Adalberto B. M. S. Bassi ______________________________________

Bases da Mecânica e da Termodinâmica dos Meios Contínuos

Universidade Estadual de Campinas Instituto de Química

Campinas 2011

FICHA CATALOGRÁFICA ELABORADA PELA BIBLIOTECA CENTRAL DA UNICAMP

Sistemas de Bibliotecas da UNICAMP / Diretoria de Tratamento da Informação

Bibliotecário: Maria Lúcia Nery D. de Castro – CRB-8ª / 1724

ISBN 978-85-268-0948-2 (Suporte: Papel)

ISBN 978-85-268-0949-9 (Suporte: Internet)

Palavras Chave: Mecânica; Termodinâmica; Meios Contínuos; Álgebra Tensorial; Análise Tensorial; Termomecânica; Não Linearidade; Materiais; Matemática Aplicada; Físico-Química

Keywords: Mechanics; Thermodynamics; Continuous Media; Tensor Algebra; Tensor Analysis; Thermomechanics; Non Linearity; Materials; Applied Mathematics; Physical Chemistry Equipe: Capa: Giancarlo M. Stein dos Santos Editor: João Carlos de Andrade Universidade Estadual de Campinas Instituto de Química Caixa Postal 6154 13084-970 Campinas (SP) 2011© Adalberto B. M. S. Bassi Disponível no site ChemKeys (http://www.chemkeys.com) sob licença Creative Commons (http://www.creativecommons.org.br)

B294b Bassi, Adalberto Bono Maurizio Sacchi Bases da mecânica e da termodinâmica dos meios contínuos / Adalberto B. M. S. Bassi. -- Campinas, SP: UNICAMP/Instituto de Química, 2011. “Disponível no site ChemKeys (http://www.chemkeys.com) sob licença Creative Commons (http://www.creativecommons.org.br)” 1. Termodinâmica. 2. Química. 3. Físico-química. I. Universidade Estadual de Campinas. Instituto de Química. II. Título. CDD – 541.369

– 540 – 541.3

Sobre o Autor

Adalberto B. M. S. Bassi nasceu em 1945, em Niteroi, RJ e formou-se Quımico Industrialem 1966, pela antiga Escola Nacional de Quımica da Universidade do Brasil, hoje Es-cola de Quımica da UFRJ. Fez pos-graduacao no Centro Brasileiro de Pesquisas Fısicase ingressou no corpo docente do Instituto de Quımica da UNICAMP em 1970, ondepermanece ate o presente momento. Doutorou-se pelo Instituto de Quımica da UNI-CAMP em 1976, com uma tese na area de interpretacao, por meios mecanico-quanticos,de intensidades roto-vibracionais de moleculas em estado gasoso. Em 1977, fez pos-doutorado junto ao Quantum Theory Project da University of Florida e, posteriormente,nesta mesma area foram defendidos, sob sua orientacao, trabalhos de mestrado e douto-rado. Dedicou-se, entao, a diversas atividades academico-administrativas, entre as quaisdestacam-se a de Diretor do Instituto de Quımica da UNICAMP e a de Pro-Reitor deEnsino de Graduacao da mesma Universidade. Ultimamente, restringe suas atividadesacademico-administrativas apenas a funcoes eletivas de representacao, junto aos orgaoscolegiados superiores do Instituto e da Universidade, porque prioriza a pesquisa, a ori-entacao e o ensino em Mecanica e Termodinamica dos Meios Contınuos, bem como emTermodinamica dos Processos Homogeneos.

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Preambulo

A mecanica dos meios contınuos e um desenvolvimento da antiga mecanica dos fluidos, aqual nao considerava a segunda lei da termodinamica. Ambas sao ciencias para o mundomacroscopico, ou seja, como tambem faz qualquer outra ciencia classica, por causa da uti-lizacao do calculo diferencial e integral, elas extrapolam o comportamento macroscopicopara regioes microscopicas, onde na verdade tal comportamento nao ocorre. Alias, a con-firmacao experimental da correcao dos resultados obtidos mediante esta extrapolacao, emtodas as ciencias classicas, foi o principal motivo porque tantos excelentes cientistas dopassado defenderam ardorosamente a continuidade da materia. Hoje, sabe-se que estaextrapolacao e correta desde que sejam considerados exclusivamente os seus resultadosno mundo macroscopico.

A mecanica dos meios contınuos, porem, nao e so um aperfeicoamento da mecanicados fluidos. Ao incorporar a segunda lei e, em consequencia, propriedades como a ener-gia de Gibbs, ela mostra suas profundas raızes na termodinamica classica. Porem, aocontrario desta mas como faz a mecanica newtoniana, a mecanica dos meios contınuosconsidera que os valores das grandezas materiais variam no tempo e no espaco. Por isto,os seus processos nao sao homogeneos e atemporais, como os da termodinamica classica.Tambem por isto, ela nao esta restrita a processos limites, nem a apenas interligar es-tados de equilıbrio. Ela pretende que o seu modelo represente o mundo macroscopicoreal de modo muito mais proximo e detalhado do que o faz o modelo da termodinamicaclassica.

Por outro lado, o uso intenso de funcionais constitutivos evidencia a absorcao, porparte da mecanica dos meios contınuios, dos conceitos basicos da termodinamica dos pro-cessos irreversıveis. Estas duas raızes sao tao fundamentais quanto aquela na mecanicados fluidos. A elas e adicionado o arsenal matematico que a analise tensorial dispo-nibiliza, facilitando um enfoque pragmatico e computacional extremamente util para aengenharia dos materiais. A uniao de teorias que se sintetizou na mecanica dos meioscontınuos apresenta um enorme potencial, inclusive porque a analise tensorial e uma po-derosa ferramenta matematica moderna, absolutamente nao disponıvel na epoca em quea termodinamica classica foi desenvolvida.

De acordo com a mecanica dos meios contınuos, o que se conserva e a energia total,nao e a energia interna. A conservacao da energia e colocada como um dos pilares destaciencia, junto com as conservacoes da massa e dos momentos linear e angular. Por outrolado, frequentemente a segunda lei da termodinamica e tratada como uma mera condicaolimitante, a ser incluıda na construcao dos funcionais constitutivos. Por isto, embora aexistencia das mencionadas raızes termodinamicas, este nome nem sempre e associadoa mecanica dos meios contınuos. Alias, os tıtulos das sete referencias basicas listadasna bibliografia evidencia a diversidade de nomes usados para designar esta ciencia. Esteautor prefere manter associadas as palavras mecanica e termodinamica, como fazem os

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tıtulos da primeira e quarta referencias.Isto parece correto porque comeca-se a perceber uma baixa utilizacao do potencial

antes mencionado, nao sob o enfoque da engenharia ou do desenvolvimento de “softwa-res”, mas sim sob o aspecto conceitual fısico-quımico. De fato, feita excecao a numerosostrabalhos puramente matematicos, parece haver pouco interesse em tentar melhorar o en-tendimento dos conceitos fundamentais em que se baseia a mecanica dos meios contınuos.Pelo contrario, percebe-se a tendencia de apenas aplica-los, de modo cada vez mais efici-ente e produtivo, naquilo que ja se sabe conduz a resultados experimentalmente corretos.Logo, estreitar a associacao entre a mecanica e a termodinamica, a primeira fortementematematica e a segunda intensamente conceital, parece proveitoso para esta ciencia.

Talvez, um dos maiores motivos deste aparente desinteresse esteja nos conhecimentosmatematicos necessarios para uma precisa compreensao conceitual do que as equacoesrefletem. De fato, trata-se de uma base matematica incomum entre quımicos e ate mesmoentre fısicos, a nao ser nos seus aspectos puramente operacionais. O objetivo deste texto eajudar na aquisicao desta base matematica conceitual, sem a qual e realmente impossıvelentender o significado fısico das equacoes utilizadas pela mecanica dos meios contınuos.Este texto nao se destina a matematicos, mas sim a leitores que possuam conhecimentosapenas operacionais, ou rudimentares, de calculo diferencial e integral.

Ele inicia-se com um longo capıtulo de algebra e calculo tensorial, seguido por umcapıtulo de cinematica onde alguns conceitos fısicos comecam a aparecer. A parte fun-damental do segundo capıtulo e a sua secao sobre movimento, mas a compreensao desteconceito exige a leitura das secoes anteriores, principalmente da primeira. A ultima secaodeste capıtulo e um pouco mais complexa, mas nao pode deixar de ser entendida, porquesera usada em capıtulos posteriores. O terceiro capıtulo, sobre balanceamento, englobaa conceituacao fısica principal. No ultimo capıtulo sao colocadas algumas nocoes basicassobre os funcionais constitutivos.

Este texto segue, em suas linhas gerais, o apendice e os primeiros tres capıtulosda segunda referencia citada procurando, porem, ser mais acessıvel para o leitor naomatematico. Devido a forte admiracao do autor pela penultima referencia, este textoe inevitavelmente influenciado por ela. Sofre, tambem, as consequencias de ser o autormuito interessado na termodinamica dos processos homogeneos, que e uma visao temporalda termodinamica classica, muito util no estudo de estados da materia homogeneos, masnao estaveis, tais como vidros, lıquidos superresfriados etc. A primeira referencia eextremante atual e abrangente. A ultima, por causa da proposicao da desigualdade deClausius-Duhem, e geralmente considerada o marco inicial da mecanica e termodinamicados meios contınuos. Sem demerito para dezenas de outras excelentes referencias, o autorconsidera as sete selecionadas como os marcos principais desta teoria.

Campinas, janeiro de 2011.

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Sumario

1 Analise Tensorial Elementar 11.1 Sımbolos, Funcao e Funcional, Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Algebra Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.1 Espaco Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.2 Produto Interno de Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.3 Base Dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.4 Produto Tensorial de Vetores e Tensor de Segunda Ordem . . . . 121.2.5 Transposicao de Tensor Simples, de Segunda Ordem e Troca entre

Indice e Superındice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.2.6 Composicao de Tensores de Segunda Ordem . . . . . . . . . . . . 201.2.7 Tensor de ordem k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.2.8 Regras para Transformacao de Componentes de Vetor e de Tensor

de Segunda Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.2.9 Determinante e Traco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.2.10 Produto Interno, Inversao, Ortogonalidade e Grupo de Tensores de

Segunda Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.2.11 Elemento de Volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361.2.12 Produto Externo e Produto Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . 411.2.13 Teoremas para a Mecanica dos Meios Contınuos . . . . . . . . . . 451.2.14 Espaco Euclideano de Pontos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

1.3 Calculo Tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511.3.1 Diferenciacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511.3.2 Aplicacoes da Diferenciacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581.3.3 Sistemas de Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 661.3.4 Derivadas Covariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 701.3.5 Operadores para a Mecanica dos Meios Contınuos . . . . . . . . . 75

2 Cinematica 822.1 Configuracao e Deformacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

2.1.1 Gradiente de Deformacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 822.1.2 Diferenciais Definidos pelo Gradiente de Deformacao . . . . . . . 842.1.3 Mudanca de Configuracao Referencial . . . . . . . . . . . . . . . . 87

2.2 Tracao e Rotacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 872.3 Tracao e Rotacao Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 892.4 Movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

2.4.1 Conceito Basico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 942.4.2 Descricoes Material e Espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

2.5 Deformacao Relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

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2.5.1 Conceito e Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 992.5.2 Velocidade de Alteracao da Tendencia de Deformacao . . . . . . . 101

2.6 Mudanca de Estrutura Referencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1042.6.1 Transformacao Euclideana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1042.6.2 Transformacoes Galileiana e Rıgida Independente de t . . . . . . . 1072.6.3 Aplicacoes para Grandezas Cinematicas . . . . . . . . . . . . . . . 1082.6.4 Derivada Temporal Corotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

3 Balanceamento 1123.1 Equacoes de Balanceamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

3.1.1 Equacoes de Balanceamento na Configuracao Corrente . . . . . . 1123.1.2 Equacoes de Balanceamento na Configuracao Referencial . . . . . 1183.1.3 Compatibilidade Cinematica da Superfıcie Singular . . . . . . . . 122

3.2 Massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1233.3 Dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

3.3.1 Momentos Linear Angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1263.3.2 Forca e Torque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1283.3.3 Tensor de Tracao de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1293.3.4 Balanceamento de Momentos Linear e Angular . . . . . . . . . . . 1313.3.5 Balanceamento de Energia Cinetica . . . . . . . . . . . . . . . . . 1333.3.6 Balanceamento de Energias Total e Interna . . . . . . . . . . . . . 135

3.4 Equacoes Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1393.4.1 Equacoes de Campo e de Rankine-Hugoniot na Descricao Material 1393.4.2 Condicoes de Fronteira do Corpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1413.4.3 Equacoes de Campo em Estrutura Referencial Arbitraria . . . . . 142

4 Princıpios Basicos das Teorias Constitutivas 1454.1 Campos Basicos, Funcoes e Funcionais Constitutivos . . . . . . . . . . . 1454.2 Princıpio de Objetividade Material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

4.2.1 Conceito Fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1474.2.2 Aplicacao a Configuracao Referencial . . . . . . . . . . . . . . . . 1484.2.3 Aplicacao a Classes Particulares de Materiais . . . . . . . . . . . 150

4.3 Material Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

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Capıtulo 1

Analise Tensorial Elementar

1.1 Sımbolos, Funcao e Funcional, Matriz

Notacao 1.1.1 (Sımbolos) O campo dos numeros reais e representado por <. Anao ser no caso de sımbolos convencionais, como por exemplo o tensor elemento de vo-lume e, de um modo geral escalares (tensores de ordem zero) serao representados porletras minusculas em italico (a, α,. . . ), vetores (tensores de primeira ordem) por letrasminusculas romanas em negrito (u, v,. . . ) e tensores (de qualquer ordem salvo nula eprimeira) por letras maiusculas italicas (T , F ,. . . ). O tensor identidade sera represen-tado 1 , enquanto que a matriz identidade sera representada por [1]. Entretanto, letrasitalicas minusculas e maiusculas poderao ter outros significados, desde que estes sejamexplicitamente informados. Trechos em negrito correspondem a chamadas no ındice e,quando deseja-se ressaltar uma palavra, ela e sublinhada por traco duplo. Sımbolosmatematicos:

∈ pertence a ou pertencente a;

⊂ subconjunto de;

∀ para todo;

∃ existe;

· conjunto constituıdo pelo(s) elemento(s) representado(s) por · ;

(·) conjunto ordenado constituıdo pelo(s) elemento(s) representado(s) por · ;

[·] matriz constituıda pelo(s) elemento(s) representado(s) por · ;

·[·] aplicacao do tensor representado pelo primeiro · ao tensor representado pelo segundo;

| onde;

2 termino de demonstracao.

Definicao 1.1.1 (Funcao e Funcional) Sejam dois conjuntos, A e B, de escalares,vetores, tensores, ou de n-uplas (por exemplo, se n = 2 sao duplas, o que significao mesmo que pares ordenados) constituıdas por escalares, vetores, ou tensores. Por

1

definicao, uma regra que relaciona cada elemento de A a, no maximo, um unico elemento

de B, e uma funcao g representada por g : A → B. A expressao g : a 7→ b | a ∈A, b ∈ B indica que, quando a funcao for aplicada ao especıfico elemento a, que serachamado o argumento da funcao, este elemento sera relacionado ao especıfico elementob, chamado imagem da funcao, formando o par ordenado (a, b). Por exemplo, cos :π/3 7→ 0, 5 |π/3, 0, 5 ∈ <, formando o par ordenado (π/3, 0, 5). O conjunto de todos ospares ordenados criados pela funcao g e a propria funcao g, porque tal conjunto explicita

a regra que relaciona cada elemento de A a, no maximo, um elemento de B.O par ordenado (a, b), portanto, e o elemento da funcao correspondente ao ar-

gumento a (nao a imagem b, porque varios argumentos podem corresponder a mesmaimagem, mas nao o vice-versa). E muito frequente o uso da representacao g(a) paraindicar b, ou seja, define-se b ≡ g(a) e costuma-se afirmar que “b e funcao de a” paraindicar que b e a imagem correspondente ao argumento a, atraves da funcao g. Se oconjunto B for constituıdo exclusivamente por escalares (ou vetores, ou tensores etc.),costuma-se afirmar que g e uma “funcao escalar” (ou vetorial, ou tensorial etc.), paraindicar que a imagem da funcao g e necessariamente escalar (ou vetorial, ou tensorialetc.). Por outro lado, a representacao g(·) e utilizada para indicar a propria funcao g,portanto g ≡ g(·).

Se, para um especıfico conjunto D de argumentos a da funcao g : a 7→ b, a todaimagem b de a ∈ D corresponder um unico argumento a, g sera dita funcao de um

para um em D e g−1 : b 7→ a|a ∈ D sera a inversa em D da funcao g. Neste casopoder-se-a, tambem, afirmar que a funcao g e invertıvel em D. Evidentemente, existea possibilidade de que D abranja todos os possıveis argumentos da funcao, situacao estaem que a expressao “em D” e omitida.

Sejam, agora, dois conjuntos, C eD, de escalares, vetores, tensores, funcoes h : A→ Bou de n-uplas constituıdas por escalares, vetores, tensores ou funcoes h : A → B. Pordefinicao, uma regra que relaciona cada elemento de C a, no maximo, um unico elemento

de D, e um funcional F representado por F : C → D. Um tipo extremamente simplesde funcional e a funcao, ja discutida, porque a definicao de funcional e uma ampliacao dadefinicao de funcao, logo nao exclui esta ultima. Por isto, tudo o que se seguiu a setenca

de definicao de funcao, ate ao fim do paragrafo anterior, pode ser analogamente colocadopara funcional. Porem, usa-se o nome funcional apenas quando pelo menos um, entre

os argumentos e imagens de F considerados, for uma funcao, ou uma n-upla contendopelo menos uma funcao, porque, quando isto nao ocorrer, seria uma inutil complicacaousar o nome funcional, ao inves de funcao, ja que esta e uma denominacao muito maisconhecida.

Considerando esta restricao, o exemplo mais simples de funcional e a composicaode funcoes, que pode ser grafada g3 = g2 g1 , onde g1 e a funcao argumento, F = g2e o funcional e g3 e a funcao imagem, logo g3 = g2 g1 e um caso especıfico da expressaomais geral g3 = F(g1) . Impor F = g2 e igual a impor que, se g1 : x 7→ y e g3 : x 7→ z,

exista g2 : y 7→ z. Conforme sera exemplificado a seguir, a existencia de g2 : y 7→ zcorresponde a uma simplificacao tao radical, em relacao a expressao g3 = F(g1) , sendog1 : x 7→ y e g3 : x 7→ z, que o proprio conceito de funcional e desnecessario para explicara composicao de funcoes, assim como e desnecessario para explicar a funcao. Por isto,nao se usa o nome funcional no caso de composicao de funcoes, a qual e tambem chamada

funcao de funcao. Como a imagem z e a mesma, e usual escrever g(x) = g(y), ao inves

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da representacao mais rigorosa g3(x) = g2(y).

Para exemplificar uma composicao de funcoes, seja y = g1(x) = sen x e z = g2(y) =cos y, logo z = g3(x) = cos sen x, onde a funcao sen e o argumento que o funcionalcos relaciona a funcao imagem cos sen. Note que, para que o funcional cos definao elemento (x, z) da sua funcao imagem cos sen, basta que seja conhecido o elemento(x, y) da sua funcao argumento sen. Isto ocorre porque existe a funcao g2 : y 7→ z, nesteexemplo dada por cos : y 7→ z. Em geral, porem, o conhecimento da funcao imagem deum funcional, ou mesmo de apenas um elemento dela, exige o conhecimento de mais do

que um unico elemento de pelo menos uma entre as funcoes presentes no seu argumento.Coerentemente com o afirmado no paragrafo anterior, usar-se-a o nome funcional somentequando houver esta exigencia, que nao existe no caso da composicao de funcoes.

Os tipos mais conhecidos de funcionais sao a derivacao e a integracao, que sao regrasque relacionam funcoes entre si e que exigem o conhecimento de mais do que um unicoelemento das funcoes argumento. A derivacao e a integracao sao exemplos de funcionaisuniversais, no sentido que sao regras que nao dependem de caracterısticas especıficas doproblema a ser resolvido. Por isto, mais uma vez, a derivacao e a integracao costumamser apresentadas sem que o conceito de funcional seja previamente colocado. Mas existem

funcionais nao universais, cuja compreensao exige que o conceito de funcional seja previ-

amente apresentado. Eles aparecem em varias ciencias fısicas. Por exemplo, na mecanica

e termodinamica dos meios contınuos sao utilizados funcionais constitutivos, cujasformas dependem de especificidades do material considerado.

Notacao 1.1.2 (Einstein) Um superındice, geralmente, e escrito entre parentesis, para

nao ser confundido com um expoente. Por exemplo, pode-se ter ai ou a(i), de acordo

com a preferencia quanto a numerar a por meio de ındices ou superındices i = 1, 2, 3, . . .(considere que a nao necessariamente seja um escalar). Porem, de acordo com a notacaode Einstein, os parentesis sao omitidos do superındice. Outra caracterıstica desta notacao

e que, num produto, quando um mesmo indicador aparecer uma vez como ındice e outra

como superındice, subentende-se o somatorio do produto para todos os valores possıveis

do indicador. Por exemplo, aibi , sendo i = 1, 2 ou 3, implica em a1b1 + a2b2 + a3b3 ,

enquanto que aibi representa o somatorio a1b

1 + a2b2 + a3b

3.

Mas, se o indicador aparecer duas vezes como ındice, ou como superındice, o somatorio

nao estara subentendido. Portanto tanto aibi como aibi se referem a um unico entre os

possıveis valores permitidos para i. Para indicar a1b1 +a2b2 +a3b3 , ou a1b1 +a2b2 +a3b3,

deve-se respectivamente escrever∑3i=1 aibi , ou

∑3i=1 a

ibi. O indicador somativo pode

ser um ındice e um superındice que apresentem a mesma base. Por exemplo, sendo

i = 1, 2 ou 3, tem-se T ii = T 1

1 + T 22 + T 3

3 .

Podem, tambem, ocorrer dois ou mais indicadores somativos. Por exemplo, gi j Ti j in-

dica a aplicacao sequencial dos somatorios em i e em j, sendo indiferente qual dos dois so-matorios e o primeiro a ser efetuado. Apos efetuado o primeiro somatorio (se i = 1, 2 ou 3,

aplicando inicialmente o somatorio em i a gi j Ti j ter-se-a g1 j T

1 j + g2 j T2 j + g3 j T

3 j),

aparecem termos formados por fatores com ındice e superındice alfanumericos iguais, oque exige a aplicacao dos somatorios correspondentes a parte alfabetica dos ındices e

superındices, para cada um destes termos. A notacao de Einstein sera subentendida a

partir deste ponto do texto.

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Definicao 1.1.2 (Matriz) Seja um conjunto A, cujos elementos nao necessariamente

sao escalares e seja o conjunto I, formado pelos m primeiros numeros naturais (osnumeros naturais sao os inteiros positivos). Suponha que exista uma funcao ordenadora

φ : I → A tal que, ∀i ∈ I, φ : i 7→ ai | ai ∈ A, ou φ : i 7→ ai | ai ∈ A, de acordo

com o sımbolo escolhido para a imagem de φ ser, respectivamente, ai ou ai. Logo, a

funcao φ cria, respectivamente, o conjunto ordenado (a1 , a2 , . . . , am−1 , am) ≡ (ai)mi=1 , ou

(a1 , a2 , . . . , am−1 , am) ≡ (ai)mi=1 , usando elementos do conjunto A e representando por

ai , ou ai, o elemento que ela associa a cada numero natural i. Neste texto, tal conjunto

ordenado sera geometricamente representado, respectivamente, pela matriz coluna [ai]

ou [ai], onde a1 ou a1 e colocado na linha superior, a2 ou a2 na linha logo abaixo da linha

superior e assim sucessivamente, ate am−1 ou am−1 na linha logo superior a linha inferior

e am ou am na linha inferior.

Note que, embora neste texto o sımbolo [ai], ou [ai], sempre indique a mencionada

matriz coluna, outras representacoes geometricas sao possıveis para o conjunto ordenadoconsiderado. Por exemplo, poderia ser imaginada uma representacao sob a forma de umamatriz linha, ou mesmo uma matriz circular, onde fosse colocado a1 ou a1 na posicaoem que se encontra o numero doze no mostrador de um relogio analogico, seguido nosentido horario pelos demais elementos a2 ou a2 etc., espacados entre si por arcos de igualcomprimento. O que e significativo, portanto, e o conjunto ordenado, nao a representacaogeometrica por matriz coluna que foi para ele convencionada.

Seja, agora, o mesmo conjunto A e sejam os conjuntos I e J , respectivamente for-mados pelos m e pelos n primeiros numeros naturais. Suponha que exista uma funcaoordenadora φ : I × J → A tal que, ∀i ∈ I e ∀j ∈ J , tenha-se ou φ : (i, j) 7→ ai j | ai j ∈ A,

ou φ : (i, j) 7→ a ji | a j

i ∈ A, ou φ : (i, j) 7→ ai j | ai j ∈ A, ou φ : (i, j) 7→ ai j | ai j ∈ A,

de acordo com o sımbolo escolhido para a imagem de φ ser, respectivamente, ai j , a ji ,

ai j ou ai j. Logo, a funcao φ cria, respectivamente, o conjunto ordenado (ai j)m,ni=1, j=1 ,

ou (a ji )m,ni=1, j=1 , ou (ai j)

m,ni=1, j=1 , ou (ai j)m,ni=1, j=1 , usando elementos do conjunto A e re-

presentando por ai j , ou a ji , ou ai j , ou ai j , o elemento que ela associa a cada par

ordenado de numeros naturais (i, j). Note a convencao adotada, no sentido de que aordem esquerda/direita dos indicadores (sejam eles ındices ou superındices), no elementode A associado ao par ordenado, sempre e a ordem esquerda/direita conforme a qual, no

par considerado, aparecem os numeros naturais.Neste texto, o conjunto ordenado (ai j)

m,ni=1, j=1 , ou (a j

i )m,ni=1, j=1 , ou (ai j)m,ni=1, j=1 , ou

(ai j)m,ni=1, j=1 , sera geometricamente representado, respectivamente, pela matriz retangular

[ai j], ou [a ji ], ou [ai j], ou [ai j], onde o indicador a esquerda sinaliza a linha enquanto

que o indicador a direita mostra a coluna, independentemente deles aparecerem como

ındices ou superındices. Novamente, o que e significativo e o conjunto ordenado, nao arepresentacao geometrica por matriz retangular que foi para ele convencionada.

Por exemplo, seja A o infinito conjunto contavel dos quocientes das divisoes de todosos numeros naturais por todos os numeros naturais e seja a funcao φ tal que a imagemdo par ordenado (i, j) seja o quociente i/j, logo a imagem do par ordenado (j, i) sejao quociente j/i. No caso do par ordenado (i, j), tal imagem pode ser representada por

ai j , ou a ji , ou ai j , ou ai j . Por outro lado, se o par ordenado for (j, i), a representacao

4

poderera ser aj i , ou a ij , ou aj i , ou aj i . Note que a funcao φ foi definida de modo tal

que, nestas oito possıveis representacoes da sua imagem, o indicador a esquerda sempre

seja o numerador do quociente, independentemente dele ser ındice ou superındice e,tambem, independentemente da letra usada neste indicador ser i ou j (analogamentepara o indicador a direita).

