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09-1797(M)_2ªAval-Matem-3ºEM-U1(prof)_15-04_ado

PROVA DE MATEMÁTICA - TURMAS DO 3O ANO DO ENSINO MÉDIO COLÉGIO ANCHIETA-BA - MARÇO DE 2011.

ELABORAÇÃO: PROFESSORES OCTAMAR MARQUES E ADRIANO CARIBÉ.

RESOLUÇÃO: PROFESSORA MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA Questão 01

Sabendo que f(x) = 3x – 2 , f(g(x)) = 6x – 17 e h(f(x)) = 9x2 – 6x , determine g(h(x)). 01) 2x2 + 4x – 5 02) 4x2 – 16x + 15 05) NRA 03) 4x2 + 10x + 5 04) 2x2 – 6x – 10

RESOLUÇÃO:

Sendo f(x) = 3x – 2 e f(g(x)) = 6x – 17, então 3g(x) – 2 = 6x – 17 ⇒ ⇒−

=3

15x6)x(g g(x) = 2x – 5.

Sendo f(x) = 3x – 2 e h(f(x)) = 9x2 – 6x, então h(3x – 2) = 9x2 – 6x.

Fazendo 3x – 2 = m ⇒ 3

2mx

+= . Substituindo este valor em h(3x – 2) = 9x2 – 6x:

+−

+=

3

2m6

3

2m9)m(h

2

.

Fazendo m = x, x2x)x(h4x24x4x3

2x6

3

2x9)x(h 22

2

+=⇒−−++=

+−

+= .

Assim g(h(x)) = 2(x² + 2x) – 5 = 2x² + 4x – 5 RESPOSTA: Alternativa 01. Questão 02

Os pontos P e Q são conjugados harmônicos do segmento AB , tais que 0k ;kQB

QA

PB

PA>== .

Sabendo que PQ = 3cm e que AB = 4cm, calcule k. 01) 1/2 02) 2 03) 5/2 04) 3 05) 7/2 RESOLUÇÃO:

⇒=+−⇒−=+−⇒−

−=

−012x14x2xx7xx712

x3

x7

x

x4 222

l)(impossíve 6ou x 1x2

24497x06x7x2 ==⇒

−±=⇒=+− ⇒⇒⇒⇒

31

3k

PB

PA===

RESPOSTA: Alternativa 04.

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Questão 03. (UNICAMP-ADAPTADA)

Sabendo que o imposto de renda é calculado em função da renda do cidadão e supondo que a tabela (incompleta) para o cálculo do imposto de renda fosse a seguinte:

Renda em reais(r) Porcentagem Parcela a deduzir em

reais

r ≤ 1 000 isento 0

1 000 ≤ r ≤ 2 000 15% 150

2 000 ≤ r ≤ 3 000 20%

≥ 3 000 27,5% 475

E sabendo ainda que o imposto é calculado aplicando-se à renda a porcentagem correspondente e subtraindo-se desse resultado a parcela a deduzir, qual o valor da parcela a deduzir para a faixa de R$ 2000 a R$ 3000?

01) R$ 200,00 02) R$ 250,00 05) R$ 375,00

03) R$ 300,00 04) R$ 350,00

RESOLUÇÃO: A renda média da faixa 1 000 ≤ r ≤ 2 000 é r = 1500, e a parcela a ser deduzida nessa faixa representa

%101,01500

150== .

A renda média da faixa 2 000 ≤ r ≤ 3 000 é r = 2500 e a parcela a ser deduzida nessa faixa representa 10% de 2500, ou seja 250. RESPOSTA: A alternativa 02. Questão 04.

Na figura ao lado, o arco mede 80° e o arco mede 120°. Sabe-se que a medida de é três quintos de . O ângulo CÊD mede:

01) 20° 02) 25° 03) 30° 04) 35° 05) 40° RESOLUÇÃO

Como 5

3

CD

AB= , pode-se considerar AB = 3β e CD = 5β.

Sendo + = 200°, então, + = 160° ⇒ 3β +5β = 160° ⇒ β = 20° ⇒ = 60° e = 100°. Sendo CÊD um ângulo excêntrico externo sua medida é igual a

°=°−°

202

60100.



