calc 2b - funções reais de duas variáveis reais nova

CAPITULO 3

FUNC ~OES REAIS DE VARIASVARIAVEIS REAIS

3.1 Func~oes Reais de Varias Variaveis Reais

Vamos agora tratar do segundo caso particular de func~oes F : Dom(F ) Rn ! Rm,que s~ao as func~oes reais de varias variaveis reais. Neste caso, temos que m = 1 e n 2,i.e. o domnio e um subconjunto de Rn, n 2, enquanto que o contradomnio e umsubconjunto da reta .

DEFINIC ~AO 3.1.1: DadoDom(f) Rn, uma func~ao real f de varias variaveis reaise uma corresponde^ncia, f : Dom(f) Rn ! R, que a cada pontoX = (x1; x2; :::; xn) 2Dom(f), associa um e apenas um y = f(X) 2 R.

Exemplo 3.1.1: Abaixo temos alguns exemplos de func~oes reais de varias variaveis,com n = 2 ((a) e (b)) e n = 3 ((c) e (d)).a) f(x; y) = 4 (x2 + y2), (x; y) 2 R2.b) g(x; y) = xy, (x; y) 2 R2.c) h(x; y; z) = x+ y + z, (x; y; z) 2 R3.d) w(x; y; z) =

1

x2 + y2 + z2, (x; y; z) 2 R3nf(0; 0; 0)g.

Conforme mencionado, o conjunto Dom(f) e chamado de domnio da func~ao f . Alemdisso, continuaremos abusando da linguagem, conforme mencionado nas aulas ante-riores. Isto e, quando a func~ao f for dada por sua express~ao e zermos a pergunta:\qual e o domnio da func~ao f?" Estaremos de fato perguntando: \qual e o maiorsubconjunto de Rn no qual f esta bem denida?", ou seja, \qual e o maior subconjuntoDom(f) Rn, tal que f(X) e um elemento de R, para todo X 2 Dom(f)?"

27

Calculo 2B - Notas de Aula (em construc~ao) - Prof a Denise 2013-1 28

3.2 Operac~oes com Func~oes Reais de Varias Varia-veis Reais

Deniremos a seguir as usuais operac~oes de soma, diferenca, produto e quociente, damesma forma que zemos para func~oes reais de uma variavel.

DEFINIC ~AO 3.2.1: Considere as func~oes f; g : D Rn ! R e a constante k 2 R.Neste caso, denimos as seguintes func~oes:

a) a func~ao f + g : D Rn ! R, chamada de soma de f e g, dada por(f + g)(X) = f(X) + g(X);8X 2 D;

b) a func~ao f g : D Rn ! R, chamada de diferenca entre f e g, dada por(f g)(X) = f(X) g(X);8X 2 D;

c) a func~ao kf : D Rn ! R, chamada de produto de f pela constante k, dada por(kf)(X) = kf(X); 8X 2 D;

d) a func~ao fg : D Rn ! R, chamada de produto de f pela func~ao g, dada por(fg)(X) = f(X)g(X);8X 2 D;

e) se g(X) 6= 0, 8X 2 D, a func~ao fg: D Rn ! R, chamada de quociente de f pela

func~ao g, dada por f

g

(X) =

f(X)

g(X);8X 2 D:

Vamos inicialmente nos concentrar em func~oes reais de apenas duas variaveis reais.

3.3 Func~oes Reais de Duas Variaveis Reais

Vamos trabalhar nesta sec~ao apenas com func~oes reais de duas variaveis reais. Isto e,vamos trabalhar com func~oes f da forma

f : Dom(f) R2 ! R(x; y) 7! f(x; y):

Vamos iniciar identicando e esbocando o domnio de algumas func~oes de duas variaveisreais.


Exemplo 3.3.1: Determine e esboce o domnio das func~oes denidas pelas express~oesabaixo.

a) f1(x; y) =x+ y

x y .b) f2(x; y) =

py x+p1 y.

c) f3(x; y) =1p

x2 y2 .d) f4(x; y) =

px2 y2 1.

e) f5(x; y) =y

x 1.f) f6(x; y) = ln(xy 1).

Soluc~ao:

a) Neste caso, como o termo x y aparece no denomi-nador da express~ao de f1, devemos ter x y 6= 0. Destaforma, segue que

Dom(f1) = f(x; y) 2 R2 j y 6= xg:

Temos portanto, que o domnio da func~ao e todo planoxy, excetuando a reta y = x (gura ao lado).

y

x

b) Neste caso, para podermos calcular as duas razes queaparecem na express~ao de f2, devemos ter y x 0 e1 y 0. Portanto, segue que

Dom(f2) = f(x; y) 2 R2 j y x e y 1g:

Ao lado, temos um esboco de Dom(f2), que e a regi~aoacima da reta y = x e abaixo da reta y = 1.

