aritmética elementar

PRÉ-VESTIBULARLIVRO DO PROFESSOR

MATEMÁTICA

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Produção Projeto e Desenvolvimento Pedagógico

Disciplinas Autores

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I229 IESDE Brasil S.A. / Pré-vestibular / IESDE Brasil S.A. — Curitiba : IESDE Brasil S.A., 2009. [Livro do Professor]

660 p.

ISBN: 978-85-387-0571-0

1. Pré-vestibular. 2. Educação. 3. Estudo e Ensino. I. Título.

CDD 370.71


1EM

_V_M

AT

_002

Aritmética Elementar

Os números podem ser escritos em diversas bases de numeração conforme a necessidade e con-veniência. Supõe-se que utilizamos o sistema de base 10 devido à nossa quantidade de dedos, o que faci-litaria o processo de contagem primitivo. Em áreas como a eletrônica, por exemplo, é muito utilizado o sistema de base 2 ou binário, assim como o sistema de base 16 ou hexadecimal.

Todo número inteiro diferente de 0, 1 e -1 pode ser expresso como um produto de números primos. Esse resultado, conhecido como Teorema Funda-mental da Aritmética, já aparecia no livro IX dos “Elementos”, de Euclides, e destaca a importância dos números primos na Teoria dos Números, de-sempenhando um papel similar ao dos átomos na estrutura da matéria.

O conceito de congruências, introduzido por Gauss, em 1801, no seu “Disquisitiones Arithmeti-cae”, será apresentado como importante ferramenta para estudo dos números.

É importante lembrar que a Teoria dos Nú-meros é uma área em franco desenvolvimento, que apresenta aplicações nas mais diversas áreas e que ainda possui muitos problemas em aberto que são um desafio aos matemáticos.

Potência de expoente naturalSeja a ∈ R a 0 e n ∈ N, a potência de base a

e expoente n é um número an tal que:a0 = 1

an = an–1.a, n, n 1

Assim, a1 = a0⋅ a = 1 ⋅ a = a

a2 = a1 ⋅ a = a ⋅ a a3 = a2 ⋅ a = a ⋅ a ⋅ a

Em geral ap, p ∈ N e p ≥ 2, é um produto de p fatores iguais a a.

ap = a . a . a... . a

p . fatores

Exemplos: `

1) 40 = 1

2) (–5)0 = 1

3) 21 = 2

4) 1

5

1

= 1

5

5) (–4)1 = –4

6) 52 = 5 ⋅ 5 = 25

7) (–3)2 = (–3)⋅(–3) = 9

8) 02 = 0 ⋅ 0 = 0

9) 2

3

2

= 2

3 .

2

3 =

4

9

10) 23 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 8

11) (–2)3 = (–2)⋅(–2)⋅(–2) = –8

12) –23 = –(2)⋅(2)⋅(2) = –8

13) –(–2)3 = –(–2)⋅(–2)⋅(–2) = 8

1) a0 = 1, a 0

2) a1 = a

3) 0P = 0, p R+*

4) 00 não é definido

5) n par an > 0

6) n ímpar an tem o mesmo sinal de a


2 EM

_V_M

AT

_002

Potência de expoente inteiro negativo

a–n = 1

an , a R*

Exemplos: `

( )( )

−

−

−

= =

= =

− = = = −−−

= = =

=

11

-22

3

3

2

2

n n

1 11) 3

3 31 1

2 ) 33 2

1 1 13 ) 3

27 273

2 1 1 94)

43 4293

a bEm geral, temos:

b a

Raiz enésima aritméticaSeja o radicando a R+ e o índice n N, existe

sempre a raiz b R+, tal que n a = b bn = a.

Exemplos: `532 = 2, pois 25 = 32

Da definição temos que 4 16 = 2 e não 4 16 = 2.

Especial cuidado deve ser tomado no cálculo da raiz quadrada de quadrados perfeitos onde tem-se a2 = a .

Exemplos: `

(–5)2 = – 5 = 5 e x2

= x .

OperaçõesSó é possível adicionar ou subtrair raízes 1) idênticas (mesmo índice e radicando).

Exemplo: `

3 3 + 2 3 = 5 3

Para multiplicação ou divisão basta que as 2) raízes possuam o mesmo índice.

Exemplo: `3 2 .

3 3 =

3 2.3 =

3 6

Potência de expoente racional

Seja a R+* e pq

Q*, temos:

apq =

q ap

Expoente pq

numerador potência da base denominador índice da raiz

Exemplos: `

1) 312 = 3 2) 8

23 =

3 82 = 4

As potências de expoente irracional são defini-das por “aproximação” de potências racionais, mas apenas para bases não-negativas.

Propriedades das potências

1) ap ⋅ aq = ap + q

2) ap

aq = ap – q, a ≠ 0

3) (a ⋅ b)p = ap ⋅ bp

4) a

b

p

= ap

bp , b ≠ 0

5) (ap)q = ap⋅q

Exemplos: `

1) 53 ⋅ 52 = 53+2 = 55

2) 34 ⋅ 3–1 = 34–1 = 33

3) 25

22 = 25 – 2 = 23


3EM

_V_M

AT

_002

4) 25

2–2 = 25 –(– 2) = 27

5) (2 ⋅ 3)2 = 22⋅32

6) 3

5

2

= 32

52

7) (53)2 = 53⋅2 = 56

8) 532 = 59

Como se pôde notar pelos exemplos 7 e 8 an-teriores, em geral temos (ap)q ≠ apq.

Propriedades das raízesSejam n, p ∈ N* e a, b ∈ R+

1) n am =

n.p am.p

2) n a.b =

n a . n b

3) n ab

= an

bn, b ≠ 0

4) n a m

= n am

5) p n a =

p.n a

As propriedades das raízes são iguais às proprie-dades das potências para expoentes fracionários.

As propriedades acima são úteis para redução de potências ao mesmo índice a fim de permitir a sua multiplicação ou divisão.

Exemplo: `

3 . 3 2 =

6 33 . 6 22 =

6 33.22 = 6 108

Raiz quadrada aproximadaNo caso de números que não possuem raiz qua-

drada exata, pode-se falar na raiz quadrada por falta como o maior número cujo quadrado não excede o número dado e na raiz quadrada por excesso como o menor número cujo quadrado excede o número dado. Os dois números citados diferem em 1 unidade e os

erros nos dois casos são inferiores a 1 unidade.

A diferença entre o número dado e o quadrado da raiz aproximada (em geral a raiz por falta) é cha-mada resto da raiz quadrada.

Exemplo: `

36 < 42 < 49 ⇔ 62 < 42 < 72, assim 6 é a raiz quadrada de 42 por falta, 7 é a raiz quadrada de 42 por excesso e o resto é 42 – 62 = 6.

RacionalizaçãoRacionalizar consiste em transformar as expres-

sões com radicais no denominador em expressões equivalentes que não apresentem radicais no deno-minador.

Essa operação é feita multiplicando-se o nume-rador e o denominador da fração por um fator racio-nalizante. Esse fator é a expressão que multiplicada pelo denominador resulte em uma expressão sem radicais. Esse fator é encontrado tendo por base as propriedades de potências e raízes, e a analogia com as fórmulas da fatoração.

Racionalização baseada nas propriedades de potências e raízes

Exemplos: `

21

1) = 21

. 2

2 =

2 22

= 22

33

32) =

333

. 32

323

3

= 333

933 = 3

93

3. =

3 9

Racionalização baseada na fórmula: (a + b).(a - b) = a2 - b2

Exemplos: `

1

3 – 21) =

1

3 – 2 .

3 + 2 3 + 2

= 3 2 – 2

3 + 2

2

= 3 – 2 3 + 2

= 3 + 2

1

2 + 12) =

1 2 + 1

. 2 – 1

2 – 1 =

2 2 – 12

2 – 1

= 2 – 1 2 – 1

= 2 – 1


4 EM

_V_M

AT

_002

Racionalização baseada nas fórmulas: (a3 + b3) = (a + b).(a2 - ab + b2) e (a3 - b3) = (a - b).(a2 + ab + b2)

Exemplos: `

2 – 13

11) =

2 – 13

1 .

2 2+ 2 . 1 + 123 3

2 2+ 2 . 1 + 123 3

= 2 2+ 2 . 1 + 123 3

2 3 – 133 = 2 2+ 2 + 1

3 3

2 – 1

= 3 4 +

3 2 + 1

9 –3

1

6 +3 4

32) = 9 –3

1

6 +3 4

3 . 3 +3

23

3 +3 2

3

3 3+ 2 3 + 2

33 3

3 3

= 3 + 2 3 + 2

3 3

= 5 3 + 2

3 3

Transformação de radicais duplos

A B = A + C

2 A – C2

C = A2 – B

Exemplos: `

3 + 51) = 3 + 22 + 3 – 2

2 = 52 +

21 =

210 + 2

C = 32– 5 = 2

6 – 2 52) = 6 – 20 = 6 + 42 + 6 – 4

2

= 5 – 1

C = 62 – 20 = 4

Sistemas de numeraçãoO nosso sistema de numeração chama-se hindu-

arábico e tem base dez. Isso quer dizer que utilizamos apenas dez símbolos (algarismos) para representar todos os números. Esses algarismos são: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Os números restantes são representados por combinações desses símbolos.

Em geral escreve-se: (anan –1. . . a2a1a0)10 para representar 100a0 + 101a1 + 102 a2 +...+ 10n–1an–1 + 10n an com 0 ≤ ai < 10.

Dessa forma escreve-se 75 para representar 7 . 10+5 e 223 para representar 2 . 102 +2 . 10 + 3

Entretanto, os números podem ser escritos em diversas bases de numeração conforme a necessidade e conveniência.

No sistema de base 2, os algarismos utilizados são 0 e 1, e os primeiros números são escritos:

(1)2 = (1)10

(10)2 = (2)10

(11)2 = (3)10

(100)2 = (4)10

(101)2 = (5)10

(110)2 = (6)10

(111)2 = (7)10

Em geral, quando representamos os números da base 10, omitimos o subíndice.

Mudança de uma base qualquer para a base 10

Um sistema de numeração de base b se relacio-na com a base 10 da seguinte forma:

(anan–1. . . a2a1a0)b = a0 + b . a1 + b2 . a2 +. . . + bn . an

onde os algarismos podem tomar apenas os valores 0, 1, 2, . . . , b – 1.

Exemplos: `(23)6 = 3 + 2 . 6 = 15

(145)6 = 5 + 4 . 6 +1 . 62 = 65

(1011)2 = 1 + 1 . 2 + 0. 22 +1 . 23 = 11

Na expressão acima podemos notar que num sistema de base b são usados b algarismos e o maior algarismo utilizado é b – 1. Ex.: O sistema de base 6 possui 6 al-garismos: 0, 1, 2, 3, 4 e 5.

Caso a quantidade de símbolos exceda 10, uti-lizamos letras maiúsculas do nosso alfabeto, dessa forma os símbolos são: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, G, ..., onde A equivale a 10 unidades de base 10, B a 11, C a 12 e assim por diante.

É usual utilizar um traço acima de variáveis justapostas para representar que as mesmas são algarismos que compõem um número.

Por exemplo, para a base 10:


5EM

_V_M

AT

_002

xyé usado para representar 10x+y

xyz para representar 100x + 10y + z

Esse tipo de representação pode ser utilizada também em outras bases.