Escolhamos, arbitrariamente, o sımbolo a ji , ou seja, consideremos a j

i = i/j. Neste

caso, a funcao φ criou o conjunto ordenado (a ji )m,ni=1, j=1 | a

ji = i/j, geometricamente

representado pela matriz retangular [a ji ]. Como foram incluıdos, como numeradores, os

numeros naturais desde i = 1 ate i = m, a matriz apresenta m linhas. Por outro lado,foram considerados os denominadores desde j = 1 ate j = n, logo a matriz tem n colunas.

Mas, se de modo igualmente arbitrario escolhermos o sımbolo a ij , logo considerarmos

a ij = j/i, a funcao φ criara o conjunto ordenado (a i

j )n,mj=1, i=1 | a ij = j/i, geometricamente

representado pela matriz retangular [a ij ]. Esta, evidentemente, apresenta n linhas e

m colunas. Note que as matrizes [a ji ] e [a i

j ] sao iguais nas suas respectivas partes

quadradas, as quais contem um numero l de linhas e colunas igual ao menor entre m e n,

ou seja, a ji = a i

j |i=l, j=li=1, j=1. Mas, nas suas respectivas partes restantes, todos os elementos

de cada uma das duas matrizes sao diferentes daqueles apresentados pela outra.

Isto mostra que, se m = n, entao [a ji ] = [a i

j ], o que pode confundir quem esta acos-

tumado a simbologia usada nos livros didaticos elementares de algebra matricial. Alias,

as representacoes [A] e [A]i j , respectivamente para uma matriz e para os elementos que

a formam, embora muito encontradas em tais livros, nao sao usadas neste texto. De fato,

conforme a notacao para aplicacao de tensor a tensor 1.2.6, que sera posteriormente apre-sentada, M [N ] indicara a aplicacao do tensor representado por M ao tensor representado

N , logo nao indicara que [N ] seja uma matriz (para evidenciar o contraste, o sımbolo ·[·]foi incluıdo imediatamente apos aquele de matriz, [·], na notacao para sımbolos 1.1.1).

A diferenca entre a simbologia usada neste texto e aquela que aparece nos livrosdidaticos elementares de algebra matricial deve-se ao fato de que os mencionados livrosusam sımbolos adequados a um conceito de matriz semelhante ao de uma tabela, en-quanto que o conceito de matriz apresentado no presente texto ressalta a acao da funcaoordenadora φ e, por isto, utiliza uma simbologia mais coerente com este enfoque. Cabe,ainda, lembrar que, ao se representar um conjunto ordenado, nao e exigido que se informeo valor final assumido por cada um dos indicadores. Logo, sao absolutamente corretas,

por exemplo, as representacoes simplificadas (ai), ao inves de (ai)mi=1 e (a j

i ), ao inves

de (a ji )m,ni=1, j=1.

Conforme ja afirmado, o indicador a esquerda (ou a direita), na representacao es-colhida para o elemento do conjunto A, em geral tem algum outro significado especialalem de, na forma matricial, fornecer a linha (ou a coluna) a que o elemento pertence.No exemplo anterior, o significado especial era ser o valor do numerador do quociente,independentemente de qual fosse a letra usada para simbolizar tal valor e, tambem, in-dependentemente deste indicador ser um ındice ou um superındice. Porem, o significadoespecial pode, tambem, determinar se o indicador e ındice ou superındice, conforme,

por exemplo, sera mostrado na definicao de componente associado de tensor de segundaordem 1.2.15.

5

No exemplo anterior, se i fosse o numerador e j o denominador do quociente, i se-ria a letra usada no indicador a esquerda e j naquele da direita, logo o par ordenadoseria (i, j). Ao se trocar (i, j) por (j, i), se troca analoga nao fosse efetuada no quoci-

ente a funcao ordenadora, φ, seria transformada na funcao ordenadoraT

φ, a qual seraapresentada na definicao de matrizes transposta e inversa 1.1.4. Esta troca de funcoes

ordenadoras produziriaTa

i

j = a ji |m,ni=1, j=1 , ao inves de a i

j = a ji | i=l, j=li=1, j=1 . De um modo

geral, as letras usadas nos dois indicadores aparecem em diversas expressoes envolvidasno desenvolvimento matematico ao qual a matriz se relaciona e, ao se trocar (i, j) por

(j, i), para se obter a ij = a j

i | i=l, j=li=1, j=1 troca analoga deve ser efetuada em tais expressoes.

Se for esquecida a necessaria troca em alguma das expressoes envolvidas, provavelmenteum erro grave sera cometido. Aconselha-se, entao, muita cautela no uso de igualdades,

para m = n, do tipo [a ji ] = [a i

j ].

Definicao 1.1.3 (Delta de Kronecker) O delta de Kronecker, representado por

δij , δ ji , δi j ou δi j, e um real nulo sempre que i 6= j, mas igual a unidade se i =

j. Entretanto, pressupoe-se que as possibilidades de igualdade e desigualdade entre osindicadores i e j se refiram as grandezas que estes indicadores representam, o que criaa exigencia de que as mencionadas grandezas sejam comparaveis, na teoria considerada.Em geral, a satisfacao desta exigencia e subentendida, mas em alguns casos pode serconveniente explicita-la, como por exemplo na definicao de matrizes transposta e inversa1.1.4. E evidente que o fato dos indicadores serem ındices ou superındices, ou mesmoestarem a esquerda ou a direita, nao afeta o valor do delta de Kronecker, ao contrariodo que, por exemplo, sera mostrado na definicao de componente associado de tensor desegunda ordem 1.2.15.

Definicao 1.1.4 (Matrizes Transposta e Inversa) Seja um conjunto A e sejam osconjuntos I e J , respectivamente formados pelos m e pelos n primeiros inteiros positivos.Suponha que exista uma funcao φ : I × J → A tal que, ∀i ∈ I e ∀j ∈ J , tenha-se

φ : (i, j) 7→ a ji | a j

i ∈ A. Suponha, tambem, que exista uma outra funcaoT

φ: J × I → A

tal que, ∀j ∈ J e ∀i ∈ I, tenha-seT

φ: (j, i) 7→Ta

i

j | Ta

i

j = a ji . Enquanto a funcao φ

cria o conjunto ordenado (a ji )m,ni=1, j=1 , a funcao

T

φ cria o conjunto ordenado(Ta

i

j

)n,mj=1, i=1

,

sendo o primeiro conjunto geometricamente representado pela matriz retangular [a ji ] e o

segundo pela matriz retangular[Ta

i

j

]. A matriz [a j

i ] tem m linhas e n colunas, enquanto

que a matriz[Ta

i

j

]apresenta n linhas e m colunas. Define-se [a j

i ]T ≡[Ta

i

j

], sendo [a j

i ]T

denominada a transposta da matriz [a ji ].

Note que, embora tanto [a ji ]T quanto [a i

j ] apresentem n linhas e m colunas, [a ji ]T 6=

[a ij ]. De fato, conforme colocado na definicao 1.1.2, [a j

i ] e [a ij ] sao iguais nas suas

respectivas partes quadradas, mas nas suas respectivas partes restantes todos os elemen-tos de cada uma das duas matrizes sao diferentes daqueles apresentados pela outra. Ao

contrario, [a ji ] e [a j

i ]T nao sao iguais nas suas respectivas partes quadradas, mas to-

dos os elementos de [a ji ] estao presentes em [a j

i ]T e v.v. Note, ainda, que esta nao

e a definicao de transformacao linear transposta, que sera apresentada posteriormente

6

(definicao 1.2.17). A partir deste ponto do texto e ate ao final desta definicao 1.1.4,

imponha m = n. Assim sendo, se [a ji ] = [a j

i ]T a matriz e dita simetrica, enquanto

que, se [a ji ] = −[a j

i ]T , a matriz e chamada antissimetrica.

A matriz inversa de [a ji ], grafada [a j

i ]−1 e definida de modo a que [a ji ]−1[a j

i ] =

[a ji ][a j

i ]−1 = [1], onde [1] e a matriz unidade, corresponde a um ordenamento de ele-

mentos do conjunto A produzido pela funcao−1

φ : J × I → A tal que, ∀j ∈ J e ∀i ∈ I,

tenha-se−1

φ : (j, i) 7→−1a

i

j |(−1a

i

j a ki = δ k

j , a jk

−1a

i

j = δ ik

), portanto [a j

i ]−1 ≡[−1a

i

j

].

Esta colocacao explicita a exigencia de que o conjunto A contenha tanto os elementos

a ji , quanto os elementos

−1a

i

j . Note que, comoTa

i

j = a ji , os elementos de [a j

i ] e [a ji ]T

sao os mesmos, logo e suficiente que [a ji ] exista para que [a j

i ]T exista. Por outro lado,

nao e suficiente que [a ji ] exista para que [a j

i ]−1 exista, porque nao ha garantia alguma

de que existam os elementos−1a

i

j , logo, de que exista algum conjunto A que contenha

tanto os elementos a ji , quanto os elementos

−1a

i

j . A matriz [a ji ] e dita singular quando

[a ji ]−1 nao existir e e dita ortogonal quando [a j

i ]T = [a ji ]−1.

A escolha da matriz [a ji ] foi totalmente arbitraria. Semelhantemente ao que foi

apresentado para transposicao, simetria, antissimetria, inversao, singularidade e ortogo-

nalidade da matriz [a ji ], definem-se transposicoes, simetrias, antissimetrias, inversoes,

singularidades e ortogonalidades das matrizes [ai j], [ai j] e [ai j]. De acordo com a de-

finicao de matriz 1.1.2, o indicador a esquerda (ou a direita) na representacao escolhidapara o elemento do conjunto A, independentemente deste indicador ser um ındice ou umsuperındice e, tambem, independentemente de qual seja a letra usada para simbolizar oseu valor, em geral tal indicador tem algum outro significado especial alem de, na repre-sentacao matricial, indicar a linha (ou a coluna) a que pertence o elemento. De fato, noexemplo fornecido pela definicao 1.1.2, o significado especial do indicador a esquerda erareferir-se ao numerador do quociente.

Deve-se ressaltar que as definicoes apresentadas para matriz transposta e para matriz

inversa, respectivamenteTa

i

j = a ji e

(−1a

i

j a ki = δ k

j , a jk

−1a

i

j = δ ik

), indicam que, ao

se efetuar a transposicao ou a inversao, os mencionados significados especiais dos doisindicadores sao trocados entre si. No caso da primeira igualdade, para matriz transposta,a troca e evidente. No caso das ultimas duas igualdades, para evidenciar a troca faz-senecessario informar que a definicao de matriz inversa subentende que sejam considerados

comparaveis, em termos de δ kj e δ i

k (veja a definicao de delta de Kronecker 1.1.3),

somente indicadores que apresentem o mesmo significado especial. Define-se, ainda, a

matriz inversa transposta [a ji ]−T ≡

[−Ta

j

i

]=[−1a

i

j

]T=[Ta

i

j

]−1

, cujos significa-

dos especiais dos dois indicadores sao os mesmos da matriz original. Evidentemente,

definicoes analogas existem para as matrizes [ai j], [ai j] e [ai j].

7

1.2 Algebra Linear

1.2.1 Espaco Vetorial

Definicao 1.2.1 (Espaco Vetorial Real) Um espaco vetorial real V e um conjuntoque dispoe de duas operacoes:

I. v + u ∈ V se v ∈ V e u ∈ V (adicao) e

II. αv ∈ V se v ∈ V e α ∈ < (multiplicacao escalar),

as quais satisfazem as seguintes regras: ∀(u,v,w) ∈ V e ∀(α, β) ∈ <,

1. v + u = u + v (comutatividade da adicao).

2. v + (u + w) = (u + v) + w (associatividade da adicao).

3. ∃0 ∈ V tal que v+ 0 = v, chamado vetor nulo e representado do mesmo modo queo escalar nulo, este ultimo denominado zero (definicao do vetor nulo).

4. ∀v ∈ V ∃ − v ∈ V tal que v + (−v) = 0 (operacionalidade da adicao).

5. α(βv) = (αβ)v (associatividade escalar da multiplicacao escalar).

6. (α+ β)v = αv + βv (distributividade escalar da multiplicacao escalar).

7. α(v + u) = αv + αu (distributividade vetorial da multiplicacao escalar).

8. 1v = v, onde 1 e o escalar um (operacionalidade da multiplicacao escalar).

Usando o conceito de diferenca entre numeros reais, e estabelecido o conceito de conti-nuidade em <. Logo, a operacao multiplicacao escalar implica em que qualquer espacovetorial real contenha infinitos vetores, sendo contınua a variacao entre eles. Estabelece-se, assim, o conceito de continuidade em espaco vetorial. Note ainda que, de acordocom a presente definicao, < e um espaco vetorial.

Definicao 1.2.2 (Base) Um conjunto de vetores (ci)ni=1 e denominado uma base do

espaco vetorial real V se e somente se

∀a1 , . . . , an ∈ <, se a1c1 + . . .+ ancn = 0 entao a1 = . . . = an = 0, logo,

(1) ha independencia linear entre os elementos de (ci)ni=1 e

∀u ∈ V tem-se u1c1 + . . .+ uncn = u, onde u1, . . . , un ∈ <, logo,

(2) o conjunto ordenado (ci)ni=1 abrange o espaco V .

Neste texto, os vetores de base serao representados por ci ∈ (ci)ni=1 ou di ∈ (di)

ni=1 .

Perceba que, ao contrario do que ocorre com o indicador i = 1, . . . , n, o uso subentendidoda notacao de Einstein 1.1.2 nao implica em que uncn seja um somatorio, porque napresenta um unico valor.

8

Definicao 1.2.3 (Componente) De acordo com a definicao de base 1.2.2, se (ci)ni=1

for uma base de V e u ∈ V , entao u = uici . Cada elemento ui ∈ (ui)ni=1 , denominado

componente de u, e bem definido em relacao a base (ci)ni=1 .

Definicao 1.2.4 (Dimensao de Espaco Vetorial Real) Um espaco vetorial realpode ter muitas bases, mas todas elas contem o mesmo numero de elementos. Tal numeroe chamado dimensao, cuja representacao e dim. Note que, mesmo que nao se trate da

dimensao de um espaco vetorial real, mas sim da dimensao de alguma outra grandeza, osımbolo e este. Por exemplo, se (ci)

ni=1 for uma base de V , entao dimV = n. Neste texto

somente serao considerados espacos vetoriais reais de dimensao finita.

1.2.2 Produto Interno de Vetores

Definicao 1.2.5 (Produto Interno de Vetores) O produto interno e uma funcaog : V × V → < com as seguintes propriedades: ∀u,v,w ∈ V e ∀α ∈ <,

1. g(u,v) = g(v,u) (simetria),

2. g(u+αv,w) = g(u,w)+αg(v,w) (por causa da simetria, bilinearidade, ao invesde apenas linearidade, de acordo com a definicao 1.2.10, adiante),

3. g(u,u) > 0 se u 6= 0 (definicao positiva).

Comentario 1.2.1 (Espaco Vetorial Real com Produto Interno) Um espaco ve-torial para o qual exista uma funcao g : V × V → < bilinear, simetrica e de definicaopositiva e denominado espaco vetorial com produto interno. Neste texto serao conside-rados apenas espacos vetoriais reais com produtos internos.

Definicao 1.2.6 (Espaco Vetorial Euclideano) De acordo com a definicao de pro-duto interno 1.2.5, o produto interno e qualquer funcao g : V ×V → < bilinear, simetricae de definicao positiva. Se existir uma unica e bem determinada, entre tais funcoes, pormeio da qual ∀u ∈ V , sendo V um espaco vetorial real de dimensao finita e com pro-duto interno, se defina a norma |u| =

√u · u, a imagem de tal funcao especıfica sera

representada por u · v, ao inves de g(u,v), conforme ja mostra a propria definicaode norma. Neste caso, V sera um espaco vetorial euclideano. Num espaco vetorialeuclideano pode-se considerar qualquer vetor como um objeto de comprimento bemdefinido, comprimento este dado pela norma do vetor considerado. Note que, como naoha restricao quanto ao numero finito de dimensoes, a palavra comprimento tem, aqui, umsignificado generalizado em relacao ao usual. Se |u| = 1, u e chamado vetor unidade,o qual e representado por e.

Comentario 1.2.2 (Imposicao aos Espacos Vetoriais) A partir deste ponto do tex-to, sera subentendida a imposicao de que todo espaco vetorial e euclideano.

Definicao 1.2.7 (Vetor Projecao) Sendo u,v ∈ V ambos nao nulos, para a especıficafuncao produto interno que, de acordo com a definicao de espaco euclideano 1.2.6, define anorma, define-se tambem o angulo θ(u,v), entre u e v, por meio de f(θ) = u ·v/(|u||v|),onde exige-se obediencia a desigualdade de Schwarz |u · v| ≤ |u||v|, o que garante ser

9

|f(θ)| ≤ 1. Note que esta definicao da funcao f nao precisa coincidir com a definicao da

funcao cos. Mas, sempre que esta coincidencia ocorrer, para que exista a funcao arccosimpoe-se, adicionalmente, que 0 ≤ θ ≤ π. Sera subentendido, a partir deste ponto do

texto, que f = cos e que 0 ≤ θ ≤ π, o que corresponde a definicao comum do anguloplano θ.

Os vetores u e v sao ortogonais se u · v = 0, logo cos θ = 0 e θ = π/2. Todovetor apresenta um bem definido angulo em relacao a cada um dos vetores c1 , . . . , cnde qualquer base (definicao de base 1.2.2) bem determinada do espaco considerado. Oconjunto destes angulos define a direcao do vetor, em relacao a base considerada. Noteque, como θ(u,v) ∈ [0, π], neste texto a direcao, em relacao a determinada base, inclui

tambem o sentido (para um lado, ou para o lado oposto ao primeiro). Entretanto,a direcao e considerada uma caracterıstica do vetor, assim como a sua norma. Emoutras palavras, dado um vetor e duas possıveis bases do espaco considerado, os doiscorrespondentes conjuntos de angulos indicam a mesma direcao do vetor.

Note ainda que, como nao ha restricao quanto ao numero finito de dimensoes, apalavra direcao apresenta, aqui, um significado generalizado em relacao ao usual. Aprojecao do vetor v sobre o vetor u e dada por v · u/|u| = |v| cos θ(u,v). Considera-seque e = u/|u| e o vetor unidade na direcao de u e que (v · e)e = |v| cos θ(u,v)e e ovetor projecao de v na direcao de u.

Comentario 1.2.3 (Igualdade Entre Vetores) As definicoes de espaco vetorial eu-clideano 1.2.6 e de vetor projecao 1.2.7 indicam que todo vetor e completamente caracte-rizado por sua norma e sua direcao. Logo, dois vetores iguais apresentam iguais normase iguais direcoes.

Notacao 1.2.1 (Produto Interno de Vetores de Base gi j) Sera usada a represen-

tacao gi j = ci · cj , onde (ci , cj) ∈ (ck)nk=1 , sendo (ck)

nk=1 uma base de V , de acordo com

a definicao de base 1.2.2. Usando a definicao de produto interno 1.2.5, tem-se gi j = gj i .

Comentario 1.2.4 (Decomposicao do Produto Interno de Vetores) De acordocom a definicao de componente 1.2.3 e com a notacao para produto interno de vetores

de base 1.2.1, se (ci)ni=1 for uma base de V (definicao de base 1.2.2) e u,w ∈ V , entao

u = uici , w = wjcj e u·w = gi juiwj, que e a decomposicao do produto interno de

vetores (de acordo com a notacao de Einstein 1.1.2, a primeira igualdade subentende umsomatorio em i, logo subentende n termos no segundo membro, a segunda um somatorioem j, logo tambem subentende n termos no segundo membro, enquanto que a terceiraigualdade subentende um somatorio em i e um em j, logo n2 termos no segundo membro).

1.2.3 Base Dual

Comentario 1.2.5 (Obtencao de Componente) Seja (ci)ni=1 uma base de V . Neces-

sariamente existe um vetor c1 nao nulo e ortogonal a todos os vetores ci ∈ (cj)nj=2 . Se a

projecao (definicao de vetor projecao 1.2.7) de c1 sobre o vetor c1 for bem determinada,

entao c1 sera bem determinado. Pode-se, portanto, construir um conjunto de vetores

(ci)ni=1 tal que ci · cj = δij (ou ci · cj = δ ij , porque a comutatividade do produto interno

torna indiferente usar δij ou δ ij ). Note que esta ultima igualdade indica que o angulo θ

entre ci e ci satisfaz a desigualdade 0 ≤ θ < π/2 e, tambem, que a projecao de cada um

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destes dois vetores, sobre o outro, e o inverso da norma deste outro.De acordo com a definicao de base 1.2.2, ∀u ∈ V tem-se ujcj = u, logo ci · u =

δijuj = ui. Portanto, de acordo com a definicao de componente 1.2.3, obtem-se o i-

esimo componente de u na base (ci)ni=1 efetuando o produto interno dos vetores u e

ci. Convem ressaltar a diferenca entre este procedimento para obtencao de componente,valido para uma base qualquer, em relacao ao procedimento mais conhecido, poremvalido exclusivamente para base ortonormal. O comentario 1.2.7, adiante, esclarecera acoerencia entre os dois procedimentos.

Definicao 1.2.8 (Base Dual) Seja:

1. A combinacao linear aici = 0, logo (aic

i) · cj = 0, ou aiδij = 0, portanto aj = 0.

Entao, aici = 0 se e somente se ai = 0 para i = 1, . . . , n, logo os vetores (ci)ni=1 sao

linearmente independentes.

2. As decomposicoes (u = uici ,w = wjcj) ∈ V . Entao, de acordo com a notacao gi jpara produto interno de vetores de base 1.2.1, u ·w = gi ju

iwj = gi juicj ·w, o que

indica que u = gi juicj. Portanto, u e uma combinacao linear dos vetores presentes

no conjunto (ci)ni=1.

De acordo com os anteriores itens 1 e 2 e com a definicao de base 1.2.2, se (ci)ni=1

for uma base de V , entao (ci)ni=1 tambem sera uma base de V . Se (ci)ni=1 e (ci)ni=1

forem duas bases de V relacionadas entre si pela expressao ci · cj = δij , elas formam

um par de bases duais, ou uma e a base dual da outra. Portanto, se u ∈ V , entao

u = uici = uici, onde ui = gi ju

j, de acordo com o item 2 e lembrando que gi j =gj i (notacao 1.2.1). O componente ui de u (definicao de componente 1.2.3) passa a

ser chamado componente contravariante de u, enquanto que o componente ui serachamado componente covariante de u. Evidentemente, e arbitraria a escolha de qualcomponente e covariante e qual e contravariante.

Comentario 1.2.6 (Funcoes gi j e gi j) Toda base apresenta sua base dual, cada umadelas bem determinada a partir da outra. Assim como, ∀u ∈ V , e arbitraria a escolha dequal base corresponde aos componentes covariantes e qual aos componentes contravari-antes de u, as expressoes matematicas referentes a cada uma, de um par de bases duais,sao analogas as expressoes referentes a outra. Tem-se, entao, utilizando o comentariosobre obtencao de componente 1.2.5 na primeira linha, a definicao de base dual 1.2.8 nasegunda e a notacao gi j para produto interno de vetores de base 1.2.1 na terceira:

ui = ci · u e ui = ci · u, onde

ui = gi juj e ui = gi juj , sendo

gi j = ci · cj e gi j = ci · cj.

Note que, de acordo com a segunda linha de equacoes, as duas funcoes gi j : uj 7→ ui egi j : uj 7→ ui permitem, respectivamente, abaixar e levantar o ındice dos componentesde u. Usando esta segunda linha, pode-se escrever

u = uici = gi jujci = ujcj, logo cj = gi jci e

u = uici = gi ju

jci = ujcj , logo cj = gi jci,

11

o que mostra que estas funcoes tambem permitem transformar qualquer base na sua basedual. Usando estas ultimas equacoes tem-se

ci = gi jcj = gi jgj kck = δikc

k, ou gi jgj k = δik .

Notacao 1.2.2 (Base Dual) Representando por β uma base, sua base dual sera re-presentada β∗.

Definicao 1.2.9 (Base Ortonormal) Uma base e dita ortogonal se ci ·cj = 0 quandoi 6= j. Uma base e dita ortonormal se, alem disto, | ci| = 1 ∀i. Neste ultimo caso, de

acordo com a definicao de espaco vetorial euclideano 1.2.6, os vetores da base seraorepresentados ei , para i = 1, . . . , n.

Comentario 1.2.7 (Base Ortonormal Dual) De acordo com a notacao gi j para pro-

duto interno de vetores de base 1.2.1 e com as definicoes de delta de Kronecker 1.1.3 ede base ortonormal 1.2.9, numa base ortonormal gi j = δi j. Usando esta igualdade e a

tranformacao entre bases duais apresentada no comentario 1.2.6, sobre funcoes gi j e gi j,

tem-se ej = gi jei = δi je

i = ej, ∀j. Portanto, uma base ortonormal e identica a sua

base dual. Logo, numa base ortonormal nao existe distincao entre componentes contra-

variantes e covariantes, todos os ındices podem ser escritos no mesmo nıvel e obtem-se o

i-esimo componente de u efetuando o produto interno dos vetores ei e u.

1.2.4 Produto Tensorial de Vetores e Tensor de Segunda Ordem

Definicao 1.2.10 (Transformacao n-Linear) A funcao T : U → V e chamada detransformacao linear do espaco vetorial U para o espaco vetorial V se, ∀(u,w) ∈ U e ∀α ∈<, T (u + αw) = T (u) + αT (w). A funcao T : U × U → V e chamada de transformacaobilinear do espaco vetorial U para o espaco vetorial V se, ∀(u1,u2,w) ∈ U e ∀α ∈ <,

T (u1 + αw,u2) = T (u1,u2) + αT (w,u2) e T (u1,u2 + αw) = T (u1,u2) + αT (u1,w).

Se, entre estas duas igualdades, apenas uma for valida, a transformacao somente seralinear em relacao a especıfica variavel que sofre combinacao linear na expressao valida.Por isto, toda transformacao bilinear e uma transformacao linear T : U × U → V , maso vice-versa nao e verdade.

Analogamente, uma transformacao n-linear T : Un → V , do espaco vetorial Upara o espaco vetorial V , ocorre quando, ∀(u1,u2, . . . ,un,w) ∈ U e ∀α ∈ <, tem-se

T (u1, . . . ,ui + αw, . . . ,un) = T (u1, . . . ,ui, . . . ,un) + αT (u1, . . . ,w, . . . ,un), para i =

1, . . . , n. Para n ≥ 2, toda transformacao n-linear e uma transformacao (n − 1)-linear

T : Un → V , mas o vice-versa nao e verdade. A transformacao linear aqui apresentada euma funcao (de imagem) vetorial. Lembrando que, de acordo com a definicao de espaco

vetorial 1.1.1, < e um espaco vetorial, a presente definicao engloba, como caso particular,a transformacao n-linear escalar T : Un → <.

