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PROVA DE MATEMÁTICA DA UNICAMP VESTIBULAR– 2011 – 2a Fase

RESOLUÇÃO: Profa. Maria Antônia Gouveia.

13. Uma empresa imprime cerca de 12.000 páginas de relatórios por mês, usando uma impressora jato de tinta colorida. Excluindo a amortização do valor da impressora, o custo de impressão depende do preço do papel e dos cartuchos de tinta. A resma de papel (500 folhas) custa R$ 10,00. Já o preço e o rendimento aproximado dos cartuchos de tinta da impressora são dados na tabela abaixo.

Cartucho (cor/modelo)

Preço (R$)

Rendimento (páginas)

Preto BR R$ 90,00 810

Colorido BR R$ 120,00 600 Preto AR R$ 150,00 2400

Colorido AR R$ 270,00 1200 a) Qual cartucho preto e qual cartucho colorido a empresa deveria usar para o custo por página ser o menor possível? b) Por razões logísticas, a empresa usa apenas cartuchos de alto rendimento (os modelos do tipo AR) e imprime apenas em um lado do papel (ou seja, não há impressão no verso das folhas). Se 20% das páginas dos relatórios são coloridas, quanto a empresa gasta mensalmente com impressão, excluindo a amortização da impressora? Suponha, para simplificar, que as páginas coloridas consomem apenas o cartucho colorido. RESOLUÇÃO:

Cartucho (cor/modelo)

Preço (R$)

Rendimento (páginas)

Custo por página (R$)

Preto BR R$ 90,00 810 R$90/810 ≈ R$0, 11 Colorido BR R$ 120,00 600 R$ 120/600 = R$0,20

Preto AR R$ 150,00 2400 R$ 150,00/2400 = R$0,0625

a)

Colorido AR R$ 270,00 1200 R$ 270,00/1200 = R$0,225

RESPOSTA: O cartucho preto AR e o cartucho colorido BR. b)

• A empresa imprime cerca de 12.000 páginas de relatórios por mês. Gasta então (12.000/500) = 24 resmas de papel ofício por mês. O custo da compra de papel é então: (24 × R$10,00) = R$240,00.

• Na impressão usa cartuchos tipo AR. • Das 12.000 páginas, 0,20 × 12.000 = 2.400 são impressas com tinta colorida e

0,80 × 12.000 = 9.600 com tinta preta, acarretando um custo de (R$ 0,225 × 2.400 + R$0,0625 × 9.600) = R$540,00 + R$600, = R$1.140,00.

• CUSTO TOTAL COM O MATERIAL PARA A IMPRESSÃO: R$240,00 + R$1.140,00 = R$ 1.380,00

RESPOSTA: A empresa gasta mensalmente com impressão, excluindo a amortização da impressora, R$1.380,00.

2

14. Uma grande preocupação atual é a poluição, particularmente aquela emitida pelo crescente número de veículos automotores circulando no planeta. Ao funcionar, o motor de um carro queima combustível, gerando CO2 , além de outros gases e resíduos poluentes. a) Considere um carro que, trafegando a uma determinada velocidade constante, emite 2,7 kg de CO2 a cada litro de combustível que consome. Nesse caso, quantos quilogramas de CO2 ele emitiu em uma viagem de 378 km, sabendo que fez 13,5 km por litro de gasolina nesse percurso? b) A quantidade de CO2 produzida por quilômetro percorrido depende da velocidade do carro. Suponha que, para o carro em questão, a função c(v) que fornece a quantidade de CO2 , em g/km, com relação à velocidade v, para velocidades entre 20 e 40 km/h, seja dada por um polinômio do segundo grau. Determine esse polinômio com base nos dados da tabela abaixo.

