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Sinais e Sistemas Série de Fourier

Renato Dourado Maia

Universidade Estadual de Montes Claros

Engenharia de Sistemas

Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia

Sinais Discretos Periódicos (DTFS) Lembremos da resposta de um sistema LTI dis-

creto a uma exponencial complexa:

[ ] , , [ ] n j j nx n é um número complexo z e xz z n e

Assim:

[ ] ( ) ny n H z zTomando ( ) [ ] k

k

z zH h k

[ ] [ ] ( )n nk k

kk k

kk

x n a y n a Hz z z 14/04/2014 2/25

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]n k n k

k k k

zy n h k x n k h k h kz z


Sinais Discretos Periódicos (DTFS) Quando um sinal discreto é periódico?

Um sinal é discreto é periódico se existe uma constante positiva N, tal que:

[ ] [ ], x n x n N n

O MENOR VALOR PARA N QUE SATISFAÇA À EQUAÇÃO É CHAMADO DE PERÍODO FUNDAMENTAL – N0 .

00

2 [ ] é a frequência fundamental de x n em radianos

N

14/04/2014 3/25


Sinais Discretos Periódicos (DTFS) Lembrando do conjunto de harmônicas para o ca-

so discreto: (2 )

[ ] , 0, 1, 2,...jk n

k

Nn e k

( )(2 ) (2 ) 2[ ] [ ]j k nN N Njk n n

k kNjn e e e n

HÁ N HARMÔNICAS DISTINTAS!!!

14/04/2014 4/25


Sinais Discretos Periódicos (DTFS) Analogamente ao caso contínuo:

0

0[ ] , jk n

kk N

x n a e é um sinal periódico com período N

Representação em Série de Fourier para um sinal discreto periódico: Forma Exponencial

O somatório é feito num intervalo de “tamanho” N em função de haver N harmônicas distintas... O somatório pode ir de 0 até N-1,

de 3 até N+2, e assim sucessivamente.

k k Na a periodicidade

14/04/2014 5/25


Sinais Discretos Periódicos (DTFS) DTFS de um Sinal Discreto Periódico

0

0

0

[ ]

1[ ]

jk n

kk N

jk n

kn N

x n a e

a xN

n e

Equação de Síntese

Equação de Análise

k

a coeficientes da Série de Fourier ou coeficientes espectrais

Quantificam a contribuição de cada uma das N harmônicas.

14/04/2014 6/25


Sinais Discretos Periódicos (DTFS) Exemplo

0

[ ] ( )x n sen n

0 0

0

1 1[ ] ( )

2 2j n j nx n sen n e e

j j Relação de Euler:

1

1

12

12

0, k

aj

aj

a para os demais coeficientes considerados no somatório

Para sinais discretos periódicos reais: ∗ −=k ka a14/04/2014 7/25


Sinais Discretos Periódicos (DTFS)

Exercício 1:

1 3[ ] 1

12 8x n sen n

Aplicando-se a Relação de Euler:

3 38 8

81

2

03 38 8

81

2

1 12 2 2

1

1 12 2 2

0, 11 12

j jj j

j

j jj

j

k

e e ea e

je

a

e ea e

je

a k

14/04/2014 8/25


Sinais Discretos Periódicos (DTFS) Exercício 1

0 5 10 15 20 250

1

2x[n]=x=1+sin(πn/12 + 3π/8)

x[n]

n

-15 -10 -5 0 5 10 150

0.5

1

|ak|

k

-15 -10 -5 0 5 10 15-0.5

0

0.5

∠(a

k)

k

14/04/2014 9/25



14/04/2014 10/25



14/04/2014 11/25



0

0

3 13

2 1

3 33 3

63

1 1[ ] [ ]

6 6

1 2 2 1 26 6 6 6 3 21 26 3 3

jk njk n

kn n

jk jkjk jk

k

k

N

a x n e x n e

e ea e e

a cos k

14/04/2014 12/25



14/04/2014 13/25


Propriedades da DTFS As propriedades da DTFS são similares às da FS,

e estão resumidas na tabela 3.2 (página 221 do livro Signals and Systems).