Notacao 1.2.3 (Espaco de Transformacao Linear) O conjunto formado por todasas transformacoes lineares do espaco vetorial U para o espaco vetorial V e um espacode transformacao linear representado por L(U, V ) = T : U → V |T e linear.

12

Definicao 1.2.11 (Espaco Vetorial de Transformacao Linear) A definicao de es-paco vetorial real 1.2.1 e a notacao de espaco de tranformacao linear 1.2.3 mostram queL(U, V ) sera um espaco vetorial de transformacao linear se e somente se, nesteconjunto, forem definidas as operacoes adicao e multiplicacao escalar e tais operacoessatisfizerem as regras enumeradas de 1 a 8 na definicao 1.2.1. Para que isto ocorra esuficiente que, para (T, S) ∈ L(U, V ) e α ∈ < , ∀w ∈ U :

1. (T + S)(w) = T (w) + S(w) (definicao de adicao de transformacoes lineares) e

2. (αT )(w) = αT (w) (definicao de multiplicacao de transformacao linear por umescalar).

Definicao 1.2.12 (Produto Tensorial de Vetores ou Tensor Simples) ∀v ∈ V e∀u ∈ U , o produto tensorial de v por u, representado por v ⊗ u e, por definicao,

uma transformacao linear de U para V tal que, ∀w ∈ U , (v ⊗ u)(w) = (u · w)v. A

transformacao linear produto tensorial de dois vetores, representada v⊗u, e tambem de-nominada tensor simples. Portanto, um tensor simples e uma especıfica transformacaolinear de um espaco vetorial para outro.

Teorema 1.2.1 (Base de Espaco Vetorial de Transformacao Linear) Se (ci)ni=1

e (dα)mα=1 forem bases de V e U respectivamente, o conjunto (ci ⊗ dα)

n mi=1α=1 sera uma

base do espaco vetorial de transformacao linear L(U, V ) apresentado na definicao 1.2.11.

Demonstracao: Seja (ci)ni=1 a base dual de (ci)ni=1 , (dα)mα=1 a base dual de (dα)

mα=1 e

ai α ∈ < um escalar. Sejam, tambem, as operacoes adicao e multiplicacao por escalar

apresentadas na definicao de espaco vetorial de transformacao linear 1.2.11. Se ai αci ⊗dα = 0 entao, usando as definicoes de produto tensorial 1.2.12 e de base dual 1.2.8,

tem-se ai α(ci ⊗ dα)(dβ) = ai α(dα · dβ)ci = ai αδ β

α ci = ai βci = 0, o que implica em

ai α = 0, para i = 1, . . . , n e α = 1, . . . ,m, porque (ci)ni=1 e uma base (definicao de base

1.2.2). Portanto, (ci⊗dα)n mi=1α=1 e um conjunto de elementos linearmente independentes

entre si. Alem disto, seja ci · T (dα) = T i α, ∀T ∈ L(U, V ). Entao, ∀v ∈ V e ∀u ∈ U ,

v·T (u) = vici·T (uαd

α) = viuαci·T (dα) = T i αviuα . Por outro lado, v·(ci⊗dα)(u) = vjc

j·(ci⊗dα)(uβd

β) = vjuβ(cj · ci)(dβ ·dα) = vjuβδ

jiδβα = viuα . Substituindo este resultado

na igualdade anterior tem-se v ·T (u) = T i αv · (ci⊗dα)(u), logo T (u) = T i α(ci⊗dα)(u).

Portanto, (ci⊗dα)n mi=1α=1 abrange o espaco L(U, V ). Logo, de acordo com a definicao de

base 1.2.2, (ci ⊗ dα)n mi=1α=1 e uma base de L(U, V ). 2

Comentario 1.2.8 (Decomposicao de Transformacao Linear) O teorema 1.2.1(base de espaco vetorial de transformacao linear) mostra que, embora nem toda trans-formacao linear entre espacos vetoriais seja um tensor simples (definicao de produtotensorial 1.2.12), toda transformacao linear entre espacos vetoriais e uma combinacao

linear de tensores simples.

Comentario 1.2.9 (Dimensao de Espaco de Transformacao Linear) De acordocom o teorema 1.2.1 (base de espaco vetorial de transformacao linear) e a definicao de di-mensao 1.2.4, dim(ci⊗dα)

n mi=1α=1 = (dimV )(dimU), logo dimL(U, V ) = (dimV )(dimU).

13

Definicao 1.2.13 (Espaco de Produto Tensorial) Sempre que o espaco de trans-formacao linear representado, de acordo com a notacao 1.2.3, por L(U, V ) = T : U →V |T e linear for, de acordo com a definicao 1.2.11, um espaco vetorial de transformacaolinear, L(U, V ) podera optativamente ser denominado espaco de produto tensorialde V por U e ser representado por V ⊗ U , ou seja, ter-se-a L(U, V ) = V ⊗ U . Sua

base (ci ⊗ dα)n mi=1α=1 , onde (ci)

ni=1 e (d)mα=1 sao bases de V e U respectivamente, sera

chamada uma base produto de V ⊗U . Evidentemente, (ci⊗dα)n mi=1α=1 , (ci⊗dα)

n mi=1α=1

e (ci ⊗ dα)n mi=1α=1 tambem sao bases produto de V ⊗ U .

Definicao 1.2.14 (Tensor de Segunda Ordem) Toda transformacao linear T no es-paco de produto tensorial V ⊗V (definicao 1.2.13) e denominada um tensor de segundaordem.

Definicao 1.2.15 (Componente Assoc. de Tensor de Segunda Ordem) Sejam(ci) e (ci) um par de bases duais de V . Entao, um tensor de segunda ordem T noespaco de produto tensorial V ⊗V pode ser representado em termos de qualquer uma en-tre as quatro bases produto (ci⊗cj ), (ci⊗cj), (ci⊗cj) e (ci⊗cj), de V ⊗V . Geralmente,os componentes de T associados a uma destas bases diferirao dos componentes associadosas outras, usando-se a simbologia T = T i j ci⊗cj = T i

j ci⊗cj = T ji ci⊗cj = Ti j c

i⊗cj,

onde os escalares T i j, T ij , T

ji e Ti j sao os componentes associados de T . O com-

ponente associado contravariante e T i j , o componente associado covariante e Ti j ,

enquanto que T ij e T j

i sao componentes associados mistos. E importante distinguirnao apenas o nıvel (em cima ou em baixo) mas tambem a posicao relativa (a direita ou aesquerda) dos ındices e superındices dos componentes de T . De fato, em geral T i

j 6= T ij .

Note que, no teorema 1.2.1 (base de espaco vetorial de transformacao linear), paraT ∈ L(U, V ), L(U, V ) = V ⊗U (definicao de espaco de produto tensorial 1.2.13), u ∈ U ,

(ci) uma base de V e (dα) uma base de U , considerou-se T (u) = T i α(ci⊗dα)(u).Houve,

portanto, coerencia com a simbologia aqui adotada para componente associado de tensorde segunda ordem. Entretanto, tomou-se o cuidado de substituir a letra c, com ındice emletra romana, pela letra d, com ındice em letra grega, para sublinhar que tratava-se debases de espacos vetoriais diferentes, ao contrario do que ocorre com o tensor de segundaordem (definicao de tensor de segunda ordem 1.2.14).

Comentario 1.2.10 (Calculo de Componente Assoc. de Tensor) Sejam (ci) e(ci) um par de bases duais de V e seja T um tensor de segunda ordem no espaco de

produto tensorial V ⊗ V . Entao, T i j = ci · T (cj), T ij = ci · T (cj ), T j

i = ci · T (cj) e

Ti j = ci · T (cj ). De fato, cm · T (cn) = cm · (T i j ci ⊗ cj)(cn) = T i j(ci · cm)(cj · cn) =

T i jδ mi δ n

j = T mn, onde usaram-se seguidamente as definicoes de componente associado

de tensor de segunda ordem 1.2.15 (primeira igualdade), produto tensorial 1.2.12 (se-

gunda igualdade) e base dual 1.2.8 (terceira igualdade). Analogamente para T ij , T j

i e

Ti j. E importante notar que o indicador a direita, em T i j, T ij , T j

i e Ti j , e sempre o

vetor da direita no tensor simples pertencente ao conjunto de base, que tambem e o vetorao qual e aplicada a transformacao T , na expressao para o calculo do componente de Tassociado a base considerada.

14

Note que, no teorema 1.2.1 (base de espaco vetorial de transformacao linear), paraT ∈ L(U, V ), L(U, V ) = V ⊗U (definicao de espaco de produto tensorial 1.2.13), u ∈ U ,

(ci) uma base de V e (dα) uma base de U , mostrou-se que ci · T (dα) = T i α implica

em T (u) = T i α(ci ⊗ dα)(u). Isto e coerente com o calculo de componente associado de

tensor de segunda ordem aqui apresentado e com o segundo paragrafo da definicao decomponente associado de tensor de segunda ordem 1.2.15.

Notacao 1.2.4 (Tensor de Segunda Ordem como uma Matriz) De acordo coma definicao de componente associado de tensor de segunda ordem 1.2.15, as matrizes

[T i j], [T ij], [T j

i ] e [Ti j] sao as representacoes matriciais do tensor T em relacao

as correspondentes bases produto. Portanto, um tensor de segunda ordem pertencenteao espaco V ⊗ V pode ser representado por matrizes quadradas de dimensao dimV .Coerentemente com a definicao de matriz 1.1.2, nestas representacoes o indicador maisa esquerda se refere a linha e o mais a direita fornece a coluna, independentemente dese tratar de ındice ou superındice. Alem disto, o indicador a esquerda tem o significadoespecial de apontar o vetor tambem a esquerda, na base produto a qual o componentese associa, enquanto que o indicador a direita se relaciona ao vetor tambem a direita.

De acordo com o comentario 1.2.10 (calculo de componente associado de tensor desegunda ordem), pode-se tambem afirmar que o indicador a direita mostra qual e o vetorao qual e aplicada a transformacao T , na expressao para o calculo do componente de Tassociado a base escolhida. Por outro lado, o fato de cada indicador ser um ındice ou umsuperındice informa quanto ao componente considerado ser contravariante, covariante oumixto. Logo, se A for o conjunto de todos os possıveis componentes do tensor de segundaordem T , associados a bases do espaco V ⊗ V , enquanto que I e J forem dois conjuntos,cada um deles formado pelos primeiros m numeros naturais, entao a funcao ordenadoraφ : I×J → A fornece os significados (esquerda-direita) e (em cima-em baixo) de ambos osdois indicadores, significados estes que nao dependem da letra utilizada para simbolizaro valor de cada indicador.

Igualdades, como a exemplificada por [T ij] = [T j

i], sao portanto corretas e correspon-

dem, na base produto associada ao componente em foco, a mesma troca de indicadores.De fato, para o componente misto usado como exemplo, no caso do primeiro membro daigualdade a base produto deve ser escrita (ci ⊗ cj), enquanto que, para o segundo mem-bro, ela deve ser anotada (cj ⊗ ci). Note que as duas grafias representam exatamentea mesma base produto, o que garante a igualdade. Em outras palavras, o elemento de

matriz T 35 , por exemplo, e exatamente o mesmo, independentemente de 3 ser o valor

tomado por i ∈ I e 5 ser atribuıdo a j ∈ J , ou v.v. Mesmo assim, aconselha-se muita

cautela no uso da igualdade [T ij] = [T j

i], por causa das razoes ja apontadas na definicao

de matriz 1.1.2. Note tambem que, de acordo com a definicao de matrizes transpostae inversa 1.1.4, geralmente as representacoes matriciais de um tensor de segunda ordem

nao sao nem simetricas, nem antissimetricas (por exemplo, T 35 6= T 5

3 e T 35 6= −T 5

3).

Comentario 1.2.11 (Componente Associado de Tensor Simples) Consideran-do o comentario 1.2.10 (calculo de componente associado de tensor de segunda ordem),

para (v,u) ∈ V e T = u ⊗ v tem-se (u ⊗ v)i j = ci · (u ⊗ v)(cj). Mas, usando adefinicao de tensor simples 1.2.12 tem-se ci · (u ⊗ v)(cj) = ci · (v · cj)u. Decom-

15

pondo antes o vetor v e, depois, tambem o vetor u em suas respectivas componentes

contravariantes, de acordo com a definicao de base dual 1.2.8, tem-se ci · (v · cj)u =

ci · (vkck · cj)u = ci · (vkδ jk )u = vjci · u = ukck · vjci = ukvjδ i

k = uivj. Portanto,

(u ⊗ v)i j = uivj e, de acordo com a definicao 1.2.15 de componente associado contra-

variante T i j de tensor de segunda ordem, u ⊗ v = (u ⊗ v)i jci ⊗ cj = uivjci ⊗ cj .

As seguintes igualdades, portanto, definem os componentes associados dos ten-

sores simples u ⊗ v = uivjci ⊗ cj = uivjci ⊗ cj = uivjci ⊗ cj = uivjc

i ⊗ cj e

v⊗ u = viujci ⊗ cj = viujci ⊗ cj = viujci ⊗ cj = viujc

i ⊗ cj.

Logo, de acordo com a notacao matricial de tensor de segunda ordem 1.2.4, no casocovariante a representacao matricial de um tensor simples pode ser escrita

[(v⊗ u)i j] =

v1u1 v1u2 v1u3 . . . v1unv2u1 v2u2 v2u3 . . . v2unv3u1 v3u2 v3u3 . . . v3un...vnu1 vnu2 vnu3 . . . vnun

e

[(u⊗ v)i j] =

u1v1 u1v2 u1v3 . . . u1vnu2v1 u2v2 u2v3 . . . u2vnu3v1 u3v2 u3v3 . . . u3vn...unv1 unv2 unv3 . . . unvn

,

portanto[(u⊗ v)i j] = [(v⊗ u)i j]

T ,

onde utilizou-se a representacao para matriz transposta colocada na definicao de matrizestransposta e inversa 1.1.4. Isto evidencia que, geralmente, v⊗ u 6= u⊗ v. Mesmo parabase ortonormal esta desigualdade em geral persiste mas, de acordo com o comentario1.2.7 (base ortonormal dual), neste caso ci ⊗ cj = ci ⊗ cj = ci ⊗ cj = ci ⊗ cj. Por

isto, para os componentes associados dos tensores simples em base ortonormal,

tem-se uivj = uivj = uivj = uivj e viuj = viuj = viu

j = viuj (embora uivj 6= viuj,

basta escrever um entre estes dois ultimos conjuntos de igualdades, porque a permutacao

entre i e j transforma um conjunto no outro).

Comentario 1.2.12 (Transformacao Escalar Bilinear e Tensor) Seja (u,v) ∈ Ve seja o tensor de segunda ordem T ∈ V ⊗ V . Seja (ci) uma base de V . De acordo

com a definicao de base dual 1.2.8, tem-se u = uici = uici e v = vici = vic

i. Usando o

comentario 1.2.10, para o calculo de componentes associados de tensor de segunda ordem,

tem-se entao u · T (v) = uivjTi j = uivjTji = uiv

jT ij = uivjT

i j ∈ < . Seja, tambem

representada por T , a transformacao escalar bilinear (definicao de transformacao n-linear1.2.10) T : (u,v) 7→ u · T (v), a qual, sempre que seu argumento for um par ordenado devetores pertencentes a alguma possıvel base do espaco vetorial V , produz como imagemo correspondente componente associado do tensor de segunda ordem T ∈ V ⊗ V .

Logo, de acordo com a definicao de tensor de segunda ordem 1.2.14, a toda trans-formacao linear T no espaco de produto tensorial V⊗V , a qual e uma transformacao linear

16

T : V → V , corresponde uma transformacao escalar bilinear T : V × V → < que de-

fine os componentes associados de T em qualquer base de V , porque T (u,v) = u · T (v)

e vice-versa. Para (u,v,u′,v′) ∈ V e considerando T = u′ ⊗ v′, pode-se entao escrever

(u′ ⊗ v′)(u,v) = u · (u′ ⊗ v′)(v) logo, usando a definicao de produto tensorial 1.2.12,

(u′⊗v′)(u,v) = (u ·u′)(v ·v′) ∈ < , o que mostra que u′⊗v′ e uma transformacao escalar

bilinear T : V × V → <. Alem disto, se (u,v) for um par ordenado de vetores perten-centes a alguma possıvel base do espaco vetorial V , (u · u′)(v · v′) sera o correspondentecomponente associado de u′⊗ v′, conforme mostrado no comentario 1.2.11 (componenteassociado de tensor simples).

Definicao 1.2.16 (Transformacao Tensorial Identidade) A transformacao ten-sorial identidade e um tensor de segunda ordem, conforme a definicao 1.2.14, repre-sentado por 1 e tal que 1 (v) = v. Note que, enquanto o tensor identidade 1 ∈ V ⊗ V , oescalar unidade 1 ∈ <.

Comentario 1.2.13 (Componente Associado do Tensor Identidade) De acordocom a definicao de transformacao tensorial identidade 1.2.16 e o comentario 1.2.10 (calcu-

lo de componente associado de tensor de segunda ordem), tem-se 1 i j = ci ·1 (cj) = ci ·cj.Mas o comentario 1.2.6 (funcoes gi j e gi j) mostra que ci · cj = gi j. Logo, 1 i j = gi j,

onde 1 i j e, conforme a definicao de componente associado de tensor de segunda ordem1.2.15, o componente associado contravariante do tensor 1 . Portanto, gi j e o compo-

nente associado contravariante da transformacao tensorial identidade. Por outro lado,

1 ij = ci ·1 (cj) = ci ·cj . Mas a definicao de base dual 1.2.8 mostra que ci ·cj = δij . Por-

tanto, tem-se 1 ij = δij para este componente associado misto da transformacao tensorial

identidade. Analogamente, para o outro componente associado misto tem-se 1 ji = δ j

i

e, para o componente associado covariante, 1i j = gi j .Pode-se entao escrever 1 = 1 i j ci ⊗ cj = 1 ij ci ⊗ cj = 1 j

i ci ⊗ cj = 1i j ci ⊗ cj, ou

1 = gi j ci ⊗ cj = δij ci ⊗ cj = δ ji ci ⊗ cj = gi j c

i ⊗ cj. Note, portanto, que apenas a

representacao matricial dos conjuntos de componentes associados mistos do tensor iden-

tidade, respectivamente representados por 1 ij e por 1 ji , coincide com a matriz unidade,

simbolizada [1]. Logo, [1 ij] = [1] e [1 ji ] = [1], mas [1 i j] = [gi j] 6= [1] e [1i j] = [gi j] 6= [1].

Note, tambem, que as matrizes [1 i j] = [gi j] e [1i j] = [gi j] sao simetricas, de acordo

com a definicao de matrizes transposta e inversa 1.1.4. Logo, nas quatro representacoesmatriciais do tensor identidade nao apenas se pode trocar os indicadores i e j, conformecolocado na notacao matricial de tensor de segunda ordem 1.2.4, como tambem cadarepresentacao e igual a sua transposta, ao contrario do que geralmente ocorre.

1.2.5 Transposicao de Tensor Simples, de Segunda Ordem eTroca entre Indice e Superındice

Definicao 1.2.17 (Transformacao Linear Transposta) Para toda transformacao li-near A ∈ V ⊗ U , define-se a correspondente transformacao linear AT ∈ U ⊗ V , deno-minada transformacao linear transposta de A, tal que, ∀v ∈ V e ∀u ∈ U , ocorrav · A(u) = u · AT (v) (veja a definicao de espaco de produto tensorial 1.2.13 para notar

17

que, por definicao, A age sobre u e AT sobre v). Sublinhe-se que esta e a definicaoda transposicao de uma transformacao linear, cujo efeito nao e, necessariamente, o de

transpor a matriz que represente um conjunto de componentes associados a mencionadatransformacao linear (a definicao 1.1.4 se refere a transposicao e a inversao de matrizes).

Comentario 1.2.14 (gi j ou gi j Aplicado a Componente de Tensor) Conforme

o comentario 1.2.6 (funcoes gi j e gi j), a funcao gi j levanta o ındice de um componente

de um vetor, enquanto que a funcao gi j abaixa o ındice de um componente de um

vetor. Sem mudar a posicao relativa, a direita ou a esquerda, dos ındices e superındices,

estas funcoes apresentam efeito analogo sobre os componentes associados de um tensor

de qualquer ordem T . Portanto, T ij = gk jT

i k = gi kTk j , T ji = gi kT

k j = gk jTi k ,

T i j = gk jT ik = gi kT j

k e Ti j = gi kTkj = gk jT

ki . De fato, de acordo com o comentario

1.2.10 (calculo de componentes associados de tensor de segunda ordem), tem-se gk jTi k =

gk jci ·T (ck) = gk jc

k ·T T (ci) = cj ·T T (ci) = ci ·T (cj) = T ij , onde foi usada a definicao de

transformacao linear transposta 1.2.17 na segunda e quarta igualdades. Demonstracoesanalogas podem ser feitas nos demais casos.

Usando a notacao matricial de tensor de segunda ordem 1.2.4 tanto para o tensor Tcomo, de acordo com o comentario 1.2.13 (componente associado do tensor identidade),tambem para o tensor identidade, tem-se entao a seguinte tabela, na qual cada linhacontem uma expressao tensorial e uma expressao matricial com o mesmo significado,porque o indicador k representa o mesmo somatorio, tanto de acordo com a notacao deEinstein 1.1.2, como em relacao as regras elementares de multiplicacao matricial:

T ij = gk jT

i k = gi kTk j ou [T ij] = [T i k][gk j] = [gi k][Tk j] ,

T ji = gi kT

k j = gk jTi k ou [T ji ] = [gi k][T

k j] = [Ti k][gk j] ,

T i j = gk jT ik = gi kT j

k ou [T i j] = [T ik][g

k j] = [gi k][T jk ] e

Ti j = gi kTkj = gk jT

ki ou [Ti j] = [gi k][T

kj] = [T k

i ][gk j] .

Comentario 1.2.15 (Transposicao de Tensor Simples) Para (u,w1) ∈ U e (v,w2)∈ V , de acordo com a definicao de transformacao linear transposta 1.2.17 tem-se w1 ·(v⊗u)T (w2) = w2 ·(v⊗u)(w1) = (w2 ·v)(u·w1) = w1 ·(u⊗v)(w2), onde foi usada a definicaode produto tensorial 1.2.12. Logo, para o tensor simples u⊗v tem-se que (v⊗u)T = u⊗vou, de acordo com a notacao matricial de tensor de segunda ordem 1.2.4, em termosdas respectivas representacoes matriciais dos conjuntos de componentes associados, por

exemplo escolhidos covariantes, [(v⊗u)Ti j] = [(u⊗v)i j]. Mas, de acordo com o comentario

1.2.11 (componente associado de tensor simples), tem-se [(u ⊗ v)i j] = [(v ⊗ u)i j]T . A

comparacao entre as duas ultimas igualdades mostra que [(v ⊗ u)Ti j] = [(v ⊗ u)i j]T , ou

seja, para um tensor simples, transpor a transformacao linear implica em transpor a

matriz que a representa. No comentario 1.2.16 ver-se-a que, na transposicao de tensorde segunda ordem, em geral isto nao ocorre.

Comentario 1.2.16 (Transposicao de Tensor de Segunda Ordem) Se A for umtensor de segunda ordem em V ⊗ V , demonstra-se a existencia das seguintes relacoes

entre os componentes de A, grafados A i j, A ij , A

ji e Ai j , respectivamente associados as

18

quatro bases produto de V ⊗V simbolizadas por (ci⊗ cj ), (ci⊗ cj), (ci⊗ cj) e (ci⊗ cj):

T

Aj i

= A i j = ci · A(cj) = cj · AT (ci) = (AT )j i , logo

[T

Aj i]

= [(AT )j i] ,

T

Aj

i = A ij = ci · A(cj) = cj · AT (ci) = (AT ) i

j , logo

[T

Aj

i

]= [(AT ) i

j ] ,

T

Ai

j = A ji = ci · A(cj) = cj · AT (ci) = (AT )j i , logo

[T

Ai

j

]= [(AT )j i] e

T

A j i = A i j = ci · A(cj) = cj · AT (ci) = (AT )j i , logo[T

A j i

]= [(AT )j i] ,

onde, em cada linha, usou-se

a definicao de matrizes transposta e inversa 1.1.4 na primeira igualdade,

o comentario 1.2.10 (calculo de componente associado de tensor de segunda ordem) nasegunda e na quarta igualdades,

a definicao de transformacao linear transposta 1.2.17 na terceira igualdade e

a transformacao em matriz do conjunto inicial de componentes, antes da primeira igual-dade, ocorrendo o mesmo com o conjunto final de componentes, apos a quartaigualdade.

Na igualdade matricial que ocorre em cada linha, a definicao de matrizes transposta einversa 1.1.4 pode ser aplicada a matriz no primeiro membro, enquanto que, de acordocom a notacao matricial de tensor de segunda ordem 1.2.4, a troca dos ındices i e j podeser aplicada a matriz no segundo membro. Obtem-se assim, respectivamente para cadalinha:

[A i j]T = [(AT )i j] ,

[A ij]T = [(AT ) j

i ] ,

[A ji ]T = [(AT )i j] e

[A i j]T = [(AT )i j] .

Portanto, as representacoes matriciais dos componentes associados contravariantes deA e AT sao matrizes transpostas uma da outra, o mesmo acontecendo com as repre-

sentacoes matriciais dos componentes covariantes. Entretanto, as representacoes matri-ciais de qualquer um entre os dois componentes associados mistos de A e AT nao saomatrizes transpostas uma da outra.

Definicao 1.2.18 (Tensores Simetrico e Antissimetrico) O tensor de segunda or-dem S ∈ V ⊗ V e dito simetrico se ST = S e antissimetrico se ST = −S. Para(u,v) ∈ V e usando a definicao de transformacao linear transposta 1.2.17 tem-se, entao,que u ·S(v) = v ·S(u) se S for simetrico e u ·S(v) = −v ·S(u) se S for antissimetrico.

Notacao 1.2.5 (Subespacos Simetrico e Antissimetrico) Definem-se os subespa-cos de V ⊗ V

Sym(V ) = S ∈ V ⊗ V |ST = S e Skw(V ) = S ∈ V ⊗ V |ST = −S

(Sym de “symmetric” e Skw de “skew-symmetric”).

19

Comentario 1.2.17 (Transposicao de Tensores Simetrico e Antissimetrico) Ocomentario 1.2.16 (transposicao de tensor de segunda ordem) mostra que:

1. Para S ∈ Sym(V ) tem-se [S i j]T = [S i j] , [S ij]T = [S j

i ] , [S ji ]T = [S i

j] e

[ Si j]T = [ Si j] . Portanto, embora o tensor de segunda ordem S seja simetrico,

somente suas representacoes matriciais contravariante e covariante sao matrizes

simetricas.

