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Análise de Sinais Dinâmicos

ANÁLISE DE SINAISDINÂMICOS

Paulo S. Varoto

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2.1 - Classificação de SinaisSinais dinâmicos são geralmente classificados como deterministicos e aleatórios, como mostra a figura abaixo:

Sinais Dinâmicos

Determinísticos

Caóticos

Aleatórios

Periódicos

Transientes

Estacionários

Não Estacionários

Sinal Caótico: Sinal de aparência aleatória controlado por processo determinístico

Sinal Não Estacionário: Possui parâmetros dependentes do tempo

Sinal Aleatório: Muitos Componentes em frequência

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2.2 - Média TemporalSeja a função x(t) na variável tempo mostrada abaixo:

x(t)

Tempo

dt

B

x

T

A média temporal é definida por:

xT

x t dtT

T=

→∞ ∫lim ( )10

Observações:• Flutuações (em termos de valor médio) diminuem à

medida em que T aumenta• A média temporal è comumente chamada de componente

DC de um sinal

x

10


2.3 - Média Temporal Quadrática e RMS

A média temporal (MS) é definida por:

MS xT

x t dtT

T= =

→∞ ∫2 2

0

1lim ( )

Tempo

dt

B

x

T

x2(t)

A Root Mean Square é definida por:

AT

x t dtRMS T

T=

→∞ ∫lim ( )1 2

0

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2.4 - O Espectro em FrequênciaA

mpl

itude

Frequênciafa fb fc fd

A B C D

É um gráfico das amplitudes componentes de um sinal como função do parâmetro frequência (ciclos/s)

Características principais :

• Indica frequências discretas que estão relacionadas comcaracterísticas operacionais de um dado equipamento

• Oferece uma distribuição de amplitudes que pode ser importante na tomada de decisões sobre um sistema

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Exemplo: Análise de um sinal senoidal

x (t) = D + B cos (ω ω ω ω t + φ φ φ φ )

0 2 4 6 8 101

1.5

2

Tempo [s]

Am

plitu

de

Onde:

D - “Offset” do sinal B - Amplitude ω - Frequência do sinalφ - Fase do sinal senoidal

Seja o sinal senoidal dado pela seguinte equação:

Graficamente:

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a) Média Temporal

x D B TT

D= + +

≅sen( )ω ϕ

ω

graficamente:

0 2 4 6 8 101.2

1.4

1.6

1.8

Tempo T [s]

Am

plitu

de

Média Temporal

1.5

• A parcela oscilante decresce com o aumento do período T. Amédia temporal é obtida diretamente quando ω T é múltiplo de 2π.

• Sinais senoidais tem média temporal nula quando a média (“average”) dos sinais é realizado em um período T do sinal.Este resultado é útil na seleção de tempos de “average”de instrumentos a fim de se eliminar contaminações do sinal.

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b) “Temporal Mean Square”: A2RMS

A D BD sen T senT

B sen T senT

RMS2 2

2

2

21 2 2

2

= + + −

+

+ + −

( )

( )

ω ϕ ϕω

ω ϕ ϕω

graficamente:

0 2 4 6 8 101.5

2

2.5

3

3.5

Tempo T [s]

Am

plitu

de

A2RMSRoot Mean Square

É dada pela seguinte equação:

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Conforme ωT a equação acima reduz-se a→ ∞

A D B D BRMS RMS2 2

22 2

2= + = +

A B B BRMS RMS= = =2

0 707.

Logo:

A amplitude de pico B e o BRMS estão relacionados como visto acima para sinais senoidais exclusivamente ! Então, em hipótese alguma pode-se converter uma amplitude ARMS para uma amplitude de pico ou RMS equivalente para um sinal arbitrário usando-se esta última relação.

• Para B = 0 a amplitude RMS ARMS é igual ao valor médioD; ou seja: ARMS = D

• Para D = 0, temos

onde BRMS é a amplitude senoidal RMS.

• O valor global de RMS, ARMS e a amplitude senoidal RMS, BRMS são duas grandezas completamente diferentes !

