progressÃo aritmÉtica

Exemplos 1o) Sequências dos números primos positivos: (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...). Notemos que esta é uma sequências infinita com a1 = 2; a2 = 3; a3 = 5; a4 = 7; a5 = 11; a6 = 13 etc.

SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS

Exemplos 2o) sequências dos números ímpares positivos: (1, 3, 5, 7, 9, 11, ...). Notemos que esta é uma sequencia infinita com a1 = 1; a2 = 3; a3 = 5; a4 = 7; a5 = 9; a6 = 11 etc


Exemplos 3o) sequência dos algarismos do sistema decimal de numeração: (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Notemos que esta é uma sequência finita com a1 = 0; a2 = 1; a3 = 2; a4 = 3; a5 = 4; a6 = 5; a7 = 6; a8 = 7; a9 = 8 e a10 = 9.


Exemplos 4º) A sequencia (x, y, z, t) poderá ser considerada igual à sequência (5, 8, 15, 17) se, e somente se, x=5; y=8; z=15 e t=17.


Observação Importante Notemos que as sequencias (0, 1, 2, 3, 4, 5) e (5, 4, 3, 2, 1, 0) são diferentes, pois, embora apresentem os mesmos elementos, eles estão em ordem diferente.


SEQUÊNCIAS E PROGRESSÃO ARITMÉTICA

Fórmula do termo geral Exemplos 1o) Determinar os cinco primeiros termos da sequência cujo termo geral é igual a: an = n2 – 2n, com n N* 2o) Determinar os cinco primeiros termos da sequência cujo termo geral é igual a: an = 3 · n + 2, com n N* 3o) Determinar os termos a12 e a23 da sequência cujo termo geral é igual a: an = 45 – 4 · n, com n N*


Lei de Recorrências Uma sequência pode ser definida quando oferecemos o valor do primeiro termo e um “caminho” (uma fórmula) que permite a determinação de cada termo conhecendo-se o seu antecedente. Essa forma de apresentação de uma sucessão é dita de recorrências.


Lei de Recorrências Exemplos 1o) Escrever os cinco primeiros termos de uma sequência em que: a1 = 3 e an+1 = 2 · an – 4, onde n N* 2o) Determinar o termo a5 de uma sequência em que: a1 = 12 e an+1 = an – 2 , onde n N*


Definição PA é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é o anterior somado a uma constante r chamada razão da PA. 𝒂𝒏+𝟏 = 𝒂𝒏 + 𝒓 com 𝒂𝟏 conhecido e 𝒏 ∈ ℕ∗

PROGRESSÃO ARITMÉTICA (PA)

Observação Para determinar a razão de uma PA, basta efetuarmos a diferença entre dois termos consecutivos: o posterior menos o anterior.

𝒓 = 𝒂𝒏+𝟏 − 𝒂𝒏


Exemplos 1o) (0, 3, 6, 9, 12, 15, ...) é uma PA de primeiro termo a1 = 0 e razão r = 3. 2o) (11, 9, 7, 5, 3, 1, –1, ...) é uma PA de primeiro termo a1 = 11 e razão r = – 2. 3o) (5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, ...) é uma PA de primeiro termo a1 = 5 e razão r = 0.


SEQUÊNCIAS E PROGRESSÃO ARITMÉTICA

Classificação r > 0 => PA crescente r < 0 => PA decrescente r = 0 => PA constante


Fórmula do termo Geral Vamos considerar uma PA de primeiro termo a1 e razão r. Assim, teremos: a2 = a1 + r a3 = a2 + r = a1 + 2r a4 = a3 + r = a1 + 3r a5 = a4 + r = a1 + 4r . . . . . . an = a1+(n – 1) . r


Exemplos 1o) Numa PA de primeiro termo a1 = 0 e razão r = 3, temos o termo geral igual a: Assim, se quisermos determinar o termo a23 desta PA, teremos: 2o) Numa PA de primeiro termo a1 = 11 e razão r = – 2, temos o termo geral igual a: Assim, se quisermos determinar o termo a12 desta PA, basta fazermos:


Artifícios de Resolução PA com três termos com razão igual r: (a – r), a e (a + r), PA com quatro termos com razão igual a 2r: (a – 3r), (a – r), (a + r) e (a + 3r) PA com cinco termos com razão igual r: (a – 2r), (a – r), a, (a + r) e (a + 2r)


Exemplo Determinar os números a, b e c cuja soma é igual a 15, o produto é igual a 105 e formam uma PA crescente.


Propriedades P1: Para três termos consecutivos de uma PA, o termo médio é a média aritmética dos outros dois termos. P2: Numa PA com n termos, a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual à soma destes extremos.


Propriedades P3: Numa PA com n termos, em que n é um número ímpar, o termo médio (am) é a média aritmética dos extremos.

𝒂𝒎 =𝒂𝟏 + 𝒂𝒏

𝟐


EXERCÍCIOS

(MACK-SP) – O trigésimo primeiro termo de uma progressão aritmética de primeiro termo 2 e razão 3 é:

63 c) 65 e) 92

95 d) 98

(FEI-SP) – A razão de uma PA de 10 termos, onde o primeiro termo é 42 e o último é –12, vale:

a) -5 c) -9 e) -6

b) -7 d) 0

EXERCÍCIOS

O termo geral de uma PA é dado por an = 2n – 1. Então o terceiro termo da PA vale:

a) 2 c) 3 e) 5

b) 6 d) 4

PUC – PR) – Calculando o número de termos de uma PA, onde o primeiro termo é 0,5 , o último termo é 45,5 e a razão é 1,5, obtém-se:

a) 45 c) 38 e) 43

b) 31 d) 57

EXERCÍCIOS

((UFMA – 2004) O casal Silva tem 5 filhos. Sabendo que a diferença entre a idade de cada um e a idade do seu antecessor é constante, que o produto da idade do mais novo pela idade do mais velho é igual a 240 e que a soma das idades dos outros três filhos é igual a 48 anos, é correto afirmar que a soma das idades do filho mais novo e do mais velho é igual a:

a) 30 anos. d) 31 anos.

b) 33 anos. e) 32 anos.

c) 34 anos.

EXERCÍCIOS

A soma do 4º e 8º termos de PA é 20; o 31º termo é o dobro do 16º termo. Determine a PA:

(-5, -2, 1, ...) d) (5, 6, 7, ...)

(0, 2, 4, ...) e) (0, 3, 6, 9, ...)

(1, 3, 5, ...)

progressÃo aritmÉtica

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