y

x

1

c) Neste caso, para podermos calcular a raiz que aparecena express~ao de f3, devemos ter x

2y2 0. Alem disso,como o termo

px2 y2 esta no denominador da func~ao

f3, e necessario ter x2 y2 6= 0. Portanto, segue que

Dom(f3) = f(x; y) 2 R2 jx2 y2 > 0g:

Como x2 y2 > 0, y2 < x2 , jyj < jxj , jxj < y 0. Desta forma, segue que

Dom(f6) = f(x; y) 2 R2 jxy > 1g:

Ao lado, temos um esboco de Dom(f6), que e a regi~aodo plano determinada pela hiperbole xy = 1 que n~aocontem a origem.

y

x

~

3.4 Exemplos de Func~oes Reais de Duas VariaveisReais

Veremos a seguir exemplos de alguns tipos de func~oes reais de duas variaveis reais.

Exemplo 3.4.1: (Func~ao Polinomial) Uma func~ao polinomial de duas variaveisreais a valores reais e uma func~ao f : R2 ! R dada por

f(x; y) =X

m+npamnx

nym;

onde p e um natural xo e os coecientes amn s~ao numeros reais dados. A soma e


estendida a todas soluc~oes (m;n), m e n naturais, da inequac~ao m+ n p.

Exemplo: f(x; y) = 2x5y2 + x2y3.

Exemplo 3.4.2: (Func~ao Am) Uma func~ao am de duas variaveis reais a valoresreais e uma func~ao f : R2 ! R dada por

f(x; y) = ax+ by + c;

onde a, b e c s~ao numeros reais dados. A func~ao am e um caso particular de umafunc~ao polinomial.

Exemplo: f(x; y) = 2x+ 7y +p6.

Exemplo 3.4.3: (Func~ao Linear) Uma func~ao linear de duas variaveis reais a valoresreais e uma func~ao f : R2 ! R dada por

f(x; y) = ax+ by;

onde a e b s~ao numeros reais dados. A func~ao linear e um caso particular de umafunc~ao am.

Exemplo: f(x; y) = 2x+2p3y.

Exemplo 3.4.4: (Func~ao Racional) Uma func~ao racional de duas variaveis reais avalores reais e uma func~ao f : Dom(f) R2 ! R dada por

f(x; y) =p(x; y)

q(x; y);

onde p e q s~ao func~oes polinomiais dadas. Temos, neste caso, que Dom(f) = f(x; y) 2R2 j q(x; y) 6= 0g:

Exemplo: f(x; y) =x2y2 + 7y3

xy + x. Observe que

Dom(f) = f(x; y) 2 R2 jx(y + 1) 6= 0g= f(x; y) 2 R2 jx 6= 0 e y 6= 1g

Temos portanto, que o domnio da func~ao e todo planoxy, excetuando as retas x = 0 e y = 1 (gura ao lado).

y

x1

3.5 Curvas de Nvel de Func~oes Reais de Duas Variaveis


Seja f : Dom(f) R2 ! R. Conforme ja sabemos, dado k 2 Im(f), temos que oconjunto de nvel da func~ao f correspondente ao nvel k e o subconjunto do domniodado por

Ck(f) = f(x; y) 2 Dom(f) j f(x; y) = kg:No caso em quest~ao, que e o das func~oes reais de duas variaveis reais, os conjuntosde nvel de f s~ao curvas. Por este motivo, os conjuntos de nvel de func~oes reais deduas variaveis reais s~ao chamados de curvas de nvel. Em alguns casos, temos quecurvas de nvel podem se degenerar em pontos. Conforme mencionado, as curvas denvel s~ao muito uteis para se ter uma vis~ao do comportamento da func~ao. Isto porque,elas nos fornecem todos os pontos do domnio, tais que o valor da func~ao e igual aum determinado real na imagem da func~ao. Desta forma, se, para todo k na imagemda func~ao, conhece^ssemos suas curvas de nvel k, poderamos construir o graco de f\pegando"cada curva de nvel de f e \colocando"na altura z = k.

Observac~ao 3.5.1: Como sabemos que f e constante ao longo das curvas de nvel,observe que duas curvas de nvel de uma func~ao f correspondentes aos nveis k1 e k2,onde k1 6= k2, n~ao podem se interceptar.

Vamos agora fazer alguns exemplos.

Exemplo 3.5.1: Determine e esboce as curvas de nvel das func~oes dadas abaixo.

a) f1(x; y) = x+ y.b) f2(x; y) = x

2 + y2.

c) f3(x; y) =y

x 1.d) f4(x; y) = ln(xy 1).e) f5(x; y) = y

2 x2.f) f6(x; y) =

xy2

x2 + y4.