2. Para S ∈ Skw(V ) tem-se [S i j]T = −[S i j] , [S ij]T = −[S j

i ] , [S ji ]T = −[S i

j] e

[Si j]T = −[Si j] . Portanto, embora o tensor de segunda ordem S seja antissimetrico,

somente suas representacoes matriciais contravariante e covariante sao matrizes

antissimetricas.

1.2.6 Composicao de Tensores de Segunda Ordem

Definicao 1.2.19 (Composicao de Tensores de Segunda Ordem) A composi-cao de tensores de segunda ordem A B e tal que (A B)(v) = A(B(v)), ∀v ∈ V .Esta igualdade deixa evidente que a composicao de tensores de segunda ordem e apenasum caso particular da composicao de funcoes, apresentada na definicao de funcao e funci-onal 1.1.1. Se (A,B) ∈ V ⊗V , tanto A como B transformam vetores percencentes a V emoutros vetores tambem pertencentes a V . Neste caso, A(B(v)) e um vetor pertencente aV , portanto A B ∈ V ⊗ V .

Seja A = Ai j ci ⊗ cj, B = Bmn cm ⊗ cn e v = vkck . De acordo com a definicao de

produto tensorial de vetores 1.2.12 tem-se (cm⊗cn)(v) = vncm , logo B(v) = Bmn v

ncm e

(ci⊗ cj)(B(v)) = B jn v

nci , portanto A(B(v)) = Ai jBjn v

nci . Entao, (AkjBjn v

n)dimVk=1

e o conjunto dos componentes do vetor (AB)(v) associados a base (ck), podendo o vetor

(AB)(v) ser representado pela matriz coluna [AkjBjn v

n], onde o superındice k indica a

linha a que se refere o elemento considerado. Por outro lado, as representacoes matriciais

de A na base (ci⊗ cj), B na base (cm⊗ cn) e v na base (ck) sao, respectivamente, [Ai j],

[Bmn] e [vk].

A expressao tensorial (A B)(v) = Ai jBjn v

nci corresponde, portanto, a expressao

matricial [Ai jBjn v

n] = [Ai j][Bjn][v

n], porque o indicador n representa o mesmo so-

matorio, tanto de acordo com a notacao de Einstein 1.1.2, como em relacao as regraselementares de multiplicacao matricial, analogamente acontecendo com o indicador j.

A propriedade associativa da multiplicacao matricial permite escrever [Ai jBjn v

n] =

[Ai j][Bjn][v

n] = ([Ai j][Bjn]) [vn] = [(AB)in][v

n]. Como [AkjBjn v

n] e [vn] sao, res-

pectivamente, as representacoes matriciais dos vetores (A B)(v) e v, necessariamente

[(AB)in] e a representacao matricial do tensor de segunda ordem A B. Logo, a com-

posicao de tensores de segunda ordem produz um tensor de segunda ordem cuja repre-sentacao matricial e a multiplicacao matricial elementar das matrizes que representam ostensores que se compoem, devendo a ordem da composicao ser a ordem da multiplicacao.

Evidentemente, a conclusao seria a mesma, caso a base produto usada fosse ou-tra. Note, tambem, que [Ai j][B

ji] nao e a representacao de uma composicao, porque

[Ai j][Bji] = [(AB)i i] = (AB)i i , ou seja, a ocorrencia de duplo somatorio (veja a notacao

de Einstein 1.1.2) reduz a matriz a um unico escalar. Por simplicidade, a nao ser quando

20

conste informacao em contrario, a partir deste ponto do texto a composicao de tensores

de segunda ordem nao mais sera escrita A B, mas sim AB.

Comentario 1.2.18 (Composicao com Tensor Simples) Usando as definicoes deproduto tensorial 1.2.12, de transformacao linear transposta 1.2.17 e de composicao detensores de segunda ordem 1.2.19, para u ∈ U , v ∈ V e A ∈ V ⊗ U tem-se:

1. Se w ∈ V , entao (A(u⊗ v))(w) = A((u⊗ v)(w)) = A(u(v ·w)) = A(u)(v ·w) =

(A(u)⊗ v)(w), logo A(u⊗ v) = A(u)⊗ v.

2. Se w ∈ U , entao ((u⊗ v)A)(w) = (u⊗ v)(A(w)) = u(v ·A(w)) = u(w ·AT (v)) =

(u⊗ AT (v))(w), logo (u⊗ v)A = u⊗ AT (v).

Comentario 1.2.19 (Transposicao de Composicao) Usando a definicao de trans-formacao linear transposta 1.2.17 e a definicao de composicao de tensores de segundaordem 1.2.19, se (v,u) ∈ V e, alem disto, (A,B) ∈ V ⊗ V , tem-se u · (AB)(v) =

u · A(B(v)) = B(v) · AT (u) = AT (u) · B(v) = v · BT (AT (u)) = v · (BTAT )(u). Porem

u · (AB)(v) = v · (AB)T (u), logo (AB)T = BTAT .

1.2.7 Tensor de ordem k

Definicao 1.2.20 (Tensor de Ordem k) Conforme colocado na definicao de tensor de

segunda ordem 1.2.14, tal tensor existe no espaco de produto tensorial V ⊗ V ≡2⊗ V , o

qual foi apresentado na definicao 1.2.13. Analogamente, um tensor de ordem k existe

no espaco de produto tensorialk⊗ V . De acordo com a definicao de base dual 1.2.8, sendo

(ci) e (ci) um par de bases duais de V , as quatro bases produto de2⊗ V sao ci⊗cj , ci⊗cj,

ci ⊗ cj e ci ⊗ cj, o que mostra que dim2⊗ V = (dimV )2, conforme o comentario 1.2.9

(dimensao de espaco de transformacao linear). Semelhantemente, as 2k bases produtos

dek⊗ V sao (

k vetores︷ ︸︸ ︷ci ⊗ . . .⊗ cj), . . . , (

k vetores︷ ︸︸ ︷ci ⊗ . . .⊗ cj), logo dim

k⊗ V = (dimV )k. Portanto,

em concordancia com a definicao de componente associado de tensor de segunda ordem

1.2.15, tem-se T = T i j ci ⊗ cj = T ij ci ⊗ cj = T j

i ci ⊗ cj = Ti j ci ⊗ cj, enquanto que

para o tensor de ordem k tem-se T = T i...jk vetores︷ ︸︸ ︷

ci ⊗ . . .⊗ cj = . . . = Ti...j

k vetores︷ ︸︸ ︷ci ⊗ . . .⊗ cj .

De acordo com o comentario 1.2.12 (transformacao escalar bilinear e tensor de segunda

ordem), a cada tensor de segunda ordem T ∈2⊗ V corresponde uma transformacao escalar

bilinear T : V × V → <, onde V × V ≡ V 2, tal que, para (u,v) ∈ V , tenha-se T (u,v) =

u·T (v), o que produz T (ci, cj) = T i j, T (ci, cj) = T j

i , T (ci, cj) = T ij e T (ci, cj) = T i j ,

sendo verdadeira a afirmacao recıproca. Analogamente, a cada tensor de ordem k, grafado

T ∈k⊗ V , corresponde uma transformacao escalar k-linear T : V k → < tal que

T

k vetores︷ ︸︸ ︷(ci, . . . , cj) = T i...j, . . . , T

k vetores︷ ︸︸ ︷(ci, . . . , cj) = T i...j e vice versa. Como caso especial de

tensor de ordem k define-se, em analogia a (u′ ⊗ v′)(u,v) = (u · u′)(v · v′) (comentario1.2.12), o produto tensorial de k vetores

k vetores︷ ︸︸ ︷(u′ ⊗ . . .⊗ v′)

k vetores︷ ︸︸ ︷(u, . . . ,v) =

k produtos internos︷ ︸︸ ︷(u · u′) . . . (v · v′),

21

onde (u′, . . . ,v′,u, . . . ,v) ∈ V .Conforme a notacao matricial de tensor de segunda ordem 1.2.4, um tensor de segunda

ordem, pertencente ao espaco2⊗ V , e representado por uma matriz quadrada (matriz de

ordem 2) de dimensao dimV . Coerentemente, um tensor de ordem k, pertencente ao

espacok⊗ V , e representado por uma matriz de ordem k (por exemplo, matriz cubica

para k = 3) de dimensao dimV . Note que esta definicao mostra que um tensor deprimeira ordem e um vetor.

1.2.8 Regras para Transformacao de Componentes de Vetor ede Tensor de Segunda Ordem

Definicao 1.2.21 (Matrizes de Transformacao) Seja duas bases β = (ci) e β = (ci),

do mesmo espaco vetorial V e seja ck = M jk cj . De acordo com a definicao de base dual

1.2.8, cj ·ci = δ ij . Portanto, ck ·ci = M j

k cj ·ci = M ik . Seja, tambem, as bases β∗ = (ci)

e β∗ = (ci), respectivamente bases duais de β e β, de acordo com a notacao para base

dual 1.2.2. Seja, ainda, ci = T ij cj. Assim como ck = M j

k cj implica em ck · ci = M ik ,

tem-se que ci = T ij cj implica em ck · ci = T i

k . Logo, T ik = M i

k e ci = M ij cj, ou

cj = M jk ck. Portanto, se ck = M j

k cj , entao cj = M jk ck e v.v. Note que, em M j

k ,

o indicador a esquerda se refere a qualquer uma entre as bases β e β∗, enquanto que o

indicador a direita corresponde a qualquer uma entre as bases β e β∗, independentemente

de cada indicador ser ındice ou superındice.Seja M um tensor de segunda ordem no espaco de produto tensorial V ⊗V . Entao, de

acordo com o comentario 1.2.10 (calculo de componente associado de tensor de segunda

ordem), tem-se M jk = ck ·M(cj). Como M j

k = ck ·cj, conclui-se que cj = M(cj). Logo,

M jk e o componente, associado a base ck ⊗ cj , do tensor M : cj 7→ cj|(cj, cj) ∈ V,M ∈

V ⊗ V . Pode-se, entao, escrever ci · cj = ci ·M(cj). Mas, de acordo com a definicao de

base dual 1.2.8, ci · cj = δ ji = ci · cj, logo cj · ci = ci ·M(cj). Usando a definicao de

transformacao linear transposta 1.2.17 tem-se, entao, cj · ci = cj ·MT (ci), o que implica

em ci = MT (ci).

Em resumo, seja duas bases β = (ci) e β = (ci), bem como suas bases duais, respec-

tivamente β∗ = (ci) e β∗ = (ci), pertencentes a um espaco vetorial V . Seja, tambem, o

tensor de segunda ordem

1. M ∈ V ⊗ V tal que ci = M(ci) e ci = MT (ci). Entao:

Seu componente M jk , associado a base ck⊗cj , e tal que M j

k = ck·cj, ck = M jk cj

e cj = M jk ck.

Seu componente Mk j, associado a base ck⊗cj , e tal que Mk j = ck·cj, ck = Mk jcje cj = Mk j ck .

2. N ∈ V ⊗ V tal que ci = N(ci) e ci = NT (ci). Entao:

Seu componente Nkj , associado a base ck⊗ cj, e tal que Nk

j = ck ·cj , ck = Nkjcj

e cj = Nkj ck .

22

Seu componente Nk j , associado a base ck⊗cj, e tal que Nk j = ck ·cj , ck = Nk jcj

e cj = Nk j ck.

Evidentemente, o tensor M do item 1 nao e o tensor N do item 2. Alias, o uso do co-

mentario 1.2.32, sobre propriedades do tensor inverso (a ser posteriormente apresentado),mostra que que o tensor N e o tensor inverso transposto do tensor M e v.v., ou seja,N = M−T .

De acordo com a definicao de matriz 1.1.2, as bases β = (ci), β = (ci), β∗ = (ci) e

β∗ = (ci) podem ser respectivamente representadas pelas matrizes coluna, formadas por

elementos vetoriais, [ci], [ci], [ci] e [ci]. Por outro lado, considerando a notacao matricial

para tensor de segunda ordem 1.2.3, o tensor M definido no item 1 pode ser representado

por qualquer uma entre as duas matrizes quadradas [M jk ] e [Mk j], dependendo da base

escolhida para representa-lo ser, respectivamente, ck ⊗ cj ou ck ⊗ cj. Analogamente,o tensor N definido no item 2 pode ser representado por qualquer uma entre as duas

matrizes quadradas [Nkj] e [Nk j], dependendo da base escolhida para representa-lo ser,

respectivamente, ck ⊗ cj ou ck ⊗ cj.

Como sera notado a seguir, a possibilidade de transposicao e inversao de matrizestorna desnecessario utilizar ambos os itens 1 e 2. Coerentemente com as colocacoesiniciais sera, portanto, considerado apenas o item 1. Alem disto, as combinacoes linearesentre vetores de base fornecidas pelas representacoes mistas do tensor costumam ser maisuteis do que aquelas produzidas pelas representacoes covariante e contravariante. Por estemotivo, a partir deste ponto somente a representacao mista do item 1 sera usada.

A igualdade ck = M jk cj pode ser diretamente escrita em termos matriciais, porque,

em [cj], o ordenamento da base β se reflete na sequencia de linhas, enquanto que, em

[M jk ], o indicador a direita se refere a qualquer uma entre as bases β = (ci) e β∗ = (ci)

e representa a coluna. Logo, ck = M jk cj corresponde a [ck] = [M j

k ][cj], porque o

indicador j representa o mesmo somatorio, tanto de acordo com a notacao de Einstein1.1.2, como em relacao as regras elementares de multiplicacao matricial.

Ja na expressao cj = M jk ck, o ordenamento da base β∗ se reflete na sequencia de

linhas de [ck], enquanto que, em [M jk ], o indicador a esquerda se refere a qualquer

uma entre as bases β = (ci) e β∗ = (ci) e representa a linha. No que se refere a [ck], e

impossivel que o ordenamento da base β∗ deixe de indicar a linha. Mas, no que se refere a

[M jk ], pode-se alterar a funcao ordenadora, usando [M j

k ]T ≡

T

M

k

j

ao inves de [M jk ],

em conformidade com o colocado na definicao de matrizes transposta e inversa 1.1.4. Em T

M

k

j

, o indicador a direita se refere a qualquer uma entre as bases β = (ci) e β∗ = (ci)

e representa a coluna. Portanto, cj = M jk ck corresponde a [cj] = [M j

k ]T [ck], com o

indicador k representando o mesmo somatorio. Note que [M jk ] nao costuma ser uma

matriz simetrica porque, geralmente, ck ·cj = M jk 6= M k

j = cj ·ck, logo [M jk ] 6= [M j

k ]T .

Como uma base nao pode ser previlegiada em relacao a qualquer outra, a trans-formacao inversa deve existir, o que garante que a matriz [M j

k ] nao e singular. Portanto,

23

a existencia das igualdades

[ck] = [M jk ][cj] e [cj] = [M j

k ]T [ck]

garante a existencia das igualdades

[cj] = [M jk ]−1 [ck] e [ck] = [M j

k ]−T [cj] .

De acordo com a definicao de matrizes transposta e inversa 1.1.4, tem-se [M jk ]−1 ≡−1

Mk

j

. Em

−1

Mk

j

, o indicador a direita se refere a qualquer uma entre as bases

β = (ci) e β∗ = (ci) e indica a coluna, o que evidencia ser correta a primeira entre as

ultimas duas equacoes destacadas. Tal equacao pode, tambem, ser escrita cj =−1

Mk

j ck ,

onde o indicador k representa o mesmo somatorio que ocorre na multiplicacao matricial.

Por outro lado, [M jk ]−T ≡

−TM j

k

=

−1

Mk

j

T . Em

−TM j

k

o indicador a direita

se refere a qualquer uma entre as bases β = (ci) e β∗ = (ci) e indica a coluna, o que

evidencia ser correta tambem a segunda entre as ultimas duas equacoes destacadas, a

qual tambem pode ser escrita ck =−1

Mk

j cj, onde o indicador j representa o mesmo

somatorio que ocorre na multiplicacao matricial.O comentario 1.2.7 (base ortonormal dual) mostra que, se β e β forem ambas or-

tonormais, ter-se-a cj = cj e cj = cj . Considerando as quatro equacoes matriciais

destacadas, isto exigira que [M jk ]T = [M j

k ]−1 e [M jk ] = [M j

k ]−T , logo exigira que a

matriz [M jk ] seja ortogonal. Apos o terceiro paragrafo, foi referido exclusivamente o

componente M jk de um tensor de segunda ordem M , associado a base ck ⊗ cj , tal que

M jk = ck ·cj, ck = M j

k cj e cj = M jk ck. Colocacoes semelhantes podem ser feitas para

as outras tres representacoes matriciais do tensor de M , citadas no terceiro paragrafo.

Comentario 1.2.20 (Transformacao de Componentes de Vetor) Seja as bases β

= (ci) e β = (ci) (logo, β∗ = (ci) e β∗ = (ci)), do mesmo espaco vetorial V e seja v ∈ V .

Entao, v = vjcj = vkck = vjcj = vkc

k . Considerando a definicao das matrizes de

transformacao 1.2.21, tem-se ck = M jk cj e cj = M j

k ck, logo vjcj = vkck = vkM jk cj e

vkck = vjc

j = vjMj

k ck, ou vj = M jk vk e vk = M j

k vj . Utilizando o colocado na mesma

definicao citada, em termos matriciais pode-se, entao, escrever

[vj] = [M jk ]T [vk] e [vk] = [M j

k ][vj] .

Lembrando que[ck] = [M j

k ][cj] e [cj] = [M jk ]T [ck] ,

conclui-se que a matriz que transforma os componentes contravariantes vk (covariantes vj)do vetor v, representado na base β = (ci) (β∗ = (ci)), nos componentes contravariantesvj (covariantes vk) do vetor v, representado na base β = (ci) (β∗ = (ci)), e a transpostada matriz que transforma as bases no sentido oposto.

24

O comentario 1.2.7 (base ortonormal dual) mostra que, se β e β forem ambas ortonor-mais, ter-se-a cj = cj e cj = cj , logo vj = vj e vj = vj. Neste caso, a ultima sentencado paragrafo anterior precisa ser simplificada, devendo-se, em substituicao aquela sen-tenca, afirmar que a matriz que transforma os componentes vk do vetor v, representadona base β = (ci), nos componentes vj do vetor v, representado na base β = (ci), e atransposta da matriz que transforma as bases no sentido oposto.

Comentario 1.2.21 (Transformacao de Componentes de Tensor) Seja duas ba-

ses β = ci e β = ci (logo, β∗ = (ci) e β∗ = (ci)) do mesmo espaco vetorial V e seja

A um tensor de segunda ordem em V ⊗ V . De acordo com a definicao de componente

associado de tensor de segunda ordem 1.2.15, A = Ai jci⊗cj = Ai j c

i⊗ cj = A ji ci⊗cj =

A ji ci ⊗ cj = Ai jci ⊗ cj = Ai j ci ⊗ cj = Ai jci ⊗ cj = Ai j ci ⊗ cj . Nos quatro casos

apresentados a seguir, alem destes resultados sera tambem utilizado o comentario 1.2.10(calculo de componente associado de tensor de segunda ordem), a definicao das matrizesde transformacao 1.2.21 e a definicao de matriz 1.1.2:

Tem-se que Ai j = ci · A(cj) e Amn = cm · A(cn). Considerando ci = M mi cm e

cj = M nj cn , obtem-se Ai j = M m

i M nj Amn , ou [Ai j] = [M m

i ][Amn][Mn

j ]T .

Tem-se que A ji = ci · A(cj) e A n

m = cm · A(cn). Considerando ci = M mi cm e

cj =−1

Mj

n cn, obtem-se A ji = M m

i

−1

Mj

n A nm , ou [A j

i ] = [M mi ][A n

m ][M nj ]−1.

Tem-se que Ai j = ci · A(cj) e Amn = cm · A(cn). Considerando ci =−1

Mi

m cm e

cj = M nj cn, obtem-se Ai j =

−1

Mi

m M nj Amn , ou [Ai j] = [M m

i ]−T [Amn][Mn

j ]T .

Tem-se que Ai j = ci · A(cj) e Amn = cm · A(cn). Considerando ci =−1

Mi

m cm e

cj =−1

Mj

n cn, obtem-se Ai j =−1

Mi

m

−1

Mj

n Amn , ou [Ai j] = [M mi ]−T [Amn][M n

j ]−1.

1.2.9 Determinante e Traco

Definicao 1.2.22 (Permutacao) Seja o conjunto I, formado pelos n ≥ 2 primeiros

numeros naturais. Chama-se permutacao a uma funcao σ : I → I tal que σ : (i)i=ni=1 7→(σ(i))i=ni=1 |σ(i) 6= σ(j)∀i 6= j, (i, j) ∈ I. Uma permutacao que envolva exclusivamente a

inversao do ordenamento de dois elementos adjacentes e chamada transposicao . Toda

permutacao e uma sequencia de transposicoes, mas diversas sequencias de transposicoespodem corresponder a mesma permutacao. Todas as sequencias de transposicoes quecorrespondem a uma mesma permutacao envolvem um numero de transposicoes com amesma paridade, embora tal numero possa variar de uma sequencia para outra. Poristo, as permutacoes sao classificadas em pares ou ımpares. O sinal da permutacao,representado (sinal σ), sera +1 quando a permutacao for par e sera −1 quando a per-

mutacao for ımpar. Entre as n! possıveis permutacoes de (i)i=ni=1 , metade sao permutacoespares (como n ≥ 2, o valor de n! e sempre um inteiro par).

25

Definicao 1.2.23 (Funcao n-linear Alternante) Seja V um espaco vetorial e seja, deacordo com a definicao de dimensao de espaco vetorial 1.2.4, dimV = n. Seja, em confor-midade com a definicao de transformacao n-linear 1.2.10, a funcao n-linear w : V n → <.Esta funcao sera uma funcao n-linear alternante sempre que, ∀(v1, . . . ,vn) ∈ V ,

w(vσ(1), . . . ,vσ(n)) = (sinal σ)w(v1, . . . ,vn) .

Uma funcao n-linear alternante sera nao trivial quando existir um conjunto (vi)i=ni=1 ∈ V

tal que w(v1, . . . ,vn) 6= 0.

Comentario 1.2.22 (Reducao no Numero de Permutacoes Distinguıveis) Deacordo com a definicao de permutacao 1.2.22, sao permutacoes pares metade das n!

possıveis permutacoes do conjunto ordenado (vi)i=ni=1 ∈ V . Se dois entre os vetores que for-

mam este conjunto forem iguais, a cada permutacao par correspondera uma permutacaoımpar dela indistinguıvel, o que reduzira o numero de permutacoes distinguıveis paran!/2. Se m vetores forem iguais, o numero de permutacoes distinguıveis sera n!/m!.

Comentario 1.2.23 (Fun. n-lin. Altern. e Base de Esp. Vet. - Parte I) Con-forme o comentario 1.2.22, sobre reducao no numero de permutacoes distinguıveis, se umafuncao qualquer f : V n → < tiver como argumento um conjunto ordenado (vi)

i=ni=1 ∈ V

que contenha dois vetores iguais, para cada permutacao par do argumento existira umapermutacao ımpar do mesmo argumento tal que as duas imagens, produzidas por f , se-jam iguais. Portanto, se w for uma funcao n-linear alternante, conforme sua definicao

1.2.23, mesmo que w seja nao trivial ter-se-a w(. . . ,u, . . . ,v, . . .) = 0 quando u = v.

Como consequencia deste fato, se (vi)i=ni=1 ∈ V for, de acordo com o item 1 da definicao

de base 1.2.2, linearmente dependente e w for uma funcao n-linear alternante, entaow(v1, . . . ,vn) = 0, mesmo que w seja nao trivial.

Logo, se w for uma funcao n-linear alternante e w(v1, . . . ,vn) 6= 0, entao o conjunto

(vi)i=ni=1 ∈ V sera linearmente independente. Como, de acordo com a definicao 1.2.23,

dimV = n, considerando o item 2 da definicao 1.2.2 tem-se que o conjunto (vi)ni=1

abrangera V . Portanto, pode-se afirmar que, se w for uma funcao n-linear alternante

nao trivial, existira um conjunto (vi)i=ni=1 ∈ V tal que w(v1, . . . ,vn) 6= 0, o qual sera uma

base (ci)i=ni=1 de V .

Teorema 1.2.2 (Unicidade da Proporcao entre Fun. n-lin. Altern.) Sejam w ew′ duas funcoes n-lineares alternantes e seja w nao trivial. Existe apenas um valor λ ∈ <tal que, ∀(v1, . . . ,vn) ∈ V , tenha-se w′(v1, . . . ,vn) = λw(v1, . . . ,vn).Demonstracao: Como w e nao trivial, existe o conjunto de vetores (ci)

ni=1 tal que

w(c1, . . . , cn) 6= 0 e tal conjunto e uma base de V (comentario 1.2.23, sobre funcao

n-linear alternante e base de espaco vetorial - parte I). Suponha que (v1, . . . ,vn) ∈V e que va = viaci para a = 1, . . . , n, logo w(v1, . . . ,vn) = w(vi11 ci1 , . . . , v

inn cin) =∑n

i1=1 . . .∑nin=1 v

i11 . . . v

inn w(ci1 , . . . , cin), onde a ultima igualdade provem da n-linearidade

de w(v1, . . . ,vn), conforme a definicao 1.2.10 desta propriedade. No somatorio multiplo,

todos os termos que contenham vetores de base repetidos sao nulos. Portanto, o somatoriomultiplo simplifica-se num somatorio sobre todas as n! permutacoes de c1, . . . , cn, ou seja,

w(v1, . . . ,vn) =∑σ v

σ(1)1 . . . vσ(n)

n w(cσ(1), . . . , cσ(n)).

Considerando que, de acordo com a definicao de funcao n-linear alternante 1.2.23,w(cσ(1), . . . , cσ(n)) = (sinal σ) w(c1, . . . , cn), tem-se w(v1, . . . , vn) = αw(c1, . . . , cn),

26

onde α =∑σ(sinal σ) v

σ(1)1 . . . vσ(n)

n . Em analogia, w′(v1, . . . ,vn) = αw′(c1, . . . , cn).

