DIAGRAMAS DE BODE

NYQUIST E

NICHOLS

– Os diagramas de resposta em freqüência são muito úteis para analisar a estabilidade de um sistema realimentado.

1) diagramas de Bode;

2) diagrama de Nyquist;

3) diagrama de Nichols.

• Os três diagramas contém as mesmas informações. O que muda é como estas informações estão disponíveis ao projetista. Eles são obtidos através da função de transferência em malha aberta.

DIAGRAMAS DE BODE

DIAGRAMA DE NYQUIST

DIAGRAMA DE NICHOLS

INFORMAÇÕES DO SISTEMA EM MALHA FECHADA

Já foi falado que toda a análise de estabilidade é feita em cima das

informações do sistema em malha aberta. Mas algumas características do sistema em malha fechada podem ser muito úteis para se analisar o sistema.

1) Pico de ressonância Mp

• é definido como o valor máximo de M() dado pela equação

M() = módulo | G(j) / (1 + G(j))|

• Mp dá uma indicação da estabilidade relativa do sistema de controle realimentado.

• Normalmente um Mp grande corresponde a um pico elevado de sobressinal na resposta degrau.

• O valor ótimo de Mp deve estar entre 1,1 e 1,5.

2) Freqüência de ressonância p

• - é definida como a freqüência na qual o pico de ressonância Mp ocorre.

3) Largura de faixa

- é definida como a freqüência na qual o módulo de M(j) cai a 70,7 por cento da seu nível na freqüência zero, ou 3dB abaixo do ganho da freqüência zero.

A largura de faixa fornece uma indicação da velocidade do sistema.

Um sistema com uma grande largura de faixa corresponde a um tempo de subida pequeno.

LARGURA DE FAIXA DO SISTEMA

• A largura de faixa (ou largura de banda) de um sistema de controle a malha fechada é uma boa medida do intervalo de fidelidade da resposta do sistema.

• A velocidade de resposta a uma entrada do tipo degau será proporcional a B

Por exemplo: sistemas em Malha Fechada

1

1

1T s

s

2

1

5 1T s

s

Por exemplo: sistemas em Malha Fechada 3 2

100

10 100T s

s s

4 2

900

30 900T s

s s

-A taxa de amortecimento para os sistemas é a mesma: =0,5.

-A freqüência natural não amortecida é 10 e 30 para os sistemas T3 e T4, respectivamente.

-Ambos os sistemas possuem sobrepasso de 15%, mas T4 possui um tempo de pico de 0,12 segundos, comparado a 0,36 segundos para T3.

-Observe também que o tempo de assentamento (ou de estabilização ou de acomodação) para T4 é de 0.37 segundos, enquanto que é de 0,9 segundos para T3

LUGARES DE M CONSTANTES NO PLANO G(j)

• Dado um sistema em malha fechada com realimentação unitária

M(s) = C(s) = G(s) R(s) 1 + G(s)

Reescrevendo:

G(j)= Re G(j) + jIm G(j)= x+jy.

| M(s) | = G(s) = (x2 + y2) 1 + G(s) [(1+x)2 + y2]

[x - M2/(1-M2) ]2 + y2 = [M/(1-M2)]2

Substituindo na equação do módulo

Resulta na equação de um círculo

• As intersecções entre o gráfico G(j) e os lugares de M constante dão os valores do módulo em malha fechada na freqüência indicada sobre a curva de G(j).

• Se for desejado manter o valor de Mp menor do que um certo valor, a curva G(j) não deve interceptar o círculo correspondente de M neste ponto, e ao mesmo tempo não envolver o ponto (-1, j0).

Diagramas polares de G(s) e lugares de M constante, mostrando o procedimento de

determinação de Mp e das curvas de módulo.

LUGARES DE FASE CONSTANTE NO PLANO G(j)

M(j) = G(j) e G(j) = x +jy 1 + G(j)

Faz-se M(j) = G(j) - (1+G(j))

m() = M(j) = tan-1 (y/x) - tan-1(y/(1+x))

Fazendo N=tanm, esta equação pode ser escrita comouma família de círculos

(x + 1/2)2 + (y - 1/2N)2 = 1/4 + 1/(4N2)

LUGARES DE M e N CONSTANTES NO PLANO MÓDULO VERSUS FASE - CARTA DE NICHOLS

• A desvantagem em se trabalhar com coordenadas polares para o gráfico de G(j) é que a curva se altera quando é feita alguma alteração, como por exemplo uma mudança de ganho.

• No gráfico de módulo em função da fase, toda a curva G(j) é deslocada quando o ganho é alterado.

Os lugares de M e N constantes em coordenadas polares podem ser transferidos para coordenadas de

módulo em função da fase.

Carta de Nichols

USO DO MATLAB• n1=[1/120 1]• n2=[-1/2 1]• d1=[1 0]• d2=[1/.1 1]• n=conv(n1,n2)• d=conv(d1,d2)• sys=tf(n,d)• %graficos de nichols• w=logspace(-2,1,400)• nichols(sys,w)• ngrid• grid

RELAÇÃO COEFICIENTE DE AMORTECIMENTO E MARGEM DE

FASE