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PRINCÍPIOS DE CONTROLE - RCBETINI

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Modelos no Domínio do Tempo de Sistemas LTI Contínuos


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Modelos no Domínio do Tempo de Sistemas LTI Contínuos

• Existem basicamente 3 técnicas de modelagem para sistemas de tempo contínuo:– Equações diferenciais como uma representação matemática dos

relacionamentos de entrada e saída.– Diagrama de blocos como uma representação de relacionamento

entre entrada, saída e estados internos.– Modelos de estados que são o equivalente dos diagramas de

bloco.

• Iremos estudar as equações diferenciais.• Comum as 3 técnicas de modelagem é o uso de sinais

dependentes do tempo, nos quais a derivada e a integral com relação ao tempo possui um papel importante.

• Portanto estes tipos de modelo de sistemas podem ser classificados como “modelos no domínio do tempo”.

• Seus componentes são “modelos no domínio da frequência”.


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Equações Diferenciais

• Nosso objetivo é achar um modelo de sistema sem detalhes de sua implementação.

• Nós usaremos um circuito elétrico e iremos supor que este é um sistema LTI composto por resistências ôhmicas, indutores e capacitores ideais.

• Desta forma poderemos considerar o uso de equações diferenciais com coeficientes constantes na qual somente os sinais de entrada e saída e seus derivados ocorrem.

• Este tipo de análise simplifica sistemas mecânicos, pneumáticos, hidráulicos e térmicos a equações diferenciais.

• O mesmo se aplica a outros tipos de sistemas: química, biologia, economia, etc.


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Equações Lineares com Coeficientes Constantes

• Equações diferenciais estabelecem relações entre derivadas de quantidades dependente com respeito a variáveis independentes.

• Elas são chamadas equações diferenciais ordinárias se as derivadas somente ocorrem com respeito a uma das variáveis independentes (ex.: tempo)

• Equações diferenciais com derivadas com respeito a mais que uma variável independente (ex.: tempo e 3 coordenadas espaciais) são chamadas equações diferenciais parciais.

• Uma equação diferencial é linear se as derivadas individuais são somente multiplicadas por fatores e combinados por adição.

• Adicionalmente, se os fatores das derivadas não dependem das variáveis independentes, o termo equação diferencial com coeficientes constantes é usado.


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Para Modelar Sistemas Contínuos

• Somente precisamos de equações diferenciais ordinárias com o tempo como a única variável independente.

• Em tais equações os sinais de entrada e saída do sistema devem ocorrer como variáveis dependentes.

• Sistemas Lineares Invariantes no Tempo podem ser modelados por equações diferenciais com coeficientes constantes.

• Exemplo de Equações Diferenciais Lineares


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Forma Geral de Equação Diferencial Linear Ordinária com Coeficientes Constantes

• O maior índice N de um coeficientes diferentes de zero N determina o que é chamado a ordem da equação diferencial.

• Para simplificar, vamos considerar M N (sistema realizável) e permitir algum, mas não todos os coeficientes βk serem iguais a zero.

• Para uma dada função x(t) existem até N diferentes soluções y(t) linearmente independentes a equação acima.

• Para uma solução particular, nós precisamos dar N condições.

• Para problemas de condição inicial, estas poderiam ser as N condições inicias:

• A equação diferencial acima descreve um sistema contínuo no tempo, sendo x(t) o sinal de entrada e y(t) o sinal de saída.


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• Se o sinal de entrada x(t) for representado por f(t) e β por b então podemos escrever:

• Onde todos os coeficientes i e βi são constantes. Usando a notação operacional D para representar d/dt nós podemos representar esta equação como:


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• Ou:

• Onde os polinômios Q(D) e P(D) são:

• Teoricamente as potências n e m nas equações acima poderiam assumir qualquer valor.

• Considerações práticas com relação a ruídos, por outro lado, requer que m n.

• Ruído é qualquer sinal indesejável originado da natureza ou pela ação do homem, o qual interfere com o sinal desejado no sistema.


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• Infelizmente, ruído é um sinal banda larga contendo componentes de todas as frequências desde zero a infinito.

• Por esta razão o ruído contém uma quantidade significante de componentes variando rapidamente com derivadas que são consequentemente muito grande.

• Portanto qualquer sistema onde m > n irá amplificar os componentes de alta frequência do ruído através de diferenciais.

• E desta forma é possível que o ruído seja tão amplificado que ele venha a sobrepujar o sinal de saída do sistema mesmo que o sinal de ruído de entrada do sistema seja toleravelmente pequeno.

• Portanto iremos considerar no máximo m = n para que o sistema seja realizável.

• Ou seja, para que o sistema seja realizável (causal), é necessário que o número de zeros seja igual ao número de pólos.


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Equações Diferenciais com Coeficientes Constantes

• A equação diferencial anterior descreve um sistema contínuo no tempo, se x(t) é o sinal de entrada, e y(t) é o sinal de saída.

• A equação também representa um sistema invariante no tempo, pois para t’=t-ζ temos que x(t-ζ) leva a solução y(t-ζ).

• Para mostrar a linearidade nós consideramos 2 sinais de entrada x1(t) e x2(t) e as soluções correspondentes y1(t) e y2(t) .

• Colocando as equações lineares

• Dentro da equação diferencial anterior, verificamos que

• É uma solução da equação diferencial, e portanto o sinal de saída do sistema.

• Concluímos que todo sistema que pode ser modelado usando equações diferenciais lineares com coeficientes constantes é portanto um sistema LTI.


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Equações Diferenciais com Coeficientes Constantes

• Isto significa que nós achamos nosso primeiro método para modelar tais sistemas na forma de equação diferencial.

• Este método preenche nosso requerimento inicial:– Modelagem de um sistema LTI independente de sua

realização.– Representação dos relacionamentos de entrada-

saída, sem detalhes do comportamento interno do sistema.


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Exemplo-1: Para o filtro RLC da figura abaixo, determine a equação de entrada/saída relacionando a tensão de entrada f(t) com a corrente de saída y(t)


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A aplicação da Lei da soma das tensões de Kirchhoff permite:

Usando as Leis de corrente-tensão de cada elemento (indutor, capacitor e resistor) nós podemos expressar esta equação como:

Diferenciando ambos os lados desta equação obtemos:


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Exemplo-1: Para o filtro RLC da figura abaixo, determine a equação de entrada/saída relacionando a tensão de entrada f(t) com a corrente de saída y(t)

• A equação diferencial anterior é o relacionamento de entrada-saída entre a entrada f(t) e a saída y(t).

• Prova ser conveniente usar uma notação compacta D para o operador diferencial d/dt. Portanto:

• Com esta notação a equação achada anteriormente pode ser expressa como:


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O operador diferencial é o inverso do operador integral, podemos portanto usar o operador 1/D para representar integração.


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Exemplo-2: Para o filtro RC da figura abaixo, determine a equação de entrada/saída relacionando a tensão de entrada f(t) com a tensão de saída y(t).


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A substituição do resultado na equação anterior permite:


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Sinais de Entrada


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Tempo de Subida (Tr) e Tempo de Assentamento ou Acomodação (Ts)

• Tempo de Subida é o tempo necessário para que a forma de onda vá de 0,1 a 0,9 do seu valor final. É dado por Tr=2,2/a (2,31/a – 0,11/a)=2,2/a

• Tempo de assentamento é o tempo necessário para que a resposta alcance uma faixa de valores de 2% em torno do valor final e aí permaneça. Fazendo c(t)=0,98 achamos Ts=4/a


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Tabela de Transformadas de Laplace


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Tabela de Transformadas de Laplace (continuação)

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