Mudança da base 10 para uma base qualquer

Já sabemos como relacionar um número em uma base qualquer com seu correspondente na base 10. Agora vamos ver como obtemos a representação em uma outra base de um número que conhecemos na base 10. Isso é feito baseado na expressão do item anterior. Dessa forma, para passar um certo número da base 10 para uma base qualquer b, deve-se dividir o número sucessivamente por b e a sua representa-ção nessa nova base é dada pelo resto assim obtido tomados na ordem contrária.

Exemplos: `

Escrever 171 na base 2.

22

22

22

8542

2110

21

171

11

01

02

51

0

171 = (10101011)2

Mudança entre bases diferentes da base 10

Para converter um número que se encontra em uma base diferente de 10 para outra também dife-rente de 10, deve-se converter o número para a base 10 e então para a nova base.

Exemplos: `

Ex.: Escrever (6 165)7 no sistema de base 12

Temos: (6 165)7 = 6⋅73 + 1⋅72 + 6⋅7 + 5 = 2 154

Fazendo divisões sucessivas: 2154 = 12 ⋅ 179 + 6

179 = 12 ⋅ 14 + 11

14 = 12 ⋅ 1 + 2

1 = 12 ⋅ 0 + 1

Logo, 2 154 = (12B6)12

Portanto, (6 165)7 = (12B6)12

ContagemSe n e p são números naturais com n > p, o

número de naturais entre n e p inclusive (isto é, con-tando também n e p) é igual a n – p + 1.

Se no cômputo incluirmos apenas um dos extre-mos a quantidade de naturais é n – p.

O número de naturais entre n e p exclusive (isto é, excluindo os dois extremos) é igual a n – p – 1.

Exemplos: `

1) Entre 10 e 99 inclusive há (99 – 10 + 1) = 90 nú-meros.

2) Entre 9 e 99 excluindo o 9 há (99 – 9) = 90 números.

3) Entre 9 e 100 excluindo (sem os dois extremos) há (100 – 9 – 1) = 90 números.

As ideias expostas acima podem ser utilizadas na ordem inversa, como no exemplo abaixo:

Exemplo: Qual o vigésimo número após 15?

Temos então que contar 20 números começando em 16, ou seja, sem incluir o 15. Teremos então (x – 15) = 20 donde x = 35.

Muitas vezes precisamos contar a quantidade de números numa sequência de múltiplos de k. Deve-se proceder como acima considerando os números divididos por k.

Exemplo: Escrevem-se os múltiplos de 3 desde 33 até 333. Quantos números são escritos?

Os números escritos vão de 3 . 11 até 3 . 111, logo devemos contar a quantidade de números de 11 a 111 inclusive, isto é, (111 – 11) + 1 = 101 números.

Outras vezes é solicitado que se contem a quantidade de algarismos escritos. Para tanto, é ne-cessário calcular quantos números são escritos com cada quantidade de algarismos.

Exemplos: `

São escritos os naturais de 1 a 150. Quantos algarismos foram escritos?

De 1 a 9 há (9 – 1 + 1) = 9 números de 1 algarismo.

De 10 a 99 há (99 – 10 + 1) = 90 números de 2 alga-rismos.

De 100 a 150 há (150 – 100 + 1) = 51 números de 3 algarismos.

Logo, o total de algarismos escritos é 9 ⋅ 1 + 90 ⋅ 2 + 51 ⋅ 3 = 342.

A tabela a seguir mostra a quantidade de números que se pode formar na base 10 com uma determinada quan-tidade de algarismos.


6 EM

_V_M

AT

_002

Qtd. de algarismos Qtd. de números

1 9

2 90

3 900

4 9000

DivisibilidadeSejam a e b dois inteiros, com a ≠ 0. Diz-se que

a divide b (denotado por a | b) se, e somente se, existe um inteiro q tal que b = a . q. Se a não divide b escreve-se a b.

Ex.: 2|6, pois 6 = 2 3 e 3 10, pois não existe inteiro q, tal que 10 = 3q.

PropriedadesSejam a, b e c inteiros.

a|0, 1|a e a|a (reflexiva)

Se a|1, então a = ±1

Se a|b e c|d, então ac|bd

Se a|b e b|c, então a|c (transitiva)

Se a|b e b|a, então a = ±b

Se a|b, com b ≠ 0, então |a| ≤ |b|

Se a|b e a|c, então a|(bx + cy), x,y Z.

Divisores de um inteiroÉ o conjunto dos números inteiros não-nulos que

são divisores de a, conforme definido acima.

D(a) = {x Z* x|a}

Ex.: D(0) = Z*, D(1) = {1, –1} e D(8)={±1,±2, ±4, ±8}

Divisores comuns de dois inteiros

D(a, b) = {x Z* x|a e x|b} = {x Z* x D(a) e x D(b)} = D(a) D(b).

Ex.: D(12, – 15) = {±1, ±3}.

Número de divisores positivosO número de divisores positivos de um inteiro

positivo n > 1, cuja decomposição canônica é n = p11 p2

2 ... pkk, é dado por:

d(n) = ( 1 + 1)( 2 +1) ... ( k + 1)

Exemplo: `

Quantos divisores positivos possui o número 60?

60=22. 31. 51

d (60)=(2+1).(1+1).(1+1)=12

Para obter o • total de divisores positivos e ne-gativos, basta multiplicar por 2 o valor obtido pela expressão acima.

Para obter a • quantidade de divisores ím-pares basta excluir do produto d(n) o fator relativo ao expoente do primo 2, se houver.

A • quantidade de divisores pares pode ser obtida subtraindo esse número do total.

Divisores positivos de 60 = (2+1).(1+1).(1+1) = 12

Total de divisores positivos e negativos de 60 = 2.12 = 24

Divisores ímpares de 60 (positivos) = (1+1).(1+1) = 4

Divisores pares de 60 (positivos) = 12 – 4 = 8

Máximo divisor comum (MDC)

Sejam a e b dois inteiros não simultaneamente nulos. O máximo divisor comum de a e b é o inteiro positivo d = mdc (a, b) que satisfaz:

(1) d a e d b

(2) se c a e c b, então c d.

A condição (1) diz que d é um divisor comum de a e b e a condição (2), que d é o maior dos divisores comuns.

Exemplos: `mdc (8,1)=1, mdc(–2,0) = 2, mdc(–6,12) = 6, mdc(16, 24) = 8, mdc (24, 60) = 12.

Coroláriosmdc (a, 1) = 1

se a 0, então mdc (a, 0) = a

se a b, então mdc (a, b) = a


7EM

_V_M

AT

_002

Existência e unicidade do MDC Sejam a e b dois inteiros não simultaneamente

nulos, então mdc (a, b) existe e é único; além disso, existem x e y tais que mdc (a, b) = ax + by, isto é, o mdc (a, b) é uma combinação linear de a e b.

A representação do mdc (a, b) como combinação linear de a e b não é única. Na verdade, mdc (a, b) = d = a(x + bt) + b(y – at) para qualquer inteiro t.

Números primos entre siDiz-se que a e b são primos entre si se, e so-

mente se, o mdc (a, b) = 1.

Ex.: são primos entre si os pares 2 e 5, 9 e 16 e 20 e 21.

Dois inteiros primos entre si admitem como únicos divisores comuns 1 e – 1.

Teorema: Dois inteiros a e b, não simultanea-mente nulos, são primos entre si se, e somente se, existem inteiros x e y, tais que ax + by = 1.

Corolário: Se mdc (a,b) = d, então o mdc (a/d, b/d) = 1.

Corolário: Se a b e se mdc (b,c) = 1, então mdc (a,c)=1.

Corolário: Se a c, b c e mdc (a, b) = 1, então ab c.

Corolário: mdc (a, b)=mdc (a, c)=1 se, e somen-te se, mdc (a, bc)=1.

Teorema de Euclides: Se a bc e mdc (a, b) = 1, então a c.

Algoritmo de EuclidesTeorema: Se a = bq + r, então mdc (a, b) =

mdc (b, r).

O algoritmo de Euclides é baseado na aplicação repetida do lema acima e é normalmente apresentado por intermédio do seguinte dispositivo prático:

q1 q2 q3 ... qn qn+1

a b r1 r2 ... rn-1 rn

r1 r2 r3 ... rn 0

O aparecimento do resto 0 indica rn = mdc (a, b).

Exemplos: `

mdc (963, 657) = 9

1 2 6 1 4963 657 306 45 36 9306 45 36 9 0

Teorema: Para todo k≠0, mcd (ka, kb)=|k| – mcd (a,b).

MDC a partir das decomposições canônicas

Conhecidas as decomposições canônicas de dois inteiros positivos a e b, o mdc (a,b) é o produto dos fa-tores primos comuns as duas decomposições tomados com seus menores expoentes.

Exemplos: `

588 = 22 . 3 . 72 e 936 = 23 . 32 . 13, logo mdc (588,936) = 22 . 3 = 12.

Mínimo múltiplo comum (MMC)

O conjunto de todos os múltiplos de um inteiro qualquer a 0 indica-se por M(a), ou seja, M(a) = {x Z tal que ax} = {aq q Z}.

Exemplos: `

M(1) = M(–1) = Z e M (5) = {0, 5, 10, 15, 20, ...}

Sejam a e b dois inteiros não-nulos. Chama-se múltiplo comum de a e b todo inteiro x tal que a x e b x.

M(a,b) = {x Z / a x e b x}={x Z / x M(a) e x M(b)}

M(a,b) = M(a) M(b)

Exemplo:

M(12)={12q\q Z}={0, 12, 24, 36, 48, 60, 72,...}

M(18)={18q\q Z}={0, 18, 36, 54, 72, 90, 108,...}

M(12,18) = M(12) M(18) = {0, 36, 72, ...}

Sejam a e b dois inteiros não-nulos. Chama-se míni-mo múltiplo comum de a e b o inteiro positivo m = mmc(a,b) que satisfaz as condições:

(1) a m e b m

(2) se ac e bc, com c > 0, então m c.

Exemplo: `

mmc (12,18) = 36

Coroláriosmmc (a,b) • ab


8 EM

_V_M

AT

_002

se a • b, então mmc (a,b) = b

se mdc (a,b) = 1, então mmc (a,b) = • ab

Sejam a e b inteiros positivos, então:

mdc (a, b) . mmc(a, b) = a . b

Exemplos: `

Determinar o mmc (963, 657).

Pelo algoritmo de Euclides mdc (963,657) = 9. Logo, mmc (963,657) = 963 . 657/9 = 70299.

MMC a partir das decomposições canônicas

Conhecidas as decomposições canônicas de dois inteiros positivos a e b, o mmc (a,b) é o produto dos fatores primos comuns e não-comuns às duas decom-posições tomados com seus maiores expoentes.

Exemplos: `

588 = 22 . 3 . 72 e 936 = 23 . 32 . 13, logo mmc (588,936) = 23 . 32 . 72 . 13 = 45 864.

Números primosUm inteiro positivo p > 1é um número primo se,

e somente se, 1 e p forem os seus únicos divisores positivos.

Os inteiros maiores que 1, que não são primos, ou seja, têm pelo menos um divisor além de 1 e dele mesmo, são ditos compostos.

Exemplos: `

Primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ...

Compostos: 4, 6, 8, 9, 10, 12, ...

O único inteiro positivo par que é primo é o número 2.

Corolários:

Se um primo p não divide um inteiro a, •então a e p são primos entre si.

Se p é um primo tal que p|ab, então p|a •ou p|b.

Todo inteiro composto possui um divisor •primo.

Teorema Fundamental da Aritmética:Todo inteiro positivo n > 1 pode ser represen-

tado de maneira única (a menos da ordem) como um produto de fatores primos.

α α α= ⋅ ⋅ ⋅1 2 k1 2 kn P P ... P

Exemplos: `

Decomponha o número 17 640 em um produto de fatores primos.