Como w(c1, . . . , cn) 6= 0, tem-se α = w(v1,...,vn)w(c1,...,cn)

, logo w′(v1, . . . ,vn) = w′(c1,...,cn)w(c1,...,cn)

w(v1, . . . ,vn) = λw(v1, . . . ,vn). Note que, como os reais w′(v1, . . . ,vn) e w(v1, . . . ,vn)

independem de qual for a base escolhida para o espaco V em que se encontram os vetoresv1, . . . ,vn , esta ultima expressao indica que o real λ = w′(c1, . . . , cn)/w(c1, . . . , cn) naodepende de qual for a base escolhida. 2

Comentario 1.2.24 (Fun. n-lin. Altern. e Base de Esp. Vet. - Parte II) Sew : V n → < e w′ : V n → < forem duas funcoes n-lineares alternantes e w : V n → < fornao trivial (definicao de funcao n-linear alternante 1.2.23), existe uma base de V , grafada(ci)

ni=1 , tal que w(c1, . . . , cn) 6= 0 (comentario 1.2.23, sobre funcao n-linear alternante e

base de espaco vetorial - parte I). Tem-se, entao, w′(c1, . . . , cn) = λw(c1, . . . , cn), ondeλ = 0 se w′ : V n → < for trivial. Por outro lado, como λ nao depende do conjunto devetores utilizado na expressao w′(v1, . . . ,vn) = λw(v1, . . . ,vn) (teorema da unicidade daproporcao entre funcoes n-lineares alternantes 1.2.2), w′ : V n → < sera trivial se λ = 0.Portanto, w′ : V n → < sera nao trivial se e somente se λ 6= 0. Isto indica que, se (ci)

ni=1

for uma base de V tal que w(c1, . . . , cn) 6= 0 e se w′ : V n → < for qualquer funcao

n-linear alternante nao trivial, entao (ci)ni=1 sera, tambem, tal que w′(c1, . . . , cn) 6= 0.

Teorema 1.2.3 (Dependencia da Proporcao entre Fun. n-lin. Altern.) Sejaw : V n → < uma funcao n-linear alternante nao trivial e seja a funcao Tw : V n → <tal que Tw(v1, . . . ,vn) = w(T (v1), . . . , T (vn)), onde (v1, . . . ,vn) ∈ V e T ∈ V ⊗ V euma transformacao linear. O valor λ ∈ <, tal que Tw(v1, . . . ,vn) = λw(v1, . . . ,vn), edeterminado apenas por T .Demonstracao: Seja T ∈ V ⊗ V uma transformacao linear T : v 7→ u, onde (v,u) ∈ V ,sejam w : V n → < e w′ : V n → < duas funcoes n-lineares alternantes nao tri-viais (definicao de funcao n-linear alternante 1.2.23) e seja uma funcao Tw : V n →< tal que Tw(v1, . . . ,vn) = w(u1, . . . ,un) = w(T (v1), . . . , T (vn)) [eq.1]. Evidente-mente, Tw tambem e uma funcao n-linear alternante logo, por causa do teorema daunicidade da proporcao entre funcoes n-lineares alternantes 1.2.2, existe um unico λ ∈< tal que Tw(v1, . . . ,vn) = λw(v1, . . . ,vn) [eq.2]. Analogamente, Tw′(v1, . . . ,vn) =w′(T (v1), . . . , T (vn)) [eq.3], sendo Tw′(v1, . . . ,vn) = λ′w′(v1, . . . ,vn) [eq.4]. Porem,devido ao mesmo teorema 1.2.2, existe um unico µ ∈ < tal que w′(v1, . . . ,vn) =µw(v1, . . . ,vn) [eq.5]. Subtituindo a eq.5 na eq.4 obtem-se Tw′(v1, . . . ,vn) = λ′µw(v1,. . . ,vn) [eq.6].

Como, de acordo com o teorema 1.2.2, a eq.5 e valida tanto para o argumentov1, . . . ,vn como para o argumento u1, . . . ,un , substituindo a eq.5 na eq.3 obtem-seTw′(v1, . . . ,vn) = µw(T (v1), . . . , T (vn)). Substituindo antes a eq.1 e depois a eq.2 nestaultima expressao obtem-se Tw′(v1, . . . ,vn) = µλw(v1, . . . ,vn), que comparada com a eq.6produz λ′ = λ, desde que µ 6= 0. Mas, de acordo com o comentario 1.2.24, sobre funcaon-linear alternante e base de espaco vetorial - parte II, por causa da eq.5 o fato de quetanto w como w′ sao nao triviais implica em µ 6= 0. Portanto λ′ = λ e as eqs.2 e 4 mos-tram que λ nao depende de qual e a funcao n-linear alternante nao trivial considerada,ou seja, λ depende apenas de T . 2

Definicao 1.2.24 (Determinante de Transformacao Linear) Seja a transforma-cao linear T ∈ V ⊗ V . O determinante desta transformacao, detT ∈ <, e defi-nido pela igualdade (detT )w(v1, . . . ,vn) = w(T (v1), . . . , T (vn)), ∀(v1, . . . ,vn) ∈ V e

27

∀w : V n → <|w e n-linear alternante nao trivial. Note que det e uma funcao que, apli-cada ao argumento T , produz como imagem o real λ apresentado no teorema 1.2.3, sobrea dependencia da proporcao entre funcoes n-lineares alternantes, real este que dependeapenas de T . A definicao desta funcao, portanto, e possıvel por causa do que foi demons-trado no teorema citado. O domınio da funcao det e V ⊗V , porque T ∈ V ⊗V , enquantoque o seu contradomınio e <, porque λ ∈ <. Pode-se, entao, escrever det : V ⊗ V → <.Note, tambem, que na definicao 1.2.25 sera apresentado o conceito de determinante deuma matriz, enquanto que agora esta sendo apresentado o conceito de determinante deuma transformacao linear.

Comentario 1.2.25 (Fun. n-lin. Altern. e Base de Esp. Vet. - Parte III) Se-ja uma funcao n-linear alternante nao trivial w : V n → <. Ha um conjunto (ci)

ni=1

tal que w(c1, . . . , cn) 6= 0 e este conjunto e uma base de V , conforme o comentario

1.2.23, sobre funcao n-linear alternante e base de espaco vetorial - parte I. De acordocom a definicao de determinante de transformacao linear 1.2.24 e o teorema 1.2.3, sobrea dependencia da proporcao entre funcoes n-lineares alternantes, (detT )w(c1, . . . , cn) =

w(T (c1), . . . , T (cn)) = Tw(c1, . . . , cn) = w(d1, . . . ,dn), onde di = Tci , para i = 1, . . . , n.

Esta expressao mostra que, quando (ci)ni=1 for uma base de V tal que w(c1, . . . , cn) 6= 0

e di = Tci para i = 1, . . . , n, se detT 6= 0 entao (di)ni=1 sera uma base de V tal que

w(d1, . . . ,dn) 6= 0.

Mas, alem de suficiente (uso do “se”), a condicao detT 6= 0 tambem e necessaria (uso

do “somente se”) para que (di)ni=1 seja uma base de V tal que w(d1, . . . ,dn) 6= 0. De fato,

aplicando a igualdade Tw(c1, . . . , cn) = (detT )w(c1, . . . , cn) o teorema 1.2.2, referente a

unicidade da proporcao entre funcoes n-lineares alternantes, percebe-se que detT = 0implica em Tw trivial, logo implica em Tw(c1, . . . , cn) = w(d1, . . . ,dn) = 0. Portanto, a

setenca completa diz que, se (ci)ni=1 for uma base de V tal que w(c1, . . . , cn) 6= 0 e se

di = Tci para i = 1, . . . , n, entao (di)ni=1 sera uma base de V tal que w(d1, . . . ,dn) 6= 0

se e somente se detT 6= 0.

Definicao 1.2.25 (Determinante de Matriz) Seja [Mi j] uma matriz (definicao dematriz 1.1.2) quadrada com n linhas e n colunas (tanto i como j poderiam ser su-perındices). O determinante desta matriz, det[Mi j] e, por definicao,

det[Mi j] =∑σ

(sinal σ) Mσ(1) 1 . . .Mσ(n)n ,

onde o somatorio ocorre sobre todas as n! permutacoes do conjunto ordenado de numerosnaturais (1, 2, 3, . . . , n) referente as linhas da matriz. Note que na definicao 1.2.24 foiapresentado o conceito de determinante de uma transformacao linear, enquanto que agoraesta sendo apresentado o conceito de determinante de uma matriz. A partir da presentedefinicao demostram-se os conhecidos resultados da algebra matricial elementar

det([Ai j][Bj k]) = det[Ai j] det[Bj k] , por causa das regras de multiplicacao matricial e

det([Ai j]T ) = det[Ai j] , por causa da comutatividade da multiplicacao escalar, a qual

produz∑σ(sinal σ) Mσ(1) 1 . . .Mσ(n)n =

∑σ(sinal σ) M1σ(1) . . .Mnσ(n) .

Nesta definicao de determinante de matriz, ambos os dois indicadores da matriz foram, ar-bitrariamente, considerados ındices. Evidentemente, cada um deles, independentementedo outro, poderia ser um ındice ou um superındice.

28

Comentario 1.2.26 (Relacao entre Determ. de Transf. Lin. e de Matriz) Odeterminante de uma transformacao linear pode ser calculado em termos dos seus com-ponentes associados as bases produto (ci ⊗ cj) e (ci ⊗ cj), sendo (ci)

ni=1 uma base

de V . De fato, a definicao de determinante de transformacao linear 1.2.24 mostra

que (detT )w(c1, . . . , cn) = w(T (c1), . . . , T (cn)) = w((T i1j1ci1 ⊗ cj1)(c1), . . . , (T

injncin ⊗

cjn)(cn)) = w((cj1 · c1)Ti1j1ci1 , . . . , (c

jn · cn)T injncin) = w(δj11T

i1j1ci1 , . . . , δ

jnnT

injncin) =

w(T i11ci1 , . . . , T

inncin), onde foi usada a definicao de produto tensorial de vetores 1.2.12.

Tem-se w(T i11ci1 , . . . , T

inncin) =

∑ni1=1 . . .

∑nin=1 T

i11 . . . T

inn w(ci1 , . . . , cin), por causa da

n-linearidade de w(v1, . . . ,vn), conforme a definicao 1.2.10 desta propriedade. Neste

multiplo somatorio, todos os termos que contenham vetores de base repetidos sao nulos.Portanto, o somatorio multiplo simplifica-se num somatorio sobre todas as n! permutacoes

de c1, . . . , cn, ou seja, w(T i11ci1 , . . . , T

inncin) =

∑σ T

σ(1)1 . . . T

σ(n)n w(cσ(1), . . . , cσ(n)).

Como, nesta ultima igualdade, o primeiro membro e igual a (detT )w(c1, . . . , cn), en-quanto que, de acordo com a definicao de funcao n-linear alternante 1.2.23, w(cσ(1), . . . ,

cσ(n)) = (sinal σ) w(c1, . . . , cn), tem-se (detT )w(c1, . . . , cn) =∑σ(sinal σ) T

σ(1)1 . . .

T σ(n)nw(c1, . . . , cn), logo detT =

∑σ(sinal σ) T

σ(1)1 . . . T

σ(n)n = det[T i

j], de acordo

com a definicao de determinante de matriz 1.2.25, sendo [T ij] a matriz formada pe-

los componentes de T associados a base considerada, ci⊗ cj. Analogamente, obtem-se

detT = det[T ji ]. De acordo com o comentario 1.2.14, sobre gi j ou gi j aplicado a com-

ponente de tensor, tem-se T ij = gk jT

i k = gi kTk j e T ji = gk iT

k j = gj kTi k , logo

detT = det[T ij] = det[T j

i ] = det[gk jTi k] = det[gk iT

k j] = det[gi kTk j] = det[gj kTi k] .

Conforme o comentario 1.2.13, sobre componente associado do tensor identidade,

tem-se para os componentes contravariantes e covariantes respectivamente 1 i j = gi j e

1i j = gi j , enquanto que para os componentes mistos tem-se 1 ij = δij e 1 ji = δ j

i .

Mas o comentario 1.2.6, sobre funcoes gi j e gi j, mostra que gi kgk j = δij . Entao, de

acordo com a expressao destacada, det 1 = det 1 ij = det[δij] = det[gi kgk j]. Como o

indicador k representa o mesmo somatorio, tanto usando a notacao de Einstein 1.1.2,

como em relacao as regras elementares de multiplicacao matricial, tem-se det[gi kgk j] =

det([gi k][gk j]). Considerando a definicao de determinante de matriz 1.2.25, conclui-se que

det[gi kgk j] = det([gi k][gk j]) = det[gi k] det[gk j] e det[δij] = 1, logo det[gi k] det[gk j] = 1.

Em resumo, enquanto os determinantes dos componentes mistos do tensor identidadesao iguais a 1, o mesmo acontecendo, evidentemente, tambem com o produto destes de-terminantes, para os determinantes dos componentes contravariante e covariante somente

se garante que o produto deles e igual a 1. Alem disto, de acordo com o comentario 1.2.7,sobre base ortonormal dual, numa base ortonormal gk j = δk j e gi k = δk j, portanto

det[gk j] = det[δk j] = det[gk j] = det[δk j] = 1, o que simplifica a equacao destacada para

detT = det[T ij] = det[T j

i ] = det[T i j] = det[Ti j] .

Comentario 1.2.27 (Propriedades de Determinantes - Parte I) A funcao det :V ⊗ V → <, apresentada na definicao de determinante de transformacao linear 1.2.24,tem as seguintes propriedades:

29

1. det(u⊗v) = 0, ∀(u,v) ∈ V . De fato, det(u⊗v)w(t1, . . . , tn) = w((u⊗v)(t1), . . . ,(u⊗v)(tn)) = w((v·t1)u, . . . , (v·tn)u), por causa da definicao de produto tensorialde dois vetores, ou tensor simples, 1.2.12. Mas w((v · t1)u, . . . , (v · tn)u) = 0por causa da dependencia linear entre os vetores presentes no argumento de w(comentario 1.2.23, sobre funcao n-linear alternante e base de espaco vetorial -parte I).

2. det(α1 ) = αn, onde α ∈ < e 1 e, de acordo com a definicao 1.2.16, a trans-formacao tensorial identidade para o espaco vetorial V de dimensao n. De fato,det(α1 )w(v1, . . . ,vn) = w(α1 (v1), . . . , α1 (vn)) = w(αv1, . . . , αvn). Mas, porcausa da n-linearidade de w, tem-se det(α1 )w(v1, . . . ,vn) = αn w(v1, . . . ,vn), oudet(α1 ) = αn.

3. det(ST ) = (detS)(detT ), porque det(ST )w(v1, . . . ,vn) = w(ST (v1), . . . , ST (vn))

= w(S(T (v1)), . . . , S(T (vn))) = det(S)w(T (v1), . . . , T (vn)) = det(S) det(T )w(v1,

. . . ,vn), ou det(ST ) = det(S) det(T ) = det(TS).

4. detST = detS. De fato, de acordo com o comentario 1.2.26, sobre determinante

de transformacao linear e de matriz, tem-se detST = det[(ST ) i j]. Mas, de acordo

com o comentario 1.2.16, sobre transposicao de tensor de segunda ordem, [(ST ) i j] =

[S ji ]T , logo detST = det([S j

i ]T ). Conforme a definicao de determinante de matriz

1.2.25, det([S ji ]T ) = det[S j

i ]. Portanto, detST = det[S ji ] = detS, a ultima

igualdade sendo novamente devida ao comentario 1.2.26.

Definicao 1.2.26 (Traco de Transformacao Linear) Semelhantemente a definicaoda funcao determinante de transformacao linear 1.2.24, de acordo com a qual det :V ⊗ V → <, um outro escalar pode ser a imagem da mesma transformacao linear, pormeio de uma outra funcao. Para definir esta outra funcao, suponha que w : V n → <seja uma funcao n-linear alternante nao trivial e que a funcao Tw : V n → < seja tal que

Tw(v1, . . . ,vn) =∑ni=1w(v1, . . . , T (vi), . . . ,vn), onde (v1, . . . ,vn) ∈ V e T ∈ V ⊗ V e

uma transformacao linear. Demonstra-se que Tw tambem e uma funcao n-linear alter-nante.

Logo, por causa do teorema 1.2.2, sobre a unicidade da proporcao entre funcoes n-

lineares alternantes, existe um unico µ ∈ < tal que Tw(v1, . . . ,vn) = µw(v1, . . . ,vn).

O teorema 1.2.3, sobre dependencia na proporcao entre funcoes n-lineares alternan-

tes, foi demonstrado por meio da funcao Tw : V n → < tal que Tw(v1, . . . ,vn) =

w(T (v1), . . . , T (vn)). Ele podia, porem, ser tambem demonstrado usando-se, ao inves

de Tw , a funcao Tw : V n → < tal que Tw(v1, . . . ,vn) =∑ni=1w(v1, . . . , T (vi), . . . ,vn).

Portanto, demostra-se que µ nao depende da escolha da funcao w, ou seja, µ dependeapenas de T .

Seja a transformacao linear T ∈ V ⊗ V . O traco desta transformacao, trT ∈ <,

e definido pela igualdade (trT )w(v1, . . . ,vn) =∑ni=1w(v1, . . . , T (vi), . . . ,vn), ∀(v1, . . . ,

vn) ∈ V e ∀w : V n → <|w e n-linear alternante nao trivial. Note que trT e o valor µapresentado no paragrafo anterior, o qual depende apenas de T . O domınio da funcao tre V ⊗ V , porque T ∈ V ⊗ V , enquanto que o seu contradomınio e <, porque trT ∈ <.Pode-se, entao, escrever tr : V ⊗ V → <, analogamente a det : V ⊗ V → <.

30

Comentario 1.2.28 (Relacao entre Traco de Transf. Lin. e de Matriz) O tra-co de uma transformacao linear pode ser calculado em termos dos seus componentes

associados as bases (ci⊗cj) e (ci⊗cj), sendo (ci)ni=1 uma base de V . De fato, a definicao

de traco de transformacao linear 1.2.26 mostra que (trT )w(c1, . . . , cn) =∑ni=1w(c1, . . . ,

T (ci), . . . , cn) =∑ni=1w(c1, . . . , (T

kjck⊗ cj)(ci), . . . , cn) =

∑ni=1w(c1, . . . , (c

j · ci)T kjck,

. . . , cn) =∑ni=1w(c1, . . . , δ

jiT

kjck, . . . , cn) =

∑ni=1w(c1, . . . , T

kick, . . . , cn), onde usou-

se a definicao de produto tensorial de vetores 1.2.12.Neste multiplo somatorio, todos os termos que contenham vetores de base repetidos

sao nulos. Por isto, para i = 1 existe apenas o termo w(T 11c1, c2, . . . , cn) = T 1

1w(c1, c2,

. . . , cn), onde a igualdade e causada pela n-linearidade da funcao w (definicao de funcao

n-linear alternante 1.2.23), para i = 2 existe apenas o termo w(c1, T22c2, . . . , cn) =

T 22w(c1, c2, . . . , cn) etc.. Portanto, (trT )w(c1, . . . , cn) = T i

iw(c1, . . . cn), ou trT = T ii

onde, de acordo com a notacao de Einstein 1.1.2, T ii e soma dos elementos diagonais da

matriz [T ij], chamada traco da matriz [T i

j], logo tr[T ij] = [T i

i] = T ii . Analoga-

mente para os componentes associados a base (ci ⊗ cj). Tem-se, portanto,

trT = T ii = tr[T i

j] = T ii = tr[T j

i ] .

De acordo com o comentario 1.2.14, sobre gi j ou gi j aplicado a componente de tensor,

tem-se T ii = T i

i = gi j Ti j = gi j Ti j . Mas, em termos matriciais, tr[T i

j] = tr[gk j Ti k] =

tr([T i k][gk j]) = tr[gi k Tk j] = tr([gi k][Tk j]), havendo expressoes analogas para tr[T ji ]

(notar que [gi j Ti j] = gi j T

i j e um unico escalar, logo nao representa uma composicao

de tensores de segunda ordem, de acordo com sua definicao 1.2.19). Portanto, embora

trT = tr[T ij] = tr[T j

i ], os tracos das matrizes T i j e Ti j nao precisam ser iguais a

trT . Mas, de acordo com o comentario 1.2.7, sobre base ortonormal dual, numa base

ortonormal gk j = δk j e gi k = δi k, logo [gk j] = [gi k] = [1]. Entao, numa base ortonormal

os tracos das matrizes T i j e Ti j sao iguais a trT .

Comentario 1.2.29 (Propriedades de Tracos) A funcao tr : V ⊗ V → <, apresen-tada na definicao de traco de uma transformacao linear 1.2.26, tem as seguintes propri-edades:

1. tr(αS+T ) = αtrS+trT . De fato, tr(αS+T )w(c1, . . . , cn) =∑ni=1w(c1, . . . , (αS+

T )(ci), . . . , cn) =∑ni=1 αw(c1, . . . , S(ci), . . . , cn) +

∑ni=1w(c1, . . . , T (ci), . . . , cn) =

(αtrS + trT )w(c1, . . . , cn), por causa da n-linearidade da funcao w (definicao de

funcao n-linear alternante 1.2.23). Portanto o traco e uma funcao linear do espaco

V ⊗ V (o qual e o espaco das transformacoes lineares do espaco vetorial V para oproprio espaco vetorial V ) para o espaco <. Note que o determinante e uma funcaonao linear do espaco V ⊗ V para o espaco <.

2. tr1 = n. De fato, tr1w(c1, . . . , cn) =∑ni=1w(c1, . . . , 1 (ci), . . . , cn) =

∑ni=1w(c1,

. . . , cn) = nw(c1, . . . , cn), por causa da definicao de transformacao tensorial iden-

tidade 1.2.16.

31

3. tr(v ⊗ u) = v · u. De fato, sendo (ci) uma base do espaco vetorial V , para

(v,u) ∈ V tem-se tr(v ⊗ u)w(c1, . . . , cn) =∑ni=1w(c1, . . . , (v ⊗ u)(ci), . . . , cn) =∑n

i=1w(c1, . . . , (u · ci)v, . . . , cn) =∑ni=1w(c1, . . . , (u · ci)vjcj, . . . , cn), onde usou-se

a definicao de produto tensorial de vetores 1.2.12. Neste multiplo somatorio, todosos termos que contenham vetores de base repetidos sao nulos. Por isto, para i = 1

existe apenas o termo w((u · c1)v1c1, c2, . . . , cn) = (u · c1)v

1w(c1, c2, . . . , cn), onde

a igualdade e causada pela n-linearidade da funcao w (definicao de funcao n-linear

alternante 1.2.23), para i = 2 existe apenas o termo w(c1, (u · c2)v2c2, . . . , cn) =

(u·c2)v2w(c1, c2, . . . , cn) etc.. Portanto, tr(v⊗u)w(c1, . . . , cn) = (

∑ni=1 u·civi)w(c1,

. . . , cn) = (u · v)w(c1, . . . , cn).

4. tr(ST ) = trS. De fato, de acordo com o comentario 1.2.28, sobre relacao entre traco

de transformacao linear e de matriz, tem-se tr(ST ) = (ST )i i = (ST ) ii . Mas, de

acordo com o comentario 1.2.16, sobre transposicao de tensor de segunda ordem,

[(ST )i j] = [S ji ]T , logo (ST )i i = tr[(ST )i j] = tr([S j

i ]T ) = tr[S ji ] = S i

i = trS onde

o comentario 1.2.28 foi novamente usado.

5. tr(ST ) = tr(TS). De fato, novamente de acordo com o comentario 1.2.28, tem-

se tr(ST ) = (ST )i i = (ST ) ii . Mas (ST )i i = tr[(ST )i j] = tr([Si k][T

kj]), onde

a segunda igualdade provem da definicao de composicao de tensores de segunda

ordem 1.2.19. Analogamente, tem-se (TS)i i = tr[(TS)i j] = tr([T ik][Skj]). Como

tanto i, como k e j podem assumir valores inteiros desde 1 ate n, de acordo coma algebra matricial elementar a soma dos elementos diagonais da matriz produto

[Si k][Tkj] e igual a soma dos elementos diagonais da matriz produto [T ik][S

kj],

logo tr(ST ) = (ST )i i = (ST ) ii = (TS)i i = (TS) i

i = tr(TS). Note que o terceiro

item do comentario 1.2.27, sobre propriedades de determinantes - parte I, mostraque det(ST ) = det(TS), semelhantemente a tr(ST ) = tr(TS). Porem, enquantodet(ST ) = (detS)(detT ), geralmente tem-se tr(ST ) 6= (trS)(trT ).

Comentario 1.2.30 (Propriedades de Determinantes - Parte II) det(1 + u⊗ v)

= 1+u·v. De fato, det(1 +u⊗v)w(c1, . . . , cn) = w((1 +u⊗v)(c1), . . . , (1 +u⊗v)(cn)) =

w((c1 + (v · c1)u), . . . , (cn + (v · cn)u)), onde foram usadas as definicoes de determinante

de transformacao linear 1.2.24 e de produto tensorial de vetores 1.2.12. Como, de acordocom a definicao de funcao n-linear alternante 1.2.23, w e uma funcao n-linear, tem-se

w((c1+(v ·c1)u), . . . , (cn+(v ·cn)u)) = w(c1, . . . , cn)+∑ni=1w(c1, . . . , (v ·ci)u, . . . , cn)+

termos envolvendo mais do que um unico vetor u no argumento de w . Mas, de acordocom o comentario sobre reducao no numero de permutacoes distinguıveis 1.2.22, taistermos sao nulos, porque v · ci ∈ <.

Portanto, usando novamente a definicao 1.2.12 tem-se det(1 + u⊗ v)w(c1, . . . , cn) =

w(c1, . . . , cn) +∑ni=1w(c1, . . . , (u ⊗ v)(ci), . . . , cn) = (1 + tr(u ⊗ v))w(c1, . . . , cn), onde

a ultima igualdade provem do uso da definicao de traco de transformacao linear 1.2.26.A utilizacao do terceiro item do comentario 1.2.29, referente a propriedades de tracos,mostra que det(1 + u⊗ v)w(c1, . . . , cn) = (1 + u · v)w(c1, . . . , cn).

32

1.2.10 Produto Interno, Inversao, Ortogonalidade e Grupo deTensores de Segunda Ordem

Definicao 1.2.27 (Produto Interno de Tens. de Segunda Ordem) O produtointerno de dois tensores de segunda ordem (A,B) ∈ V ⊗ V e, por definicao,A · B = tr(ABT ). A funcao · : (V ⊗ V )2 → < e bilinear, simetrica e de definicaopositiva, qualidades estas mostradas, para funcoes, na definicao de produto interno devetores 1.2.5.

Comentario 1.2.31 (Propriedades do Produto Interno Tensorial) Pode-se facil-mente mostrar que:

1. 1 · A = trA,

2. A ·B = B · A,

3. para (A,B,C) ∈ V ⊗ V tem-se (AB) · C = B · (ATC) = A · (CBT ),

4. (v⊗ u) · A = v · A(u) e

5. se (ci)ni=1 for uma base de V , entao (ci ⊗ cj) · (ci ⊗ cj) = (ci ⊗ cj) · (ci ⊗ cj) = n2.

Definicao 1.2.28 (Norma de Tensor de Segunda Ordem) A norma de um ten-

sor de segunda ordem A ∈ V ⊗V e, por definicao, |A| =√A · A =

√trAAT . Mostra-se

facilmente que, numa base ortonormal, |A| =√

(A1 1)2 + (A1 2)2 + . . .+ (Ann)2, enquanto

que, em qualquer base, |A| =√

(A 11 )2 + (A 2

1 )2 + . . .+ (A nn )2 (analogamente para a re-

presentacao contravariante e para a outra representacao mista).