Velocidade (km/h)

Emissão de CO2 (g/km)

20 400 30 250 40 200

RESOLUÇÃO: a) Se o carro numa viagem de 378 km, consumiu 1 litro de gasolina a cada 13,5 km do percurso, então ao todo consumiu (378/13,5) = 28 litros do combustível. Considerando que o carro desenvolveu em todo o percurso uma velocidade constante, e que nessas condições, emitiu 2,7 kg de CO2 a cada litro de combustível que consumiu, então nessa viagem ele emitiu (2,7 kg × 28) = 75,6 kg de CO2. RESPOSTA: Emitiu 75,6 kg de CO2. b) Considere-se que c(v) = av2 + bv + c. Pela tabela, c(20) = 400, c(30) = 250 e c(40) = 200, então:

⇒

=

=

⇒−

−=+

−=+⇒

−−

=++

=++

=++

2

1a

5a10)LL(

10ba60

5ba70

20

LL;

10

LL

200cb40a1600

250cb30a900

400cb20a400

211323

−=

−=+⇒

−=+

−=+

40b

5b35

5b2

170

5ba70

e ( )

=

=+−⇒

=+−+

=++

1000c

400c800200

400c40202

1400

400cb20a400

.

Logo, 1000v40v2

1)v(c 2

+−=

RESPOSTA: O polinômio é 100040vv21

c(v) 2 +−= .

15. O perfil lipídico é um exame médico que avalia a dosagem dos quatro tipos principais de gorduras (lipídios) no sangue: colesterol total (CT), colesterol HDL (conhecido como “bom colesterol”), colesterol LDL (o “mau colesterol”) e triglicérides (TG). Os valores desses quatro indicadores estão relacionados pela fórmula de Friedewald: CT = LDL + HDL + TG/5. A tabela abaixo mostra os valores normais dos lipídios sanguíneos para um adulto, segundo o laboratório SangueBom.

Indicador Valores normais CT Até 200 mg/dl

LDL Até 130 mg/dl HDL Entre 40 e 60 mg/dl TG Até 150 mg/dl

3

a) O perfil lipídico de Pedro revelou que sua dosagem de colesterol total era igual a 198 mg/dl, e que a de triglicérides era igual a 130 mg/dl. Sabendo que todos os seus indicadores estavam normais, qual o intervalo possível para o seu nível de LDL? b) Acidentalmente, o laboratório SangueBom deixou de etiquetar as amostras de sangue de cinco pessoas. Determine de quantos modos diferentes seria possível relacionar essas amostras às pessoas, sem qualquer informação adicional. Na tentativa de evitar que todos os exames fossem refeitos, o laboratório analisou o tipo sanguíneo das amostras, e detectou que três delas eram de sangue O+ e as duas restantes eram de sangue A+. Nesse caso, supondo que cada pessoa indicasse seu tipo sanguíneo, de quantas maneiras diferentes seria possível relacionar as amostras de sangue às pessoas? RESOLUÇÃO:

Indicador Valores normais CT Até 200 mg/dl

LDL Até 130 mg/dl HDL Entre 40 e 60 mg/dl TG Até 150 mg/dl

a) Como CT = LDL + HDL + TG/5, e o perfil lipídico de Pedro revelou que sua dosagem de colesterol total era igual a 198 mg/dl, e que a de triglicérides era igual a 130 mg/dl:

LDL172HDL172HDLLDL5

130HDLLDL198 −=⇒=+⇒++= .

Se todas os indicadores de Pedro estão normais, 40 ≤ HDL ≤ 60 ⇒ 40 ≤ LDL172 − ≤ 60 ⇒

132LDL112112LDL

132LDL

60LDL172

40LDL172≤≤⇒

≥

≤⇒

≤−

≥−

RESPOSTA: O intervalo possível para o nível de LDL de Pedro é: 112 ≤≤≤≤ LDL ≤≤≤≤ 130 (considerando que todas as suas taxas estão normais). b) Sem qualquer informação adicional, seria possível relacionar essas amostras às cinco pessoas, de 5! = 120 modos diferentes. Tendo o laboratório analisado o tipo sanguíneo das amostras, e detectado que três delas eram de sangue O+ e as duas restantes eram de sangue A+, e levando em conta que cada pessoa tivesse indicado o seu tipo sanguíneo, seria possível relacionar as amostras de sangue às pessoas, de (3! ×××× 2!) = 12 maneiras diferentes. 16. Um grupo de pessoas resolveu encomendar cachorros-quentes para o lanche. Entretanto, a lanchonete enviou apenas 15 sachês de mostarda e 17 de catchup, o que não é suficiente para que cada membro do grupo receba um sachê de cada molho. Desta forma, podemos considerar que há três subgrupos: um formado pelas pessoas que ganharão apenas um sachê de mostarda, outro por aquelas que ganharão apenas um sachê de catchup, e o terceiro pelas que receberão um sachê de cada molho. a) Sabendo que, para que cada pessoa ganhe ao menos um sachê, 14 delas devem receber apenas um dos molhos, determine o número de pessoas do grupo. b) Felizmente, somente 19 pessoas desse grupo quiseram usar os molhos. Assim, os sachês serão distribuídos aleatoriamente entre essas pessoas, de modo que cada uma receba ao menos um sachê. Nesse caso, determine a probabilidade de que uma pessoa receba um sachê de cada molho. RESOLUÇÃO:

4

a)

Considere-se como A o conjunto das pessoas que receberão sachês de catchup e como B o conjunto das 15 pessoas que receberão sachês de mostarda, e A∪B, o conjunto de todas as pessoas que fizeram a encomenda. Levando agora em conta que 14 das pessoas que encomendaram cachorro-quente, devem receber apenas um dos molhos, tem-se; (17 – x) + (15 – x) = 14 ⇒ 2x = 32 – 14 ⇒ x = 9. Então o número de pessoas que fizeram a encomenda é 8 + 9 + 6 = 23

RESPOSTA: o número de pessoas que fizeram a encomenda é 23. b) Da mesma forma, seja A o conjunto das pessoas que receberão sachês de catchup, B o conjunto das 15 pessoas que receberão sachês de mostarda, e A∪B, o conjunto das 19 pessoas que quiseram usar os molhos. Então, (17 – x) + x +(15 – x) = 19 ⇒ 32 – x = 19 ⇒x = 13. Ou seja, 13 pessoas receberão dois saches (um sachê de cada molho).

RESPOSTA: Como os saches serão distribuídos aleatoriamente, a probabilidade de que uma

pessoa receba dois saches, um sachê de cada molho, é: 19

13p = .

17. No mês corrente, uma empresa registrou uma receita de R$ 600 mil e uma despesa de R$ 800 mil. A empresa estuda, agora, alternativas para voltar a ter lucro. a) Primeiramente, assuma que a receita não variará nos próximos meses, e que as despesas serão reduzidas, mensalmente, em exatos R$ 45 mil. Escreva a expressão do termo geral da progressão aritmética que fornece o valor da despesa em função de n, o número de meses transcorridos, considerando como mês inicial o corrente. Calcule em quantos meses a despesa será menor que a receita. b) Suponha, agora, que a receita aumentará 10% a cada mês, ou seja, que a receita obedecerá a uma progressão geométrica (PG) de razão 11/10. Nesse caso, escreva a expressão do termo geral dessa PG em função de n, o número de meses transcorridos, considerando como mês inicial o corrente. Determine qual será a receita acumulada em 10 meses. Se necessário, use 1,12 = 1,21; 1,13 ≈ 1,33 e 1,15 ≈ 1,61. RESOLUÇÃO: a) Considere-se a sequência (an ) = (800, 800 – 1.45, 800 – 2. 45, ..., 800 – n.45) cujos termos são as despesas em cada um dos n meses em que a empresa está buscando voltar a ter lucro. Essa sequência, que é uma P.A. onde a1 = 800, e a razão é – 45. A empresa voltará a ter lucro no mês em que a despesa (800 – n.45) for menor que a receita. Considere-se então 800 – n.45 < 600 ⇒ 45n > 200 ⇒ n > 4,44 ⇒ n =5. RESPOSTA: Em 5 meses.

b) O termo geral da P.G. em função do número n de meses, será R(n) = 1n

10

11000.600

−

× .

A receita acumulada em 10 meses será dada pela relação: ( )

1,11

1,11600000S

10

10−

−= .

( )( ) ( )( )( )

⇒−

−≈

−

−

=−

−=

1,0

61,11600000

1,0

1,11600000

1,11

1,11600000S

225

10

10

( ) ( )9.552.600

1,0

1,5921600000

0,1

2,59211600000S10 =

−

−=

−

−=

RESPOSTA: A receita acumulada ao final de 10 meses será de R$9.552.600,00.

5

18. Define-se como ponto fixo de uma função f o número real x tal que f(x) = x. Seja dada a função

1

2

1x

1+

+

=f(x)

a) Calcule os pontos fixos de f(x). b) Na região quadriculada abaixo, represente o gráfico da função f(x) e o gráfico de g(x) = x, indicando explicitamente os pontos calculados no item (a).