Basta dividir o número sucessivamente por seus divisores primos em ordem crescente como mostrado abaixo:

17 640 28 820 24 410 22 205 3735 3245 549 77 71

Então, 17 640 = 23 .32 .5 . 72.

Teorema de Euclides: há um número infinito de primos.

Teorema: Se um inteiro a > 1 é composto, então a possui um divisor primo p a .

Esse teorema indica um processo para reconhe-cer se um número a > 1 é primo, bastando dividir os números sucessivamente pelos primos que não excedam a .

Exemplos: `

22 < 509 < 23, assim devem-se testar os primos 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 e 19. Como 509 não é divisível por nenhum desses números, então 509 é primo.

Crivo de Eratóstenes:

Construção de uma tabela de primos que não excedem um dado inteiro n: escrevem-se em ordem os inteiros de 2 a n e, em seguida, eliminam-se todos os inteiros compostos múltiplos dos primos menores que n .

Exemplos: `

2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30


9EM

_V_M

AT

_002

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

CongruênciasSejam a e b inteiros e m inteiro positivo, a é

côngruo a b módulo m se, e somente se, a – b é múltiplo de m.

a b (mod m) m (a – b)

Exemplos: `

14 8 (mod 3), pois 3 (14 – 8)

20 – 19 (mod 3), pos 3 (20 – (–19))

10 8(mod 3), pois 3 (10-8)

Teorema: a b (mod m) se, e somente se, os restos das divisões de a e b por m são iguais.

Propriedades:

a a (mod m)

a b (mod m) b a (mod m)

a b (mod m) e b c (mod m) a c (mod m)

a b (mod m) e c d (mod m) a + c b + d (mod m) e a.c b.d (mod m)

a b (mod m) a + c b + c (mod m) e ac bc (mod m)

a b (mod m) an bn (mod m), n Z+*.

Exemplos: `

1) Determine o resto de (14 543)567 por 3.

Solução: `

14 543 2 (mod 3)

14 5432 22 1 (mod 3)

14 5433 2 x 1 2 (mod 3)

14 5434 2 x 2 1 (mod 3)

14 543567 2 (mod 3)

Pode-se notar que os valores se repetem, sendo 2 nos expoentes ímpares e 1 nos expoentes pares. Assim, o resto é 2.

2) Calcule o algarismo das unidades de 5 837649.

Solução: `

Para obtermos o algarismo das unidades, devemos cal-cular o resto por 10.

5 837 7 (mod 10)

5 8372 9 (mod 10)

5 8373 9 x 7 3 (mod 10)

5 8374 3 x 7 1 (mod 10)

O aparecimento do valor 1 inicia um novo ciclo de repetição, onde os valores se repetem em ciclos de 4. Observando os expoentes nota-se o seguinte:

Expoente Resto por 10

4n +1 7

4n + 2 9

4n + 3 3

4n 1

Como o expoente 649 = 4 x 162 + 1, o resto por 10 é 7, ou seja, o algarismo das unidades é 7.

3) Calcule x sabendo que 7x 4 (mod 10).

Solução: `

Vamos descobrir uma solução particular xo tal que 10 (7xo – 4). Para tanto deve existir yo inteiro tal que 7xo – 4 = 10yo, ou seja, 7xo – 10yo = 4. O algoritmo de Euclides nos permite obter os valores xo = 12 e yo = 8, ou seja, 7.12 – 10.8 = 4. Então precisamos encontrar x, tal que 7x 4 (mod 10) e 7.12 4 (mod 10). Subtraindo, temos 7(x – 12) 0 (mod 10), ou seja, 10 7(x – 12). Como 10 é primo com 7, devemos ter 10 (x – 12), isto é, x 12 2 (mod 10) ou x = 10k + 2, com k Z.

Critérios de divisibilidadePor 2: 2|n n é par

Ex.: 2|356 e 2 357

Sugestão para demonstração: Considere n = 10k + r, onde r é o algarismo das unidades de n.

Por 3: 3 | n a soma dos algarismos de n é múl-tiplo de 3.

Ex.: 3|111, pois 1+1+ 1 = 3, 3|114, pois 1 + 1 + 4 = 3 2, mas 3 112, pois 1 + 1 + 2 = 4.

Por 4: 4 n o número formado pelos dois últi-mos algarismos de n é múltiplo de 4.

Ex.: 4 3240, pois 4 40, 4 1516, pois 4 16, mas 4 126, pois 4 26.

Por 5: 5 n o algarismo das unidades de n é


10 EM

_V_M

AT

_002

0 ou 5.Ex.: 5 110, 5 115 e 5 111Por 6: 6 n n é par e múltiplo de 3.Ex.: 6 120, 6 126 e 6 124Por 8: 8 | n o número formado pelos três úl-

timos algarismos de n é múltiplo de 8.Ex.: 8|3240, pois 8|240, 8|5136, pois 8|136, mas

8 1516, pois 8 516.Por 9: 9 | n a soma dos algarismos de n é

múltiplo de 9.Ex.: 9|117, pois 1+1+ 7 = 9, 9|738, pois 7 + 3

+ 8 = 9.2, mas 9 116, pois 1 + 1 + 6 = 8.Por 10: 10 | n o algarismo das unidades de

n é 0.Ex.: 10|110, 10|2100, mas 10 111 e 10 115Por 11: 11 | n a soma dos algarismos de n de

ordem ímpar menos a soma dos algarismos de ordem par é múltiplo de 11.

Ex.: 11|187, pois 1+ 7 – 8 = 0, 11|627, pois 6 + 7 – 2 = 11, mas 11 826, pois 8 + 6 – 2 = 12.

Sabendo-se que a, b e c são números reais positivos e 1. a2=56, b5=57 e c3=38, calcule (abc)15.

Solução: `

a2 = 56 a = 53

(abc)15 = a15b15c15 = a15 ⋅ (b5)3 ⋅ (c3)5 = (53)15 ⋅ (57)3 ⋅ (38)5 =

= 545 ⋅ 521 ⋅ 340 = 545+21 . 340

Solução: ` 566 . 340

(Fatec) Se x e y são números reais tais que x = (0,25)2. 0,25 e y = 16−0,125, é verdade que:

x = ya)

x > yb)

x c) ⋅ y = 2 2

x d) − y é um número irracional.

x + y é um número racional não-inteiroe)

Solução: `

x = (0,25)0,25 = 1

4 14 =

1

224

4

= 21

y = 16 –0,125 = 1

24 18 =

1

248

8

= 21

Logo, x = y.

Solução: ` A

(UFCE) O valor exato de 3. 732+10 + 7 32 – 10 é:

12a)

11b)

10c)

9d)

8e)

Solução: ` C

1) x = 732+10 + 7 32 – 10

x2 = 32 + 10 7 + 32 – 10 7 + 2 322 – 100.7

⇒ x2 = 64 +2 324 = 64 +2 .18 = 100

Como x > 0, então x = 10.

2) Observando que 32 = 52 + 7, então:

32 10 7 = 52 2.5. 7 + 7 = (5 7 )2

x = 732+10 + 7 32 – 10 = 5 + 7 +5 − 7 = 10

(ITA) Um acidente de carro foi presenciado por 1/65 da 4. população de Votuporanga (SP). O número de pessoas que soube do acontecimento t horas após é dado por:

B

1 + Ce–ktf(t) =

onde B é a população da cidade. Sabendo-se que 1/9 da população soube do acidente três horas após, então o tempo que passou até que 1/5 da população soubesse da notícia foi de:

4 horas.a)

5 horas.b)

6 horas.c)

5 horas e 24 minutos.d)

5 horas e 30 minutos.e)

Solução: ` A

f(0) = B

1 + C.e–k.0 = B

1 + C =

B

65

C = 64

f(3) = B

1+ 64 .e3k =

B

9

⇔ 1 +64 ⋅ e−3⋅k = 9 ⇔ e−3⋅k = 1

8

⇔ e −k = 1

2


11EM

_V_M

AT

_002

f(t) = B

5 =

B

1+64.e–k.t = B

5

⇔ 1 +64 ⋅ e − k⋅t = 5 ⇔ e−k⋅t = 1

16

(e−k)t = 1

2

4

1

2

t

= 1

2

4

t = 4 horas

(Unicamp -SP) Para representar um número natural 5. positivo na base 2, escreve-se esse número como soma de potências de 2.

Por exemplo: 13 = 1 . 2a) 3 + 1 . 22 + 0 . 21+1 . 20 = 1 101

Escreva o número 26 +13 na base 2.b)

Quantos números naturais positivos podem ser es-c) critos na base 2 usando-se exatamente cinco alga-rismos?

Escolhendo-se ao acaso um número natural n tal d) que 1 n 250, qual a probabilidade de que sejam usados exatamente quarenta e cinco algarismos para representar o número n na base 2?

Solução: `

a) (1001101)2 , pois 26 +13 = 1 ⋅ 25 + 0 ⋅ 24 +0 ⋅ 23 + 1 ⋅ 22 + 1 ⋅ 21 +1 ⋅ 20 = (100111)2

b) 16

Na base dois podem ser usados os algarismo 0 e 1. O primeiro algarismo deve ser 1, os outros 4 podem ser escolhidos entre 0 e 1. Pelo princípio multiplicativo, temos um total de 2⋅2⋅2⋅2 = 16 números.

c) 1/64

entre 1 e 250 temos 250 números naturais. Na base 2, temos 244 números com 45 algarismos. Portanto, a pro-

babilidade é 22

12

164

44

50 6= = .

(UFF) Um número 6. n é formado por dois algarismos cuja soma é 12. Invertendo-se a ordem desses algarismos, obtém-se um número do qual subtrai-se n e o resultado encontrado é 54. Determine o número n.

Solução: `

Número n: xy

yx – xy = 54 (10y + x) – (10x + y) = 54 –9x +9y = 54

– x + y = 6

x + y = 12

- x + y = 6 2y = 18 ⇒ y = 9 e x = 3

n = 39

(UFMG) Sabe-se que:7.

para se escreverem os números naturais de 1 até •11, são necessários 13 dígitos; e

para se escreverem os números naturais de 1 até o •número natural n, são necessários 1341 dígitos.

Assim sendo, é correto afirmarquen é igual a:

448a)

483b)

484c)

447d)

Solução: ` B

1 algarismo: 1 a 9 9 n.os 9 ⋅ 1 = 9 dígitos.

2 algarismos: 10 a 99 90 n.os 90 ⋅ 2 = 180 dígitos.

3 algarismos: 100 a 999 900 n.os 900 ⋅ 3 = 2 700 dígitos.

Logo, atingem-se 1 341 dígitos durante os números de 3 algarismos, donde conclui-se que n possui 3 algarismos.

Para os números de 3 algarismos restam 1 341 − 189 = 1 152 dígitos o que equivale a 1 152/3 = 384 núme-ros.

(n – 100) +1 = 384 n = 483

(UFRN) Uma espécie de cigarra que existe somente no 8. Leste dos EUA passa um longo período dentro da terra alimentando-se de seiva de raízes, ressurgindo após 17 anos. Em revoada, os insetos dessa espécie se acasalam e produzem novas ninfas que irão cumprir novo ciclo de 17 anos. Em 2004, ano bissexto, os EUA presenciaram outra revoada dessas cigarras. O próximo ano bissexto em que ocorrerá uma revoada da futura geração de cigarras será em:

2072a)

2068b)

2076c)

2080d)

Solução: ` A

O próximo ano bissexto em que ocorrerá uma revoada da futura geração de cigarras será após mmc (17, 4) = 68 anos, ou seja, no ano 2004 + 68 = 2072.