Questão 05. Sobre produto cartesiano, relações binárias e funções, considere as seguintes afirmativas:

(I) A representação gráfica do produto cartesiano [2; 6[ x {3; 5} é

(II) O domínio da relação W = {(x; y) ∈ N x N / 4x + 3y = 35} possui apenas 3 elementos.

(III) Se f: N* → N* é uma função onde f(1)=f(2)=1 e f(x+1) = f(x) + f(x–1) , então f(7) = 15 . Logo é verdade que:

01) Apenas a afirmativa I é falsa. 02) Apenas a afirmativa II é falsa. 03) Apenas a afirmativa III é falsa. 04) Apenas uma afirmativa é verdadeira. 05) Todas as afirmativas são verdadeiras.

RESOLUÇÃO:

(I) A representação gráfica do produto cartesiano [2; 6[ x {3; 5} é interseção entre a faixa retangular determinada pelas retas x = 2 e x = 6 com as retas y = 3 e y = 5.

Essa interseção tem como gráfico os dois segmentos Destacados na figura abaixo:

Logo a afirmação I é verdadeira.

(II) O domínio da relação W = {(x; y) ∈ N x N / 4x + 3y = 35} possui apenas 3 elementos.

Determinando, em função de y, o valor de x na igualdade 4x + 3y = 35, 4

y335x

−= .

y ∈ N

4

y335x

−= ∈ N

1 N8

4

335x ∈=

−=

3 N

4

26

4

935x ∉=

−=

5 N5

4

1535x ∈=

−=

7 N

4

14

4

2135x ∉=

−=

Os únicos pares que satisfazem à relação, são: (8, 1), (5, 5), (3, 9).

Logo o domínio da relação W = {(x; y) ∈ N x N / 4x + 3y = 35} possui apenas 3 elementos.

A afirmação II é verdadeira.


9 N3

4

2735x ∈=

−=

11 N

4

2

4

3335x ∉=

−=

(III) Em f(x+1) = f(x) + f(x–1), fazendo x + 1 = 2 ⇒ x = 1 e x – 1 = 0 o que é impossível pois f: N* → N*.

Logo a afirmação III é falsa.


Questão 06. Uma bicicleta percorre a distância d quando cada uma de suas rodas dá n voltas. Se d aumenta 12m o número de voltas de cada uma das rodas aumenta 10. Calcule, aproximadamente, o raio das rodas dessa bicicleta. 01) 15cm 02) 16cm 03) 17cm 04) 18cm 05) 19cm RESOLUÇÃO: Considerando-se r a medida do raio de cada roda da bicicleta, quando cada roda completa uma volta ela percorreu uma distância igual a c = 2π.r.

Ao percorrer a distância d, cada roda deu r.2

dn

π= voltas.

Ao percorrer mais 12m, cada roda deu r.2

12d10n

π

+=+ voltas

===

=

⇒

=−+

−+

=

⇒

=

+=+

cm19m19,08,62

12r

12r.20

10.r2

d

r.2

12

.r2

d.r2

d

.r2

12d10

.r2

dn

.r2

12d10n π

πππ

ππ

π

π

RESPOSTA: Alternativa 05. Questão 07. (UFBA/2008/Modificada)

Em um terreno plano horizontal, está fixado um mastro vertical com 27 metros de altura. Do topo do mastro, é lançado um projétil, descrevendo uma trajetória de modo que sua altura(f(x)), em relação ao terreno, é uma função da forma f(x) = ax2 + bx + c , onde x representa a distância à reta que contém o mastro. O projétil alcança a altura de 32 metros, quando essa distância é de 3 metros, e atinge o solo, quando a distância é de 27 metros. Calcule a altura do projétil quando essa distancia é de 9 metros.

01) 34 metros 02) 36 metros 05) 45 metros 03) 38 metros 04) 40 metros


RESOLUÇÃO:

Fazendo o eixo Oy coincidir com o mastro e a ordenada y = 27 com o topo desse mastro, a função f pode ser representada como f(x) = ax2 + bx + 27. Pelos dados da questão os pares ordenados (3, 32) e (27, 0) representam pontos da curva descrita pelo projétil lançado. Tem-se então o sistema:

27x29

x)x(f

2b5b319

1a8a72

3b3a81

5b3a9

027b27a729

3227b3a9 2

++−=⇒

=⇒=+−

−=⇒−=⇒

−=+

=+⇒

=++

=++

3645927189

81)9(f =+−=++−= .

