HIPOTENUSA: BC

CATETOS: AC E AB

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Seno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto oposto a esse ângulo e a medida da hipotenusa.

Assim:

Cosseno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto adjacente a esse ângulo e a medida da hipotenusa.

Assim:

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Tangente de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto adjacente a esse ângulo.

Assim:

Exemplo:

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Observações: 1. A tangente de um ângulo agudo pode ser definida como a razão entre seno deste ângulo e o seu cosseno. Assim:

2. A tangente de um ângulo agudo é um número real positivo. 3. O seno e o cosseno de um ângulo agudo são sempre números reais positivos menores que 1, pois qualquer cateto é sempre menor que a hipotenusa.

SENO, COSSENO E TANGENTE DE 30º, 45º E 60º

x sen x cos x tg x

30º

45º

60º

90º

1 0

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Matemática

4º BIMESTRE

8ª série

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