Resposta em Frequência de Sistemas LTI

Vimos que a resposta 𝑦(𝑛) de um sistema LTI em estado zero é

dada pela convolução linear do sinal de entrada 𝑥(𝑛) com a sua

resposta ao impulso ℎ(𝑛).

Em particular, para a entrada senoidal complexa 𝑥 𝑛 = 𝑒𝑗𝜔0𝑛, para

𝑛 = −∞, ⋯ , ∞, temos:

𝑦 𝑛 = ℎ 𝑘 𝑥(𝑛 − 𝑘) = ℎ 𝑘 𝑒𝑗𝜔0(𝑛−𝑘)

∞

𝑘=−∞

∞

𝑘=−∞

= 𝑒𝑗𝜔0𝑛 ℎ 𝑘 𝑒−𝑗𝜔0𝑘 = 𝑒𝑗𝜔0𝑛𝐻(𝑒𝑗𝜔0)

∞

𝑘=−∞

Portanto, a resposta de um sistema LTI a uma sequência senoidal

complexa de frequência 𝜔0 aplicada em 𝑛 = −∞, e igual ao produto

da senóide complexa pela DTFT da resposta ao impulso do sistema

avaliada em 𝜔 = 𝜔0.

Resposta em Frequência de Sistemas LTI

Por isso, a DTFT da resposta ao impulso de um sistema LTI é

conhecida como resposta em frequência do sistema.

Escrevendo 𝐻(𝑒𝑗𝜔) na forma polar:

𝑦 𝑛 = 𝐻(𝑒𝑗𝜔0) 𝑒𝑗(𝜔0𝑛+∠𝐻 𝑒𝑗𝜔0 )

onde 𝐻(𝑒𝑗𝜔) é a resposta em frequência de módulo e ∠𝐻 𝑒𝑗𝜔 é a

resposta em frequência de fase.

Portanto, conhecendo as resposta em frequência de módulo e fase,

saberemos de quanto cada componente senoidal do sinal de entrada

será atenuada/amplificada e defasada pelo sistema.

Resposta em Frequência de Sistemas LTI

Para uma entrada senoidal real 𝑥 𝑛 = Acos (𝜔0𝑛 + 𝜑), para

𝑛 = −∞, ⋯ , ∞, temos:

𝑦 𝑛 =𝐴

2𝐻(𝑒𝑗𝜔0) 𝑒𝑗(𝜔0𝑛+𝜑+∠𝐻 𝑒𝑗𝜔0 ) +

𝐴

2𝐻(𝑒−𝑗𝜔0) 𝑒𝑗(−𝜔0𝑛−𝜑+∠𝐻 𝑒−𝑗𝜔0 )

Para ℎ(𝑛) real, 𝐻(𝑒𝑗𝜔) = 𝐻(𝑒−𝑗𝜔) e ∠𝐻 𝑒−𝑗𝜔 = −∠𝐻 𝑒𝑗𝜔 .

Portanto:

𝑦 𝑛 =𝐴

2𝐻(𝑒𝑗𝜔0) 𝑒𝑗 𝜔0𝑛+𝜑+∠𝐻 𝑒𝑗𝜔0 + 𝑒−𝑗 𝜔0𝑛+𝜑+∠𝐻 𝑒𝑗𝜔0

= 𝐴 𝐻(𝑒𝑗𝜔0) cos 𝜔0𝑛 + 𝜑 + ∠𝐻 𝑒𝑗𝜔0

Portanto, a saída será uma senóide de mesma frequência da

entrada, 𝜔0, com amplitude 𝐴 𝐻(𝑒𝑗𝜔0) e fase 𝜑 + ∠𝐻 𝑒𝑗𝜔0 .

Resposta em Frequência de Sistemas LTI

Exemplo: Para o sistema causal descrito pela equação a diferenças:

𝑦 𝑛 − 𝛼𝑦 𝑛 − 1 = 𝑥 𝑛 , 𝛼 < 1

A resposta ao impulso ℎ(𝑛), por definição, é a resposta em estado

zero para a entrada 𝛿 𝑛 . Portanto:

⋯ , ℎ −1 = 0, ℎ 0 = 1, ℎ 1 = 𝛼, ℎ 2 = 𝛼2, ⋯

ou seja:

ℎ 𝑛 = 𝛼𝑛𝑢 𝑛

A resposta em frequência deste sistema é:

𝐻 𝑒𝑗𝜔 = 𝛼𝑒−𝑗𝜔 𝑛∞

𝑛=0

=1

1 − 𝛼𝑒−𝑗𝜔

Resposta em Frequência de Sistemas LTI

Gráficos da resposta em frequência de módulo e de fase para

α = 0,8 (Matlab: freqz(1,[1 -0.8]))

As componentes de baixas frequências serão amplificadas e as de

altas serão atenuadas (sistema passa-baixas).