Soluc~ao:

a) Neste caso, observe que Dom(f1) = R2 e que Im(f1) = R. Desta forma, temos quepara todo k real, o conjunto de nvel k de f1 e dado por

Ck(f1) = f(x; y) 2 R2 jx+ y = kg:

Ou seja, as curvas de nvel k de f1 s~ao retas x+ y = k. Por exemplo,para k = 0, temos a reta y = x;para k = 1, temos a reta y = x+ 1;para k = 2, temos a reta y = x+ 2;para k = 1, temos a reta y = x 1;


para k = 2, temos a reta y = x 2.As curvas de nvel de f1 encontram-se esbocadas abaixo. A curva de nvel k = 0 estaesbocada em azul, as curvas de nvel k > 0 est~ao esbocadas em verde e as curvas denvel k < 0 est~ao esbocadas em rosa.

y

x

b) Neste caso, observe que Dom(f2) = R2 e que Im(f2) = fz 2 R j z 0g. Destaforma, temos que, para todo k 0 real, o conjunto de nvel k de f2 e dado por

Ck(f2) = f(x; y) 2 R2 jx2 + y2 = kg:Observe que, para k = 0, temos apenas o ponto (0; 0), i.e. C0(f2) = f(0; 0)g. Ja parak > 0, temos que as curvas de nvel k > 0 de f2 s~ao circunfere^ncias x

2 + y2 = k, i. e.circunfere^ncias de raio

pk e centro na origem. Por exemplo,

para k = 1, temos a circunfere^ncia x2 + y2 = 1;para k = 2, temos a circunfere^ncia x2 + y2 = 2;para k = 3, temos a circunfere^ncia x2 + y2 = 3;para k = 4, temos a circunfere^ncia x2 + y2 = 4.As curvas de nvel de f2 encontram-se esbocadas abaixo. A curva de nvel k = 0 (aorigem) esta esbocada em azul e as curvas de nvel k > 0 est~ao esbocadas em verde.

y

x

c) Neste caso, observe que

Dom(f3) = f(x; y) 2 R2 jx 6= 1ge que Im(f3) = R. Desta forma, temos que para todo k real, o conjunto de nvel k def3 e dado por

Ck(f3) = f(x; y) 2 Dom(f3) j y = k(x 1)g;ou seja, as curvas de nvel k de f3 s~ao retas y = k(x 1). Por exemplo,para k = 0, temos a reta y = 0;


para k = 1, temos a reta y = x 1;para k = 2, temos a reta y = 2x 2;para k = 1, temos a reta y = x+ 1;para k = 2, temos a reta y = 2x+ 2.As curvas de nvel de f3 encontram-se esbocadas abaixo. As curvas de nvel k = 0(semi-retas) est~ao esbocadas em azul, as curvas de nvel k > 0 (semi-retas) est~aoesbocadas em verde e as curvas de nvel k < 0 (semi-retas) est~ao esbocadas em rosa.

y

x

d) Neste caso, observe que

Dom(f4) = f(x; y) 2 R2 jxy > 1ge que Im(f4) = R. Desta forma, temos que, para todo k real, o conjunto de nvel k def4 e dado por

Ck(f4) = f(x; y) 2 Dom(f4) j ln(xy 1) = kg:Como ln(xy 1) = k , xy 1 = ek , xy = 1+ ek, temos que as curvas de nvel k def s~ao as hiperboles xy = 1 + ek. Por exemplo,para k = 0, temos a hiperbole xy = 2;para k = 1, temos a hiperbole xy = 1 + e;para k = 2, temos a hiperbole xy = 1 + e2;

para k = 1, temos a hiperbole y = xy = 1 + 1e;

para k = 2, temos a hiperbole y = xy = 1 + 1e2.

As curvas de nvel de f4 encontram-se esbocadas abaixo. As curvas de nvel k = 0est~ao esbocadas em azul, as curvas de nvel k > 0 est~ao esbocadas em verde e as curvasde nvel k < 0 est~ao esbocadas em rosa.

y

x

e) Neste caso, observe que Dom(f5) = R2 e que Im(f5) = R. Desta forma, temos que


para todo k real, o conjunto de nvel k de f5 e dado por

Ck(f5) = f(x; y) 2 R2 j y2 x2 = kg:Observe que, para k = 0, temos que y2 x2 = 0 , y2 = x2 , jyj = jxj , y = x ouy = x, i.e. as curvas de nvel zero s~ao as retas y = x e y = x. Ja para k > 0, temosque as curvas de nvel k > 0 de f5 s~ao as hiperboles y

2 x2 = k > 0, i. e. hiperbolescujos focos est~ao no eixo y. Contudo, para k < 0, temos que as curvas de nvel k < 0de f5 s~ao as hiperboles y