Simplifique:1. 3 3

10

21 23

7+


12 EM

_V_M

AT

_002

(FGV) Se x = 3 200 000 e y = 0,00002, então xy vale:2.

0,64a)

6,4b)

64c)

640d)

6 400e)

(PUC-Rio) Das opções abaixo, qual apresenta a relação 3. correta?

(a) −68)3 = (−6)24

(b) −2)3 = 2−3

2c) 3 + 24 = 27

19 40131

59131

2 2

2

+ =d)

11e) 2 ⋅ 362 = 3962

(PUC-Rio) O valor de 4. 67 6 9− + é igual a:

−3a)

−9b)

8c)

4d)

2e)

(PUC-Rio)Assinaleaafirmativacorreta:5.

( )22

1a bba

− =a)

ab) 2 b3 = (ab)6

5a + 6b = 11abc)

Se ad) 3 = b3 , então a = b

Se ae) 2 + b2=25 então a + b = 5

(Unicamp) 6.

Calcule as seguintes potências:a)

a = 33, b = (−2)3, c = 3−2 e d = (−2)−3.

Escreva os números a, b, c, d em ordem crescente.b)

(UFF) A expressão 7. 10 10 1010 10 10

10 20 30

20 30 40

+ ++ +

é equivalente a:

1 +10a) 10

102

10

b)

10c) −10

10d) 10

10 12

10 −e)

(UFRN) Dados os números M = 9,84 8. ⋅ 1015 e N = 1,23 1016,pode-seafirmarque:

M < Na)

M + N = 1,07 b) ⋅ 1016

M > Nc)

M d) ⋅ N = 1,21 ⋅ 1031

(Unificado)Onúmerodealgarismosdoproduto59. 17 ⋅ 49 é igual a:

17a)

18b)

26 c)

34d)

35e)

(Unicamp) Dados os dois números positivos 10. 33 e 44 , determine o maior.

(UERJ) João mediu o comprimento do seu sofá com o 11. auxílio de uma régua.

Colocando 12 vezes a régua na direção do comprimento, sobraram 15cm da régua; por outro lado, estendendo 11 vezes, faltaram 5cm para atingir o comprimento total. O comprimento do sofá, em centímetros, equivale a:

240a)

235b)

225c)

220d)

(UERJ) Dois sinais luminosos fecham juntos num de-12. terminado instante. Um deles permanece 10 segundos fechado e 40 segundos aberto, enquanto o outro per-manece 10 segundos fechado e 30 segundos aberto. O número mínimo de segundos necessários, a partir daquele instante, para que os dois sinais voltem a fechar juntos outra vez é de:


13EM

_V_M

AT

_002

150a)

160b)

190c)

200d)

(UERJ)Ao analisar as notas fiscais de uma firma, o13. auditor deparou-se com a seguinte situação:

Não era possível ver o número de metros vendidos, a) mas sabia-se que era um número inteiro. No valor total, só apareciam os dois últimos dos três alga-rismos da parte inteira. Com as informações acima, o auditor concluiu que a quantidade de cetim, em metros, declarada nessa nota foi:

16b)

26c)

36d)

46e)

(UERJ)OnúmerodefitasdevídeoqueMarcelapossui14. está compreendido entre 100 e 150. Agrupando-as de 12 em 12, de 15 em 15 ou de 20 em 20, sempre resta umafita.Asomadostrêsalgarismosdonúmerototaldefitasqueelapossuiéiguala:

3a)

4b)

6c)

8d)

(UERJ) Os números 204, 782 e 255 são divisíveis por 17. 15. Considere o determinante de ordem 3 abaixo:

2 0 4

7 8 2

2 5 5

Demonstre que esse determinante é divisível por 17.

(UERJ) Considere dois números naturais ab e cd em que 16. a, b, c e d são seus algarismos. Demonstre que, se ab ⋅ cd = ba ⋅ dc, então a ⋅ c = b ⋅ d.

(FGV) Em uma sala de aula, a razão entre o número de 17. homens e o de mulheres é 3/4. Seja N o número total de pessoas (número de homens mais o de mulheres). Um possível valor para N é:

46a)

47b)

48c)

49d)

50e)

(Fuvest) O menor número inteiro positivo que devemos 18. adicionar a 987 para que a soma seja o quadrado de um número inteiro positivo é:

37a)

36b)

35c)

34d)

33e)

(UFF) Três números naturais e múltiplos consecutivos 19. de 5 são tais que o triplo do menor é igual ao dobro do maior.

Dentre esses números, o maior é:

múltiplo de 3.a)

ímpar.b)

quadrado perfeito.c)

divisor de 500.d)

divisível por 4.e)

(UFF) Considere p, q 20. ∈ N* tais que p e q são números pares.Sep>q,pode-seafirmarque:

(pq + 1) é múltiplo de 4.a)

p – q é ímpar.b)

p + q é primo.c)

pd) 2 – q2 é par.

p(q + 1) é ímpar.e)

(UFF) Sophie Germain introduziu em seus cálculos mate-21. máticos um tipo especial de número primo descrito a seguir: “Se p é um número primo e se 2p +1 é um número primo, então o número primo p é denominado primo de Germain.” Pode-seafirmarqueéprimodeGermainonúmero:

7a)

17b)

18c)

19d)

41e)

(UFMG) José decidiu nadar, regularmente, de quatro em 22. quatro dias. Começou a fazê-lo em um sábado; nadou pela segunda vez na quarta-feira seguinte e assim por


14 EM

_V_M

AT

_002

diante. Nesse caso, na centésima vez em que José for nadar, será:

terça-feira.a)

quarta-feira.b)

quinta-feira.c)

sexta-feira.d)

(UFMG) A soma de dois números inteiros positivos, com 23. dois algarismos cada um, é 58. Os quatro algarismos são distintos entre si. A soma desses quatro algarismos é um número:

menor que 9.a)

múltiplo de 3.b)

primo.c)

maior que 30.d)

A equação 1. x x x

= 2 é satisfeita apenas quando x é igual a:

2a)

24b)

2c)

23d)

(CN) Calcule a diferença y – x, de forma que o número: 2. 2x ⋅ 34 ⋅ 26y possa ser expresso como uma potência de base 39.

8a)

0b)

4c)

2d)

3e)

(CN) Sabendo que3.

x 23 61999= , y = 19994 e z 45 81999= , (x > 0, y > 0 e z > 0), o valor de x y z⋅ ⋅( )− 1

3 é:

1999a) 9

1999b) 6

199919c)

1999d) –6

1999e) –9

(CN)Simplificandoaexpressão:4. 60025 52 2 2n n

n+ +−

para n ∈ {0, 1}, temos:

5a)

5b) –1

5c) –2

5d) 2

5e) 0

(CN) Sendo x5. 2 = 343, y3 = 492 e z6 = 75, o algarismo das

unidades simples do resultado de xyz

24

é:

1a)

3b)

5c)

7d)

9e)

(CN) Qual o valor da expressão6.

1 2 3 505 10 15 250

2 12512

31+ + + +

+ + + +

⋅ ( )

− −

,

1a)

5b)

53c)

55

3d)

55

e)

(UFF) A expressão 7. 8 48 4

88 44

44 22

−−

é equivalente a:

1 – 2a) 88

2b) 44⋅ (288+1)

9 c) ⋅ 244

3 d) ⋅ (1 – 288)

2e) 88 ⋅ (288 + 1)

(UERJ) Considere o polinômio8.

P(n) = (n +1)⋅(n2 +3n +2), n ∈ N. Calcule:

a quantidade de paralelepípedos retângulos de ba-a) ses quadradas e volumes numericamente iguais a P(11), cujas medidas das arestas são expressas por números naturais.

o valor da expressão: b) 7 4 7 5 7 2344

9 6 3

2

+ ⋅ + ⋅ +


15EM

_V_M

AT

_002

(UECE) Se n = (0,5 9. ⋅ 40,25 + 40,75)2 − 41,5⋅(1 + 4−0,5), então 32 ⋅ n é igual a:

16a)

32b)

48c)

64d)

(IME) Calcule: 10. 2109

3 2109

33 3+ + −

(Unirio) Numa população de bactérias, há P(t) = 11. 109 ⋅ 43⋅t bactérias no instante t medido em horas (ou fração na hora). Sabendo-se que inicialmente existem 109 bactérias, quantos minutos são neces-sários para que se tenha o dobro da população inicial?

20a)

12b)

30c)

15d)

10e)

Sabendo que: 198912. a = 13 e 1989b = 17. Calcule

1171171 a b2(1 b)− −

−

(UFMG) Sabe-se que os meses de janeiro, março, maio, 13. julho, agosto, outubro e dezembro têm 31 dias. O dia 31 de março de um certo ano ocorreu numa quarta-feira. Então, 15 de outubro do mesmo ano foi:

quinta-feira.a)

terça-feira.b)

quarta-feira.c)

sexta-feira.d)

(UFMG) Seja N o menor número inteiro pelo qual 14. se deve multiplicar 2 520 para que o resultado seja o quadrado de um número natural. Então, a soma dos algarismos de N é:

9a)

7b)

8c)

10d)

(UFPR) Os anos bissextos ocorrem de 4 em 4 anos, em 15. geral, mas a sua caracterização exata é a seguinte: são anos bissextos aqueles que são divisíveis por 4, mas não por 100; a exceção a essa regra são os anos divisíveis por 400, que também são bissextos. Assim, o número de anos bissextos entre 1895 e 2102 é:

50a)

47b)

48c)

49d)

51e)

(Fuvest) A diferença entre dois números inteiros positivos 16. é 10. Ao multiplicar um pelo outro, um estudante cometeu um engano, tendo diminuído em 4 o algarismo das dezenas do produto. Para conferir seus cálculos, dividiu o resultado obtido pelo menor dos fatores, obtendo 39 como quociente e 22 como resto. Determine os dois números.

(Fuvest) 17.

Quantos múltiplos de 9 há entre 100 e 1 000?a)

Quantos múltiplos de 9 ou 15 há entre 100 e b) 1 000?

(Unesp) Uma concessionária vendeu no mês de outubro 18. n carros do tipo A e m carros do tipo B, totalizando 216 carros. Sabendo-se que o número de carros vendidos de cada tipo foi maior do que 20, que foram vendidos menos carros do tipo A do que do tipo B, isto é, n < m, e que MDC (n, m) = 18, os valores de n e m são, respectivamente:

18, 198a)

36, 180b)

90, 126c)

126, 90 d)

162, 54e)

(UERJ) Observe que, na tabela abaixo, só há números 19. primos maiores que 3 na primeira e quinta colunas.

Se p é primo e maior que 3, demonstre que pa) 2 – 1 é múltiplo de 12.


16 EM

_V_M

AT

_002

Retirando-se aleatoriamente, da tabela, dois números b) naturais distintos, menores que 37, determine a pro-babilidade de ambos serem primos maiores que 3.

(UERJ) Analise a expressão abaixo, na qual n é um 20. número natural.

N = 10n – nSe n é um número par, então N também é um nú-a) mero par.

Justifiqueestaafirmativa.

Determine o valor da soma dos algarismos de N b) quando n = 92.

(UFSCar) Considere as seguintes informações:21.

o máximo divisor comum entre dois números tam-•bém é um divisor da diferença entre esses núme-ros.

se o máximo divisor comum entre dois números a •e b é igual a 1, mdc(a,b) = 1, o mínimo múltiplo comum desses números será igual ao seu produto, mmc(a,b) = ab.