RESPOSTA: Alternativa 02

Questão 08. A medida de um dos ângulos agudos de um triângulo retângulo é cinco vezes a medida do outro. Calcule o ângulo entre a altura e a mediana relativas à hipotenusa.

01) 20° 02) 30° 03) 40° 04) 50° 05) 60° RESOLUÇÃO:

De acordo com a condição da questão,

15 90 5 5 CB5A BCA °=⇒°=+⇒== αααα .

Por propriedade, a medida da mediana AM é igual à metade da medida da hipotenusa. Então o triângulo ABM é isósceles.

Sendo CMA externo ao triângulo ABM, sua medida é igual a 2α = 30° (Todo ângulo externo a um triângulo tem por medida a soma dos ângulos internos que não lhe são adjacentes). No triângulo retângulo AHM, tem-se: 2α + β = 90° ⇒ 30° + β = 90° ⇒ β = 60°. RESPOSTA: Alternativa 05. Questão 09.

Determine a imagem da relação binária real definida pela sentença y = 2

2

x

2x +.

01) R* 02) *R + 03) ]1; + ∞[ 04) [1; + ∞[ 05) ]2; + ∞[ RESOLUÇÃO:

O conjunto imagem da relação binária real definida pela sentença y = 2

2

x

2x + coincide com o domínio da sua

relação inversa. Para derminar a inversa dessa relação, nela deve-se substituir suas variáveis pelas ordenadas do par ordenado (y, x):

1x

2y

1x

2y2)1x(y2yxy

y

2yx 2222

2

2

−±=⇒

−=⇒=−⇒+=⇒

+=

Que somente é um número real para x – 1 > 0 ⇒ x > 1.

Logo o conjunto imagem pedido é ]1; +∞[. RESPOSTA: Alternativa 03.


Questão 10.

Na figura AC é bissetriz do ângulo Â e AB = AC. Sabendo que 18°< β < 30°, então 01) 10°< α < 20° 02) 20°< α < 32° 03) 32°< α < 40° 04) 40°< α < 48° 05) 48°< α < 54°

RESOLUÇÃO:

O ângulo BCA é externo ao triângulo ACD, logo a sua medida é igual a (α + β). Como o triângulo ABC é isósceles (AB = AC), tem-se:

βα +== BCA CBA . No triângulo ABD: 2(α + β) + α = 180° ⇒ 3α + 2β = 180° ⇒ 2β = 180° − 3α. Sendo 18°< β < 30°, então, 36°< 2β < 60°.

Como 2β = 180° − 3α, substituindo na última desigualdade 2β por esse valor: 36°< 180° − 3α < 60° ⇒ −144° < − 3α < −120° ⇒ 120° < 3α < 144° ⇒ 40° < 3α < 48°. RESPOSTA: Alternativa 04. Questão 11. Dado o conjunto A = {(x; y) ∈ R2 / 2 ≤ x ≤ 7 , 0 ≤ y ≤ 5 e y ≤ x }, calcule a área da região que representa graficamente o conjunto A no plano cartesiano. 01) 25 u.a. 02) 50 u.a. 03) 20,5 u.a. 04) 18,5 u.a. 05) NRA RESOLUÇÃO:

Representando as três leis, que determinam o conjunto A, no plano cartesiano tem-se o gráfico ao lado. A região que representa graficamente o conjunto A é o pentágono ABCDEF cuja área é a soma da área do retângulo BCDE com a do trapézio ABEF.

Portanto, 5,205,10102

)52(325S =+=

++×= .


Questão 12. (UNICAMP/ ADAPTADA)

O preço unitário de um produto é dado por P = nK

+ 20 , sendo K uma constante e n, o número de unidades

adquiridas. Sabendo que quando foram adquiridas 10 unidades o preço unitário foi de R$ 27,00, calcule quantas unidades do referido produto podem ser adquiridas com R$ 650,00.

01) 23 02) 25 03) 27 04) 29 05) 31


RESOLUÇÃO: 1. Se quando foram adquiridas 10 unidades o preço unitário foi de R$ 27,00:

⇒=⇒=+⇒=+ 70k270200k272010

k

O preço unitário é dado pela relação 20n

70p += .