2 x2 = k < 0, i. e. hiperboles cujos focos est~ao no eixo x.Por exemplo,para k = 0, temos as retas y = x e y = x;para k = 1, temos a hiperbole y2 x2 = 1;para k = 2, temos a hiperbole y2 x2 = 2;para k = 1, temos a hiperbole x2 y2 = 1;para k = 2, temos a hiperbole x2 y2 = 2.As curvas de nvel de f5 encontram-se esbocadas abaixo. As curvas de nvel k = 0(retas) est~ao esbocadas em azul, as curvas de nvel k > 0 est~ao esbocadas em verde eas curvas de nvel k < 0 est~ao esbocadas em rosa.

y

x

f) Neste caso, observe que Dom(f6) = R2nf(0; 0)g. Como a imagem de f6 n~ao eimediata, diferente do que aconteceu nos exemplos anteriores, vamos deixar para de-termina-la mais tarde. Supondo ent~ao conhecida a imagem de f6, temos que, para todok 2 Im(f6), o conjunto de nvel k de f6 e dado por

Ck(f6) =

(x; y) 2 Dom(f6)

xy2x2 + y4

= k

:

Observe que k = 0 2 Im(f6), e que o conjunto de nvel 0 de f6 e dado porC0(f6) = f(x; y) 2 Dom(f6) jx = 0 ou y = 0g:

Desenvolvendo ent~ao a igualdadexy2

x2 + y4= k, para k 6= 0, temos que

xy2

x2 + y4= k , xy2 = kx2 + ky4 , kx2 y2x+ ky4 = 0:

Resolvendo a equac~ao acima em x, segue que

x =y2 y2p1 4k2

2k:


De posse deste resultado, podemos observar que Im(f6) =

12;1

2

, uma vez que, dado

y real, y 6= 0, temos, pela equac~ao anterior, que para obtermos x real, devemos ter que1 4k2 0 , k2 1

4, jkj 1

2. Sendo assim, para k 2

12;1

2

, k 6= 0, temos que

o conjunto de nvel k de f6 e dado por

Ck(f6) =

(x; y) 2 Dom(f6)

x = y21p1 4k22k

;

ou seja, as curvas de nvel k (k 6= 0) de f6 s~ao as parabolas x = y21p1 4k2

2k

,

com (x; y) 6= (0; 0). Por exemplo,para k = 1=2, temos a parabola x = y2, (x; y) 6= (0; 0);para k = 1=3, temos as parabolas x = y2

3 +

p5

2

!e x = y2

3p5

2

!, (x; y) 6=

(0; 0);para k = 1=4, temos as parabolas x = y2

2 +

p3e x = y2

2p3, (x; y) 6= (0; 0);

para k = 1=2, temos a parabola x = y2, (x; y) 6= (0; 0);para k = 1=3, temos as parabolas x = y2

3 +

p5

2

!e x = y2

3p5

2

!,

(x; y) 6= (0; 0);para k = 1=4, temos as parabolas x = y2 2 +p3 e x = y2 2p3, (x; y) 6=(0; 0);As curvas de nvel de f6 encontram-se esbocadas abaixo.

y

x

Vamos agora passar aos gracos de func~oes reais de duas variaveis. Portanto, e interes-sante que voce^ faca uma revis~ao de planos, cilindros, esferas, superfcies de revoluc~ao esuperfcies quadricas em geral. No Ape^ndice 1, temos uma revis~ao destes topicos. N~aodeixe de estuda-los.

3.6 Gracos de Func~oes Reais de Duas Variaveis


Seja f : Dom(f) R2 ! R. Conforme ja sabemos, temos que o graco da func~ao f eo subconjunto de R3 dado por

Gr(f) = f(x; y; f(x; y)) 2 R3 j (x; y) 2 Dom(f)g:No caso em quest~ao, que e o das func~oes reais de duas variaveis reais, atente para ofato de que os gracos destas func~oes est~ao em R3.

A representac~ao geometrica do graco de uma func~ao de duas variaveis e uma tarefaque pode ser muito difcil. Por isto, em alguns casos nos contentamos em visualizaras curvas de nvel. Vamos agora fazer alguns exemplos que n~ao est~ao entre os maisdifceis.

Exemplo 3.6.1: Determine e esboce os gracos das func~oes dadas abaixo. Use ascurvas de nvel encontradas no Exemplo 3.5.1, se achar necessario.

a) h1(x; y) = x+ y.b) h2(x; y) = x

2 + y2.c) h3(x; y) = y

2 x2.d) h4(x; y) = e

(x2+y2).e) h5(x; y) = 1 y2.f) h6(x; y) =

y

x 1.g) h7(x; y) = ln(xy 1).