As propriedades são interessantes para facilitar a determinação dos coeficientes da DTFS de um sinal, evitando a realização de contas desneces-sárias.

Leiam sobre as propriedades, pois o livro apre-senta comentários interessantes.

14/04/2014 14/25


Série de Fourier e Sistemas LTI Lembrando da resposta de sistemas LTI a expo-

nenciais complexas:

( ) , ( ) ( )s tstx t e é um número complexs y t H eso

[ ] , [ ] ( )n nx n é um número complexo y nz zHz z

Contínuo:

Discreto:

( ) ( ) ( ) ( )s jH h e d H j h e ds

( ) [ ] ( ) [ ]k j j k

k k

zH h zk H e h k e

Resposta em Frequência, se s e z são conside-rados comple-

xos puros.

14/04/2014 15/25


Série de Fourier e Sistemas LTI

0 0 0

0( ) ( ) ( )jk t jk t jk t

k k kk k k

x t a e y t a H jk e b e

0 0 0 0[ ] y[ ] ( )jk n jk n jk n jk n

k k kk N k N k N

x n a e n a H e e b e

Para entradas periódicas, pode-se determinar a saída de um sistema LTI por meio da resposta em frequência ao invés da

convolução... Posteriormente, essa análise será adaptada para permitir a análise com sinais aperiódicos – Transformada de Fourier.

(.) -

. !

H modifica as amplitudes e fases das exponeciais com

plexas da entrada E já sabemos que a frequência não muda

14/04/2014 16/25


Série de Fourier e Sistemas LTI Exemplo – Parte 1

11( ) ( )

tRCh t e u t

RC

Resposta ao Impulso?

Determinar a resposta em frequência.

14/04/2014 17/25


Série de Fourier e Sistemas LTI Exemplo

1

0

1

0

1( ) ( )

11 1

1 1

jRCj

jRC

H j h e d e dRC

RCeRC

j jRC RC

2 2 2

1 1 11 ( )

1 1 1 1

jRC H j j

j

Normalmente, a resposta em frequência é apresentada em módulo

e fase... 14/04/2014 18/25


Sinais Discretos Periódicos (DTFS) Exemplo – Parte 2

Para RC = 0.1, determinar a saída do circuito pa-

ra o sinal de entrada apresentado a seguir:

0 0 00

2 2 sen( ) 1sinc sinc( ) 1, , 2

4k

T T Tua k u T

T T u T

14/04/2014 19/25



0 0 0

0( ) ( ) ( )jk t jk t jk t

k k kk k k

x t a e y t a H jk e b e

0 00 0 00 0

0 0

2 ( )( ) ( ) ( )jk t jk t

kk k

T sen k Ty t a H jk e H jk e

T k T

00

1 1( ) ( )

1 1

RC RCH j H jk

j RC jk RC

14/04/2014 20/25



00

1 1( ) ( )

1 1

RC RCH j H jk

j RC jk RC

00,1 , 2RC

10( 2 )

2 10H j k

j k

0( 2)210

( )2 10k

sen kTy t

j k T k

14/04/2014 21/25


Boa Notícia!

VOCÊS JÁ PODEM FAZER A QUINTA LISTA DE EXERCÍCIOS SUGERIDOS...

14/04/2014 22/25


Exercícios Exercício 3.19 – Signals and Systems

Considere um sistema causal LIT implementado como o circuito RL mostrado a seguir:

a. Encontre a equação diferencial relacionando x(t) e y(t). b. Considerando , determine a resposta em frequência. c. Determine a saída para .

( ) j tx t e ( ) cos( )x t t

14/04/2014 23/25



Considere um sistema causal LIT implementado como o circuito RLC mostrado a seguir:

a. Encontre a equação diferencial relacionando x(t) e y(t). b. Considerando , determine a resposta em frequência. c. Determine a saída para .

( ) j tx t e ( ) sen( )x t t

14/04/2014 24/25



Quando o trem de impulsos

é a entrada de um sistema LTI com resposta em

frequência , a saída é: Determine os valores de para k = 0, 1, 2 e 3.

[ ] [ 4 ]k

x n n k

( )jH e

5[ ] .

2 4y n cos n

2

( )jk

H e

14/04/2014 25/25

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