Notacao 1.2.6 (Aplicacao de Tensor a Tensor) Sejam M e N dois tensores de or-dem k = 0, 1, 2, 3 . . .. O conceito de aplicacao do tensor M ao tensor N e grafado M [N ] edifere do conceito de composicao de tensores de segunda ordem apresentado na definicao

1.2.19. Por exemplo, para h ∈ < (escalar, ou tensor de ordem zero), (v,u,w) ∈ V

(vetores, ou tensores de primeira ordem), (A,B) ∈ V ⊗ V ≡2⊗ V (tensores de segunda

ordem), T ∈k≥2⊗ V (tensor de ordem k ≥ 2), tem-se:

1. M [h] = hM , ou seja, a aplicacao de um tensor de ordem k = 0, 1, 2, 3 . . . a umescalar e o produto deste escalar pelo tensor considerado;

2. v[u] = v · u, conforme a definicao de produto interno de vetores 1.2.5;

3. T [u] = T (u), conforme mostrado a seguir;

4. (v⊗u)[w] = (v⊗u)(w) = (u ·w)v, conforme a definicao de tensor simples 1.2.12;

5. A[B] = A · B = tr(ABT ), conforme a definicao de produto interno de tensores desegunda ordem 1.2.27 e

6. (v ⊗ u)[B] = (v ⊗ u) · B = v · Bu, conforme o quarto item do comentario sobrepropriedades do produto interno tensorial 1.2.31.

33

O item 4 e um caso especial do item 3, valido quando a transformacao linear for umtensor simples, ou seja, quando T = v ⊗ u. Alem disto, o item 6 e um caso especial doitem 5, valido quando A = v⊗ u.

Para explicar o item 3, considere os componentes de T e de u associados as suasrespectivas bases. Supondo que i seja o indicador (ındice ou superındice) mais a direitanos componentes de T e que j seja o indicador de u, cada componente de T (u) tera todosos indicadores dos componentes de T , salvo o ultimo a direita e sera a soma dos produtosdos componentes de T e u que apresentam i = j. Logo, como a ordem de T e k ≥ 2,a ordem de T (u) e k − 1. Coerentemente com o exposto na definicao de transformacao

n-linear 1.2.10, isto indica que a aplicacao de T a um argumento formado por k − 1vetores produz como imagem um vetor.

Por isto, a representacao matricial de A(u) e a matriz coluna resultante do produtomatricial elementar entre a matriz quadrada que representa A e a matriz coluna querepresenta u. Por outro lado, embora a representacao matricial da composicao de tensoresde segunda ordem, simbolizada AB ou AB conforme sua definicao 1.2.19, tambem sejao resultado de um produto matricial elementar, ela nao e simbolizada A(B) e, conforme

mostra a penultima linha, A[B] tem outro significado. Ou seja, a composicao A B nao

e a aplicacao de A a B, mas sim a aplicacao de B a u, seguida da aplicacao de A aovetor disto resultante, logo (A B)(u) = A(B(u)) = (AB)(u).

O anterior item 1 mostra que a aplicacao de um tensor a um escalar (tensor de ordem0) nao reduz a ordem do tensor. Os itens 2, 3 e 4 mostram que a aplicacao de um tensora um vetor (tensor de ordem 1) reduz em uma unidade a ordem do tensor. Os itens 5 e6 indicam que a aplicacao de um tensor a um tensor de ordem 2 reduz em duas unidadesa ordem do tensor. Esta e a regra geral envolvida no conceito de aplicacao de tensor atensor. Evidentemente, nao se pode aplicar um tensor a outro cuja ordem seja superioraquela do primeiro.

Definicao 1.2.29 (Tensor Inverso de Segunda Ordem) Seja o tensor de segunda

ordem A ∈ V ⊗V e seja A−1 ∈ V ⊗V |AA−1 = A−1A = 1 , sendo A−1 unico e denominado

inverso de A. Quando A−1 existir, A sera denominado invertıvel ou nao singular e,no caso contrario, A sera chamado singular. De acordo com os itens 2 e 3 do comentario

1.2.27, AA−1 = A−1A = 1 implica em det(A−1) = (detA)−1, logo A e invertıvel somentese detA 6= 0. Demonstra-se, porem, que A e invertıvel se e somente se detA 6= 0.

Comentario 1.2.32 (Propriedades do Tensor Inverso) Se, de acordo com a de-finicao de tensor inverso 1.2.29, A e B forem invertıveis, demonstra-se que:

1. (AB)−1 = B−1A−1 e

2. (A−1)T = (AT )−1 = A−T , onde A−T e o tensor inverso transposto do tensor A.

Notacao 1.2.7 (Subespaco Invertıvel) Define-se, em V ⊗ V , o subespaco Inv(V ) =F ∈ V ⊗ V |F e invertıvel.

Definicao 1.2.30 (Tensor Ortogonal de Segunda Ordem) O tensor de segundaordem Q ∈ V ⊗ V e denominado uma transformacao linear ortogonal se ele preservar

34

o produto interno em V , isto e, se, ∀(u,v) ∈ V , ocorrer Q(u) ·Q(v) = u · v. De acordo

com a definicao de transformacao linear transposta 1.2.17, Q(u) · Q(v) = v · QTQ(u),

o que indica, por causa da simetria do produto interno de vetores apresentada na sua

definicao 1.2.5, que QTQ = 1 ou, considerando a definicao de tensor inverso de segunda

ordem 1.2.29, que QT = Q−1.

Comentario 1.2.33 (Propriedades de Tensor Ortogonal) Demonstra-se que:

1. | detQ| = 1, sendo a transformacao ortogonal propria se detQ = 1 e impropriase detQ = −1,

2. |Q(v)| = |v|, logo a transformacao ortogonal preserva a norma do vetor, de acordosua definicao 1.2.6 e

3. θ(Q(v), Q(u)) = θ(v,u), logo a transformacao ortogonal preserva o angulo entreos vetores, de acordo com sua definicao 1.2.7.

4. Se B = QAQT (ou se A = QTBQ), de acordo com o item:

(a) 3 do comentario 1.2.27, sobre propriedades de determinantes - parte I, tem-sedetB = det(QAQT ) = det(QTQA) = det(1A) = detA. Considerando o co-mentario 1.2.26, sobre a relacao entre determinante de transformacao lineare de matriz, igualdade analoga a detB = detA pode ser escrita para qual-quer uma das quatro possıveis representacoes matriciais de A e B, desde que,evidentemente, as representacoes de A e B sejam do mesmo tipo.

(b) 5 do comentario 1.2.29, sobre propriedades de tracos, tem-se trB = tr(QAQT )= tr(QTQA) = tr(1A) = trA. Considerando o comentario 1.2.28, sobre arelacao entre traco de transformacao linear e de matriz, igualdade analoga atrB = trA pode ser escrita para qualquer uma das quatro possıveis repre-sentacoes matriciais de A e B, desde que, evidentemente, as representacoes deA e B sejam do mesmo tipo.

Definicao 1.2.31 (Grupo de Tensores de Segunda Ordem) O conjunto G de ten-sores de segunda ordem sera denominado um grupo quando ele apresentar as seguintespropriedades, onde o produto AB nao necessariamente indica a composicao, conformesua definicao 1.2.19:

1. se (A,B) ∈ G entao AB ∈ G,

2. se (A,B,C) ∈ G entao A(BC) = (AB)C,

3. ∃ 1 ∈ G tal que, ∀A ∈ G, tenha-se 1A = A1 = A, onde 1 e o tensor identidade,conforme sua definicao 1.2.16 e

4. ∀A ∈ G ∃A−1 tal que AA−1 = A−1A = 1 .

Notacao 1.2.8 (Grupos Especiais) Os grupos abaixo citados possuem representacoesespecıficas:

35

1. Considerando o caso especıfico em que, na definicao de grupo de tensores de segundaordem 1.2.31, AB indique a composicao A B, percebe-se que, usando a notacaopara subespaco invertıvel 1.2.7, Inv(V ) e um grupo. Por isto, Inv(V ) e tambem

denominado grupo linear geral de V , ou GL(V ).

2. Considerando a definicao de tensor ortogonal de segunda ordem 1.2.30, o conjuntoO (V ) = Q ∈ V ⊗ V |Q e ortogonal forma um grupo denominado grupo orto-gonal de V .

3. O+ (V ) = Q ∈ O (V )| detQ = 1, onde o conjunto O+ (V ) forma um grupoporque o elemento identidade do conjunto O (V ) pertence a este seu subconjunto.O subconjunto de O (V ) cujos elementos apresentam o valor −1 como determinantenao formam um grupo, porque nao ha elemento identidade neste subconjunto. Osubgrupo O+ (V ) do grupo O (V ) e denominado grupo ortogonal proprio, ougrupo rotacional de V , porque seus elementos sao rotacoes.

4. U (V ) = T ∈ V ⊗V | | detT | = 1, denominado grupo unimodular de V , porqueseus elementos sao chamados tensores de segunda ordem unimodulares.

5. SL(V ) = T ∈ V ⊗ V | detT = 1, denominado grupo linear especial de V .

Evidentemente, tem-se

O+ (V ) ⊂SL(V )O (V )

⊂ U (V ) ⊂ GL(V ) .

1.2.11 Elemento de Volume

Definicao 1.2.32 (Classe e Base de Orientacao Positiva) Duas funcoes alternan-

tes n-lineares nao triviais w1 : V n → < e w2 : V n → < (definicao de funcao n-linear

alternante 1.2.23) sao ditas equivalentes se w1(c1, . . . , cn) = λw2(c1, . . . , cn)|λ ∈ <,

λ > 0 e, conforme o comentario 1.2.23, sobre funcao n-linear alternante e base de espaco

vetorial - parte I, (ci)ni=1 e uma base de V tal que w2(c1, . . . , cn) 6= 0. De acordo com

o comentario 1.2.24, sobre funcao n-linear alternante e base de espaco vetorial - parteII, a unica outra possibilidade existente, alem de λ > 0, e λ < 0. A relacao de equi-valencia w1(c1, . . . , cn) = λw2(c1, . . . , cn)|λ ∈ < e λ > 0 separa o conjunto das funcoes

alternantes n-lineares nao triviais w em duas classes.De acordo com a teoria de conjuntos, toda relacao de equivalencia produz uma

particao, do conjunto a que ela se aplica, em subconjuntos chamados classes. Classesnao se interceptam, a uniao delas coincide com o conjunto que as contem e os elementosque formam cada classe sao ditos equivalentes entre si. No presente caso, os elementossao as funcoes w, as classes sao duas e sao denominadas:

classe com orientacao positiva de funcoes w de V , grafada ∆, que contem funcoesalternantes n-lineares nao triviais w cujos valores w(c1, . . . , cn) apresentam todoseles o mesmo sinal (positivo ou negativo, de acordo com qual for a especıfica base(ci)

ni=1 utilizada) e

classe com orientacao oposta de funcoes w de V , grafada ∆oposta , que contem funcoesalternantes n-lineares nao triviais w cujos valores w(c1, . . . , cn) tambem apresen-tam, todos eles, o mesmo sinal, o qual e:

36

negativo no caso de, para a mesma base (ci)ni=1, a classe ∆ apresentar sinal posi-

tivo, ou

positivo no caso de, para a mesma base (ci)ni=1, a classe ∆ apresentar sinal nega-

tivo.

Note que metade das funcoes w encontra-se em cada uma das duas classes. Se (ci)ni=1

for uma base de V tal que, ∀w ∈ ∆, tenha-se w(c1, . . . , cn) > 0, esta sera uma base

orientada positivamente. Portanto, se (ci)ni=1 nao for orientada positivamente, ∀w ∈

∆ ter-se-a w(c1, . . . , cn) < 0. Alem disto, se (ci)ni=1 for orientada positivamente, ∀w ∈

∆oposta ter-se-a w(c1, . . . , cn) < 0. Logo, se esta base nao for orientada positivamente,

∀w ∈ ∆oposta ter-se-a w(c1, . . . , cn) > 0. Evidentemente, se forem trocados entre si

os conjuntos de funcoes arbitrariamente rotulados ∆ e ∆oposta , as bases de orientacao

positiva passarao a ser as bases nao orientadas positivamente e vice-versa.

Definicao 1.2.33 (Transformacao Linear Orientacao Preservante) Seja a trans-formacao linear, no caso tensor de segunda ordem, A ∈ V ⊗ V e seja (v1, . . . ,vn) ∈ V .

A transformacao A sera orientacao preservante se, ∀w ∈ ∆, ocorrer que Aw ∈∆|Aw(v1, . . . ,vn) = w(A(v1), . . . , A(vn)), onde ∆ e a classe das funcoes alternantes

n-lineares nao triviais com orientacao positiva, conforme a definicao de classe e basede orientacao positiva 1.2.32. Evidentemente, se A for orientacao preservante, entao

∀w ∈ ∆oposta ter-se-a que Aw ∈ ∆oposta |Aw(v1, . . . ,vn) = w(A(v1), . . . , A(vn)). De

acordo com a definicao de determinante de transformacao linear 1.2.24, Aw(v1, . . . ,vn) =

(detA)w(v1, . . . ,vn). Logo, a transformacao A sera orientacao preservante se e somentese detA > 0.

Por exemplo, sejam (ci)ni=1 e (ci)

ni=1 duas bases do espaco V e seja a transformacao

linear, no caso tensor de segunda ordem A, tal que ci = A(ci), para i = 1, . . . , n, logo

(A(c1), . . . , A(cn)) = (c1, . . . , cn). Se detA > 0 ou detA < 0, as bases (ci)ni=1 e (ci)

ni=1

terao respectivamente orientacao igual ou oposta.

Definicao 1.2.34 (Funcao e Tensor Elemento de Volume) Seja V um espaco ve-

torial tridimensional, seja (ei)3i=1 uma base ortonormal de V orientada positivamente e

seja uma funcao alternante trilinear nao trivial com orientacao positiva w : V 3 → <, logow ∈ ∆, de acordo com a definicao de classe e base de orientacao positiva 1.2.32. Im-pondo w : (e1, e2, e3) 7→ 1, a funcao sera bem definida, representada por e e denominadaelemento de volume.

De fato, devido a definicao de funcao n-linear alternante 1.2.23, a imposicao e :(e1, e2, e3) 7→ 1 implica em e(e1, e2, e3) = 1, e(e2, e3, e1) = 1, e(e3, e1, e2) = 1,

e(e3, e2, e1) = −1, e(e1, e3, e2) = −1 e e(e2, e1, e3) = −1, onde todas as permutacoes

pares (definicao de permutacao 1.2.22) sao positivas porque e ∈ ∆. A mesma definicao1.2.23 indica, tambem, que o valor da imagem da funcao e sera nulo sempre que, no

seu argumento, estiver repetido um dos tres vetores da base (ei)3i=1. Por outro lado, a

definicao de transformacao n-linear 1.2.10 mostra que, dadas as informacoes anteriores,a imagem de e(u,v,w) e bem definida ∀(u,v,w) ∈ V . Logo, para definir completamenteuma funcao n-linear alternante nao trivial basta informar um unico elemento da funcao,

37

tal como faz a imposicao e : (e1, e2, e3) 7→ 1.

Conforme colocado na definicao de tensor de ordem k, numerada 1.2.20, a funcaoelemento de volume, e, e a transformacao escalar correspondente ao tensor elemento devolume, e, de terceira ordem, o qual pertence ao espaco de produto tensorial V ⊗V ⊗V ,

ou seja, e ∈3⊗ V . Um tensor de terceira ordem pode ser representado em termos dos

componentes associados a qualquer uma de suas 23 = 8 bases. Mas, de acordo com ocomentario 1.2.7, sobre base ortonormal dual, as oito bases sao iguais entre si, porque

a base considerada e ortonormal. Tem-se, entao, e =∑3i=1

∑3j=1

∑3i=k εi j k ei ⊗ ej ⊗ ek ,

onde εi j k = e(ei, ej, ek) e um dos 33 = 27 componentes do tensor de terceira ordem

e, associados a base (ei ⊗ ej ⊗ ek)3 3 3i=1 j=1 k=1 . De acordo com a primeira sentenca do

paragrafo anterior,

1. ε1 2 3 = ε2 3 1 = ε3 1 2 = 1 [permutacoes pares de (1,2,3)],

2. ε3 2 1 = ε1 3 2 = ε2 1 3 = −1 [permutacoes ımpares de (1,2,3)] e

3. sao nulos os demais 21 componentes (algarismo 1, 2 ou 3 repetido no ındice de ε).

Por causa destes valores assumidos, εi j k e denominado sımbolo de permutacao.

Ainda de acordo com a definicao 1.2.20, os 27 valores do sımbolo de permutacao po-dem ser ordenados de modo a formar uma matriz cubica com um valor no centro do cubo,um valor no centro de cada uma das seis faces, um valor no meio de cada uma das dozearestas e um valor em cada um dos oito vertices. Entre todos estes valores, apenas nao

sao nulos aqueles localizados no meio de seis arestas. Os seis pontos correspondentes for-mam um hexagono regular num plano perpendicular a diagonal do cubo que passa pelosvertices onde se localizam ε1 1 1 e ε3 3 3. Se o hexagono for substituıdo por dois triangulosequilateros cujos centros coincidam com o centro do hexagono, formando assim uma fi-gura com forma de estrela de seis pontas, o triangulo que contiver ε1 2 3 correspondera aspermutacoes pares.

Comentario 1.2.34 (Propriedades do Sımbolo de Permutacao) Sejam a, b e ctres pares ordenados bem determinados, sendo cada elemento do par escolhido entreos tres algarismos 1, 2 e 3. Evidentemente, existem 3! = 6 possıveis ordenamentosdo conjunto a,b, c, constituıdo por estes tres pares. Sejam, tambem, os tres paresordenados (i, l), (j,m), (k, n), onde i, j, k, l, m e n sao ındices do sımbolo de permutacao.Para estes pares de ındices, so e permitido o ordenamento dado por ((i, l), (j,m), (k, n)).

O conjunto ordenado ((i, l), (j,m), (k, n)) podera ser igualado a qualquer uma das seispossıveis permutacoes do ordenamento do conjunto a,b, c.

Analogamente, suponha que so existam os pares a e b, considere que os dois paresordenados de ındices (j,m) e (k, n) sejam sempre mantidos na ordem ((j,m), (k, n)) e queeste conjunto ordenado possa ser igualado a qualquer uma das duas possıveis permutacoesdo ordenamento de a,b. Ainda, considere apenas o par a e que (k, n) possa ser igualadoa a. De acordo com a definicao de funcao e tensor elemento de volume 1.2.34, para os33 = 27 componentes εi j k do tensor e demonstra-se que:

1. Existem 33×33 = 36 = 729 possıveis produtos εi j k εl mn , entre os quais 6×6/2 = 18

iguais a 1, outros 18 iguais a −1 e os restantes 693 nulos. Os 18 produtos iguaisa 1 sao obtidos igualando ((i, l), (j,m), (k, n)) as 6 permutacoes de cada um dos

38

tres conjuntos distintos a,b, c1 , a,b, c2 e a,b, c3 , os quais sao os unicosque nao anulam o produto nem produzem resultado negativo. Por exemplo, pode-se considerar a,b, c1 = (1, 1), (2, 2), (3, 3), a,b, c2 = (1, 2), (2, 3), (3, 1)e a,b, c3 = (1, 3), (2, 1), (3, 2). Os 18 produtos iguais a −1 sao obtidos igua-lando ((i, l), (j,m), (k, n)) as 6 permutacoes de cada um dos tres conjuntos distintosa,b, c4 , a,b, c5 e a,b, c6 , os quais sao os unicos que nao anulam o produtonem produzem resultado positivo. Por exemplo, pode-se considerar a,b, c4 =(1, 3), (2, 2), (3, 1), a,b, c5 = (1, 1), (2, 3), (3, 2) e a,b, c6 = (1, 2), (2, 1),(3, 3).

2. Existem 32 × 32 = 34 = 81 somatorios de produtos∑3i=1 εi j k εimn = δj m δk n −

δj n δkm , entre os quais 6 iguais a 1, outros 6 iguais a −1 e os restantes 69 nulos.

Os 6 somatorios de produtos iguais a 1 sao obtidos igualando ((j,m), (k, n)) as 2permutacoes de cada um dos tres conjuntos distintos a,b1 , a,b2 e a,b3 ,os quais sao os unicos que nao anulam o somatorio de produtos nem produzemresultado negativo. Por exemplo, pode-se considerar a,b1 = (1, 1), (2, 2),a,b2 = (1, 1), (3, 3) e a,b3 = (2, 2), (3, 3). Os 6 somatorios de produ-tos iguais a −1 sao obtidos igualando ((j,m), (k, n)) as 2 permutacoes de cadaum dos tres conjuntos distintos a,b4 , a,b5 e a,b6 , os quais sao os unicosque nao anulam o somatorio de produtos nem produzem resultado positivo. Porexemplo, pode-se considerar a,b4 = (1, 2), (2, 1), a,b5 = (1, 3), (3, 1) ea,b6 = (2, 3), (3, 2).

3. Existem 32 = 9 duplos somatorios de produtos∑3i=1

∑3j=1 εi j k εi j n = 2δk n , entre

os quais 3 iguais a 2 e os restantes 6 nulos. Os 3 duplos somatorios de produtosiguais a 2 sao obtidos igualando (k, n) a cada um dos tres pares ordenados distintosa1 , a2 e a3 , os quais sao os unicos que nao anulam o duplo somatorio de produtos(resutado negativo e impossıvel). Por exemplo, pode-se considerar a1 = (1, 1),a2 = (2, 2) e a3 = (3, 3).

4. Existe 1 trıplice somatorio de produtos∑3i=1

∑3j=1

∑3k=1 εi j k εi j k = 6.

Note que resultado analogo ao apresentado no item 2 seria obtido se o ındice repetidofosse o segundo ou o terceiro. Alem disto, resultado analogo ao apresentado no item3 seria obtido se os ındices repetidos fossem o primeiro e o terceiro, ou o segundo e oterceiro.

Comentario 1.2.35 (Propriedades dos Componentes do Tensor e) Seja V um

espaco vetorial tridimensional, seja (ei)3i=1 uma base ortonormal de V orientada positi-

vamente, conforme a definicao de classe e base de orientacao positiva 1.2.32 e seja (ci)3i=1

outra base do mesmo espaco. Seja A ∈ V ⊗ V tal que ci = A(ei), para i = 1, 2, 3, logo(c1, c2, c3) = (A(e1), A(e2), A(e3)), portanto seja A uma transformacao linear da base

(ei)3i=1 para a base (ci)

3i=1 , o que indica que A e um tensor de segunda ordem. De acordo

com o comentario 1.2.25, sobre funcao n-linear alternante e base de espaco vetorial -Parte III, se e somente se detA 6= 0 tem-se que, se (ei)

3i=1 for uma base de V tal que

w(e1, e2, e3) 6= 0, entao (ci)3i=1 sera uma base de V tal que w(c1, c2, c3) 6= 0.

Em termos dos seus componentes covariantes associados a base produto (ci ⊗ cj ⊗ck)3 3 3

i=1 j=1 k=1 (conceito analogo ao que se encontra na definicao de componente associ-

ado de tensor de segunda ordem 1.2.15), o tensor tridimensional de terceira ordem e,

39

apresentado na definicao de funcao e tensor elemento de volume 1.2.34, pode ser es-

crito e = ei j kci ⊗ cj ⊗ ck. Por outro lado, em termos da funcao alternante trilinear

nao trivial com orientacao positiva e : V 3 → < correspondente a este tensor, deno-minada funcao elemento de volume e tambem apresentada na definicao 1.2.34, tem-seei j k = e(ci, cj, ck) = e(A(ei), A(ej), A(ek)) = (detA)e(ei, ej, ek) = (detA)εi j k , onde a

penultima igualdade e devida a definicao de determinante de transformacao linear 1.2.24e a ultima novamente utiliza a definicao 1.2.34.

De acordo com o comentario 1.2.6, sobre as funcoes gi j e gi j, tem-se gi j = ci · cj =

A(ei) · A(ej) = ej · ATA(ei) = (ATA)j i = (ATA)i j , onde usou-se as definicoes de

transformacao linear transposta 1.2.17 e de composicao de tensores de segunda ordem1.2.19 na terceira igualdade, o comentario 1.2.10 sobre calculo de componente associadode tensor de segunda ordem na penultima igualdade e o fato de que o tensor de segundaordem (ATA) e simetrico, conforme a definicao de tensores simetrico e antissimetrico

1.2.18, na ultima igualdade. Tem-se, entao, det[gi j] = det[(ATA)i j] = (det[A]i j)2 =

(detA)2, onde a penultima igualdade e devida ao terceiro e ao quarto item do comentario1.2.27, sobre propriedades de determinantes - parte I, enquanto que a ultima deve-se aocomentario 1.2.26, sobre determinante de transformacao linear e de matriz.

Definindo g = det[gi j], tem-se detA = ±√g. Para os componentes covariantes do

elemento de volume obtem-se, entao,

ei j k = ±√g εi j k ,

onde, de acordo com a definicao de transformacao linear orientacao preservante 1.2.33,o sinal positivo ocorrera quando A for orientacao preservante. Para os componentescontravariantes do elemento de volume obtem-se

ei j k = ±(√g)−1 εi j k = ±(

√g)−1 εi j k ,

onde a primeira igualdade deve-se a que εi j k = ±√g ei j k, porque, de acordo com a

definicao de matrizes de transformacao 1.2.21, se ck = A(ek), entao ek = AT (ck) e v.v..

Ja a segunda igualdade resulta da consideracao de que εi j k = εi j k , de acordo com a

ja mencionada definicao 1.2.34. As duas ultimas expressoes destacadas mostram que osquatro itens do comentario 1.2.34, sobre propriedades do sımbolo de permutacao, podemser escritos em termos dos componentes covariantes e contravariantes do tensor elementode volume. Em especial,

1. no primeiro item usa-se ei j kel mn no lugar de εi j k εl mn ,

2. no segundo item usa-se∑3i=1 e

i j keimn = δjmδkn− δjnδkm no lugar de

∑3i=1 εi j k εimn

= δj m δk n − δj n δkm ,

3. no terceiro item usa-se∑3i=1

∑3j=1 e

i j kei j n = 2δkn no lugar de∑3i=1

∑3j=1 εi j k εi j n =

2δk n e

4. no quarto item usa-se∑3i=1

∑3j=1

∑3k=1 e

i j kei j k = 6 no lugar de∑3i=1

∑3j=1

∑3k=1 εi j k

εi j k = 6.

40

Definicao 1.2.35 (Relacao entre Tensor e e Determinante) Se T ∈ V ⊗ V e T =

T ijci ⊗ cj entao, de acordo com o comentario 1.2.26, sobre relacao entre determinante

de transformacao linear e de matriz, tem-se detT = det[T ij]. Usando o primeiro item ao

final do comentario 1.2.35, sobre propriedades dos componentes do tensor elemento de vo-lume e, demonstra-se entao que, para os componentes contravariantes el mn e covariantesei j k deste tensor, tem-se

detT =1

6el mnei j k T

ilT

jmT

kn .