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c) O Espectro em Frequência

Pode ser representado de tres formas diferentes:

D D2 DB B2/2 B-(1/2)

ωωωω ωωωω ωωωωAmplitude Média Quadrática RMS

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e j senj± = ±θ θ θcos( ) ( )

Forma Polar:

rA A e A e ej t j tj= =+( ) { }ω φ ωφ

dAdt

j Ae e

d Adt

Ae e

j j t

j j t

r

r

=

= −

+

+

ω

ω

φ ω φ

φ ω φ

{ }

{ }

( )

( )2

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2.5 - Representação Complexa de Funções Reais

Relações de Euler : cos ( )

( )

θ

θ

θ θ

θ θ

= +

= −

−

−

e e

sen e ej

j j

j j2

2

x t B t( ) cos( )= +ω φExemplo:

x t X e X ej t j t( ) *= + −ω ω

X a j b a b e B ej j= + = + =2 22

φ φ

Forma Polar:

com

* Complexo conjugado de X

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2.6 - Fasores e Funções Senoidais Reais

Considere o seguinte sinal no tempo:

x t B t B( ) cos( ) cos( )= + =ω φ θ

onde B : amplitude do sinalω : frequência circular do sinal (rad/s)φ : ângulo de fase do sinal θ = ω t + φ : argumento

Esta função real pode ser expressa como:

x t B e e B e e

X e X e

j j t j j t

j t j t

( )

*

=

+

=

+

− −

−2 2

φ ω φ ω

ω ω

onde:

X a j b a b e B e

X a j b a b e B e

j j

j j

= + = + =

= − = + =− −

2 2

2 22

2

φ φ

φ φ*

a B

b B sen

ba

=

=

=

2

2

cos( )

( )

tan( )

φ

φ

φ

+ S. A. H.- S. H.

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2.3 - Sinais Períodicos

Sinal periódico: x (t + T) = x (t)

Frequência Circular: ωo = 2π (1/T) = 2 π fo

2.3.1 - Séries de Fourier para Sinais Periódicos

Qualquer sinal real, periódico e contínuo possuindo um número finito de descontinuidades pode ser escrito como:

x t X p ep

j p ot( ) ==−∞

∞∑ ω

onde Xp representa o p-ésimo coeficiente da série de Fourier, possuindo partes real e imaginária e dado por

XT

x e dpj p

t

t To= −+

∫1 ( )τ τω τ

Estas duas últimas equações constituem o

par de transformada de Fourier para sinais periódicos

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Características:

• A primeira equação para x (t) representa uma soma para todas as frequências discretas que são múltiplas da fre-quência fundamental ωo

• Os coeficientes da série Xp são obtidos mediante uma in-tegração sobre um período completo (geralmente começando em 0 ou -T/2)

• Estes coeficientes da série de Fourier representam uma “medida” da correlação entre a função x (t) e a funçãoexponencial num período fundamental T. Eles ocorrem em pares complexos conjugados (Xp e X*

p)

ap

-bp-pωo

X*p= X- p

-φ pXo

Re

Imcomponente defrequência de ordemp ou harmônico p

Frequência pωo ap

bpφ pXp

S A H

S H

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Outras propriedades úteis da Série de Fourier:

• Somente metade dos coeficientes Xp precisam ser calculados, visto que ocorrem aos pares complexos conjugados

• Quando x (t) é uma função par, ou seja, x (-t) = x (t)somente coeficientes reais ap resultam da decompo-sição. Neste caso a função x (t) correlaciona-se com a componente cos ω ω ω ω t da série

• Quando x (t) é uma função ímpar, ou seja, x (-t) = - x(t)somente coeficientes reais bp resultam da decompo-sição. Neste caso a função x(t) correlaciona-se com a componente sin ω ω ω ω t da série

• O Espectro em Frequência da função periódica x(t)corresponde à um gráfico onde são mostrados os com-ponentes de frequência (ou harmônicos) Xp como fun-ção de frequências discretas pωωωωo. Esta representação gráfica pode ser dada em termos dos ap e bp ou em em termos do módulo e fase de Xp (mais usual !) como função da frequência.