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-60

-40

-20

0

Normalized Frequency ( rad/sample)

Phase (

degre

es)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-10

-5

0

5

10

15

Normalized Frequency ( rad/sample)

Magnitude (

dB

)

Resposta em Frequência de Sistemas LTI

Gráficos da resposta em frequência de módulo e de fase para

α = −0,8 (Matlab: freqz(1,[1 0.8]))

As componentes de frequências altas serão amplificadas e as de

baixas serão atenuadas (sistema passa-altas).

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

20

40

60

Normalized Frequency ( rad/sample)

Phase (

degre

es)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-10

-5

0

5

10

15

Normalized Frequency ( rad/sample)

Magnitude (

dB

)

Função de Transferência

A transformada z da resposta ao estado zero de um sistema LTI é:

𝑌 𝑧 = ℎ 𝑘 𝑥(𝑛 − 𝑘)

∞

𝑘=−∞

∞

𝑛=−∞

𝑧−𝑛

Fazendo a troca de variáveis 𝑛 = 𝑚 + 𝑘:

𝑌 𝑧 = ℎ(𝑘)𝑥(𝑚)

∞

𝑘=−∞

∞

𝑚=−∞

𝑧−(𝑚+𝑘)

= 𝑥(𝑚)𝑧−𝑚

∞

𝑚=−∞

ℎ(𝑘)𝑧−𝑘

∞

𝑘=−∞

ou seja:

𝑌(𝑧) = 𝑋 𝑧 𝐻(𝑧)

onde 𝐻(𝑧) é a transformada z da resposta ao impulso ℎ(𝑛).

Função de Transferência

Reescrevendo a equação anterior:

𝐻 𝑧 =𝑌(𝑧)

𝑋(𝑧)

ou seja, 𝐻(𝑧) é a razão entre a transformada z da resposta ao

estado zero e a transformada z da entrada.

Por ser um fator de escala que multiplica 𝑋 𝑧 para obter a saída,

𝐻(𝑧) é chamada de função de transferência do sistema.

Se a ROC de 𝐻(𝑧) incluir o círculo unitário, podemos escrever

𝐻(𝑧) 𝑧=𝑒𝑗𝜔

= 𝐻(𝑒𝑗𝜔)

que é a resposta em frequência do sistema.

Função de Transferência

No exemplo anterior:

𝑦 𝑛 − 𝛼𝑦 𝑛 − 1 = 𝑥 𝑛 , 𝛼 < 1

A equação acima no domínio da transformada Z é:

𝑌 𝑧 − 𝛼𝑧−1𝑌 𝑧 = 𝑋 𝑧

A função de transferência deste sistema é:

𝐻 𝑧 =𝑌(𝑧)

𝑋(𝑧)=

1

1−𝛼𝑧−1, ROC: 𝑧 > 𝛼

Como a ROC de 𝐻(𝑧) inclui o círculo, a resposta em frequência do

sistema é:

𝐻 𝑒𝑗𝜔 = 𝐻 𝑧 𝑧=𝑒𝑗𝜔

=1

1 − 𝛼𝑒−𝑗𝜔

Funções de Transferência Racionais

Uma importante subclasse de sistemas LTI tem relação entrada-

saída definida por uma equação a diferenças do tipo:

𝑎𝑘𝑦 𝑛 − 𝑘 = 𝑏𝑘𝑥 𝑛 − 𝑘

𝑀

𝑘=0

𝑁

𝑘=0

onde 𝑎𝑘 e 𝑏𝑘 são constantes.

Aplicando a transformada Z a ambos os lados da equação, temos:

𝑎𝑘𝑧−𝑘𝑌 𝑧 = 𝑏𝑘𝑧−𝑘𝑋 𝑧

𝑀

𝑘=0

𝑁

𝑘=0

A função de transferência é, portanto, a função racional:

𝐻 𝑧 =𝑌(𝑧)

𝑋(𝑧)=

𝑏𝑘𝑀𝑘=0 𝑧−𝑘

𝑎𝑘𝑁𝑘=0 𝑧−𝑘

Funções de Transferência Racionais

Podemos reescrever 𝐻(𝑧) como:

𝐻 𝑧 = 𝑏𝑘

𝑀𝑘=0 𝑧−𝑘

𝑎𝑘𝑁𝑘=0 𝑧−𝑘

=𝑏0

𝑎0𝑧𝑁−𝑀

(𝑧 − 𝜁𝑘)𝑀𝑘=1

(𝑧 − 𝜓𝑘𝑁𝑘=1 )

onde

𝜁𝑘 são os zeros de 𝐻 𝑧 , ou seja, os valores de 𝑧 tais que 𝐻 𝑧 = 0

𝜓𝑘 são os polos de 𝐻 𝑧 , ou seja, os valores de 𝑧 tais que 𝐻 𝑧 = ∞

Se 𝑁 > 𝑀, 𝐻 𝑧 tem 𝑁 − 𝑀 zeros em 𝑧 = 0

Se 𝑁 < 𝑀, 𝐻 𝑧 tem 𝑀 − 𝑁 polos em 𝑧 = 0

Se a ROC incluir o círculo unitário (sistema estável), a resposta em

frequência do sistema é dada por:

𝐻 𝑒𝑗𝜔 =𝑏0

𝑎0𝑒𝑗𝜔(𝑁−𝑀)

(𝑒𝑗𝜔 − 𝜁𝑘)𝑀𝑘=1

(𝑒𝑗𝜔 − 𝜓𝑘𝑁𝑘=1 )

Estabilidade de Sistemas LTI descritos por

Equações a Diferenças

Sabemos que:

Para um sistema LTI descrito por uma equação a diferenças, a

função de transferência 𝐻(𝑧) é racional.

𝐻(𝑧) é a transformada Z da resposta ao impulso ℎ(𝑛). Para sistemas causais, ℎ 𝑛 é uma sequência lateral direita

(ℎ 𝑛 = 0 para 𝑛 < 0). Portanto, a ROC de 𝐻(𝑧) é a região externa

ao círculo de raio igual ao módulo mais afastado da origem do plano

Z.

A condição necessário e suficiente para que um sistema LTI seja

BIBO estável é que ℎ 𝑛 seja absolutamente somável.

ℎ 𝑛 absolutamente somável ↔ ℎ 𝑛 𝑒𝑗𝜔𝑛 absolutamente somável.

ℎ 𝑛 𝑒𝑗𝜔𝑛 absolutamente somável ↔ ROC de 𝐻(𝑧) inclui círculo

unitário.

Um sistema LTI causal será estável se e somente se

todos os polos da sua função de transferência 𝐻(𝑧) estiverem dentro do círculo unitário.

Estabilidade de Sistemas LTI

Exemplo 1: o sistema causal com função de transferência

𝐻 𝑧 =1 + 𝑧−1 + 𝑧−2

1 −34 𝑧−1 +

18 𝑧−2

tem polos 𝜓1 = 1/4 e 𝜓2 = 1/2. A ROC de 𝐻 𝑧 , dada por 𝑧 > 1/2,

inclui o círculo unitário e, portanto, o sistema é estável.

Exemplo 2: o sistema causal com função de transferência

𝐻 𝑧 =𝑧−1

1 + 𝑧−1 −34 𝑧−2

tem polos 𝜓1 = 1/2 e 𝜓2 = −3/2. A ROC de 𝐻 𝑧 , dada por

𝑧 > 3/2, não inclui o círculo unitário e, portanto, o sistema é

instável.

Observe, no entanto, que o sistema não-causal cuja ROC de

𝐻 𝑧 é 1

2< 𝑧 < 3/2 é estável.

Avaliação da Resposta em Frequência a partir dos

Polos e Zeros de 𝐻(𝑧)

A resposta em frequência de um sistema estável com 𝐻 𝑧 racional

(ROC inclui o círculo unitário) é dada por:

𝐻 𝑒𝑗𝜔 =𝑏0

𝑎0𝑒𝑗𝜔(𝑁−𝑀)

(𝑒𝑗𝜔 − 𝜁𝑘)𝑀𝑘=1

(𝑒𝑗𝜔 − 𝜓𝑘𝑁𝑘=1 )

Cada fator do numerador (ou denominador), 𝑒𝑗𝜔 − 𝜉𝑖, pode ser

interpretado como um vetor, no plano Z, que vai do zero (ou polo) 𝜉𝑖

ao ponto 𝑒𝑗𝜔 do círculo unitário.

Escrevendo cada um destes fatores na forma polar:

𝑒𝑗𝜔 − 𝜁𝑖 = 𝑟𝑖𝑒𝑗𝛼𝑖 e 𝑒𝑗𝜔 − 𝜓𝑖 = 𝜌𝑖𝑒

𝑗𝛽𝑖

A resposta em frequência de módulo é dada por:

𝐻 𝑒𝑗𝜔 =𝑏0

𝑎0

𝑟𝑘𝑀𝑘=1

𝜌𝑘𝑁𝑘=1

Avaliação da Resposta em Frequência a partir dos

Polos e Zeros de 𝐻(𝑧)

A resposta em frequência de fase é dada por:

∠𝐻 𝑒𝑗𝜔 = ∠𝑏0

𝑎0+ ω 𝑁 − 𝑀 + 𝛼𝑖 −

𝑀

𝑖=1

𝛽𝑖

𝑁

𝑖=1

Exemplo:

𝐻 𝑧 =0.0684+0.0519𝑧−1+0.0684𝑧−2

1−1.0642𝑧−1+0.8479𝑧−2

𝐻(𝑒𝑗𝜔) = 0.0684𝑟1𝑟2

𝜌1𝜌2

∠𝐻 𝑒𝑗𝜔 = 𝛼1 + 𝛼2 − (𝛽1 + 𝛽2)

-1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Real Part

Imagin

ary

Part

Conceito de Filtragem

Seja um sistema LTI com resposta em frequência de módulo, para

− 𝜋 < 𝜔 ≤ 𝜋 , é dada por

𝐻 𝑒𝑗𝜔 = 1, 𝜔 ≤ 𝜔𝑃

0, 𝜔𝑃 < 𝜔 ≤ 𝜋

Para a entrada

𝑥 𝑛 = 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝜔1𝑛 + 𝐵𝑐𝑜𝑠 𝜔2𝑛

com 0 ≤ 𝜔1 ≤ 𝜔𝑃 e 𝜔𝑃 < 𝜔2 ≤ 𝜋, a saída será

𝑦 𝑛 = 𝐴 𝐻 𝑒𝑗𝜔1 𝑐𝑜𝑠 𝜔1𝑛 + ∠𝐻 𝑒𝑗𝜔1 + 𝐵 𝐻 𝑒𝑗𝜔2 𝑐𝑜𝑠 𝜔2𝑛 + ∠𝐻 𝑒𝑗𝜔2

ou seja:

𝑦 𝑛 = 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝜔1𝑛 + ∠𝐻 𝑒𝑗𝜔1

Tipos de Filtros

(a) Passa-baixas; (b) Passa-altas; (c) Passa-faixa; (d) Rejeita-faixa

Filtros com Fase Zero

Passa-baixas ideal de fase zero:

Resposta ao impulso:

ℎ 𝑛 =1

2𝜋 𝐻 𝑒𝑗𝜔 𝑒𝑗𝜔𝑛𝑑𝜔 =

1

2𝜋 𝑒𝑗𝜔𝑛𝑑𝜔 =

𝜔𝑃

−𝜔𝑃

𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑃𝑛

𝜋𝑛, −∞ < 𝑛 < ∞

𝜋

−𝜋

Sistema não-causal com resposta ao impulso

de comprimento infinito (não realizável)

Filtros com Fase Linear

Passa-baixas ideal de fase linear:

∠𝐻 𝑒𝑗𝜔 = −𝑛0𝜔

Resposta ao impulso:

ℎ 𝑛 =1

2𝜋 𝐻 𝑒𝑗𝜔 𝑒𝑗𝜔𝑛𝑑𝜔 =

1

2𝜋 𝑒−𝑗𝜔𝑛0𝑒𝑗𝜔𝑛𝑑𝜔 =

𝜔𝑃

−𝜔𝑃

𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑃(𝑛 − 𝑛0)

𝜋(𝑛 − 𝑛0)

𝜋

−𝜋

Filtros com Fase Linear

Para a entrada

𝑥 𝑛 = 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝜔1𝑛 + 𝐵𝑐𝑜𝑠 𝜔2𝑛

com 0 ≤ 𝜔1, 𝜔2 ≤ 𝜔𝑃, a saída será

𝑦 𝑛 = 𝐴 𝐻 𝑒𝑗𝜔1 𝑐𝑜𝑠 𝜔1𝑛 + ∠𝐻 𝑒𝑗𝜔1

+ 𝐵 𝐻 𝑒𝑗𝜔2 𝑐𝑜𝑠 𝜔2𝑛 + ∠𝐻 𝑒𝑗𝜔2

ou seja:

𝑦 𝑛 = 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝜔1(𝑛 − 𝑛0) + 𝐵𝑐𝑜𝑠 𝜔2(𝑛 − 𝑛0)

As duas componentes são atrasadas de um mesmo número de

amostras

Atraso de Grupo

Um parâmetro frequentemente usado para especificar sistemas de

filtragem é o atraso de grupo, definido como

𝜏 𝜔 = −𝑑∠𝐻 𝑒𝑗𝜔

𝑑𝜔

Esse parâmetro fornece o atraso, em número de amostras, introduzido em

uma componente senoidal de frequência 𝜔 ao passar por um sistema com

resposta de fase ∠𝐻 𝑒𝑗𝜔 .

Para um filtro com fase linear ∠𝐻 𝑒𝑗𝜔 = −𝑛0𝜔:

𝜏 𝜔 = 𝑛0 (constante)