sinais e sistemas · 2016. 5. 6. · sinais e sistemas – renato dourado maia sinais discretos...

Sinais e Sistemas

Renato Dourado Maia

Faculdade de Ciência e Tecnologia de Montes Claros

Fundação Educacional Montes Claros

Série de Fourier

Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia

Sinais Discretos Periódicos (DTFS) Lembremos da resposta de um sistema LTI dis-

creto a uma exponencial complexa: [ ] , , [ ] n j j nx n é um número complexo z e xz z n eω ω= → = =

Assim:

[ ] ( ) ny n H z z=

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]n k n k

k k kzy n h k x n k h k h kz z

+∞ +∞ +∞− −

=−∞ =−∞ =−∞

= − = =∑ ∑ ∑

Tomando ( ) [ ] k

kz zH h k

+∞−

=−∞

= ∑

[ ] y[ ] ( )k kn

k kk k

knx n a n a Hz z z= → =∑ ∑

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Sinais Discretos Periódicos (DTFS) Quando um sinal discreto é periódico?

Um sinal é discreto é periódico se existe uma constante positiva N, tal que:

[ ] [ ], x n x n N n= + ∀

O MENOR VALOR PARA N QUE SATISFAÇA À EQUAÇÃO É CHAMADO DE PERÍODO FUNDAMENTAL – N0 .

00

2 [ ] é a frequência fundamental de x n em radianosNπω =

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Sinais Discretos Periódicos (DTFS) Lembrando do conjunto de harmônicas para o ca-

so discreto:

(2 )[ ] , 0, 1, 2,...jk nk

Nn e kπφ = = ± ±

( )(2 ) (2 ) 2[ ] [ ]j k nN N Njk n nk kN

jn e e e nπ π πφ φ++ = = =

HÁ N HARMÔNICAS DISTINTAS!!!

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Sinais Discretos Periódicos (DTFS) Analogamente ao caso contínuo:

0

0[ ] , jk nk

k Nx n a e é um sinal periódico com período Nω

=< >

= ∑

Representação em Série de Fourier para um sinal discreto periódico: Forma Exponencial

O somatório é feito num intervalo de “tamanho” N em função de haver N harmônicas distintas... O somatório pode ir de 0 até N-1,

de 3 até N+2, e assim sucessivamente.

k k Na a periodicidade+= →

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Sinais Discretos Periódicos (DTFS) DTFS de um Sinal Discreto Periódico

0

0

0

[ ]

1 [ ]

jk nk

k N

jk nk

n N

x n a e

a xN

n e

ω

ω

=< >

−

=< >

=

=

∑

∑

Equação de Síntese

Equação de Análise

{ } ka coeficientes da Série de Fourier ou coeficientes espectrais→

Quantificam a contribuição de cada uma das N harmônicas.

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Sinais Discretos Periódicos (DTFS) Exemplo

0[ ] ( )x n sen nω=

0 00

1 1[ ] ( )2 2

j n j nx n sen n e ej j

ω ωω −= = −Relação de Euler:

1

1

12

12

0, k

aj

aj

a para os demais coeficientes considerados no somatório

−

=

= −

=

Para sinais discretos periódicos reais: * −=k ka a

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Sinais Discretos Periódicos (DTFS)

Exercício 1:

1 3[ ] 112 8

x n sen n ππ = + +

Aplicando-se a Relação de Euler:

3 38 8

81

2

0

3 38 8

81

2

1 12 2 2

1

1 12 2 2

0, 11 12

π πππ

π

π ππ

π

− −

−

−

= − = =

=

= = =

= − ≤ ≤

j jj j

j

j jj

j

k

e e ea ej e

a

e ea ej e

a k06/05/2016 8/25


Sinais Discretos Periódicos (DTFS) Exercício 1

0 5 10 15 20 250

1

2x[n]=x=1+sin(πn/12 + 3π/8)

x[n]

n

-15 -10 -5 0 5 10 150

0.5

1

|ak|

k

-15 -10 -5 0 5 10 15-0.5

0

0.5

∠(a

k)

k

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06/05/2016 10/25



06/05/2016 11/25



0

0

3 13

2 1

3 33 3

63

1 1[ ] [ ]6 6

1 2 2 1 26 6 6 6 3 21 26 3 3

jk njk nk

n n

jk jkjk jk

k

k

N

a x n e x n e

e ea e e

a cos k

π

π ππ π

ω

πω

π

−−

=− =−

−−

= → =

= =

+= + + = +

= +

∑ ∑

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Propriedades da DTFS As propriedades da DTFS são similares às da FS e

estão resumidas na tabela 3.2 (página 221 do livro Signals and Systems).

As propriedades são interessantes para facilitar a determinação dos coeficientes da DTFS de um sinal, evitando a realização de contas desneces-sárias.

Leiam sobre as propriedades, pois o livro apre-senta comentários interessantes, e estudem os e-xemplos 3.13, 3.14 e 3.15...