Prove que o máximo divisor comum entre dois nú-a) meros consecutivos é igual a 1.

Determine dois números consecutivos, sabendo que b) são positivos e o mínimo múltiplo comum entre eles é igual a 156.

(Fuvest) Um número racional r tem representação de-22. cimal da forma r = a1, a2, a3 onde 1 ≤ a1 ≤ 9, 0 ≤ a2 ≤ 9, 0 ≤ a3 ≤ 9. Supondo-se que:

a parte inteira de r é o quádruplo de a• 3;

a• 1 , a2 , a3 estão em progressão aritmética;

a• 2 é divisível por 3.

Então a3 vale:

1a)

3b)

4c)

6d)

9e)

(UFRJ) Prove que, se o quadrado de um número natural 23. n é par, então o próprio número n tem que ser, obriga-toriamente, par. (isto é, n ∈ N, n2 par ⇒ n par)

(UFRJ) Um programador precisa criar um sistema que 24. possa representar, utilizando apenas sete dígitos, todos os números naturais que usam até 14 dígitos na base 10. Sua ideia é substituir o sistema de numeração de base 10 por um sistema de base b (ele tem como criar símbolos para os algarismo de 0 a b −1). Exemplo:

número xna base b

0 0 1 2 4 9 5 3 3 1 8 6 2 2 número xna base10←←

←←0 * # ω ⊗ ♣ ♠

Determine o menor valor aceitável para b.

(UFRJ) n e m são números naturais, n = 1000! +18 e 25. m = 50! +37.

Calcule o resto da divisão de n por 18.a)

méumnúmeroprimo?Justifiquesuaresposta.b)

(Unicamp) Um determinado ano da última década do 26. século XX é representado, na base 10, pelo número abba e um outro, da primeira década do século XXI, é repre-sentado, também na base 10, pelo número cddc.

Escreva esses dois números.a)

A que século pertencerá o ano representado pela b) soma abba + cddc ?

(Unicamp) O teorema fundamental da aritmética ga-27. rante que todo número natural n > 1 pode ser escrito como um produto de números primos. Além disso, se n = pt

11 pt

22 ... pt

r r, onde p1, p2, ... , pr são números primos

distintos, então o número de divisores positivos de n é d(n) = (t1 + 1) ⋅ (t2 + 1) ⋅ ... ⋅ (tr + 1).

Calcule d(168), isto é, o número de divisores positivos a) de 168.

Encontre o menor número natural que tem exata-b) mente 15 divisores positivos.

(Unicamp) Sejam a e b dois números inteiros po-28. sitivos tais que MDC (a, b) = 5 e o MMC (a, b) = 105.

Qual é o valor de b se a = 35?a)

Encontre todos os valores possíveis de (a, b).b)

(UFF) Com o desenvolvimento da tecnologia, novos dis-29. positivos eletrônicos vêm substituindo velhos tabuleiros ou mesa de jogos. Um desses dispositivos conhecido como “dado eletrônico” é um circuito elétrico que, de forma lógica, executa o seguinte procedimento: partindo de um número natural N, transforma-o em um número natural R que corres-ponde ao resto da divisão de N por sete; a seguir, apresenta no visor o número R como sendo o número sorteado. Ao apertar o botão do “dado eletrônico”, uma pessoa gerou um pulso correspondente ao número natural N formado por 2002 algarismos, todos iguais a 1. Assim sendo, o número


17EM

_V_M

AT

_002

R que aparecerá no visor é:

0a)

1b)

2c)

4d)

5e)


18 EM

_V_M

AT

_002

271.

C2.

E3.

C4.

D5.

6.

a=27,b=−8,c=1/9,d=−1/8a)

b < d < c < ab)

C 7.

A8.

B9. 3

310.

C11.

D12.

C13.

B14.

Resposta pessoal.15.

(10a +b) 16. ⋅ (10c +d) = (10b +a) ⋅ (10d +c)

D17.

A18.

A19.

D20.

E21.

B22.

C23.

C1.

A2.

E3.

C4.

A5.


19EM

_V_M

AT

_002

C6.

B7.

8.

6a)

345b)

A9.

210.

E11.

312.

D13.

B14.

A15.

31 e 4116.

17.

100a)

140b)

C18.

19.

Resposta pessoala) .

2/35b)

20.

10a) n é par e n é par, então N = 10n − n é par818b)

21.

Resposta pessoal.a)

12 e 13b)

E22.

Resposta pessoal23. .

10024.

25.

0a)

Não, pois n = 37 b) ⋅ (50 ⋅ 49 ⋅ ... ⋅ 38 ⋅ 36 ⋅ 35 ⋅ ... ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 + 1)

26.

1991 e 2002 a) XLb)

27.

16a) 144b)

28.

15a) (5, 105); (15, 35); (35, 15) e (105, 5)b)

E29.


20 EM

_V_M

AT

_002


1EM

_V_M

AT

_006

O estudo das funções exponenciais, apesar de ser posterior ao dos logaritmos, está diretamente relacionado a ele. Na verdade ambos possuem uma característica importante que motivou o seu desen-volvimento no século XVII, que é a possibilidade de simplificar cálculos matemáticos transformando multiplicações e divisões em adições e subtrações.

As funções exponenciais aparecem em diver-sas aplicações científicas e profissionais, como por exemplo, o montante de um capital aplicado a juros compostos fixos e a desintegração radioativa.

Função exponencialSeja a R, tal que 0 < a 1, a função exponencial

de base a é a função f: R R tal que f(x) = a x

Exemplo: `

f(x) = 3x, f(x) = (1/2)x e f(x) = 5( )X

PropriedadesComo f(0) = a1) 0 = 1, o par ordenado (0, 1) per-tence ao gráfico da função exponencial.

Quando 0 < a < 1, a função f(x) = a2) x é de-crescente. Já quando a > 1, a função f(x) = ax é crescente.

0 < a < 1:

x1 < x2 f(x1) > f(x2)

a > 1:

x1 < x2 f(x1) < f(x2)

Essa propriedade tem aplicação na resolução das inequações exponenciais.

Função Exponencial

A função f(x) = a3) x, com 0 < a ≠ 1 é injetora.

f(x1) = f(x2) x1 = x2

Essa propriedade respalda a solução das equa-ções exponenciais.

A função f(x) = a4) x, com 0 < a ≠ 1 é ilimitada superiormente e a sua imagem é o conjunto dos números reais positivos (R+

*).

GráficoO gráfico da função exponencial f(x) = ax, com 0

< a ≠ 1, tem as seguintes características:

está todo acima do eixo Ox; •

corta o eixo Oy no ponto de ordenada 1; •

é crescente para a > 1 e decrescente para •0 < a < 1;

o eixo x é assíntota do gráfico. •

É interessante observar que o crescimento ex-ponencial (a > 1) supera o de qualquer polinômio.

Os gráficos da função exponencial estão exem-plificados abaixo:

1.º caso: a > 1 (função crescente)

y

x10 2 3–3 –2 –1

2

4

6

f(x) = ax (a>1)


2 EM

_V_M

AT

_006

2.º caso: 0 < a < 1 (função decrescente)

y

x10 2 3–3 –2 –1

2

4

6

f(x) = ax (0<a<1)

Uma característica peculiar dos gráficos das funções exponenciais f(x) = ax, com a > 1, e g(x) = (1/a)x, onde consequentemente 0 < 1/a < 1, é que eles são simétricos em relação ao eixo y, pois f(−x) = g(x). Isso está exemplificado abaixo para f(x) = 2x e g(x) = (1/2)x.

y

x10 2 3–3 –2 –1

2

4

6

y = 2x

y =

12

Os gráficos seguintes retratam as mudanças nos gráficos quando varia o parâmetro a.

(1) y = 2x

(2) y = 3x

(3) y = 4x

y

x10 2 3–3 –2 –1

2

4

6

(3) (2) (1)

(4) y = (1/2)x

(2) y = (1/3)x

(3) y = (1/4)x

y

x10 2 3–3 –2 –1

2

4

6

(4) (5) (6)

Seja f: R R, f(x) = b . ax uma função do tipo exponencial e x1, x2, ..., xn uma progressão aritmé-tica de razão r, então f(x1), f(x2), ... , f(xn) formam uma progressão geométrica de razão ar.

Equações exponenciaisEquações exponenciais são equações cuja in-

cógnita encontra-se no expoente.

Nesse módulo, vamos estudar as equações que podem ser resolvidas reduzindo os dois mem-bros a uma base comum, o que possibilita igualar os expoentes em virtude da injetividade da função exponencial.

Sendo 0 < a 1, então:

ax = an x = n

Serão apresentados exemplos com as variações mais comuns desse tipo de problema.

Exemplos de equaçõesPara a resolução dessas equações basta adotar

o procedimento acima, ou seja, reduzir ambos os membros a uma base comum.


3EM

_V_M

AT

_006

31) x =243 3x=35 x=5

82) x = 132

(23)x=2–5 23x = 2–5 3x = – 5

x= – 53

( 43 )x = 3

9 3 x4 = 3

23 x

4= 2

3 x = 8

33)

No próximo exemplo é necessário observar que, para todo a 0, tem-se a0 = 1.

54) 2x2+3x–2 =1 52x2+3x–2 =50 2x2+3x – 2=0

x = –2 ou x = 12

25) 3x–1 . 42x+3 = 83–x 23x–1 . (22 )2x+3 = (23 )3–x

23x–1. 24x+6 = 29–3x 27x+5 =29–3x

7x + 5 = 9 – 3x 10x = 4 x = 0,4

Nesse caso, devemos colocar em evidência 5 elevado ao menor expoente.

56) x–2 – 5x + 5x+1 = 505

5x–2 – 52 . 5x–2 +53 . 5x–2 = 505

5x–2 . (1–52+53) = 505 101 . 5x–2 = 505

5x–2 = 51 x – 2=1 x = 3

No caso abaixo, devemos fazer a substituição y=2x e reduzir a equação a uma equação de 2.º grau.

47) x + 4 = 5 . 2x (2x)2 – 5.2x +4 = 0

y = 2x y2 – 5y + 4 = 0 y = 1 ou y = 4

2x = 1 2x = 20 x = 0

2x = 4 2x = 22 x = 2

Agora a base também é uma variável. A base da função exponencial deve ser maior que 0 e diferente de 1. Nesse caso, podemos apelar para a injetividade exponencial e igualar os expoentes. Entretanto, é preciso considerar a possibilidade da base ser 0 ou 1, que devem ser analisados em separado.

x8) x2 – 5x+6 = 1

x=0 • 06=1 (falso)

x=1 • 12=1 (verdadeiro)

0<x • 1: xx2–5x+6 = 1 xx2–5x+6 = x0

x2 – 5x+6=0

x=2 ou x=3

S= 1, 2, 3

Esse é um caso especial, em que temos várias bases diferentes, mas podemos reduzir a uma base comum.

49) x + 6x=2 . 9x (: 9x) 49

x

+ 69

x

– 2=0

23

2x

+ 23

x

– 2=0

y = 23

x

y2 + y – 2 = 0

y=1ouy= – 2 (não convém)

23

x

= 1 x = 0

Inequações exponenciaisA resolução de inequações exponenciais é ba-

seada na monotonicidade da função exponencial. Os dois casos estão apresentados abaixo:

a > 1: ax >an x > n

0 < a < 1: ax >an x < n

As expressões acima refletem o fato da expo-nencial ser crescente para bases maiores que 1 e decrescente para bases entre 0 e 1. Assim, a relação entre os expoentes é a mesma que entre as expo-nenciais para bases maiores que 1 e é invertida para bases entre 0 e 1.