Ja os seis tipos de componentes mistos do tensor e, respectivamente referentes a cadauma das 23 − 2 bases mistas, nao apresentam relacoes simples com detT .

1.2.12 Produto Externo e Produto Vetorial

Definicao 1.2.36 (Produto Externo de Vetores) ∀(v,u) ∈ V , o produto externode v por u, notado v∧u, e definido por v∧u = v⊗u−u⊗v. Esta definicao mostra que oargumento da funcao produto externo sao dois vetores, logo seu domınio e V 2, enquantoque a imagem desta funcao e uma transformacao linear, resultante da subtracao de doisprodutos tensoriais (definicao 1.2.12 de produto tensorial de vetores ou tensor simples),a qual pertence a V ⊗ V . Por isto, ∧ : V 2 → V ⊗ V . A partir desta definicao pode-sefacilmente demonstrar que a imagem de ∧ e um tensor de segunda ordem (definicao detensor de segunda ordem 1.2.14) bilinear (definicao de transformacao n-linear 1.2.10) eantissimetrico (definicao de tensores simetrico e antissimetrico 1.2.18).

Comentario 1.2.36 (Produto Externo como Base para Skw(V )) Seja a base pro-

duto (ci ⊗ cj)n ni=1 j=1 (definicao de espaco de produto tensorial 1.2.13) de V ⊗ V . Neste

caso, (ci ∧ cj)n−1 ni=1 j=2|i < j sera uma base para Skw(V ), onde usou-se a notacao para su-

bespacos simetrico e antissimetrico 1.2.5. Foi imposto i < j porque os demais elementos

de (ci ∧ cj)n ni=1 j=1 ou sao nulos, ou tem mesmo modulo mas sinal oposto a elementos

incluıdos em (ci ∧ cj)n−1 ni=1 j=2|i < j. Como consequencia, tem-se que, de acordo com

o comentario 1.2.9 (dimensao de espaco de transformacao linear), se dimV = n, entao

dimV ⊗V = n2 e dim Skw(V ) = n(n−1)/2, porque dim(ci∧cj)n−1 ni=1 j=2|i < j = n(n−1)/2.

De fato, o numero de elementos desta base e igual a soma dos elementos da progressaolinear 1, 2, 3, . . . , (n−1), cujo valor e n(n−1)/2. Em particular, para dimV = 3 tem-sedim Skw(V ) = 3.

Para mostrar que (ci∧cj)n−1 ni=1 j=2|i < j e uma base de Skw(V ) considere a decomposicao

W = W i jci⊗cj = W j icj⊗ci , onde, de acordo com a definicao de componente associado

de tensor de segunda ordem 1.2.15, a primeira igualdade e valida para qualquer tensordesta ordem, enquanto que a segunda igualdade provem da troca entre os indicadoresi e j. De acordo com o comentario 1.2.17, sobre transposicao de tensores simetrico e

antissimetrico, para W antissimetrico tem-se W i j = −W j i, portanto W = (W i jci⊗cj +

W j icj ⊗ ci)/2 = (W i jci⊗ cj −W i jcj ⊗ ci)/2 = W i jci∧ cj / 2 = W i jci∧ cj|i < j, onde a

penultima igualdade provem da definicao de produto externo de vetores 1.2.36 e a ultima

do fato de que W i jci ∧ cj = W j icj ∧ ci e W i ici ∧ ci = 0. Note que o duplo somatorio e

sobre todos os i e j em W i jci ∧ cj / 2, mas apenas sobre i < j em W i jci ∧ cj|i < j.

41

Definicao 1.2.37 (Funcao Linear Dualidade) Seja tridimensional o espaco vetorialV . Como, de acordo com o comentario 1.2.36, sobre produto externo como base paraSkw(V ), o espaco Skw(V ) tambem e tridimensional, ∀(u,v,w) ∈ V define-se a funcaolinear dualidade τ : Skw(V ) → V |τ(u ∧ v) ·w = e(u,v,w).

Em palavras, se a funcao τ for aplicada a transformacao bilinear u ∧ v, denominadaproduto externo de vetores de acordo com a sua definicao 1.2.36 e pertencente ao espacoSkw(V ), produzira como imagem um vetor pertencente ao espaco V . Este vetor sera talque seu produto interno, com qualquer outro vetor w ∈ V , produzira um escalar igual aoescalar obtido quando a funcao elemento de volume do espaco V , grafada e de acordo coma sua definicao 1.2.34, for aplicada ao conjunto ordenado dos tres vetores (u,v,w) ∈ V .A funcao τ tem inversa, ou seja, a cada tensor antissimetrico corresponde um e apenasum vetor, vetor este ao qual corresponde um e apenas um tensor antissimetrico.

Note que, como e e uma funcao trilinear alternante nao trivial, de acordo com ocomentario 1.2.23, sobre funcao n-linear alternante e base de espaco vetorial - parte I, seos vetores u, v e w nao forem linearmente independentes entre si, entao e(u,v,w) = 0.

Isto ocorrera sempre que w for uma combinacao linear de u e v. Mas ocorrera, tambem,sempre que u e v forem colineares. Alias, neste caso ter-se-a e(u,v,w) = 0 qualquer queseja o vetor w, logo τ(u∧v) ·w = 0 qualquer que seja o vetor w, o que exige τ(u∧v) = 0(note que, de acordo com a definicao de espaco vetorial real 1.2.1, o primeiro 0 e o escalarzero, enquanto que o segundo simboliza vetor nulo).

Por outro lado, sempre que os vetores u, v e w forem linearmente independentes entresi, eles formarao uma base (ci, cj, ck) do espaco vetorial tridimensional V . Neste caso, otensor e, tambem apresentado na definicao 1.2.34, apresentara componentes associadosas bases produto do espaco V ⊗ V ⊗ V provenientes desta base de V . Aos componentescovariantes e contravariantes podera ser aplicado o conteudo do comentario 1.2.35, sobrepropriedades dos componentes do tensor e.

Notacao 1.2.9 (Vetor Associado a Tensor Antissimetrico) Seja o tensor antissi-metrico W ∈ Skw(V ), de acordo com sua definicao 1.2.18 e com a notacao para su-bespacos simetrico e antissimetrico 1.2.5. Seja, tambem, a funcao linear dualidade τ ,conforme sua definicao 1.2.37. Aplicando esta funcao a W obtem-se o vetor associadoao tensor antissimetrico W , representado por < W >≡ τ(W ) e denominado vetoraxial.

Para entender a razao desta denominacao, considere (u,v,w) ∈ V e Q ∈ V ⊗ V .Usando novamente a definicao 1.2.37, < Q(u)∧Q(v) > ·Q(w) = e(Q(u), Q(v), Q(w)) =(detQ) e(u,v,w) = (detQ) < u ∧ v > ·w, onde na segunda igualdade utilizou-se adefinicao de determinante de transformacao linear 1.2.24. Porem, se Q for ortogonal(definicao de tensor ortogonal de segunda ordem 1.2.30) o produto interno vetorial serainvariante, ou seja, Q(< u ∧ v >) · Q(w) =< u ∧ v > ·w. Substituindo esta ultimaigualdade na anterior tem-se < Q(u) ∧ Q(v) > ·Q(w) = (detQ)Q(< u ∧ v >) · Q(w),ou < Q(u) ∧ Q(v) >= (detQ)Q(< u ∧ v >). Lembrando que, de acordo com o co-mentario 1.2.33, sobre propriedades de tensor ortogonal, se Q for um tensor ortogonalentao detQ = ±1, obtem-se < Q(u) ∧Q(v) >= ±Q(< u ∧ v >).

Portanto, ainda conforme o comentario 1.2.33, um tensor de segunda ordem ortogonaltransforma os vetores u, v e < u∧v > respectivamente em Q(u), Q(v) e Q(< u∧v >),preservando os modulos e os angulos entre os vetores. Mas < Q(u) ∧ Q(v) > , emboratendo o mesmo modulo de Q(< u∧v >), tanto pode coincidir com este vetor como podeapontar no sentido oposto a ele, dependendo da transformacao ortogonal ser propria ou

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impropria. Como, de acordo com o comentario 1.2.36, sobre produto externo como base

para Skw(V ), tem-se W = W i jci ∧ cj|i < j se W ∈ Skw(V ) e, como o que foi afirmado

para u, v e < u ∧ v > tambem e valido para cada um dos conjuntos ci , cj , ci ∧ cjcom i < j, todo vetor < W > associado a um tensor antissimetrico W e denominado

vetor axial.

Comentario 1.2.37 (Propriedades do Vetor Axial) Seja (ci, cj, ck) uma base de

V . De acordo com a definicao de funcao linear dualidade 1.2.37 tem-se τ(ci ∧ cj) · ck =

e(ci, cj, ck) = ei j k , onde a ultima igualdade provem do comentario 1.2.35, sobre propri-

edades dos componentes do tensor e. Mas ei j k = ei j l cl · ck , logo τ(ci ∧ cj) = ei j k ck e,

usando a notacao para vetor associado a tensor antissimetrico 1.2.9, < ci∧cj >= ei j k ck.Obtem-se, de forma analoga, as quatro expressoes

1. < ci ∧ cj >= τ(ci ∧ cj) = ei j k ck = e ki j ck ,

2. < ci ∧ cj >= τ(ci ∧ cj) = ei j k ck = ei kj ck ,

3. < ci ∧ cj >= τ(ci ∧ cj) = e ji k ck = e j k

i ck e

4. < ci ∧ cj >= τ(ci ∧ cj) = ei jk ck = ei j k ck ,

para os 23 = 8 tipos de componentes do tensor de terceira ordem e. Como, de acordocom o comentario 1.2.36, sobre produto externo como base para Skw(V ), tem-se W =

W i jci ∧ cj / 2 se W ∈ Skw(V ), usando a primeira equacao destacada mostra-se que

< W >= ei j kWi jck / 2.

Para uma base ortonormal (conforme a sua definicao 1.2.9) de V , orientada positi-vamente (de acordo com a definicao de classe e base de orientacao positiva 1.2.32), adefinicao de funcao e tensor elemento de volume 1.2.34, junto com as expressoes destaca-das, mostram que τ : e1∧e2 7→ e3 , τ : e2∧e3 7→ e1 e τ : e3∧e1 7→ e2 . Alem disto, para

tal base simplifica-se a expressao < W >= ei j kWi jck / 2. Por exemplo, para o compo-

nente do vetor < W > com k = 1 tem-se < W >1= εi j 1Wi j/2 = (W 2 3 −W 3 2)/2 =

W 2 3 = W2 3 , onde, para a segunda igualdade, usou-se novamente a definicao 1.2.34 .Analogamente, obtem-se < W >2 = W3 1 e < W >3 = W1 2 . Para esta base especial a

forma matricial do tensor antissimetrico W , em termos dos componentes do vetor a eleassociado, e portanto escrita

[Wi j] =

0 < W >3 − < W >2

− < W >3 0 < W >1

< W >2 − < W >1 0

.Definicao 1.2.38 (Produto Vetorial) O produto vetorial de u por v, grafado u×v,e definido por u × v ≡< u ∧ v >, ∀(u,v) ∈ V . Portanto, o vetor produto vetorialde dois vetores e o vetor associado ao produto externo destes vetores. Logo,considerando a notacao para vetor associado a tensor antissimetrico 1.2.9, o vetor produtovetorial e um tipo especial de vetor axial, tipo este que, para o caso de u e v seremvetores de base, ja foi utilizando no comentario 1.2.37, sobre propriedades do vetor axial.Considerando a definicao de produto externo de vetores 1.2.36, percebe-se que a funcao

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× : V 2 → V e bilinear e antissimetrica (o vetor produto vetorial passa a apontar nosentido oposto quando u e v trocam de posicao).

De acordo com o mesmo comentario 1.2.37, tem-se < u ∧ v >= ei j k(u ∧ v)i jck / 2

onde, usando de novo a definicao 1.2.36, (u∧v)i j = (u⊗v)i j−(v⊗u)i j. Mas, de acordo

com o comentario 1.2.10, para o calculo de componentes associados de tensor de segunda

ordem, (u ⊗ v)i j = ci · (u ⊗ v)cj. Logo, considerando a definicao de produto tensorial

de vetores 1.2.12, (u⊗ v)i j = (ci · u)(v · cj). Como u = ukck e v = vkck tem-se, entao,

(u⊗v)i j = uivj, portanto (u∧v)i j = uivj−ujvi, ou < u∧v >= ei j k(uivj−ujvi)ck / 2 =

(ei j kuivj + ej i ku

jvi)ck / 2 = ei j kuivjck, onde na penultima igualdade utilizou-se o fato

de que ej i k = −ei j k , conforme a definicao de funcao e tensor elemento de volume 1.2.34

e, na ultima igualdade, o fato de que i e j sao dois indicadores que podem ser trocados.Como u × v ≡< u ∧ v >, conclui-se que u × v = ei j ku

ivjck. Usando novamentea definicao 1.2.34, agora para o caso especial de uma base ortonormal de V orientadapositivamente, obtem-se u×v = (u2v3− u3v2)e1 + (u3v− u1v3)e2 + (u1v2− u2v1)e3 , quee a definicao elementar de produto vetorial.

Comentario 1.2.38 (Propriedades do Produto Vetorial) Demonstra-se que:

1. < W > ×v = −W (v), onde W e um tensor antissimetrico.

2. (u× v)×w = (u ·w)v− (v ·w)u.

3. |u× v|2 = |u|2|v|2 − |u · v|2.

4. |u× v| = |u||v|senθ(u,v).

Definicao 1.2.39 (Produto Triplo) ∀(u,v,w) ∈ V , o produto triplo de u por v ew, grafado [u,v,w], e definido por [u,v,w] ≡ (u× v) ·w =< u ∧ v > ·w = e(u,v,w),onde usou-se a definicao de produto vetorial 1.2.38 na penultima igualdade e, na ultimaigualdade, a definicao de funcao linear dualidade 1.2.37, junto com a notacao 1.2.9 paravetor associado a tensor antissimetrico. Como, usando novamente a definicao 1.2.38,

u × v = ei j kuivjck, considerando w = wlcl tem-se [u,v,w] = ei j ku

ivjwk. Logo,

e(u,v,w) = ei j kuivjwk, resultado este que pode ser obtido diretamente da definicao

de funcao e tensor elemento de volume 1.2.34. De fato, e(u,v,w) = e(uici, vjcj, w

kck) =∑3i=1

∑3j=1

∑3k=1 u

ivjwke(ci, cj, ck) = ei j kuivjwk , onde a penultima igualdade provem da

trilinearidade de e, conforme a definicao 1.2.10 desta propriedade.

No somatorio multiplo∑3i=1

∑3j=1

∑3k=1 u

ivjwke(ci, cj, ck), sao nulos todos os termos

que contenham vetores de base repetidos. Portanto, o somatorio multiplo simplifica-senum somatorio sobre todas as 3! = 6 permutacoes de c1, c2, c3, ou seja, e(u,v,w) =∑σ u

σ(1)vσ(2)wσ(3)e(cσ(1), cσ(2), cσ(3)). Considerando que, de acordo com a definicao de

funcao n-linear alternante 1.2.23, e(cσ(1), cσ(2), cσ(3)) = (sinal σ)e(c1, c2, c3), tem-se entao

que e(u,v,w) = λe(c1, c2, c3), onde λ =∑σ(sinal σ)uσ(1)vσ(2)wσ(3) (note que esta de-

monstracao e semelhante aquela do teorema 1.2.2, sobre unicidade da proporcao entrefuncoes n-lineares alternantes). Usando novamente a definicao 1.2.34, agora para umabase ortonormal de V orientada positivamente, tanto esta ultima expressao, como a

igualdade e(u,v,w) = ei j kuivjwk produzem e(u,v,w) = u1v2w3 + u2v3w1 + u3v1w2 −

u3v2w1 − u1v3w2 − u2v1w3.

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Comentario 1.2.39 (Determinante, Traco e Produto Triplo) Usando a definicao

de determinante de matriz 1.2.25 e n = 3, tem-se det[M ji ] =

∑σ(sinal σ) M

σ(1)1 M

σ(2)2

Mσ(3)

3 , onde [M ji ] e uma matriz quadrada de tres linhas e tres colunas. Conside-

rando Mσ(i)

1 = uσ(i), Mσ(i)

2 = vσ(i) e Mσ(i)

3 = wσ(i), i = 1, 2, 3, tem-se det[M ji ] =∑

σ(sinal σ)uσ(1)vσ(2)wσ(3) = e(u,v,w)/e(c1, c2, c3), onde a ultima igualdade se deve ao

uso da definicao de produto triplo 1.2.39. Mas, de acordo com o comentario 1.2.26, sobre

a relacao entre determinante de transformacao linear e de matriz, detM = det[M ji ], logo

detM = e(u,v,w)/e(c1, c2, c3). Por outro lado, conforme a definicao de determinante de

transformacao linear 1.2.24, (detM)e(c1, c2, c3) = e(M(c1),M(c2),M(c3)) o que indica

que u = M(c1), v = M(c2) e w = M(c3). Portanto, a definicao 1.2.39 ainda mostraque

detM =e(M(c1),M(c2),M(c3))

e(c1, c2, c3)=

[M(c1),M(c2),M(c3)]

[c1, c2, c3].

Analogamente, demonstra-se que

trM =[M(c1), c2, c3] + [c1,M(c2), c3] + [c1, c2,M(c3)]

[c1, c2, c3].

1.2.13 Teoremas para a Mecanica dos Meios Contınuos

Definicao 1.2.40 (Autovalor e Autovetor) Seja A ∈ V ⊗ V . O escalar λ ∈ < seraum autovalor de A se ∃v ∈ V |v 6= 0, chamado autovetor de A associado ao autovalorλ, tal que A(v) = λv. Note que λ = 0 se e somente se A = 0.

Teorema 1.2.4 (Condicao Nec. e Suf. de Autovalor) Tem-se A(v) = λv, para A∈ V ⊗ V , v ∈ V |v 6= 0 e λ ∈ <, se e somente se det(A− λ1 ) = 0.Demonstracao: A igualdade A(v) = λv pode ser escrita (A − λ1 )(v) = 0. Seja (ci)

ni=1

uma base de V , logo v =∑ni=1 v

ici e vi(A − λ1 )(ci) = 0. Portanto, o conjunto de

vetores ((A−λ1 )(ci))ni=1 e linearmente dependente, de acordo com o item 1 da definicao

de base 1.2.2. Como ((A − λ1 )(ci))ni=1 e linearmente dependente, o comentario 1.2.23,

sobre funcao n-linear alternante e base de espaco vetorial - parte I, afirma que, se w foruma funcao alternante n-linear nao trivial, entao w((A−λ1 )(c1), . . . , (A−λ1 )(cn)) = 0.

Logo, de acordo com a definicao de determinante de transformacao linear 1.2.24, tem-sedet(A − λ1 ) = w((A − λ1 )(c1), . . . , (A − λ1 )(cn)) / w(c1, . . . , cn) = 0. Por outro lado,

seguindo o mesmo raciocınio, mas na sequencia oposta, tem-se que, se det(A− λ1 ) = 0,entao A(v) = λv. 2

Definicao 1.2.41 (Equacao Caracterıstica) Observando a definicao de determinantede matriz 1.2.25 e o comentario 1.2.26, sobre a relacao entre determinante de trans-formacao linear e de matriz, percebe-se que a igualdade det(A − λ1 ) = 0, apresen-tada no teorema da condicao necessaria e suficiente de autovalor 1.2.4, pode ser escrita

(−λ)n + I1(−λ)n−1 + . . . + In−1(−λ) + In = 0. O membro esquerdo desta ultima ex-

pressao e um polinomio de grau n em λ, onde n e a dimensao do espaco vetorial V . Oscoeficientes I1, . . . , In sao funcoes escalares de A denominadas invariantes principais

de A. A ultima igualdade e chamada equacao caracterıstica da transformacao linear

45

A ∈ V ⊗ V . Em geral, a equacao caracterıstica de A pode nao apresentar raızes reais.

Porem , se ela apresentar raızes reais, estas ultimas serao os autovalores de A.

Teorema 1.2.5 (Cayley-Hamilton: tensor satisfaz sua eq. caract.) O teoremade Cayley-Hamilton, cuja demonstracao e omitida, mostra que A satisfaz a sua propria

equacao caracterıstica, ou seja, (−A)n + I1(−A)n−1 + . . . + In−1(−A) + In1 = 0, sendo

A2 = A A, A3 = A (A A), A4 = A (A (A A)). . . , onde usou-se a definicao decomposicao de tensores de segunda ordem 1.2.19.

Comentario 1.2.40 (Eqs. Caract. de Tensores de Dimensao 2 e 3) Prova-seque, para dimV = 2 (conforme a definicao de dimensao de espaco vetorial real 1.2.4)e A ∈ V ⊗ V , a equacao caracterıstica de A, de acordo com a sua definicao 1.2.41, e

λ2−(trA)λ+detA = 0. Para dimV = 3 e A ∈ Inv(V ) (notacao para subespaco invertıvel

1.2.7), a equacao caracterıstica de A e −λ3 + (trA)λ2 − (tr(A−1) detA)λ + detA = 0,

sendo costumeiro o uso dos sımbolos IA = trA, IIA = tr(A−1) detA e IIIA = detA.

Comentario 1.2.41 (Relacao entre A e 1 + A) Para dimV = 3, A ∈ V ⊗ V e B =1 + A, demonstra-se que IB = 3 + IA , IIB = 3 + 2IA + IIA e IIIB = 1 + IA + IIA +

IIIA , onde foram utilizados os sımbolos apresentados no fim do comentario 1.2.40, sobreequacoes caracterısticas de tensores de dimensao 2 e 3. Isto indica que:

1. trB = 3 + trA ,

2. tr(B−1) detB = 3 + 2trA+ tr(A−1) detA e

3. detB = 1 + trA+ (1 + tr(A−1)) detA .

Se A ≈ 0 entao detA << trA, logo tr(B−1) detB ≈ 3 + 2trA e detB ≈ 1 + trA .

Teorema 1.2.6 (Espectral: autovalores de tensor simetrico) O teorema espec-tral, cuja demonstracao e omitida, mostra que, se S ∈ Sym(V ) (notacao para subespacos

simetrico e antissimetrico 1.2.5), existira uma especıfica base ortonormal (ej)nj=1 , do

espaco vetorial n-dimensional V , tal que S possa ser escrito sob a forma S =∑nj=1 λj ej⊗

ej | ∀j ∈ (j)nj=1∃λj ∈ < . Esta igualdade mostra que sao nulos todos os componentesSi j associados aos elementos com i 6= j da base (ei ⊗ ej), enquanto que Sj j = λj. Tal

base especial (ej)nj=1 de V e unica, sendo denominada base principal de S. Tem-se

S(ei) =∑nj=1 λj(ej ⊗ ej)(ei) =

∑nj=1 δi jλj ej = λi ei .

Logo, considerando a definicao de autovalor e autovetor 1.2.40, os reais λj sao nautovalores de S, nenhum deles nulo se S 6= 0, cada um deles associado a um dos nautovetores ej (cada autovalor se associa ao aotovetor de mesmo ındice). Como existemn autovalores λj , todas as raızes da equacao caracterıstica de um tensor simetrico S, deacordo com definicao 1.2.41 desta equacao, sao reais. Mas tais raızes podem ser, ou nao,distintas entre si. Portanto, considera-se que ındices de λ numericamente distintos tantopossam corresponder ao mesmo autovalor, como a autovalores diferentes entre si.

Comentario 1.2.42 (Diagonalizacao) De acordo com o teorema espectral 1.2.6, refe-rente aos autovalores do tensor S ∈ Sym(V ), a matriz dos componentes de S associadosa base (ei ⊗ ej) e uma matriz diagonal [λj] , cujos elementos λj (o ındice j indica a

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linha e a coluna) sao n = dimV autovalores de S, o que indica que todas as raızes daequacao caracterıstica sao reais. Pode-se, ainda, construir uma matriz quadrada [ei j] ,tambem com n linhas e colunas, justapondo os autovetores associados aos autovaloresmencionados. Nesta construcao, o autovetor ej corresponde a j-esima coluna de [ei j] ,enquanto que a linha i desta matriz contem os componentes, associados ao i-esimo vetor

de uma base arbitrariamente considerada de V , (ci)ni=1 , de todos os n autovetores. A

representacao matricial do tensor S, na base (ck ⊗ ci), e a matriz [Sk i].

A igualdade S(ei) = λi ei pode, entao, ser escrita em termos matriciais, por meio

da expressao [Sk i] [ei j] = [ei j][λj]. Como (ej)nj=1 e uma base ortonormal de V , tem-

se [ei j] [ei j]T = [1], ou [ei j]

−1 = [ei j]T , logo, de acordo com a definicao de matrizes

transposta e inversa 1.1.4, a matriz [ei j] e ortogonal. De acordo com o comentario 1.2.33,

sobre propriedades de tensor ortogonal, tem-se det[Sk i] = det[λj] e tr[Sk i] = tr[λj].

Definicao 1.2.42 (Espaco Caracterıstico) Seja λ um autovalor de T ∈ V ⊗ V . De-nomina-se espaco caracterıstico de T associado a λ ao conjunto de autovetores Vλ =v ∈ V |Tv = λv.

Comentario 1.2.43 (Componente Vetorial em Relacao a Tensor Simetr.) Deacordo com o teorema espectral 1.2.6, referente aos autovalores do tensor S ∈ Sym(V ),a especıfica base ortonormal (ej)

nj=1 do espaco vetorial n-dimensional V , tal que S =∑n

j=1 λj ej ⊗ ej e, tambem, o conjunto dos n autovetores de S. Ao inves de continuar

considerando que distintos ındices de λ tanto possam corresponder ao mesmo autovalor,como a autovalores diferentes entre si, a partir deste ponto do texto passa-se a utilizarλ, µ, . . . para indicar autovalores numericamente diferentes, enquanto que ındices em λ,µ, . . . distinguem diferentes autovetores correspondentes ao mesmo autovalor. Entao, de

acordo com a definicao de espaco caracterıstico 1.2.42, (eλi)dλi=1 e uma base de Vλ , onde

dλ = dimVλ e denominado degeneracao do autovalor λ.Sejam λ e µ dois autovalores distintos de S. Sejam v ∈ Vλ e u ∈ Vµ . Demonstra-se

facilmente que v · u = 0, ou seja, que v e u sao mutuamente ortogonais. De acordo como mesmo teorema 1.2.6, se v ∈ V entao v =

∑λ vλ , onde vλ ∈ Vλ , estendendo-se a soma

sobre todos os espacos caracterısticos de S e, em cada espaco caracterıstico, envolvendo

um unico vetor vλ . Evidentemente, cada vetor vλ pode ser expresso em termos dos seus

componentes, associados a correspondente base (eλi)dλi=1 . Portanto, todo vetor v ∈ V e

formado por componentes ortogonais entre si, cada componente correspondendo a umdos autovalores distintos de um arbitrario S ∈ Sym(V ).

