zeros reais de funÇÕes reais

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ZEROS REAIS DE FUNÇÕES REAIS. -b + b 2 – 4ac 2a. x =. PROBLEMA. “determinar um número que somado ao seu quadrado é igual a 12”. x + x 2 = 12. Equações como esta são de fácil solução pois, após um árduo trabalho, matemáticos já descobriram uma fórmula para resolve-la. - PowerPoint PPT Presentation

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  • PROBLEMAdeterminar um nmero que somado ao seu quadrado igual a 12. x + x2 = 12 Equaes como esta so de fcil soluo pois, aps um rduo trabalho, matemticos j descobriram uma frmula para resolve-la. Entretanto, equaes como x6 + 2x 1 = 0, no possvel resolver por meio de frmula.(ainda no foi descoberta uma frmula).

    J existe frmula para soluo de equaes do terceiro grau. Faa uma pesquisa na Internet.

  • RAZES OU ZEROS DE UMA FUNO REAL Seja f(x) = 0 uma funo com coeficientes reais, domnio R ou parte de R e contradomnio R ou parte de R. Tais funes so denominadas funes reais.Definio 1 Dizemos que r raiz ou zero da equao f(x) = 0 se f(r) = 0.Anlise grfica Exemplo: f(x) = 6x + ln x2 uma funo real; f(x) = 3iz2 + 4z + 2i com i = -1 no funo real.

  • DETERMINAO DE RAZES REAIS 1 fase: - Localizao ou isolamento das razes. 2 fase: - Refinamento. Nesta fase procura-se obter um intervalo que contenha a raiz. Usa-se um intervalo para cada raiz.

    Nesta fase, escolhida uma aproximao inicial no intervalo estabelecido na fase 1, melhora-se a aproximao por processo iterativo (usando a aproximao anterior) at que se obtenha uma raiz dentro da aproximao ou preciso prefixada.

  • ISOLAMENTO DAS RAZES se f(x) uma funo contnua no intervalo [a, b] e f(a).f(b) < 0 ento existe pelo menos um valor r entre a e b que zero de f(x). f(x1) . f(x2) < 0 existe pelo menos uma raiz entre x1 e x2.f(x3) . f(x4) > 0 no existe raiz.f(x2) . f(x5) > 0 existe um nmero par de razes.

  • f(x) = x3 8x + 6 Observando a tabela verifica-se que ocorre mudana de sinal nos intervalos [-4, -3], [0, 1] e [2, 3]. Como a funo polinomial do terceiro grau, teremos apenas 1 raiz em cada um dos intervalo. f(x) = 50x3 65x2 + 26x 3. Observa-se na tabela apenas uma mudana de sinal no intervalo [0, 1]. Pode-se esperar que exista 1ou 3 razes nesse intervalo.USANDO TABELAS

  • Devido a incerteza, vamos analisar os intervalos onde a funo estritamente crescente ou decrescente. Vamos completar a tabela com os valores de x e f(x) para 0,31 e 0,554. Da nova tabela pode-se concluir que existe uma raiz em cada um dos intervalos [0, 031], [0,31; 0,554] e [0,554; 1].Para isso, podemos derivar a funo e fazer uma anlise da mesma.Derivando f(x) = 50x3 65x2 + 26x 3.Estudando a variao do sinal de f'(x): = 1302 4.150.26 = 1300 x1 (130 + 36,05)/300 = 0,554 e x2 = (130 - 36,05)/300 = 0,31.Como, na derivada a > 0, teremos: f(x) > 0 (funo crescente) para x < 0,31 ou x > 0,554 e f(x) < 0 (decrescente) para 0,31 < x < 0,554.f(x) = 150x2 130x + 26.

  • USANDO GRFICOSf(x) = 50x3 65x2 + 26x 3 No intervalo [0, 1] existem trs razes.

  • MODIFICANDO A FUNOUma equao do tipo f(x) = 0 pode ser escrita na forma f(x) = g(x) - h(x) = 0. Em conseqncia teremos g(x) = h(x). Construindo os grficos de g(x) e h(x) em um mesmo sistema de eixos, as intersees dos dois grficos fornecem as razes de f(x). Seja, por exemplo: f(x) = x2 6x - ln (2x + 8). Fazendo g(x) = x2 6x (em azul) e h(x) = ln(2x + 8) (em vermelho),Teremos f(x) = g(x) h(x). Fazendo f(x) = 0, g(x) = h(x).Analisando o grfico observa-se que as curvas se interceptam nos intervalos [-1, 0] e [6, 7]. Existindo portanto, uma raiz em cada um dos intervalos.

  • MTODO DA BISSECO f(x) = x2 6x + 5,76Tem uma raiz no intervalo [1, 2] e outra no intervalo [4, 5].

  • Vamos determinar a raiz no intervalo [1, 2].Toma-se como primeira aproximao o ponto mdio do intervalo [1, 2].Raiz = 1,21875

  • 1- Escreva a equao na forma f(x) = 0. (no caso 2x 6 = 0)Resoluo da equao 2x = 6 2 No construtor grfico construa o grfico de f(x).Usaremos o intervalo [2, 7]. Podeser qualquer outro.

  • 4 - Substitua as clulas C5 e E5 pelos limites do intervalo.5 - Preencha a clula F5 com a frmula da funo. 7 - Copie as clulas F5, G5, H5 para as linhas seguintes at o final.7 - Marque na clula K5 a preciso desejada.8 - Se na coluna J for exibida a informao "raiz exata", no considerar as linhas seguintes.O x da equao substitudo pela Identificao da clula. No caso, C5.Na clula deve ser digitado: =2*C5 - 66 - Copie a clula F5 para as clulas G5 e H5. A raiz, dentro da preciso estabelecida : 3,00.Como a preciso 0,01, o resultado deve ser dado com duas casas decimais.

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