Soluc~ao:

a) Temos que o graco de h1 e dado por

Gr(h1) = f(x; y; x+ y) 2 R3 j (x; y) 2 R2g:

Temos portanto, que o graco da func~ao e o plano

z = x+ y;

que e o plano que contem a origem e e perpendicular aosvetores (1; 1;1) e (1;1; 1) (gura ao lado).

x

y

z

b) Temos que o graco de h2 e dado por

Gr(h2) = f(x; y; x2 + y2) 2 R3 j (x; y) 2 R2g:

Temos portanto, que o graco da func~ao e o paraboloidez = x2 + y2 (gura ao lado).

x

y

z


c) Temos que o graco de h3 e dado por

Gr(h3) = f(x; y; y2 x2) 2 R3 j (x; y) 2 R2g:

Temos portanto, que o graco da func~ao e o paraboloidehiperbolico z = y2 x2 (gura ao lado).

xy

z

d) Temos que o graco de h4 e dado por

Gr(h4) =n

x; y; e(x2+y2)

2 R3 j (x; y) 2 R2

o:

Neste caso, observe que, as variaveis x e y so aparece naforma (

px2 + y2)2. Estamos portanto diante de uma

superfcie de revoluc~ao. Desta forma, para descobrir afunc~ao z = f(y) (ou z = f(x)), cuja rotac~ao do gracoresultou na superfcie em quest~ao, vamos substituir otermo (x2 + y2) na express~ao de h4 por y

2 (ou por x2).Encontramos assim, a func~ao z = f(y) = ey

2. Temos

ent~ao, que o graco de h4 e a superfcie gerada pelarotac~ao da curva z = ey

2, no plano yz, em torno do eixo

z (ou, o que da no mesmo, a rotac~ao da curva z2 = ex2,

no plano xz, em torno do eixo z) (gura ao lado).

xy

z

e) Temos que o graco de h5 e dado por

Gr(h5) =x; y; 1 y2 2 R3 j (x; y) 2 R2 :

Neste caso, observe que, no plano yz, a equac~ao z =1 y2, e a equac~ao de uma parabola. Portanto, em R3,a equac~ao z = 1 y2 e a equac~ao de um cilindro cujadiretriz e a parabola z = 1 y2, no plano yz, e cujageratriz e paralela ao eixo x. Este cilindro e chamadode cilindro parabolico (gura ao lado).

x y

z


f) Temos que o graco de h6 e dado por

Gr(h6) =

x; y;

y

x 12 R3 jx 6= 1

:

Lembre-se que vimos, no Exemplo 3.3.1 (e), queDom(h6) = f(x; y) 2 R2 jx 6= 1g. Na gura ao lado,temos o graco esbocado pelo Maple V. Embora sejadifcil visualizar, procure observar que a reta dada pelaintersec~ao dos planos x = 1 e y = 0 n~ao pertence aograco da func~ao. Alem disso, temos que o graco de h6n~ao intercepta o plano x = 1 e, quanto mais os pontos dodomnio se aproximam da reta x = 1, maior ca o valorda func~ao. Imagine mais ou menos uma \vareta"que aomesmo tempo que gira em torno da reta x = 1, y = 0,vai levantando uma extremidade e abaixando a outra.Note tambem, que o processo de \colocar"as curvas denvel k na altura z = k, facilita a visualizac~ao do graco.

x

y

z

g) Temos que o graco de h7 e dado por

Gr(h7) = f(x; y; ln(xy 1)) 2 R3 j (x; y) 2 Dom(f4)g:

Lembre-se que vimos, no Exemplo 3.3.1 (f), queDom(h7) = f(x; y) 2 R2 j xy > 1g. Na gura ao ladotemos o esboco do graco da func~ao realizado pelo Ma-ple V. Apesar de ser de difcil visualizac~ao, observe queo processo de \colocar"as curvas de nvel k na alturaz = k, faz com que o graco de h7 esbocado parecabastante razoavel.

x

y

z

~

Vamos agora nos concentrar em func~oes reais de tre^s variaveis reais.

3.7 Func~oes Reais de Tre^s Variaveis Reais

Vamos estudar agora com mais detalhes as func~oes reais de tre^s variaveis reais. Isto e,func~oes f da forma

f : Dom(f) R3 ! R(x; y; z) 7! f(x; y; z):

Vamos iniciar identicando e esbocando o domnio de algumas func~oes de tre^s variaveis


reais.

Exemplo 3.7.1: Determine e esboce o domnio das func~oes denidas pelas express~oesabaixo.

a) f1(x; y; z) =p1 x2 y2 z2.

b) f2(x; y; z) =p1 z.

c) f3(x; y; z) =1p

1 x y z , x 0, y 0 e z 0.

