Laboratório de Teoria de Controle

Prof. Juan Moises Mauricio Villanueva

www.cear.ufpb.br/juan

E-mail: jmauricio@cear.ufpb.br

Principais Comandos Usados Em Teoria De Controle

Funções de Construção de Modelos

tf Modelo representado como uma Função de Transferência

ss Modelo representado em Espaço de Estados

[Num,Den]=ss(A,B,C,D,iu) Calcula os vetores Num e Den que contem os coeficientes em ordem descendente de potencias de “s”, do numerador e denominador da função de transferência expressada como um polinômio para a iu-ésima entrada.

Os argumentos de entrada A, B, C e D são as matrizes das equações de espaço de estados, em que iu é o

número da entrada no caso de sistema MIMO. No caso de sistema SISO, iu é 1.

Funções de Conversão de Modelos

c2d Espaço de estados continua a espaço de estados discreto

residue Expansão de frações parciais

( ) (1) (2) ( )( ) ... ( )

( ) (1) (2) ( )

Num s R R R nH s K s

Den s s P s P s P n

ss2tf Espaço de estados a função de transferência

ss2zp Espaço de estados a zero-polo-ganho

1 2

1 2

( )( )...( )( )

( )( )...( )

n

m

s z s z s zH s k

s p s p s p

tf2ss Função de transferência a espaço de estados

tf2zp Função de transferência a zero-polo-ganho

zp2ss Zero-polo-ganho a espaço de estados

zp2tf Zero-polo-ganho a função de transferência

clc

close all

clear

%Funções de conversão de modelos

%Data 17-03-2019

%Autor Prof .Juan

A = [0 1 0;0 0 1;-24 -26 -9];

B = [0 0 1]';

C = [1 1 0];

D = 0;

%Modelos em Espaço de Estados

sys1 = ss(A,B,C,D)

%Conversão para Função de Transferência

[Num,Den] = ss2tf(A,B,C,D);

sys2 = tf(Num,Den)

%Decomposiçao em frações parciais

[r,p,k] = residue(Num,Den)

%Conversão de espaço de estados para zero-polo-ganho

[z,p,k]=ss2zp(A,B,C,D)

%Resposta ao Degrau

figure

tsim = 5;

step(sys1,tsim)

hold on

step(sys2,tsim)

hold off

legend('SS','TF')

Funções de Análise e Projeto

bode Resposta em frequência: módulo e fase

nyquist Resposta em frequência de Nyquist

rlocus Lugar geométrico das raízes

sisotool Projeto de sistemas SISO

%Diagrama de Bode

figure

bode(Num,Den)

grid

Análise de Funções de Transferência

2

3 2

6 1( )

3 3 1

sH s

s s s

clc

close all

clear

%Análise da Função de Transferência

Num = [6 0 1];

Den = [ 1 3 3 1];

sys= tf(Num,Den);

%Determinando as raizes do numerador e denominador

raizesNum = roots(Num)

raizesDen = roots(Den)

%zeros e polos no plano-s

figure

pzmap(sys)

%resposta ao degrau

figure

step(sys)

stepinfo(sys) %informações sobre a resposta ao degrau

%resposta ao impulso

figure

impulse(sys)

RiseTime: 0.1877

SettlingTime: 9.5105

SettlingMin: 0.1218

SettlingMax: 1.4062

Overshoot: 40.6236

Undershoot: 0

Peak: 1.4062

PeakTime: 0.6100

ATIVIDADE 1 (0,5 pontows)

(Estabilidade usando o Critério de R-H e Erro em Regime

Estacionário):

Para um sistema de controle:

Determine os valores de “a” e “k” para que o sistema seja estável para uma entrada rampa, e

para que ess 24% da referência.

Solução

Usando o critério de estabilidade do método de Routh-Hurwitz para encontrar os valores de “a”

e “k”:

A função de transferência em mala fechada:

4 3 2

( ) ( )

( ) 8 17 ( 10)

C s k s a

R s s s s k s ak

A equação característica em laço fechado é dada por:

4 3 2( ) 8 17 ( 10)q s s s s k s ak

s4 + 1 17 ak

s3 + 8 (k+10)

s2 + 126

8

k

ak 0

s1 + 21260 116 64

126

k ak k

k

0 0

s0 + ak 0 0

Para que o sistema seja estável, todos os polos devem estar no lado esquerdo do plano de

Laplace, e por tanto não deveria haver troca de sinal.

1260 126

8

0 0 0

kk

ak a e k

Usando a informação do erro em estado estacionário:

Observa-se que o G(s) é um sistema “tipo 1”. Para ter um erro em regime estacionário, a

entrada tem que ser uma rampa.

Considerando-se uma entrada rampa u(t)=At, em que “A” é a inclinação e “t” o tempo:

020

lim ( ) ( )lim

( 1)( 7 10)

ss

ss

A Ae

sG s k s as

s s s

100,24ss

Ae A

ak (24% da referência)

41,67 aK

Finalmente, as restrições das variáveis seriam:

0 126 41,67k e ak

Se k=70 então a>0,59

Para determinar “a”, pode-se assumir um valor de a=0,60

clc

close all

clear

t = 0:0.01:10;

u = t; %Entrada tipo rampa

NumGc = [1 0.6];

DenGc = [1 1];

NumG = [70];

DenG = [1 7 10 0];

%Sistema em Serie

[NumS, DenS] = series(NumGc,DenGc,NumG,DenG);

%Sistema em laço fechado

[Num,Den] = cloop(NumS,DenS);

%lsim Simulate time response

%of dynamic systems to arbitrary inputs.