A seguir serão apresentados exemplos de reso-lução de inequações exponenciais.

Exemplos de inequaçõesA resolução das inequações a seguir é feita

reduzindo ambos os membros a uma base comum e aplicando a propriedade das consequências imedia-tas, que consiste em manter o sinal da desigualdade entre os expoentes quando a base for maior que 1 e invertê-lo quando a base estiver entre 0 e 1.

31) x >243 3x >35 x>5

35

x

2) 12527

35

x

53

3

35

x

35

–3

x –3

(273) x–2)x+1 (9x+1)x–3 33(x–2) (x+1) 32(x+1)(x–3)

3 (x–2)(x+1) 2 (x+1)(x–3) x2+x 0

x –1

ou x 0

No caso a seguir, devemos colocar em evidência 3 elevado ao menor expoente.


4 EM

_V_M

AT

_006

34) 2x+1 – 9x – 32x–1 – 9x–1 42

32x+1 – 32x – 32x–1 – 32x–2 42

33 . 32x–2 – 32 . 32x–2 – 3 . 32x–2 – 32x–2 42

32x–2 . (33 – 32 – 3 – 1) 42 14.32x–2 42

32x–2 3 2x – 2 1 x 32

Nesse caso, devemos fazer a substituição y=3x e reduzir a inequação a uma inequação de 2.º grau.

35) 2x – 3x+1 >3x – 3 32x – 3 . 3x >3x – 3

32x – 4 . 3x +3 > 0

y=3x y2– 4y+3>0 y<1 ou y>3

3x<1 x<0

3x>3 x>1

S= x R x<0 ou x >1

No próximo exemplo, a base também é uma va-riável, sendo preciso analisar em separado os casos de base 0 e 1.

Resolva em R6) +, xx2– 5x+7 x.

I) x = 0 07 0 (verdadeiro)

II) x = 1 13 1 (verdadeiro)

III) 0 < x < 1 x2 – 5x +7 1

x2 – 5x +6 0 x 2 ou x 3

S1 = ]0, 1[

IV) x > 1 x2 – 5x +7 1 x2 – 5x +6 0

2 x 3 S1 = [2, 3]

S = [0, 1] [2, 3]

Equações exponenciaisA definição de logaritmo como inversa da função

exponencial permite resolver de imediato equações exponenciais.

ax=b x = logab

Cabe observar que se deve colocar a equação exponencial na forma ax = b .

Uma outra maneira de se resolver a equação exponencial é aplicar o logaritmo em ambos os mem-bros da equação exponencial.

ax = b logc ax = logc b x =

logcblogca

=logab

Nesse caso, não é necessário sempre colocar a equação na forma ax = b, podendo alternativamente aplicar primeiro o logaritmo numa base conveniente e posteriormente determinar a variável.

Exemplos: `

21) x+2 =3 x+2 = log2 3 x = log2 3 – 2

72) 2x –1 = 33x+4

1.a sol.: 72X

7 =33X . 34 72X

33X = 7 . 34

72

33 x=7 . 34 x = log 567

2.a sol.: 72x –1 = 33x+4 log 72x –1 = log 33x +4

(2x–1) . log 7 = (3x + 4) . log 3

2x . log 7 – 3x log 3 = 4 . log 3 + log 7

x(2 . log 7–3 . log 3) = 4 . log 3+ log 7

x = log 7+4 log 32 log 7– 3 log

Inequações exponenciaisDa mesma forma que as equações exponenciais,

as inequações podem ser resolvidas pela aplicação de logaritmos, considerando que a função logarítmica é crescente quando a base é maior que 1 e decres-cente quando a base está entre 0 e 1.

x > loga b, se a>1x < loga b, se 0< a<1

ax > b

x < loga b, se a>1x > loga b, se 0< a<1

ax < b

Caso seja conveniente, pode ser adotada outra base para o logaritmo em vez da base a.

21) 3x+2 > 9 3x+2>log2 9 x> log29 – 2

3

13 2)

x

5 x log 5 x – log35

23) x–2 > 32x–1 x – 2 >(2x – 1) log23

x(1 – 2 log23) > 2 – log23 x < 2 – log2 31 – 2log2 3

Note que 1 – 2 log23<0.

(UERJ) Uma empresa acompanha a produção diária de 1. um funcionário recém-admitido, utilizando uma função f(d), cujo valor corresponde ao número mínimo de peças que a empresa espera que ele produza em cada dia (d), a partir da data de sua admissão. Considere o gráfico auxiliar abaixo, que representa a função y = ex


5EM

_V_M

AT

_006

2,72

0,370,13

–1–2 1

y=ex

x

Utilizando f(d) = 100 –100 . e−0,2d e o gráfico acima, a empresa pode prever que o funcionário alcançará a produção de 87 peças num mesmo dia, quando d for igual a:

5a)

10b)

15c)

20d)

Solução: ` B

f(d) = 100 −100 . e−0,2d = 87 e−0,2.d = 0,13

No gráfico dado, temos 0,13 = e−2, então

e−0,2⋅d = e−2 ⇔ −0,2d = −2 d = 10

(UFJF) A população da cidade A cresce 3% ao ano e a 2. população da cidade B aumenta 3 000 habitantes por ano. Dos esboços de gráficos abaixo, aqueles que me-lhor representam a população da cidade A em função do tempo e a população da cidade B em função do tempo, respectivamente, são:

População

Tempo

População

Tempo

População

Tempo

População

Tempo

gráfico 1 gráfico 2

gráfico 3 gráfico 4

gráfico 2 e gráfico 1.a)

gráfico 1 e gráfico 2.b)

gráfico 3 e gráfico 1.c)

gráfico 2 e gráfico 4.d)

gráfico 3 e gráfico 4.e)

Solução: ` A

A função que representa a população da cidade A é f(n) = p0 ⋅ (1,03)n , onde p0 é a população inicial da cidade A.

A função que representa a população da cidade B é g(n) = q0 + 3000⋅n, onde q0 é a população inicial da cidade B.

Logo, a população da cidade A cresce exponencialmente, o que aparece no gráfico 2 e a população da cidade B cresce linearmente, o que aparece no gráfico 1.

(Fuvest) Das alternativas abaixo, a que melhor corres-3. ponde ao gráfico da função f(x) = 1 – 2–|x| é:

a)

y

0,5

0,5

x10 2 3–3 –2 –1

b)

y

1

x10 2–1 0,5 1,5 2,5–0,5–1,5

c)

y

1

1

x10 2 3–3 –2 –1


6 EM

_V_M

AT

_006

d)

y

1

1

x10 2 3–3 –2 –1

e)

y

1

1

x10 2 3–3 –2 –1

Solução: ` C

O gráfico de g(x) =

x12

x é:

y

1

1

x10 2 3–3 –2 –1

Com base no gráfico anterior, podemos traçar o gráfico

de h(x) =

x12

y

1

1

x10 2 3–3 –2 –1

O gráfico de f(x) = 1–

x12

é:

y

1

1

x10 2 3–3 –2 –1

4. (UFF) A automedicação é considerada um risco, pois a utilização desnecessária ou equivocada de um medi-camento pode comprometer a saúde do usuário: subs-tâncias ingeridas difundem-se pelos líquidos e tecidos do corpo, exercendo efeito benéfico ou maléfico.

Depois de se administrar determinado medicamento a um grupo de indivíduos, verificou-se que a concentração (y) de certa substância em seus organismos alterava-se em função do tempo decorrido (t), de acordo com a expressão y = y0 . 2

–0,5.t em que y0 é a concentração inicial e t é o tempo em hora.

Nessas circunstâncias, pode-se afirmar que a concentração da substância tornou-se a quarta parte da concentração inicial após:

1/4 de hora.a)

meia hora.b)

1 hora.c)

2 horas.d)

4 horas.e)

Solução: ` E

y0

4 = y0 . 2–0,5.t 2− 0,5⋅t =2−2 0,5.t = –2 4 horas

5. (Fatec) Seja m o menor número real que é solução da

equação 5x2–2 : 25= 1125

–x

. Então, m é um número:

par.a)

primob)

não-real.c)

irracional.d)

divisível por 3.e)

Solução: ` C

5x2–2 : 25 = 1125

–x

5x2–2 . 5–2 = (5–3)–x

5x2–4 = 53x x2–4 = 3x x2 – 3x – 4 = 0

x = –1 ou x = 4


7EM

_V_M

AT

_006

O menor número real que é solução da equação é m = – 1, logo

m = –1 = i que não é real.

6. (UECE) Se x1 e x2 são as raízes da equação 2x2 . 5x2= 0,001.(103–x)2, então + é:

5a)

10b)

13c)

34d)

Solução: ` B

2x2 . 5x2= 0,001.(103 – x)2 (2.5)x2 = 10–3. 106 – 2X

10x2= 103 – 2X x2 = 3–2x x2 + 2x – 3 = 0

x = –3 ou x =1

+ = (–3)2 + 12 = 10

7. (Fatec) Se x é um número real tal que 2–x . 4x < 8x+1, então:

– 2 < x < 2a)

x = 1b)

x = 0c)

x < 3/2d)

x > −3/2e)

Solução: ` E

2x . 4x < 8x+1 2–x . (22)x < (23)x+1 2–x .22x < 23x+3

2x < 23x+3 x < 3x+3 2x >–3 x > – 32

8. (Unirio) Num laboratório é realizada uma experiência com um material volátil, cuja velocidade de volatilização é medida pela sua massa, em gramas, que decresce em função do tempo t, em horas, de acordo com a fórmula m = –32t – 3t+1+ 108. Assim sendo, o tempo máximo de que os cientistas dispõem para utilizar esse material antes que ele se volatilize totalmente é:

inferior a 15 minutos.a)

superior a 15 minutos e inferior a 30 minutos.b)

superior a 30 minutos e inferior a 60 minutos.c)

superior a 60 minutos e inferior a 90 minutos.d)

superior a 90 minutos e inferior a 120 minutos.e)

Solução: ` E

m = 32t – 3t+1+ 108 = 0 –32t – 3.3t +108 = 0

y = 3t –y2 – 3y + 108 = 0 y = 9y = –12 (não convém)

3t = 9 = 32 t = 2 horas = 120 minutos.

Como aos 120 minutos o material se volatilizou total-mente, o tempo máximo de utilização é um valor bem próximo a 120 minutos, porém, inferior a 120.