Soluc~ao:

a) Neste caso, para podermos calcular a raiz de 1x2y2 z2, que aparece na express~ao de f1, devemos ter1 x2 y2 z2 0. Desta forma, segue que

Dom(f1) = f(x; y; z) 2 R3 jx2 + y2 + z2 1g:

Temos portanto, que o domnio da func~ao e a esferax2 + y2 + z2 = 1 e seu interior (gura ao lado).

xy

z

b) Neste caso, para podermos calcular a raiz de 1 zque aparece na express~ao de f2, devemos ter 1 z 0.Portanto, segue que

Dom(f2) = f(x; y; z) 2 R3 j z 1g:

Temos portanto, que o domnio da func~ao f2 e a regi~aodo espaco abaixo do plano z = 1, incluindo o proprioplano z = 1.

xy

1

z

c) Neste caso, para podermos calcular a raiz de 1xyz que aparece na express~ao de f3, devemos ter 1xyz 0. Alem disso, como o termop1 x y z esta nodenominador da func~ao f3, e necessario ter 1xyz 6=0. Portanto, segue que

Dom(f3) = f(x; y; z) 2 R3 jx+y+z < 1; x 0; y 0 e z 0g:

Temos portanto, que o domnio da func~ao f3 e a regi~aodo primeiro octante limitada pelo do plano x+y+z = 1,excluindo o proprio plano x+ y + z = 1.

xy

11

1

z

~

3.8 Exemplos de Func~oes Reais de Tre^s Variaveis Re-ais


Veremos a seguir exemplos de alguns tipos de func~oes reais de tre^s variaveis reais.

Exemplo 3.8.1: (Func~ao Polinomial) Uma func~ao polinomial de tre^s variaveis reaisa valores reais e uma func~ao f : R3 ! R dada por

f(x; y; z) =X

m+n+kpamnkx

nymzk;

onde p e um natural xo e os coecientes amnk s~ao numeros reais dados. A soma eestendida a todas soluc~oes (m;n; k), m, n e k naturais, da inequac~ao m+ n+ k p.

Exemplo: f(x; y; z) = 2x5y2z + x2y3z3 + z2.

Exemplo 3.8.2: (Func~ao Am) Uma func~ao am de tre^s variaveis reais a valoresreais e uma func~ao f : R3 ! R dada por

f(x; y; z) = ax+ by + cz + d;

onde a, b, c e d s~ao numeros reais dados.

Exemplo: f(x; y; z) = 2x+ 7y +

p5

7z + 3.

Exemplo 3.8.3: (Func~ao Linear) Uma func~ao linear de tre^s variaveis reais a valoresreais e uma func~ao f : R3 ! R dada por

f(x; y; z) = ax+ by + cz;

onde a, b e c s~ao numeros reais dados.

Exemplo: f(x; y; z) = 2x+2p3y + z.

Exemplo 3.8.4: (Func~ao Racional) Uma func~ao racional de tre^s variaveis reais avalores reais e uma func~ao f : Dom(f) R3 ! R dada por

f(x; y; z) =p(x; y; z)

q(x; y; z);

onde p e q s~ao func~oes polinomiais dadas. Temos, neste caso, queDom(f) = f(x; y; z) 2R3 j q(x; y; z) 6= 0g:

Exemplo: f(x; y; z) =x2y2 + 7y3 + z2

xy + xz. Neste caso, observe que

Dom(f) = f(x; y; z) 2 R3 jxy + xz 6= 0g= f(x; y; z) 2 R3 jx(y + z) 6= 0g= f(x; y; z) 2 R3 jx 6= 0 e y + z 6= 0g:


Portanto, o domnio de f e todo R3, menos o plano x = 0 e plano y + z = 0.

3.9 Superfcies de Nvel de Func~oes Reais de Tre^sVariaveis

Seja f : Dom(f) R3 ! R. Conforme ja sabemos, dado k 2 Im(f), temos que oconjunto de nvel da func~ao f correspondente ao nvel k e o subconjunto do domniodado por

Sk(f) = f(x; y; z) 2 Dom(f) j f(x; y; z)) = kg:No caso em quest~ao, que e o das func~oes reais de tre^s variaveis reais, os conjuntos denvel de f s~ao superfcies. Por este motivo, os conjuntos de nvel de func~oes reais detre^s variaveis reais s~ao chamados de superfcies de nvel. Em alguns casos, temos quesuperfcies de nvel podem se degenerar em curvas e ate em pontos.

Observac~ao 3.9.1: Como sabemos que f e constante ao longo das superfcies de nvel,observe que duas superfcies de nvel de uma func~ao f correspondentes aos nveis k1 ek2, onde k1 6= k2, n~ao podem se interceptar.

Vamos agora fazer alguns exemplos.

Exemplo 3.9.1: Determine e esboce as superfcies de nvel das func~oes dadas abaixo.

a) h1(x; y; z) = x.b) h2(x; y; z) = x

2 + y2.c) h3(x; y; z) = x

2 + 4y2 + z2.

d) h4(x; y; z) =1p

1 x y z , x 0, y 0 e z 0.e) h5(x; y; z) = x

2 + y2 z2.