Se n produtos foram vendidos por R$650,00, então, o valor do preço unitário é de n

650reais, logo:

29n580n20n207065020n

70

n

650=⇒=⇒+=⇒+= .

RESPOSTA: Alternativa 04. Questão 13.

Na figura, CD // AB , AB = 4cm e CEFD é um quadrado de lado 8cm. Sabendo que HE = HF = x, calcule, em cm, aproximadamente, o valor de y = HD 01) 6,1 02) 6,4 03) 7 04) 7,2 05) 7,4

RESOLUÇÃO:

Sendo CD // AB , os triângulos ABJ e CDJ são semelhantes e seus elementos correspondentes são proporcionais, logo:

5x15x3x15x2x15

x

8

4

h

h

CD

AB

CDJ

ABJ =⇒=⇒−=⇒−

=⇒= .

No triangulo retângulo HGF, x2 = 16 + u2 ⇒ 25 = 16 + u2 ⇒ u2 = 9 ⇒ u = 3.

No triangulo retângulo DIH, y2 = (8 - u)2 + 42 ⇒ y2 = 52 + 16 ⇒ y = 4,641 = . RESPOSTA: Alternativa 02.


Questão 14. Dadas as funções representadas nos gráficos abaixo, considere as seguintes afirmativas:

v(x) : R+ →→→→ R+

I) f é bijetora, g é injetora e h é sobrejetora.

II) v não é injetora e não é sobrejetora.

III) O conjunto imagem da função v é o intervalo ] 0; 200 ] .

IV) g(4) < g(3).

V) O gráfico de f–1 é:

O número de afirmativas verdadeiras acima é igual a:

01) 01 02) 02 03) 03 04) 04 05) 05

RESOLUÇÃO: I. f é bijetora porque é injetora ( para todo real x’ ≠ x’’, f(x’) ≠ f(x’’) e também sobrejetora, pois, o seu

conjunto imagem é igual ao seu contradomínio R.

g é injetora e h é sobrejetora. VERDADEIRA

II. v não é injetora pois existe x’ ≠ x’’,tal que, f(x’) = f(x’’) e não é sobrejetora, pois o seu conjunto imagem é

diferente do seu contradomínio R. VERDADEIRA

III. Pela análise do gráfico de v conclui-se que seu valor máximo é y = 200 e seu valor mínimo é y > 0. Logo o seu conjunto imagem é o intervalo ] 0; 200 ]. VERDADEIRA.


Atenção

:

IV. Pela análise do gráfico de g(x) chega-se à conclusão de que g é uma função decrescente, assim g(4) < g(3). VERDADEIRA.

V. Pela análise do gráfico de f(x), verifica-se que f(0) = −2 e f(1) = 0. Analisando o gráfico dado no item V, percebe-se que f(−2) = 0 e f(0) = 1, logo, esse é o gráfico de f −1(x). VERDADEIRA. RESPOSTA: Alternativa 05.

QUESTÃO DISCURSIVA

Esta questão somente será aceita se:

1. apresentar todo o desenvolvimento do raciocínio necessário para a sua resolução. 2. a sua resolução for toda escrita a caneta (todos os cálculos, todas as justificativas e respostas). 3. toda resolução (todos os cálculos, justificativas e respostas) estiver limpa e organizada. 4. cada justificativa vier acompanhada dos cálculos correspondentes. 5. a resposta estiver completa e não apenas destacada.

Se pelo menos, um dos itens acima não for observado, a questão será ZERADA.

Questão 15.

Prove que na figura ao lado, as retas r e s são paralelas.

RESOLUÇÃO:

Inicialmente prolongando o segmento CD determina-se o triângulo ABC, onde CBA mede 40°.

Aplicando aos ângulos da figura o conceito de ângulos suplementares, determina-se: °= 60BDE , °= 140GBD e

°= 120GFE . A soma dos ângulos internos de um pentágono mede 540°, logo no pentágono BDEFG,

80° + 120° + 140° + 60° + x = 540° ⇒ x = 540° – 400° ⇒ x = 140° ⇒ °= 40HGF

Como os CÂB e HGF são ângulos correspondentes formados por duas retas coplanares, r e s, e uma transversal e ambos medem 40°, as retas r e s são paralelas como se queria demonstrar.

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