RESOLUÇÃO:

a) ⇒= xf(x) x1

2

1x

1=+

+

⇒ ⇒

+=++

2

1xx

2

1x1 ⇒+=+

2

xxx

2

3 2

⇒+=+ xx2x23 2 ⇒=−− 03xx2 2 ⇒+±

=4

2411x

2

3 ou x 1x =−= .

RESPOSTA: Os pontos fixos de 1

21x1f(x) +

+

= são

23 x e 1x =−= .

b) O gráfico pode ser obtido através do movimento de gráficos:

I – O gráfico de x

1)x(f =

6

II- O gráfico de

+

=

2

1x

1)x(f pelo

deslocamento do gráfico de x

1)x(f = ,

2

1 para a

esquerda.

III- O gráfico de 1

2

1x

1)x(f +

+

= pelo

deslocamento do gráfico de

+

=

2

1x

1)x(f , 1

para cima.

Finalmente traçando a reta y – x = 0 tem-se os gráficos pedidos com o destaque dos pontos pedidos no item a

7

19. Considere uma gangorra composta por uma tábua de 240 cm de comprimento, equilibrada, em seu ponto central, sobre uma estrutura na forma de um prisma cuja base é um triângulo equilátero de altura igual a 60 cm, como mostra a figura. Suponha que a gangorra esteja instalada sobre um piso perfeitamente horizontal.

a) Desprezando a espessura da tábua e supondo que a extremidade direita da gangorra está a 20cm do chão, determine a altura da extremidade esquerda. b) Supondo, agora, que a extremidade direita da tábua toca o chão, determine o ângulo α formado entre a tábua e a lateral mais próxima do prisma, como mostra a vista lateral da gangorra, exibida abaixo.

RESOLUÇÃO: a) Os triângulos retângulos ABC e CDE são

retângulos semelhantes (o ângulo agudo ACB é comum)

. 80x2

1

x

40

2

1

AB

ED

2

1

BC

CE=⇒=⇒=⇒= .

A distância do ponto B ao solo é então, 80 +20 = 100 RESPOSTA: A a altura da extremidade esquerda é 100cm = 1m.

b) O segmento AB é a altura do triângulo equilátero

base do prisma e BD è um dos lados desse triângulo,

logo o ângulo DBA mede 30° ( a altura do triângulo equilátero també é bissetriz interna). No triângulo retângulo ABC,

°=⇒°=⇒== 3060)B(med2

1

120

60Bcos α .

RESPOSTA: °= 30α

8

20. Uma placa retangular de madeira, com dimensões 10 × 20 cm, deve ser recortada conforme mostra a figura ao lado. Depois de efetuado o recorte, as coordenadas do centro de gravidade da placa (em função da medida w) serão dadas por

w280

)20w(400)(wy e

w280

w15400)w(x

2

CGCG−

−+=

−

−= , em que xCG é a

coordenada horizontal e yCG é a coordenada vertical do centro de gravidade, tomando o canto inferior esquerdo como a origem.

a) Defina A(w), a função que fornece a área da placa recortada em relação a w. Determine as coordenadas do centro de gravidade quando A(w) = 150 cm2 . b) Determine uma expressão geral para w(xCG ), a função que fornece a dimensão w em relação à coordenada xCG, e calcule yCG quando xCG = 7/2 cm. RESOLUÇÃO:

a) Sendo A(w) = 150 cm2 , a área da placa, A(w) = SCEFG − SABCD ⇒ 200 – 5w = 150 ⇒ 5w = 50 ⇒ w = 10 ⇒

6

25

60

250

2080

150400)10(xCG ==

−

−=

3

25

60

100400

2080

)2010(400)(10y e

2

CG =+

=−

−+= .

RESPOSTA: O centro de gravidade quando A(w) = 150 cm2 é

=

325,

625C

b) 1w15400wx2x80w15400)w280(x w280

w15400x CGCGCGCG ⇒−=−⇒−=−⇒

−

−=

CG

CGCGCGCGCGCG x25

x80400)x(wx80400w)x25(x80400wx2w15

−

−=⇒−=−⇒−=− .

158

120

715

280400

2

7215

2

780400

2

7w ==

−

−=

−

−

=

cm.