9. (FGV) Adotando os valores log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48, a raiz da equação 5x = 60 vale aproximadamente:

2,15a)

2,28 b)

41c)

2,54 d)

2,67e)

Solução: ` D

5x = 60 log 5x = log60 x.log 102 = log(2 . 3 . 10)

x (1 – log2) = log2 + log3 + 1

x = ≅ 2,54log2 + log3 + 11 – log2

= 0,30 + 0,48 + 11 – 0,30

= 1,780,70

10. (UNIRIO) Uma indústria do Rio de Janeiro libera po-luentes na Baía de Guanabara. Foi feito um estudo para controlar essa poluição ambiental, cujos resultados são a seguir relatados:

Do ponto de vista da comissão que efetuou o estudo, essa indústria deveria reduzir sua liberação de rejeitos até o nível onde se encontra P, admitindo-se que o custo total ideal é o resultado da adição do custo de poluição y = 2x −1, ao custo de controle da poluição y = 6 . (1/2)x. Para que se consiga o custo ideal, a quantidade de poluentes emitidos, em kg, deve ser aproximadamente: (Considere log 2 = 0,3 e log 3 = 0,4)

1 333a)

2 333b)


8 EM

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_006

3 333c)

4 333d)

5333e)

Solução: ` A

Custo da poluição = custo do controle da poluição

2x −1 = 6 ⋅ (1/2)x 22x − 2x − 6 = 0

a = 2x a2 − a − 6 = 0 a = −2 ou a = 3

a > 0 2x = 3 ⇔ x log 2 = log 3

= log 3log 2 = 0,4

0,3= 4

3.1 000kg =1 333kgton = 4

3

(PUC-Rio) Dada a função f(x) = 51. x (5 x − 1)

Ache f (0) e f (1).a)

Resolva f (x) = 0.b)

(UERJ) Pelos programas de controle de tuberculose, 2. sabe-se que o risco de infecção R depende do tempo t, em anos, do seguinte modo: R = Ro ⋅ e−kt , em que Ro é o risco de infecção no início da contagem do tempo t e k é o coeficiente de declínio. O risco de infecção atual em Salvador foi estimado em 2%. Suponha que, com a implantação de um programa nesta cidade, fosse obtida uma redução no risco de 10% ao ano, isto é, k = 10%. Use a tabela abaixo para os cálculos necessários:

ex 8,2 9,0 10,0 11,0 12,2

x 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5

O tempo, em anos, para que o risco de infecção se torne igual a 0,2% , é de:

21a)

22b)

23c)

24d)

(Unesp) Num período prolongado de seca, a variação 3. da quantidade de água de certo reservatório é dada pela função q(t) = q0 . 2

(–0,1).t sendo q0 a quantidade inicial de água no reservatório e q(t) a quantidade de água no reservatório após t meses. Em quantos meses a quantidade de água no reservatório se reduzirá à metade do que era no início?

5a)

7b)

8c)

9d)

10e)

(UENF) A inflação anual de um país decresceu no período 4. de sete anos. Esse fenômeno pode ser representado por uma função exponencial do tipo f(x) = a . bx, conforme o gráfico a seguir.

Determine a taxa de inflação desse país no quarto ano de declínio.

(FGV) O gerente de produção de uma indústria construiu 5. a tabela abaixo, relacionando a produção dos operários com sua experiência.

Experiência (meses) 0 6

Produção (unidades por hora 200 350

Acredita o gerente que a produção Q se relaciona à experiência t, através da função Q(t) = 500 - A . e-k.t, sendo e = 2,72 e k um número real, positivo.

Considerando que as projeções do gerente de pro-a) dução dessa indústria estejam corretas, quantos me-ses de experiência serão necessários para que os operários possam produzir 425 unidades por hora?

Desse modo, qual será a máxima produção possível b) dos operários dessa empresa?

(UFF) Em um meio de cultura especial, a quantidade de 6. bactérias, em bilhões, é dada pela função Q definida, para t ≥ 0, por Q(t) = k ⋅ 5kt, sendo t o tempo, em minuto, e k uma constante.

A quantidade de bactérias, cuja contagem inicia-se com o cálculo de Q(0), torna-se, no quarto minuto, igual a 25 Q(0).

Assinale a opção que indica quantos bilhões de bactérias estão presentes nesse meio de cultura no oitavo minuto.

12,5a)

25b)

312,5c)

625d)

1 000e)


9EM

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AT

_006

(UFF) Após acionado o “flash” de uma câmera foto-7. gráfica, a bateria começa imediatamente a recarregar o capacitor que armazena uma quantidade de carga elétrica (medida em Coulomb) dada por: Q = Q(t) = Qo⋅(1 − e– ⋅t) sendo:

Q(t) a carga elétrica armazenada até o instante t, •medido em segundo;

Q • o a carga máxima; e

λ • uma constante.

Considerando λ = ½ e n 10 = 2,3 determine:

a expressão de t em função de Q.a)

o tempo necessário para que o capacitor recarre-b) gue 90% da carga máxima.

(UFJF) A figura abaixo é um esboço do gráfico da função 8. y = 2x no plano cartesiano.

Com base nesse gráfico, é correto afirmar que:

ya) 0 = y2 − y1

yb) 1 = y3 − y2

yc) 1 = y3 + y0

yd) 2 = y1 ⋅ y0

ye) 3 = y1 ⋅ y2

(UFJF) A função c(t)=200 . 39. k.t, com k = 1/12, dá o crescimento do número C, de bactérias, no instante t em horas. O tempo necessário, em horas, para que haja, nessa cultura, 1 800 bactérias, está no intervalo:

[0, 4]a)

[4, 12]b)

[12, 36]c)

[36, 72]d)

[72, 108]e)

(UFRN) No plano cartesiano abaixo, estão represen-10. tados o gráfico da função y = 2x , os números a, b, c e suas imagens.

Observando-se a figura, pode-se concluir que, em função de a, os valores de b e c são, respectivamente:

a2

a) e 4a

a b) −1 e a + 2

2a e c) a4

a + 1 e a d) − 2

(UFRGS) Analisando os gráficos das funções reais de 11.

variável real definidas por f xx

( ) =

−32

1

e g (x) = x,

representadas no mesmo sistema de coordenadas carte-sianas, verificamos que todas as raízes da equação f(x) = g(x) pertencem ao intervalo:

[0, 3]a)

12

4, ]

b)

[1, 5)c)

32

6, ]

d)

(2, 6)e)

(UFSC) Assinale a soma dos números associados à(s) 12. proposição(ões) correta(s).

(01) Se uma loja vende um artigo à vista por R$ 54,00, ou por R$20,00 de entrada e mais dois pagamen-tos mensais de R$20,00, então a loja está cobrando mais do que 10% ao mês sobre o saldo que tem a receber.

(02) Se numa área urbana o número de pessoas atin-gidas por certa doença (não controlada) aumenta

50% a cada mês, então a função n t Nt

( ) = ⋅

32

for-

nece o número (aproximado) de pessoas afetadas pela doença, t meses após o instante em que havia N pessoas doentes nessa área.

(04) Se o produto P é vendido por R$20,00 pela loja A e por R$40,00 pela loja B, então pode-se dizer que na loja B o produto P está com o preço 100% acima do preço praticado pela loja A, e que a loja A está pra-ticando um preço 100% menor do que o praticado pela loja B.

(08) Admita que a função n(t) = N . 2t forneça o número aproximado de pessoas atingidas por uma epide-


10 EM

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AT

_006

mia (não controlada) onde t é o número de meses decorridos a partir do momento em que N pessoas são acometidas pela doença. Então é correto afirmar que, num aglomerado urbano com 10 000 habitan-tes, não ocorrendo aumento populacional, oito me-ses após existirem 50 pessoas doentes é provável que toda a população estará doente, caso nada seja feito para debelar o mal.

Soma ( )

(Unirio) Você deixou sua conta negativa de R$100,00 em 13. um banco que cobrava juros de 10% ao mês no cheque especial. Um tempo depois, você recebeu um extrato e observou que sua dívida havia duplicado. Sabe-se que a expressão que determina a dívida (em reais) em relação ao tempo t (em meses) é dada por: X(t) = 100 . (1,10)t. Após quantos meses a sua dívida duplicou?

loga) 1,10 2

logb) 2 1,10

log 2c)

log 1,10d)

log 2,10e)

(PUC-Rio) Uma das soluções da equação 14. 101

100

23x − =

é:

x = 1a)

x = 0b)

x = 2c)

x = d) −2

x = 3e)

(UFJF) As raízes da equação 15. 2 1 2 17 4x x+ =/ / são:

iguais em módulo.a)

ambas negativas.b)

ambas positivas.c)

quaisquer números reais.d)

nulas.e)

(UFF)16.

Ao resolver uma questão, José apresentou o se-a) guinte raciocínio:

“Como 14

18

> tem-se 12

12

2 3

>

e conclui-se que 2 > 3.”

Identifique o erro que José cometeu em seu racio-cínio, levando-o a essa conclusão absurda.

Sem cometer o mesmo erro que José, determine o b) menor número m, inteiro e positivo, que satisfaz à

inequação: 12

14

4 1

>

+m m

.

(UFMG) Suponha que a equação 17. 8 4 2

2 23 5 5 8ax bx c x x x+ + + − += ⋅ seja válida para todo número real x, em que a, b e c são números reais. Então, a soma a + b + c é igual a:

53

a)

173

b)

283

c)

12d)

(UFSC) O valor de x, que satisfaz a equação 18. 2 3 2 322 1 2x x+ +− ⋅ = , é:

(UFSC) Marque a(s) proposição(ões) correta(s).19.

Dados f(x) = 2x – 1 e g(x) = 3x + 2, o valor de )(f(g(1)) é 9.

O gráfico da função f(x) = 2x – 1 )( não intercepta o terceiro quadrante.

O conjunto solução da equação )( log ( ) log32

3 2x x− = é {−1, 2}.

O conjunto solução da inequação exponencial )(

17

17

x 5x 1 12

≥

+ +

é {x ∈ R −5 ≤ x ≤ 0}.

(M. Campos) Resolvendo as duas equações expo-20. nenciais 4 81 5x − = e 3 52 3 2 3y y+ += , obtém-se uma raiz para cada equação. Nessas equações valor de x − y corresponde a:

2,8a)

– 0,2b)

0,8c)

1d)

(EsPCEx) A soma e o produto das raízes da equação 21.

9.35

243125

x x 92

=− −

são, respectivamente:

1 e –12a)

7 e 12b)

–2 e –8c)

–1 e 12d)

7 e 10e)

(AFA) O conjunto-solução da inequação 22. ( , ) ( , )( ) ,0 5 0 252 15x x x⋅ − −< é:

{x R l x <1}a)

{x R l x >3}b)


11EM

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{x R l 1 < x <3}c)

{x R l x < 1 ou x > 3}d)

(UERJ) Segundo a lei do resfriamento de Newton, a 1. temperatura T de um corpo colocado num ambiente cuja temperatura é T0 obedece à seguinte relação:

T=T0+K e-ct

Nessa relação, T é medida na escala Celsius, t é o tempo medido em horas, a partir do instante em que o corpo foi colocado no ambiente, e k e c são constantes a serem determinadas. Considere uma xícara contendo café, inicialmente a 100ºC, colocada numa sala de temperatura 20ºC. Vinte minutos depois, a temperatura do café passa a ser de 40ºC.

Calcule a temperatura do café 50 minutos após a a) xícara ter sido colocada na sala.

Considerando ln 2 = 0,7 e ln 3 = 1,1, estabeleça b) o tempo aproximado em que, depois de a xícara ter sido colocada na sala, a temperatura do café se reduziu à metade.

(UENF) Em um município, após uma pesquisa de 2. opinião, constatou-se que o número de eleitores dos candidatos A e B variava em função do tempo t, em anos, de acordo com as seguintes funções:

A(t) = 2.105(1,60)t B(t) = 4.105(0,4)t

Considere as estimativas corretas e que t = 0 refere-se ao dia 1.° de janeiro de 2000.

Calcule o número de eleitores dos candidatos A e B a) em 1.° de janeiro de 2000.

Determine em quantos meses os candidatos terão b) o mesmo número de eleitores.

Mostre que, em 1.º de outubro de 2000, a razão c) entre os números de eleitores de A e B era maior que 1.

(FGV) Uma certa mercadoria foi promovida por uma 3. substancial campanha de propaganda e, pouco antes de encerrar a promoção, a quantidade diária de vendas era 10 000 unidades. Imediatamente após, as vendas diárias decresceram, tal que: V(t) = B . ek.t, sendo B o número de unidades vendidas em um determinado dia; V(t) a quantidade de vendas por dia, após t dias; e = 2,72 e k um número real.

Sabe-se que 10 dias após encerrar a promoção o volume diário de vendas era de 8 000 unidades.