Soluc~ao:


a) Neste caso, observe que Dom(h1) = R3 e queIm(h1) = R. Desta forma, temos que para todo k real,as superfcies de h1 correspondentes ao nvel k s~ao dadaspor

Sk(h1) = f(x; y; z) 2 R3 j x = kg;ou seja, as superfcies de nvel de h1 s~ao planos paralelosao plano yz. Por exemplo,para k = 0, temos o plano x = 0;para k = 1, temos o plano x = 1;para k = 2, temos o plano x = 2;para k = 1, temos o plano x = 1;para k = 2, temos o plano x = 2.As superfcies de nvel de h1 encontram-se esbocadas aolado.

xy

z

b) Neste caso, observe que Dom(h2) = R3 e que a ima-gem de h2 e

Im(h2) = fk 2 R j k 0g:

Desta forma, temos que para todo k 0, as superfciesde nvel de h2 correspondentes ao nvel k s~ao dadas por

Sk(h2) = f(x; y; z) 2 R3 j x2 + y2 = kg:

Observe que para k = 0, temos que a superfcie denvel de h2 e da forma x

2 + y2 = 0, o que correspondeao eixo z. Ja para cada k > 0, temos que a superfciede nvel de h2 correspondente ao nvel k e da formax2+y2 = k > 0, o que corresponde a cilindros circularesretos conce^ntricos (gura ao lado). De fato, porexemplopara k = 0, temos x2 + y2 = 0 , x = 0 e y = 0, que ea reta (x; y; z) = (0; 0; z), z 2 R;para k = 1, temos o cilindro x2 + y2 = 1;para k = 2, temos o cilindro x2 + y2 = 2;para k = 3, temos o cilindro x2 + y2 = 3.

xy

z


c) Neste caso, observe que Dom(h3) = R3 e que a ima-gem de h3 e

Im(h3) = fk 2 R j k 0g:

Desta forma, temos que para todo k 0, as superfciesde nvel de h3 correspondentes ao nvel k s~ao dadas por

Sk(h3) = f(x; y; z) 2 R3 jx2 + 4y2 + z2 = kg:

Observe que para k = 0, temos que a superfcie de nvelde h3 se degenera em apenas um ponto, que e a origem(0; 0; 0). Ja para cada k > 0, temos que a superfciede nvel de h3 correspondente ao nvel k e da formax2 + 4y2 + z2 = k > 0, o que corresponde a elipsoidesconcentricos (gura ao lado). De fato, por exemplopara k = 0, temos x2 + 4y2 + z2 = 0 , x = 0, y = 0 ez = 0, que e a origem (0; 0; 0);para k = 1, temos o elipsoide x2 + 4y2 + z2 = 1;para k = 2, temos o elipsoide x2 + 4y2 + z2 = 2;para k = 3, temos o elipsoide x2 + 4y2 + z2 = 3.

x y

z

d) Neste caso, observe que

Dom(h4) = f(x; y; z) 2 R3 j x+ y + z < 1; x 0; y 0; z 0ge que a imagem de h4 e

Im(h4) = fk 2 R j k 1g:De fato, como x + y + z < 1, x 0, y 0, z 0, temos que 0 x + y + z < 1 ,1 < x y z 0 , 0 < 1 x y z 1, de modo que 1

1 x y z 1 e,

portanto,1p

1 x y z 1. Desta forma, temos que, para todo k 1, as superfciesde nvel de h4 correspondentes ao nvel k s~ao dadas por

Sk(h4) =

(x; y; z) 2 Dom(h4)

1p1 x y z = k

=

(x; y; z) 2 Dom(h4)

p1 x y z = 1k

=

(x; y; z) 2 Dom(h4)

1 x y z = 1k2

=

(x; y; z) 2 Dom(h4)

x+ y + z = 1 1k2

Portanto, temos que as superfcies de nvel de h4 correspondentes ao nvel k (k 1)s~ao da forma x + y + z = 1 1

k2, o que corresponde a planos paralelos ao plano


x+ y + z = 1, contidos no tetraedro x+ y + z < 1, x 0, y 0, z 0 (excetuando aface x+ y + z = 1) (gura abaixo). Por exemplo,para k = 1, temos x+ y + z = 0 , x = 0, y = 0 e z = 0, pois x 0, y 0, z 0;para k = 2, temos o plano x+ y + z = 1 1

4;

para k = 3, temos o plano x+ y + z = 1 19;

para k = 4, temos o plano x+ y + z = 1 116

.

x1

y

1

1

z

e) Neste caso, observe que Dom(h5) = R3 e queIm(h5) = R. Desta forma, temos que para todo k real,as superfcies de nvel de h5 correspondentes ao nvel ks~ao da forma

Sk(h5) = f(x; y; z) 2 R3 jx2 + y2 z2 = kg:

Portanto, vamos ter tre^s casos diferentes:{ para k = 0, temos que as superfcie de nvel de h5 e ocone x2 + y2 z2 = 0;{ para cada k > 0, temos que a superfcie de nvel de h5correspondente ao nvel k e da forma x2+ y2 z2 = jkj.Temos assim, que as superfcies de nvel de h5 s~aohiperboloides de duas folhas;{ para cada k < 0, temos que a superfcie de nvel de h5correspondente ao nvel k e da forma z2 x2 y2 = jkj.Temos assim, que as superfcies de nvel de h5 s~aohiperboloides de uma folha.