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Série de Fourier e Sistemas LTI Lembrando da resposta de sistemas LTI a expo-

nenciais complexas: ( ) , ( ) ( )s tstx t e é um número complexs y t H eso= → =

[ ] , [ ] ( )n nx n é um número complexo y nz zHz z= → =

Contínuo:

Discreto:

( ) ( ) ( ) ( )s jH h e d H j h e ds ωτ ττ τ τω τ+∞ +∞− −

−∞ −∞= → =∫ ∫

( ) [ ] ( ) [ ]k j j k

k kzH h zk H e h k eω ω

+∞ +∞− −

=−∞ =−∞

= → =∑ ∑

Resposta em Frequência, se s e z são considerados

complexo puro e de magnitude unitária, respectivamente.

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Série de Fourier e Sistemas LTI

0 0 00( ) ( ) ( )jk t jk t jk t

k k kk k k

x t a e y t a H jk e b eω ω ωω∞ ∞ ∞

=−∞ =−∞ =−∞

= → = =∑ ∑ ∑0 0 0 0[ ] y[ ] ( )jk n jk n jk n jk n

k k kk N k N k N

x n a e n a H e e b eω ω ω ω

=< > =< > =< >

= → = =∑ ∑ ∑

Para entradas periódicas, pode-se determinar a saída de um sistema LTI por meio da resposta em frequência ao invés da

convolução... Posteriormente, essa análise será adaptada para permitir a análise com sinais aperiódicos – Transformada de Fourier.

(.) . !

H modifica as amplitudes e fases das diversas exponeciaiscomplexas da entrada E já sabemos que a frequência não muda

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Série de Fourier e Sistemas LTI Exemplo – Parte 1

11( ) ( )t

RCh t e u tRC

−

=

Resposta ao Impulso?

Determinar a resposta em frequência.

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Série de Fourier e Sistemas LTI Exemplo

1

1( ) ( 1 )

00

1( ) ( ) ( )

1 1 1 1( )1 1

j RC j

j j RCRC

H j h e d e u e dRC

RCH j e d eRC RC j RC j RC

ωτ τ ωτ

ω τ ω τ

ω τ τ τ τ

ω τω ω

+∞ +∞− − −

−∞ −∞

∞− ++∞ − +

= =

−= = =

+ +

∫ ∫

∫

2 2 2

1 1 11 ( )1 1 1 1

jRC H j jj

ω ωωω ω ω ω

− −= → = = = +

+ + + +

Normalmente, a resposta em frequência é apresentada em módulo e fase...

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Sinais Discretos Periódicos (DTFS) Exemplo – Parte 2

Para RC = 0,1, determinar a saída do circuito pa-

ra o sinal de entrada apresentado a seguir:

0 0 00

2 2 ( ) 1( ) ( ) 1, , 24k

T T Tsen ua sinc k sinc u TT T u T

π ω ππ

= = = = =

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0 0 0

0( ) ( ) ( )jk t jk t jk tk k k

k k kx t a e y t a H jk e b eω ω ωω

∞ ∞ ∞

=−∞ =−∞ =−∞

= → = =∑ ∑ ∑

0 00 0 00 0

0 0

2 ( )( ) ( ) ( )jk t jk tk

k k

T sen k Ty t a H jk e H jk eT k T

ω ωωω ωω

∞ ∞

=−∞ =−∞

= =∑ ∑

00

1 1( ) ( )1 1RC RCH j H jk

j RC jk RCω ω

ω ω= → =

+ +

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00

1 1( ) ( )1 1RC RCH j H jk

j RC jk RCω ω

ω ω= → =

+ +

00.1 , 2RC ω π= =

10( 2 )2 10

H j kj k

ππ

=+

0210 ( 2)( )2 10k

T sen ky tj k T k

ππ π

∞

=−∞

=+∑

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Boa Notícia!

VOCÊS JÁ PODEM FAZER A QUINTA LISTA DE EXERCÍCIOS SUGERIDOS...

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Exercícios Exercício 3.19 – Signals and Systems

Considere um sistema causal LIT implementado como o circuito RL mostrado a seguir:

a. Encontre a equação diferencial relacionando x(t) e y(t). b. Considerando , determine a resposta em frequência. c. Determine a saída para .

( ) j tx t e ω=( ) ( )x t cos t=

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Considere um sistema causal LIT implementado como o circuito RLC mostrado a seguir:

a. Encontre a equação diferencial relacionando x(t) e y(t). b. Considerando , determine a resposta em freqüência. c. Determine a saída para .

( ) j tx t e ω=( ) ( )x t sen t=

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Quando o trem de impulsos

é a entrada de um sistema LTI com resposta em

frequência , a saída é:

Determine os valores de para k = 0, 1, 2 e 3.

[ ] [ 4 ]k

x n n kδ∞

=−∞

= −∑

( )jH e ω

5[ ] .2 4π π = +

y n cos n

2( )jkH e π

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