Sendo ⇒−

−+=

w280

)20w(400)(wy

2

CG( )

( )5,8

50

425

50

25400

15280

2015400)(wy

2

CG ==+

=−

−+= cm.

RESPOSTA: 8,5cm.

21. Para certo modelo de computadores produzidos por uma empresa, o percentual dos processadores que

apresentam falhas após T anos de uso é dado pela seguinte função: ( )T1,021100)T(P −−= .

a) Em quanto tempo 75% dos processadores de um lote desse modelo de computadores terão apresentado falhas? b) Os novos computadores dessa empresa vêm com um processador menos suscetível a falhas. Para o modelo mais recente, embora o percentual de processadores que apresentam falhas também seja dado por

uma função na forma ( )cT21100)T(Q −= , o percentual de processadores defeituosos após 10 anos de uso

equivale a 1/4 do valor observado, nesse mesmo período, para o modelo antigo (ou seja, o valor obtido

9

empregando-se a função P(T) acima). Determine, nesse caso, o valor da constante c. Se necessário, utilize log2 (7) ≈ 2,81. RESOLUÇÃO:

a) ( ) 20T2T1,02225,0275,0217521100 2T1,0T1,0T1,0T1,0=⇒−=−⇒=⇒=⇒=−⇒=−

−−−−− .

RESPOSTA: Em 20 anos.

b) ( )c1021100)10(Q −= e ( ) ⇒=−=⇒−=− 50

2

100100)10(P21100)10(P 1

( ) ( ) ⇒=⇒=×⇒=−⇒=−+ 7log2log7281218

4

5021100 2

3c102

c10c10c10

Fazendo log2 (7) ≈ 2,81, ⇒=+ 81,23c10 019,0c0,19c10 −=⇒−= .

RESPOSTA: c = −−−−0,019.

22. Suponha um trecho retilíneo de estrada, com um posto rodoviário no quilômetro zero. Suponha, também, que uma estação da guarda florestal esteja localizada a 40 km do posto rodoviário, em linha reta, e a 24 km de distância da estrada, conforme a figura ao lado.

a) Duas antenas de rádio atendem a região. A área de cobertura da primeira antena, localizada na estação da guarda florestal, corresponde a um círculo que tangencia a estrada. O alcance da segunda, instalada no posto rodoviário, atinge, sem ultrapassar, o ponto da estrada que está mais próximo da estação da guarda florestal. Explicite as duas desigualdades que definem as regiões circulares cobertas por essas antenas, e esboce essas regiões no gráfico abaixo, identificando a área coberta simultaneamente pelas duas antenas. b) Pretende-se substituir as antenas atuais por uma única antena, mais potente, a ser instalada em um ponto da estrada, de modo que as distâncias dessa antena ao posto rodoviário e à estação da guarda florestal sejam iguais. Determine em que quilômetro da estrada essa antena deve ser instalada.

10

RESOLUÇÃO:

a) No triângulo retângulo RIF, determinado pelos pontos PR, GF e PI: 3210245761600d ==−= .

• A antena colocada no posto da Guarda Florestal (G.F.) alcança toda a região limitada pela circunferência de centro (32,24) e raio igual a d = 24 km. A desigualdade que representa essa

região é: 102448y64xyx 22 ≤−−+⇒≤−+−222 24)24y()32x( .

• A antena colocada no Posto Rodoviário (P.R.) alcança toda a região limitada pela circunferência de centro (0,0) e raio igual a d = 32 km. A desigualdade que representa essa região é:

1024yx 22 ≤+⇒≤+222 32yx

b)

Seja a reta MN a mediatriz do segmento RF , lado do triângulo RIF, então o ponto N é eqüidistante dos pontos F e R. As medidas dos lados do triângulo retângulo FIN são: FI = 24km, FN = x km e NI = (32 – x)km, assim:

25x1600x64

0x641024576)x32(576x 22

=⇒=

⇒=−+⇒−+=

Essa questão poderia também ser resolvida aplicando os conhecimentos de Geometria Analítica:

Equação da reta RF : 4

x3y = .

A reta MN é perpendicular ao segmento RF , logo a sua equação é do tipo b3

x4y +−= .