[y,x] = lsim(Num,Den,u,t);

plot(t,y,t,u),grid

xlabel('t (s)')

ylabel('c(t)')

hold on

plot(t,u+0.24,'--g')

plot(t,u-0.24,'--k')

hold off

legend('Saída','Referência','limite Superior',...

'limite Inferior','Location','North')

PROBLEMAS ATIVIDADE 1:

a) Analisar a influência das variações de “a” e “k” dos polos do sistema no plano de

Laplace

b) Utilizar o código abaixo para analisar as variações de “a” e “k”. Observe os resultados e

relate suas conclusões e comentários

clc, close all, clear

a = [0.1 : 0.01 : 3]; %Variação de “a”

k = [20 : 1 : 120]; %Variação de “k”

x = 0*k;

y = 0*k;

n = length(k);

m = length(a);

for i = 1:n

for j = 1:m

%Equação caracteristicas

q = [1 8 17 (k(i)+10) (k(i)*a(j))];

p = roots(q); %Raizes

if max(real(p))>0

x(i) = k(i);

y(i) = a(j-1);

break

end

end

end

plot(x,y)

grid

xlabel('k'),ylabel('a')

ATIVIDADE 2 (0,75 pontos)

(Controladores PID)

Considere uma planta de segunda ordem com um controlador PID. Implemente o sistema em

simulink e parametrize as constantes do controlador.

Suponha que a planta poderia sofrer a variação de um parâmetro no modelo. Usar a variável

“delta” para incluir estas variações em uma constante do modelo da planta.

Parâmetros do controlador

clc

close all

clear

delta = 0;

%Controlador PID

kp = 4; %Proporcional

ki = 25; %Integral

kd = 1; %Derivativo

tsim = 10; %Tempo de simulação

%Passando parametros ao modelo feito em Simulink

sim('modelo',tsim);

figure

plot(t,r,t,y)

xlabel('t')

ylabel('y')

grid

PROBLEMAS ATIVIDADE 2:

a) Implementar o controle PID usando blocos integradores e derivadores do toolbox de

simuliunk, e comparar o bloco PID de simulink

b) Analisar as contribuições individuais de cada ação de controle e do conjunto do sistema

de laço fechado (domínio do tempo e frequência)

c) Determinar analiticamente o erro em regime estacionário, o sobrevalor, e a constante de

tempo. Compare os resultados com a simulação

d) Considerar a influência na variação de parâmetros da planta, realize as simulações para

delta: 0, -10 e 10. Observe os resultados do sistema de controle e justifique os tipos de

respostas.

ATIVIDADE 3 (0,75 pontos)

(Controle do Motor CC)

Considere o modelo do motor CC cuja entrada é a tensão da armadura e a saída é a velocidade

angular

https://la.mathworks.com/help/control/examples/dc-motor-control.html

Modelo em diagrama de blocos:

clc

close all

clear

tsim = 5; %Tempo de Simulação

%Parametros

R = 2.0; % Ohms

L = 0.5; % Henrys

Km = 0.1; % torque constant

Kb = 0.1; % back emf constant

Kf = 0.2; % Nms

J = 0.02; % kg.m^2/s^2

NumG1 = Km;

DenG1 = [L R];

NumG2 = 1;

DenG2 = [J Kf];

[NumG,DenG] = series(NumG1,DenG1,NumG2,DenG2);

sysOpenLoop = tf(NumG,DenG);

sysCloseLoop = feedback(sysOpenLoop,Kb,1,1);

figure

step(sysCloseLoop,tsim)

axis([0 tsim, 0 1.5])

hold on

t = 0:0.001:tsim;

plot(t,ones(1,length(t)),'--r');

hold off

legend('saída c(t)','Set-Point')

%% Controle Proporcional

Kp = 4;

[NumG2,DenG2] = series(NumG,DenG,Kp,1);

sysOpenLoop2 = tf(NumG2,DenG2);

sysCloseLoop2 = feedback(sysOpenLoop2,Kb,1,1)

figure

step(sysCloseLoop2,tsim)

axis([0 tsim, 0 1.5])

hold on

t = 0:0.001:tsim;

plot(t,ones(1,length(t)),'--r');

hold off

legend('saída c(t)','Set-Point')

PROBLEMAS ATIVIDADE 3:

Considerando-se Td=0, resolver:

a) Construir o modelo do sistema em espaço de estados

b) Analisar o comportamento do sistema em laço aberto do modelo do motor CC,

determinar a constante de tempo, os zeros e polos no plano-s

c) Projetar um sistema de controle P, PI, PD, PID, com erro estacionário ess<5% da

referência, Ts<1 s e SP<10%. Analisar a influência dos controladores nos zeros e polos

do sistema em laço fechado. Realizar as comparações para cada tipo de controlador.