Qual o volume diário de vendas 30 dias após o en-a) cerramento da promoção?

Quando se espera que a venda diária seja reduzida b) a 6 400 unidades?

Considere que log 2 = 3/10, sendo log 2 o logaritmo de 2 na base 10.

(FGV) Uma empresa estima que após completar o pro-4. grama de treinamento básico, um novo vendedor, sem experiência anterior em vendas, será capaz de vender V(t) reais em mercadorias por hora de trabalho, após t meses do início das atividades na empresa. Sendo V(t)=A - b . 3-k.t, com A, B e k constantes obtidas expe-rimentalmente, pede-se:

determinar as constantes A, B e k, sabendo que o a) gráfico da função V é

admitindo-se que um novo programa de treinamen-b) to básico introduzido na empresa modifique a fun-ção V para V(t) = 55 – 24 . 3-t, determinar t para V(t) = 50. Adote nos cálculos log2 = 0,3 e log3 = 0,5.

(UFC) Sejam f: R 5. → R e g: R → R, sendo R o conjunto dos números reais, funções tais que:

f é uma função par e g é uma função ímpar;I)

f(x) + g(x) = 2II) x.

Determine f(log23) – g(2).

(UFSCar) Se a área do triângulo retângulo ABC, indi-6. cado na figura, é igual a 3n, conclui-se que f(n) é igual a ______, sendo f(x) = 2x.

2a)

2b) 2

3c)

3d) 2

4e)


12 EM

_V_M

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(UnB) A magnitude – M – de um terremoto é medida 7. pela escala Richter, criada por Charles F. Richter, em 1934. Nessa escala, a magnitude de um terremoto está relacionada com a energia liberada por ele – E –, em

joules (J), de acordo com a expressão E EM

= ⋅0

3210 ,

em que E0 é uma constante. Com base nessas infor-mações, julgue os itens a seguir, como verdadeiros (V) ou falsos (F)

Se a energia liberada por um terremoto for igual a )(1 000 000 E0 J, então a magnitude desse terremoto será igual a 5 na escala Richter.

A energia liberada por um terremoto de magnitude )(5 é, pelo menos, 50 vezes maior que a liberada por um terremoto de magnitude 4.

Considerando que uma tonelada de dinamite (TNT) )(libere 5 100

92E ⋅ J durante uma explosão, então um

terremoto de magnitude 8 libera mais energia que uma explosão de 8 milhões de toneladas de TNT.

A figura abaixo ilustra corretamente, em um sistema )(de coordenadas cartesianas, o gráfico da energia li-berada em função da magnitude de um terremoto.

(UnB) A disseminação de uma doença infecciosa em 8. uma determinada população de 30 000 frangos em uma

granja pode ser descrita pela equação P t t( ) =+ −

11 4801 34

, em

que t é o número de dias decorridos desde a detecção da doença, que é definido como o momento do apareci-mento dos primeiros casos – t = 0 – e P(t) é a quantidade total de frangos infectados após t dias. Com base nessas informações, julgue os itens a seguir, como verdadeiros (V) ou falsos (F).

A quantidade de frangos infectados no momento em )(que a doença foi detectada é superior a 150.

Caso a doença não seja controlada, toda a popula- )(ção de frangos da granja será infectada.

4 100 frangos serão infectados decorridos 2 +log )( 3 5 dias do momento da detecção da doença.

O número de frangos infectados somente no terceiro )(dia é inferior a 1 200.

(Unesp) A trajetória de um salto de um golfinho nas pro-9. ximidades de uma praia, do instante em que ele saiu da água (t = 0) até o instante em que mergulhou (t = T), foi

descrita por um observador através do seguinte modelo matemático h(t) = 4t – t . 20,2 . t, com t em segundos, h(t) em metros e 0 ≤ t ≤ T. O tempo, em segundos, em que o golfinho esteve fora da água durante esse salto foi:

1a)

2b)

4c)

8d)

10e)

(Unesp) Considere a função dada por 10. f(x) = 32x+1 + m . 3x + 1.

Quando m = a) − 4, determine os valores de x para os quais f(x) = 0.

Determine todos os valores de m para os quais a b) equação f(x) = m +1 não tem solução real x.

(Unicamp) Suponha que o preço de um automóvel tenha 11. uma desvalorização média de 19% ao ano sobre o preço do ano anterior. Se F representa o preço inicial (preço de fábrica) e p (t), o preço após t anos, pede-se:

a expressão para p (t);a)

o tempo mínimo necessário, em número inteiro de b) anos, após a saída da fábrica, para que um automó-vel venha a valer menos que 5% do valor inicial. Se necessário, use: log , log ,2 0 301 3 0 477≅ ≅ e .

(Unicamp) Suponha que o número de indivíduos de 12. uma determinada população seja dado pela função: F(t) = a . 2-bt, onde a variável t é dada em anos e a e b são constantes.

Encontre as constantes a e b de modo que a po-a) pulação inicial (t = 0) seja igual a 1 024 indivíduos e a população após 10 anos seja a metade da po-pulação inicial.

Qual o tempo mínimo para que a população se re-b) duza a 1/8 da população inicial?

Esboce o gráfico da função F(t) para t e [0,40].c)

(Unicamp) O processo de resfriamento de um determi-13. nado corpo é descrito por: T(t) = TA + a . 3b.t, onde T(t) é a temperatura do corpo, em graus Celsius, no instante t, dado em minutos, TA é a temperatura ambiente, suposta constante, e a e b são constantes. O referido corpo foi colocado em um congelador com temperatura de −18ºC. Um termômetro no corpo indicou que ele atingiu 0ºC após 90 minutos e chegou a −16ºC após 270 minutos.

Encontre os valores numéricos das constantes a) a e b.

Determine o valor de t para o qual a temperatura b)

do corpo no congelador é apenas 23

o

C superior à temperatura ambiente.


13EM

_V_M

AT

_006

(UFRN) No programa de rádio Hora Nacional, o 14. locutor informa:

“Atenção, senhores ouvintes. Acabamos de receber uma notificação da defesa civil do país alertando para a chegada de um furacão de grandes proporções nas próximas 24 horas. Pede-se que mantenham a calma, uma vez que os órgãos do governo já estão tomando todas as providências cabíveis”.

Para atender às solicitações que seguem, suponha que o número de pessoas que tenha acesso a essa informação, quando transcorridas t horas após a divulgação da notícia, seja dado pela expressão

f tP

k t( ) .( ).=+ −1 9 3

, sendo t ≥ 0, P a população do

país e k uma constante.

Calcule o percentual da população que tomou a) conhecimento da notícia no instante de sua di-vulgação.

Calcule em quantas horas 90% da população b) teve acesso à notícia, considerando que, em 1 hora após a notícia, 50% da população do país já conhecia a informação.

(FGV) Os números inteiros x e y satisfazem a equação 19. 2 2 5 3 53 1 3x x y y+ + ++ = + ⋅ . Então x − y é:

8a)

5b)

9c)

6d)

7e)

(UFSCar) O par ordenado (x, y) solução do sistema 20. 4 32

3 3

x y

y x

+

−

=

=

é:

532

,

a)

532

,−

b)

323

,

c)

132

,

d)

112

,

e)

(ITA) Dada a equação 321. 2x + 52x – 15x = 0, podemos afirmar que:

Não existe x real que a satisfaça.a)

x = log b) 3 5 é solução dessa equação.

x = log c) 5 3 é solução dessa equação.

x = log d) 3 15 é solução dessa equação.

x = 3.log e) 5 15 é solução dessa equação.

(ITA) Seja a um número real com 0 < a < 1. Então, os 22. valores reais de x para os quais a2x – (a + a2) . ax + a3 < 0 são:

aa) 2 < x < a

x < 1 ou x > 2b)

1 < x < 2c)

a < x < d) a

0 < x < 4e)

(ITA) Sabendo-se que 3x – 1 é fator de 23. 12x3 – 19x2 + 8x – 1 então as soluções reais da equação 12 . (3 3x ) – 19 . (3 2x ) + 8 . (3 x ) – 1 = 0 somam:

–log a) 3 12

1b)

–(1/3).log c) 3 12

(IME) Determine os valores de 15. λ que satisfaçam à

inequação, 2749

27 27 02 1λ λ− + >− , e represente, grafi-camente, a função, y x x= − + −27

49

27 272 1

(UFF) Resolva o sistema 16. 3 3 36

3 243

x y

x y

+ =

=

+

(UFSCar) Numa progressão geométrica, o primeiro 17. termo é 5x e a razão é 5. Se a soma dos quatro primeiros

termos é 3 900, pode-se afirmar que 5

5

2x −

é igual a:

1/25a)

1/5b)

1c)

5d)

25e)

(Unicamp) Considere a equação 18. 2 2 2 2 02x xm m+ ⋅ − − =− , onde m é um número real.

Resolva essa equação para m = 1.a)

Encontre todos os valores de m para os quais a b) equação tem uma única raiz real.


14 EM

_V_M

AT

_006

–1d)

log e) 3 7

(ITA) Seja a 24. ∈ R com a > 1. O conjunto de todas as soluções reais da inequação a ax x x2 1 1⋅ − −>( ) é:

] a) −1 , 1[

]1 , +b) ∞[

] c) −1/2 , 1[

] d) −∞ , 1[

vazio.e)

(ITA) A soma das raízes positivas da equação 25. 4 5 2 4 0

2 2x x− ⋅ + = vale:

2a)

5b)

2c)

1d)

3e)

(UECE) Um empregado está executando a sua 26. tarefa com mais eficiência a cada dia. Suponha que N t= − − ⋅640 1 2 0 5 . ( ), seja o número de unidades fa-bricadas por dia por esse empregado, após t dias, do início do processo de fabricação. Se, para t = t1 , N = 635, então t1 é igual a:

10a)

12b)

14c)

16d)

(IME) Resolva o sistema 27. x y

y ax

y x==

onde a ≠ 1 e a > 0.


15EM

_V_M

AT

_006

1.

f(0) = 0 e f(1) = 20a)

x = 0b)

C 2.

E3.

60%4.

5.

12 meses.a)

499b)

C6.

7.

tQQ

= − −

2 1

0

na)

t b) ≈ 4,6s.

E8.

C9.

D10.

C11.

E, C, E, C 12. ⇒ soma 10

A13.

A14.

A15.

16.

12

12

2 3

>

a) ⇒ 2 < 3, pois a exponencial de base 1/2

é decrescente.

m = 2b)

C17.

318.

C, E, C, C19.

A20.

A21.

D22.


16 EM

_V_M

AT

_006

1.

22,5ºCa)

15 minutos.b)

2.

200 000 e 400 000 eleitores.a)

6 meses.b)

Razão = c) 2 > 1

3.

5 120 unidades.a)

20 dias.b)

4.

A = 50, B = 30 e k = 1/2a)

1,4b)

−5. 5/24

C 6.

F, F, F, F7.

F, F, V, F8.

E9.

10.

0 e a) −1

−12 < m b) ≤ 0

11.

p(t) = (0,81)a) t⋅F

15 anos.b)

12.

a = 1024 e b = 1/10a) 30 anos.b)

13.

aa) = 54 e β = −1/90

360 minutos.b)

14.

10%a)

2 horas. b)

λ15. < − 2

3 ou λ > −

1

3(2, 316. ) ou (3, 2)

B17.

18.

S = {1}a)

(b) −∞, 0] ∪ {1}

B19.

D20.

A21.

C22.

A23.

C24.

C25.

C26.

x aa= −1

127. e y aa

a= −1


aritmética elementar

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