22


Relações importantes:

• Média: É obtida fazendo-se p = 0 na expressão de Xp

XT

x dot

t T=

+

∫1 ( )τ τ

Então, Xo é o valor médio do sinal periódico !

• Média Quadrática: É conhecida por Fórmula de Parsevale é dada por

A X XRMS o pp

2 2 2

1

2= +=

∞

∑

Esta expressão pode ser simplificada para

A XB

X BRMS op

po p

pRMS

2 22

1

2 2

12

= + = +=

∞

=

∞

∑ ∑

23


1 0.5 0 0.5 1

1

Exemplo: Séries de Fourier de uma onda quadrada

Considere a onda quadrada periódica mostrada abaixo.

Os coeficientes da Série de Fourier para este sinal são dados pela seguinte expressão

Xp A sen pp

A sinc z=

=

22

2 2( / )

( / )( )π

π

onde z = pπ /2.

sinc z sen zz

( ) ( )=

De forma similar, a fórmula de Parseval fica

MS A sinc p

p

= +

=

∞

∑2

2

141 2

2π

( t )

x ( t )

A / 2

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Coeficientes da Série de Fourier para onda periódica quadrada

Amplitude dos coeficientes da Série de Fourier para onda periódica quadrada

6 4 2 0 2 4 6

0.5

1

ω

2 |Xp| /A

0.637

0.2120.127

6 4 2 0 2 4 6

0.5

0.5

1

ω

2 Xp/A0.637

0.212

0.127

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1 0.5 0 0.5 1

1

2.4 - Análise de Sinais TransientesConsidere o pulso retangular de amplitude A, duração T eperiodicidade To mostrado abaixo.

t

x ( t )To = β T

Objetivo: Vamos analizar esta onda para valores crescentes de β, ou seja, vamos isolar o pulso retangular e usar a séries de Fourier para descrever seu conteúdo em frequência

Componentes Xp da Série de Fourier

X ATT

sen pp

ATT

sinc zpo o

=

=( / )

( / )( )π β

π βz p= π

β

T T

T T

o

oo

=

= =

β

ω π πβ

2 2

26


6 4 2 0 2 4 6

0.5

0.5

30 20 10 0 10 20 30

0.05

0.05

0.1

(a) Valores de Xp para ββββ = 2

(b) Valores de Xp para ββββ = 10

ββββ = 2ωωωωo = π π π π /T

ββββ = 10ωωωωo = π π π π /5T

ωo ωo ωo ωo ωo ωo

Xp / A

Xp / A

p = 30

p = 10p = 20

p = -10p = -20

p = -30

ω ω ω ω 1 = π π π π / T ω ω ω ω 2 = 2π π π π / Tω ω ω ω 1 = -π π π π / Tω ω ω ω 2 =- 2π π π π / T

ωωωω

ωωωω

2 1 0 1 2

1

2 1 0 1 2

1

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Observações importantes:

• Quando ββββ = 10, as amplitudes de Xp são da ordem de 1 / 5 daquelas correspondentes à ββββ = 2

• Onze componentes de frequência Xp estão entre ωωωω= 0 e ωωωω= ππππ / T, mostrando que os componentes em frequênciaestão muito mais próximos quando ββββ = 10

• Quando o argumento z da função sinc (z) é múltiplo de ππππ, componentes de frequência com amplitude zero ocorrem em fequências fixas

Então, torna-se evidente que o método das Séries de Fourieré inadequado para uma análise direta a medida em que ββββaumenta, ou seja, a medida em que o pulso centrado em t = 0 vai ficando cada vez mais isolado, tornando-se um sinal transiente !

Precisamos então efetuar uma modificação no procedimento de cálculo para adequar o método à sinais transientes ! Este procedimento novo recebe o nome de Transformada de Fourier para Sinais Transientes e cuja formulação será apre-sentada a seguir.

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