x

y

z


xy

z

x

y

z

x

y

z

3.10 Gracos de Func~oes Reais de Tre^s Variaveis

Seja f : Dom(f) R3 ! R. Conforme ja sabemos, temos que o graco da func~ao f eo subconjunto de R4 dado por

Gr(f) = f(x; y; z; f(x; y; z)) 2 R4 j (x; y; z) 2 Dom(f)g:No caso em quest~ao, que s~ao o das func~oes reais de tre^s variaveis reais, atente para ofato de que os gracos destas func~oes est~ao em R4, de modo que n~ao e possvel esboca-los.

Exemplo 3.10.1: Determine o graco da func~ao f(x; y; z) = x2 + y2.

Soluc~ao: Gr(f) = f(x; y; z; x2 + y2) 2 R4 j (x; y; z) 2 R3g:

3.11 Exerccios

Exerccio 3.11.1: Determine e esboce as curvas de nvel da func~ao f(x; y) = ex2y.

Resposta: Temos que Dom(f) = R2 e Im(f) = (0;1). As curvas de nvel k, parak > 0, s~ao dadas por

Ck(f) = f(x; y) 2 R2 j ex2y = kg= f(x; y) 2 R2 jx2y = ln kg:

Observe que se k = 1, temos que x2y = 0 , x = 0 ou y = 0. Portanto, as curvas denvel 1 de f s~ao os eixos coordenados. Se 0 < k < 1 ou se k > 1, as curvas de nvel de

f s~ao dadas pela equac~ao y =ln k

x2. Note que se 0 < k < 1, ln k < 0, de modo que as


curvas est~ao abaixo do eixo x e se k > 1, ln k > 0, de modo que as curvas est~ao acimado eixo x. Abaixo temos um esboco das curvas de nvel.

As curvas de nvel k = 1 (eixos coordenados) est~ao esbocadas em azul, as curvas de nvelk > 1 est~ao esbocadas em verde e as curvas de nvel 0 < k < 1 est~ao esbocadas em rosa.

y

x

Exerccio 3.11.2: Determine e esboce as curvas de nvel da func~ao f(x; y) =xy

x+ y.

Resposta: Inicialmente, observe que

Dom(f) = f(x; y) 2 R2 j y 6= xg

e que Im(f) = R. Desta forma, temos que, para todo k real, o conjunto de nvel k def e dado por

Ck(f) =

(x; y) 2 Dom(f) j xy

x+ y= k

:

Para k = 0, temos que as curvas de nvel zero de f s~ao as semi-retas x = 0 e y = 0,

(x; y) 6= (0; 0). Ja se k 6= 0, temos que xyx+ y

= k , xy = k(x + y) , y(x k) = kx,

x 6= y. Portanto, a curva de nvel k 6= 0 de f e o graco das func~ao gk(x) = kxx k ,

x 6= k, retirando os pontos que pertencem a reta x = y (pois estes pontos n~aopertencem ao domnio de f). Para descobrir que pontos do graco de gk devem serretirados, procedemos com a seguir.

x 6= y e y = kxx k , x 6=

kx

x k , x2 kx 6= kx, x 6= 0:

Desta forma, ent~ao temos que as curvas de nvel zero de f s~ao as semi-retas x = 0 ey = 0, (x; y) 6= (0; 0) e que as curvas de nvel k 6= 0 de f s~ao formadas pelos gracosdas func~ao gk(x) =

kx

x k , x 6= k, retirando-se a origem.

Abaixo, temos exemplos de curvas de nvel de f relativas a diferentes valores de kescolhidos.

Para k = 1, a curva de nvel de f e dada por y =x

x 1, com x 6= 0.


Para k = 2, a curva de nvel de f e dada por que y =2x

x 2, com x 6= 0.

Para k = 3, a curva de nvel de f e dada por que y =3x

x 3, com x 6= 0.Para k = 1, a curva de nvel de f e dada por que y = x

x+ 1, com x 6= 0.

Para k = 2, a curva de nvel de f e dada por que y = 2xx+ 2

, com x 6= 0.Para k = 3, a curva de nvel de f e dada por que y = 3x

x+ 3, com x 6= 0.

Algumas curvas de nvel de f encontram-se esbocadas abaixo.

y

x

Exerccio 3.11.3: Determine e esboce o graco e as curvas de nvel da func~ao

f(x; y) =

4x2 + 9y2; se 4x2 + 9y2 36

72 (4x2 + 9y2); se 36 4x2 + 9y2 72 ;

.

x y

z

Exerccio 3.11.4: Faca os exerccios da Lista 1 do GMA.

calc 2b - funções reais de duas variáveis reais nova

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