Sendo M o ponto médio do segmento RF , M = (16,12). Substituindo estas coordenadas na equação

b3

x4y +−= determina-se a equação da reta MN :

3

100

3

x4y

3

100bb

3

16412 +−=⇒=⇒+ ×

−= .

N = (x, 0) ⇒ 25x100x403

100

3

x4

3

100

3

x4y =⇒=⇒=+−⇒

+−= .

RESPOSTA: No quilômetro 25 da estrada.

11

23. Um engenheiro precisa interligar de forma suave dois trechos paralelos de uma estrada, como mostra a figura abaixo. Para conectar as faixas centrais da estrada, cujos eixos distam d metros um do outro, o engenheiro planeja usar um segmento de reta de comprimento x e dois arcos de circunferência de raio r e ângulo interno α.

a) Se o engenheiro adotar α = 45º, o segmento central medirá ( )12r22dx −−= . Nesse caso,

supondo que d = 72 m, e r = 36 m, determine a distância y entre as extremidades dos trechos a serem interligados. b) Supondo, agora, que α = 60º, r = 36 m e d = 90 m, determine o valor de x. RESOLUÇÃO:

FIGURA I

FIGURA II

a) A figura II foi extraída da figura I e nela, sendo α = 45º, ( )12r22dx −−= , d = 72 m, e r = 36 m:,

tem-se ( ) 721272272x =−−= .

No triângulo CDE, sendo α = 45º e r = 36: 218b2

2

36

bsen

r

b=⇒=⇒= α .

No triângulo CBA, α = 45º, x = 72:

272y2144y2272272y22

2

72

236ycos

x

b2y=⇒=⇒=−⇒=

−⇒=

−α .

RESPOSTA: 272y= cm

12

b) Pela análise da figura I, verifica-se que d = 2a + c.

Na figura II, triângulo CDE, sendo α = 60° e r = 36 m: 318b2

3

36

bsen

r

b=⇒=⇒= α .

Ainda no triângulo CDE, 18a36a2722

1

36

a36cos

r

ar=⇒=−⇒=

−⇒=

−α .

Sendo d = 2a + c, 54cc3690 =⇒+=

No triângulo CBA, 336x3

108x108x3

2

3

x

5460sen

x

c=⇒=⇒=⇒=⇒°=

RESPOSTA: 336m

24. A caixa de um produto longa vida é produzida como mostra a sequência de figuras abaixo. A folha de papel da figura 1 é emendada na vertical, resultando no cilindro da figura 2. Em seguida, a caixa toma o formato desejado, e são feitas novas emendas, uma no topo e outra no fundo da caixa, como mostra a figura 3. Finalmente, as abas da caixa são dobradas, gerando o produto final, exibido na figura 4. Para simplificar, consideramos as emendas como linhas, ou seja, desprezamos a superposição do papel.

a) Se a caixa final tem 20 cm de altura, 7,2 cm de largura e 7 cm de profundidade, determine as dimensões x e y da menor folha que pode ser usada na sua produção. b) Supondo, agora, que uma caixa tenha seção horizontal quadrada (ou seja, que sua profundidade seja igual a sua largura), escreva a fórmula do volume da caixa final em função das dimensões x e y da folha usada em sua produção. RESOLUÇÃO: a)

A sequência das etapas da confecção da caixa está representada pela figura acima, de acordo com as dimensões apresentadas no item a. Então a altura y da folha de papel que é igual à altura do prisma III é igual á soma 20 + 2×3,5 = 27, e a largura x dessa folha de papel é igual ao perímetro da base do prisma que é 2 × 7,2 + 2 × 7 = 28,4. RESPOSTA: As dimensões x e y da menor folha que pode ser usada na sua produção são, respectivamente, 27cm e 28,4cm.

13

b)

Considerando que a caixa tenha seção horizontal quadrada, a altura do prisma I será y e os lados da base, que é um quadrado, medem x/4. Para as dobraduras no topo e no fundo da caixa a profundidade x/4 é

dividida ao meio. A altura da caixa final será 4

xy

8

x2y −=

− .

Logo a fórmula do volume da caixa final (III),em função das dimensões x e y da folha usada em sua

produção, é igual a . 64

xyx4

16

x

4

xy4

4

x

4

xyV

3222−

=×−

=

−=

RESPOSTA:

64xy4x

V

32−=