Teorema 1.2.7 (Comutacao de Composicao de Tensores) Seja T ∈ V ⊗ V e, deacordo com a notacao para subespacos simetrico e antissimetrico 1.2.5, S ∈ Sym(V ).Ter-se-a ST = TS se e somente se T preservar os espacos caracterısticos de S, ou seja,se a aplicacao de T a todos os vetores pertencentes a cada espaco caracterıstico de Sreproduzir respectivamente o mesmo espaco caracterıstico de S.Demonstracao: Suponha que S e T comutem e que Svλ = λvλ. Neste caso, S(Tvλ) =T (Svλ) = λ(Tvλ). Portanto, de acordo com a definicao de espaco caracterıstico 1.2.42,(vλ, Tvλ) ∈ Vλ , ou seja, se S e T comutam o espaco caracterıstico e preservado. Poroutro lado, se (vλ, Tvλ) ∈ Vλ , entao S(Tvλ) = λ(Tvλ) = T (λvλ) = T (Svλ) , logo∑λ S(Tvλ) =

∑λ T (Svλ) . Mas a definicao de composicao de tensores de segunda ordem

47

1.2.19 mostra que∑λ S(Tvλ) = S(T

∑λ vλ) e

∑λ T (Svλ) = T (S

∑λ vλ). Como, de

acordo com o comentario 1.2.43, sobre componente vetorial em relacao a tensor simetrico,tem-se v =

∑λ vλ, pode-se escrever S(Tv) = T (Sv). Logo, se o espaco caracterıstico e

preservado, entao S e T comutam. 2

Comentario 1.2.44 (Comutacao de Tensores Simetrico e Ortogonal) Prova-seque, de acordo com a definicao de tensor ortogonal de segunda ordem 1.2.30, existe apenasum subespaco de V que e preservado por toda e qualquer transformacao ortogonal, sendotal subespaco o proprio espaco V . Portanto, considerando o teorema sobre comutacaode composicao de tensores 1.2.7 e utilizando as notacoes para subespacos simetrico eantissimetrico e para grupos especiais, respectivamente 1.2.5 e 1.2.8, tem-se que S ∈Sym(V ) comutara com toda e qualquer transformacao ortogonal Q ∈ O (V ) se e somentese S apresentar um unico espaco caracterıstico, o qual sera proprio espaco n-dimensionalV , ou seja, se e somente se todos os n autovalores de S forem iguais entre si. Utilizando ocomentario 1.2.42, sobre diagonalizacao, percebe-se que, para que todos os n autovaloressejam iguais entre si, e necessario e suficiente que S = λ1 , onde λ ∈ <. Mas a definicaoda transformacao tensorial identidade 1.2.16 mostra que 1 comuta com qualquer tensorde segunda ordem.

Definicao 1.2.43 (Tensor de Definicao Positiva, Negativa e Semi-Definicao)Ate ao momento foram mencionadas apenas funcoes de definicao positiva, conformemostrado na definicao de produto interno de vetores 1.2.5. Um tensor de segunda ordemT ∈ V ⊗V sera de definicao positiva, ou de semi-definicao positiva, respectivamentese, ∀v ∈ V |v 6= 0, ocorrer que v · Tv > 0 ou v · Tv ≥ 0. Analogamente, T sera de de-finicao negativa, ou de semi-definicao negativa, respectivamente se, ∀v ∈ V |v 6= 0,ocorrer que v · Tv < 0 ou v · Tv ≤ 0.

Teorema 1.2.8 (Tensor Simetrico de Definicao Positiva ou Negativa) Um ten-sor simetrico sera de definicao positiva ou negativa, de acordo com a definicao 1.2.43destas caracterısticas tensoriais, se e somente se todos os seus autovalores forem, respec-tivamente, positivos ou negativos.Demonstracao: O teorema espectral 1.2.6, sobre autovalores de tensor simetrico, mostraque ∀v ∈ V |v 6= 0, tem-se v · Sv = vivjei · Sej = vivjλjei · ej = vivjλjδi j = (vi)2λi . 2

Comentario 1.2.45 (Determinante de Tens. Sim. de Def. Pos. ou Neg.) Se-ja, de acordo com sua definicao 1.2.43, um tensor simetrico de definicao positiva ou

negativa S e seja [Si j] a representacao matricial deste tensor. De acordo com o comentario

sobre diagonalizacao 1.2.42, det[Si j] = det[λj]. Mas, de acordo com o teorema sobre

tensor simetrico de definicao positiva ou negativa 1.2.8 e com a definicao de determinante

de matriz 1.2.25, tem-se respectivamente det[Si j] > 0 ou det[Si j] < 0 logo, considerando

a definicao de tensor inverso de segunda ordem 1.2.29, S e nao singular. Entretanto, ofato de S ser nao singular nao exige que S seja de definicao positiva ou negativa.

Teorema 1.2.9 (Quadrado de Tens. Sim. de Def. Pos. ou Neg.) Para todo ten-sor simetrico de definicao positiva S, existe um unico tensor simetrico de definicao positivaS+ e um unico tensor simetrico de definicao negativa S− tais que (S+)2 = (S−)2 = S.Os autovalores de S+ sao, respectivamente, as raızes quadradas positivas dos autovaloresde S associados aos mesmos autovetores. Os autovalores de S− sao, respectivamente,

48

as raızes quadradas negativas dos autovalores de S associados aos mesmos autovetores.Como, de acordo com o teorema espectral 1.2.6, sobre autovalores de tensor simetrico,

S =∑ni=1 λi ei ⊗ ei , tem-se S+ =

∑ni=1

√λi ei ⊗ ei e S− =

∑ni=1−

√λi ei ⊗ ei .

Demonstracao: De acordo com o teorema sobre tensor simetrico de definicao positivaou negativa 1.2.8, Sej = λjej | ∀j, λj > 0. Impondo (S ′)2 = S, tem-se (S ′)2ej = λjej .

Se e somente se S ′ej = ±√λj ej ter-se-a S ′(S ′ej) = ±

√λj S

′ej , ou (S ′)2ej = λjej .

Evidentemente, de acordo com o mesmo teorema 1.2.8, existe um unico S ′ de definicaopositiva, S+ e um unico S ′ de definicao negativa, S−. 2

Notacao 1.2.10 (Tensor Raiz Quadrada) O tensor simetrico de definicao positivaS+ apresentado no teorema 1.2.9, sobre quadrado de tensor simetrico de definicao posi-tiva ou negativa, costuma ser representado por

√S = S+ e denominado tensor raiz

quadrada de S.

Teorema 1.2.10 (Decomposicao Polar) ∀F ∈ Inv(V ) (ver notacao para subespacoinvertıvel 1.2.7):

1. ∃ (V, U) ∈ Sym(V ) (ver notacao para subespacos simetrico e antissimetrico 1.2.5),sendo ambos V e U de definicao positiva (conforme a definicao de tensor de definicaopositiva, negativa e semi-definicao 1.2.43) e

2. ∃Q ∈ O(V ) (ver notacao para grupos especiais 1.2.8),

tais que F = QV = UQ. Alem disto, as transformacoes V , Q e U sao unicamente

determinadas, respectivamente por V =√F TF , Q = FV −1 e U = QVQT =

√FF T

(ou as transformacoes U , Q e V sao unicamente determinadas, respectivamente por

U =√FF T , Q = U−1F e V = QTUQ =

√F TF ).

Demonstracao: De acordo com a definicao de transformacao linear transposta 1.2.17,

∀(v,u) ∈ V , v · F TFu = Fu · Fv = Fv · Fu = u · F TFv. Porem, v · F TFu =

u · (F TF )Tv, logo (F TF )T = F TF , portanto F TF ∈ Sym(V ). Alem disto, para v 6= 0

tem-se v·F TFv = Fv·Fv > 0, porque e impossıvel ter Fv = 0, uma vez que F ∈ Inv(V ).

Logo, de acordo com a definicao 1.2.43, F TF e uma transformacao linear de definicao

positiva. Analogamente, FF T ∈ Sym(V ) e FF T e uma transformacao linear de definicao

positiva. Defina-se V =√F TF . De acordo com a notacao para tensor raiz quadrada

1.2.10, V sera simetrica de definicao positiva e, de acordo com o comentario 1.2.45, sobredeterminante de tensor simetrico de definicao positiva ou negativa, V sera nao singular.

Pode-se, entao, definir Q = FV −1 e U = QV QT .De acordo com o comentario 1.2.19, sobre transposicao de composicao, tem-se QQT =

FV −1(FV −1)T = FV −1V −TF T . Como V = V T implica em V −1 = V −T quando V for

nao singular, tem-se entao QQT = FV −2F T = F (F TF )−1F T = FF−1F−TF T , tendo

sido, na ultima igualdade, usado o primeiro item do comentario 1.2.32. Portanto QQT =

1 , logo Q ∈ O(V ). Tem-se, tambem, U2 = QVQT (QV QT ) = QV (V QT ). Porem,

V QT = (QV T )T = (QV )T e F = QV , logo U2 = QV (QV )T = FF T . Como FF T e umtensor simetrico de definicao positiva, de acordo com o teorema 1.2.9, sobre quadrado de

tensor simetrico de definicao positiva ou negativa, existe um tensor ((FF T )′)2 = FF T .

Mas, embora impor U = QV QT seja suficiente para garantir que U2 = FF T , impor

U2 = FF T nao e suficiente para garantir que U = QVQT , ou seja, esta ultima igualdade e

49

mais restritiva. De fato, de acordo com o comentario 1.2.33, sobre propriedades de tensorortogonal, a ultima igualdade exige que detU = detV e trU = trV . Esta exigencia

implica na restricao (FF T )′ =√FF T , ou seja, como V e simetrico de definicao positiva,

necessariamente U tambem e simetrico de definicao positiva, logo U =√FF T . 2

Comentario 1.2.46 (Decomposicao Cartesiana) ∀T ∈ V ⊗ V , ∃A ∈ Sym(V ) e∃B ∈ Skw(V ) (notacao para subsepacos simetrico e antissimetrico 1.2.5) tais que T =A + B, sendo as transformacoes A e B unicamente determinadas, respectivamente por

A = (T + T T )/2 e B = (T − T T )/2. Note que, de acordo com a definicao de tensoressimetrico e antissimetrico 1.2.18, estas duas ultimas igualdades tornam evidente queA ∈ Sym(V ) e B ∈ Skw(V ).

1.2.14 Espaco Euclideano de Pontos

Definicao 1.2.44 (Espaco Euclideano de Pontos) Seja E ′ um conjunto de pontosno espaco <n e seja V um espaco vetorial euclideano, de acordo com sua definicao 1.2.6.Considerando a definicao de dimensao 1.2.4, seja n a dimensao de V . Se, ∀(x, y) ∈E ′ ∃ v ∈ V tal que

1. v seja unico, grafado v = y − x e chamado vetor diferenca entre y e x,

2. ∀x ∈ E ′, x− x = 0 ∈ V ,

3. ∀x ∈ E ′ e ∀v ∈ V , ∃ y ∈ E ′, unico e tal que v = y − x, ou y = x+ v e

4. ∀(x, y, z) ∈ E ′, (x− y) + (y − z) = (x− z),

entao E ′ sera grafado E e denominado espaco euclideano de pontos de dimensao n,enquanto que V sera chamado espaco de translacao de E . Define-se a funcao distan-

cia entre dois pontos (x, y) ∈ E por d(x, y) = |v| =√

(x− y) · (x− y). A definicao de

espaco vetorial real 1.2.1 indica que tal espaco contem infinitos vetores e e contınuo. Porcausa da condicao 3 da presente definicao, isto por sua vez implica em continuidade emespaco euclideano de pontos, ou seja, implica em que o espaco euclideano de pontosseja o espaco <n, provido das anteriores quatro condicoes e da definicao de distanciaentre dois pontos.

A mesma condicao 3 mostra, tambem, que dados um ponto x e um vetor v, o pontoy esta bem definido, mas o mesmo ponto y pode corresponder a diversos pares (x,v). Demodo analogo, dados os pontos x e y, o vetor v esta bem definido, mas o mesmo vetor vpode corresponder a diversos pares (x, y). Note que, quando n = 1, ter-se-a E = V = <e a funcao distancia sera o modulo da diferenca entre dois reais, d(x, y) = |x− y|.

Definicao 1.2.45 (Espaco Tangente) Seja E ′x = vx = (x,v)|v = y − x, ∀y ∈ E,logo seja vx o vetor diferenca entre um ponto fixo x ∈ E e um ponto qualquer y ∈ Ee seja E ′x o conjunto de todos os vetores diferenca entre y e x, ∀y ∈ E . Considerandoo item 2 da definicao de espaco euclideano de pontos 1.2.44 percebe-se que E ′x contemexatamente os mesmos vetores que V , mas:

1. com a restricao de serem considerados vetores diferenca para um ponto fixo x;

50

2. sem que tenham sido definidas as operacoes de adicao e multiplicacao por escalar,as quais, de acordo com a definicao de espaco vetorial real 1.2.1, caracterizam taisespacos.

Entretanto, tais operacoes estao definidas em V . Por isto, para defini-las em E ′x basta

impor que vx+ux = (v+u)x e αvx = (αv)x . Efetuando esta imposicao E ′x sera grafado

Ex e denominado espaco tangente de E em x.

Os espacos Ex e V sao ditos isomorficos, o que e representado por Ex ∼= V e significa

que um e a copia do outro. A funcao ix : V → Ex , chamada funcao paralelismoeuclideano , estabelece uma correspondencia de um para um, conforme apresentado na

definicao de funcao e funcional 1.1.1, entre V e Ex . A composicao de funcoes, tambemapresentada na mencionada definicao 1.1.1, τx, y = iy i−1

x : Ex → Ey , que transforma

vx = (x,v) 7→ vy = (y,v), e denominada funcao translacao paralela dos vetores em

Ex para os vetores em Ey . Portanto, vx = (x,v) ∈ Ex e uy = (y,u) ∈ Ey sao o mesmo

vetor se e somente se v = u. Desta forma, vetores em diferentes espacos tangentes podemser somados como se estivessem no mesmo espaco vetorial.

1.3 Calculo Tensorial

1.3.1 Diferenciacao

Definicao 1.3.1 (Subconjunto Aberto) Um subconjunto sera aberto quando os ele-mentos que o constituırem, embora possam situar-se tao proximo quanto o desejado deelementos nao pertencentes ao subconjunto considerado, jamais alcancarem tais elemen-tos estranhos ao subconjunto. Um intervalo aberto e um subconjunto escalar, orde-

nado, contınuo e aberto, representado por (a, b) ⊂ < (lembre que < e contınuo, conforme

afirmado na definicao de espaco vetorial real 1.2.1, alem de ser escalar e ordenado), o queindica que a e b sao respectivamente cotas inferior maxima e superior mınima nao perten-

centes ao subconjunto. Se a cota a, b, ou ambas, pertencerem ao subconjunto, usar-se-a

respectivamente a representacao [a, b) ⊂ <, (a, b] ⊂ <, ou [a, b] ⊂ <, que respectivamente

correspondem a um intervalo fechado abaixo, fechado acima, ou fechado abaixo eacima.

Definicao 1.3.2 (Derivada Escalar em Escalar) Considerando a definicao de sub-conjunto aberto 1.3.1, seja f : (a, b) → < uma funcao aplicavel a qualquer escalart ∈ (a, b) ⊂ <, cuja imagem tambem seja um escalar. Se, ∀(t + h) ∈ (a, b) ⊂ <, existiro limite indicado na expressao a seguir, a derivada de f no valor t do seu argumentosera, por definicao,

f(t) =df

dt= lim

h→0

1

h(f(t+ h)− f(t)), ou lim

h→0

1

h(f(t+ h)− f(t)− hf(t)) = 0,

onde f(t) ∈ <, logo f : (a, b) → <. De acordo com a segunda entre as duas equacoesconjuntamente destacadas, definindo a correcao o(h) de modo a que

o(h) = f(t+ h)− f(t)− hf(t), tem-se limh→0

1

ho(h) = 0, logo lim

|h|→0

1

|h||o(h)| = 0,

51

conforme sera mostrado na definicao 1.3.3, de derivada vetorial, tensorial ou de pontos,em escalar.

Tradicionalmente, df = f(t)dt e o diferencial de f . Se dt for um acrescimo arbitrarioem t, restrito apenas pela condicao de que (t, t + dt) ∈ (a, b) ⊂ < ou seja, se dt nao

necessariamente for um acrescimo infinitesimal (conforme, por exemplo, a definicao dediferencial fornecida por Tom M. Apostol, Calculus, Vol. I, Wiley, 2a. ed., New York,1967), entao hf(t) sera o diferencial de f . Porem, diversos livros didaticos de calculoexigem que diferenciais sejam infinitesimais. Por isto, evitam-se equıvocos nao chamando

hf(t) (onde a nao exigencia de que h seja infinitesimal e colocada ja como hipotese) de

diferencial. Pelo contrario, hf(t) e denominado derivada direcional de f no escalar t,para o escalar h.

Definicao 1.3.3 (Derivada Vetorial, Tensorial ou de Pontos, em Escalar) Adefinicao de derivada escalar de escalar 1.3.2 pode ser estendida para funcoes cujos ar-gumentos continuem pertencendo a (a, b) ⊂ < (definicao de subconjunto aberto 1.3.1),mas cujas imagens sejam tensores de ordem superior a zero. Para isto, seja W um espaconormatizado, o que significa que o espaco W dispoe ou de uma norma, ou de umafuncao distancia (os conceitos de limite e convergencia so fazem sentido num espaco parao qual seja definida uma norma, ou uma funcao distancia) e seja f : (a, b) → W umafuncao aplicavel a um escalar, que varie dentro de (a, b) ⊂ <, funcao esta cuja imagempertenca a W . Neste texto, sao considerados somente os seguintes espacos W :

(a) W = <, que e um caso especial de W = V e de W = E , cuja norma e funcaodistancia e |u| = d(x, y) = |x − y| (derivada escalar de escalar, ja apresentada emsua definicao 1.3.2), ou

(b) W = V , cuja norma, de acordo com a definicao de espaco vetorial euclideano 1.2.6,

e |u| =√

u · u (derivada vetorial de escalar), ou

(c) W = V ⊗ V , sendo V ⊗ V um espaco de produto tensorial, de acordo com a sua de-finicao 1.2.13, cuja norma, considerando a definicao de norma de tensor de segunda

ordem 1.2.28, e |A| =√

trAAT (derivada tensorial de escalar), ou

(d) W = E , cuja funcao distancia, de acordo com a definicao de espaco euclideano de

pontos 1.2.44, e d(x, y) =√

(x− y) · (x− y) (derivada de pontos, de escalar).

Se, ∀(t+ h) ∈ (a, b) ⊂ <, existir o limite indicado na expressao a seguir, a derivada def no valor t do seu argumento sera, por definicao,

f(t) =df

dt= lim

h→0

1

h(f(t+ h)− f(t)) ,

onde f(t) ∈ W1 , sendo W1 = V (V e o espaco de translacao de E) quando W = E (item(d)) e W1 = W nos tres primeiros casos. A ultima equacao destacada pode ser escrita

limh→0

1

h(f(t+ h)− f(t)− hf(t)) = 0 , logo lim

|h|→0

1

|h||f(t+ h)− f(t)− hf(t)| = 0 ,

porque:

52

(a) quando W = <, f(t + h) − f(t) − hf(t) = x = 0 exige |x| = 0 e v.v. (portanto, na

mencionada definicao 1.3.2, a condicao limh→01h

(f(t + h) − f(t) − hf(t)) = 0 e

satisfeita se e somente se lim|h|→01|h| |f(t+ h)− f(t)− hf(t)| = 0),

(b) quando W = V , f(t+ h)− f(t)− hf(t) = u = 0 exige |u| = 0 e v.v.,

(c) quando W = V ⊗ V , f(t+ h)− f(t)− hf(t) = A = 0 exige |A| = 0 e v.v.,

(d) quando W = E , sendo f(t + h) − f(t) = u e hf(t) = v, f(t + h) − f(t) − hf(t) =u− v = w = 0 exige |w| = 0 e v.v..

Pode-se definir a transformacao linear Df(t) : < → W (definicao 1.2.6 de trans-formacao n-linear), cuja forma depende de t ∈ (a, b), por meio da igualdade

Df(t)[h] = hf(t) ,

onde o produto hf(t) deixa evidente a linearidade da transformacao aplicada a h. Logo,

de acordo com a notacao para aplicacao de tensor a tensor 1.2.6, Df(t) e um tensor que,se for aplicado ao tensor h, produzira como resultado o mencionado produto. Como h eum escalar, considerando o item 1 da mencionada notacao 1.2.6 conclui-se que Df(t)[h] =

hDf(t), logo Df(t) = f(t). Porem, embora Df(t) e f(t) sejam o mesmo tensor, enquanto

que hf(t) representa o escalar h multiplicando um tensor que e a imagem do argumento t

atraves da funcao f , Df(t)[h] representa a funcao (transformacao) Df(t), cuja formadepende de t, aplicada ao argumento h. Portanto, o principal significado da ultima

igualdade destacada e alterar o argumento ao qual a funcao e aplicada (evidentemente,

no caso da citada definicao 1.3.2 pode-se definir Df(t)[h] = hf(t)).Tem-se, entao,

lim|h|→0

1

|h||f(t+ h)− f(t)−Df(t)[h]| = 0 .

A equacao destacada no inıcio desta definicao tem exatamente a mesma abrangencia destaultima igualdade, sendo uma consequencia da outra. Mas, ao contrario da expressao ini-cial, esta ultima esta escrita de modo tal que a definicao de derivada, adequada parafuncoes f : (a, b) → W , possa ser facilmente estendida para funcoes f : D → W , ondeD e um subconjunto aberto, de acordo com a ja mencionada definicao 1.3.1, conjuntoeste que nao se restringe exclusivamente ao intervalo (a, b) ⊂ < . Logo, assim como a

igualdade apresentada na definicao de derivada escalar de escalar 1.3.2 e uma particu-larizacao daquela destacada no inıcio da presente definicao, a ultima equacao destacadae uma particularizacao de expressoes mais gerais, que serao apresentadas nas definicoesde gradiente de campo real, vetorial, tensorial ou de pontos 1.3.5 e gradiente escalar,vetorial, tensorial ou de pontos, em vetor ou tensor 1.3.6.

Note que, enquanto f : (a, b) → W , como h ∈ < tem-se Df(t) : < → W1 , onde

W1 = W se W 6= E e W1 = V se W = E . Logo, de acordo com a definicao de espaco

de transformacao linear 1.2.4 e considerando uma extensao da definicao de espaco de

produto tensorial 1.2.13, Df(t) ∈ L(<,W1) = W1 ⊗<. Semelhantemente ao colocado na

mencionada definicao 1.3.2, Df(t)[h] = hf(t) e a derivada direcional de f no escalar

t, para o escalar h. Ainda em analogia ao apresentado na definicao 1.3.2, mas agora de

acordo com a ultima equacao aqui destacada, definindo a correcao o(h) de modo a que

53

f(t+ h)− f(t) = Df(t)[h] + o(h), tem-se lim|h|→01|h| | o(h)| = 0.

Definicao 1.3.4 (Campo) Seja D ⊂ E|D e aberto (definicao de subconjunto aberto1.3.1) e seja f : D → W . Tais funcoes f sao denominadas campos. Se, conformeafirmado na definicao de derivada vetorial, tensorial ou de pontos, de escalar 1.3.3 eutilizando a definicao 1.2.45 de espaco tangente Ex ,

1. W = <, entao a funcao f : x ∈ D 7→ f(x) ∈ < e um campo escalar aplicado a D;

2. W = Ex ∼= V , entao a funcao f : x ∈ D 7→ f(x) ∈ Ex e um campo vetorialaplicado a D;

3. W = Ex ⊗ Ex ∼= V ⊗ V , entao a funcao f : x ∈ D 7→ f(x) ∈ Ex ⊗ Ex e um campotensorial de segunda ordem aplicado a D;

4. W = E , entao a funcao f : x ∈ D 7→ f(x) ∈ E e um campo de pontos aplicado aD, ou uma deformacao de D.

Definicao 1.3.5 (Gradiente de Campo Esc., Vet., Tens. ou de Pontos) Seja ocampo f : D → W , de acordo com sua definicao 1.3.4. A funcao f : D → W e ditadiferenciavel em x ∈ D ⊂ E|D e aberto (definicao de subconjunto aberto 1.3.1), seexistir uma transformacao linear Df(x) : V → W1 , logo, de acordo com a definicao deespaco de transformacao linear 1.2.4 e considerando uma extensao da definicao de espacode produto tensorial 1.2.13, Df(x) ∈ L(V,W1) = W1 ⊗ V , onde

V e o espaco de translacao do espaco euclideano de pontos E ,

W = <, ou W = Ex ∼= V , ou W = Ex ⊗ Ex ∼= V ⊗ V , ou W = E e

W1 = W se W 6= E e W1 = V se W = E ,

tal que, ∀v = y − x|(x, y) ∈ D, logo v ∈ V ,

lim|v|→0

1

|v|| f(x+ v)− f(x)−Df(x)[v]| = 0 .

Esta igualdade pode ser obtida substituindo t por x e h por v na ultima equacaodestacada na definicao 1.3.3, de derivada vetorial, tensorial ou de pontos, de escalar. Atranformacao linear Df(x) ∈ L(V,W1) = W1 ⊗ V , definida de modo unico pela ultimaexpressao destacada, transforma v num elemento do espaco W1. Ela e chamada gradi-ente de f em x e e grafada grad f (x), ou ∇f (x), ou ∇xf (esta e a simbologia utilizadaneste texto). A transformacao linear ∇xf e:

Um tensor de primeira ordem u quando W = < (a funcao f : x ∈ D 7→ f(x) ∈ < eum campo escalar), portanto neste caso ∇xf[v] = u[v] = u · v (item 2 da notacao1.2.6, para aplicacao de tensor a tensor).

Um tensor de segunda ordem A quando W = Ex (a funcao f : x ∈ D 7→ f(x) ∈ Ex e

um campo vetorial), portanto neste caso ∇xf[v] = A[v] = A(v) (item 3 da notacao

1.2.6, para aplicacao de tensor a tensor, com k = 2).

54

Um tensor de terceira ordem T quando W = Ex ⊗ Ex (a funcao f : x ∈ D 7→ f(x) ∈Ex ⊗ Ex e um campo tensorial de segunda ordem), portanto neste caso ∇xf[v] =

T [v] = T (v) (item 3 da notacao 1.2.6, para aplicacao de tensor a tensor, comk = 3).

Um tensor de segunda ordem A quando W = E (a funcao f : x ∈ D 7→ f(x) ∈ E euma deformacao), portanto neste caso ∇xf[v] = A[v] = A(v) (item 3 da notacao

1.2.6, para aplicacao de tensor a tensor, com k = 2).

Em analogia ao apresentado na mencionada definicao 1.3.3, mas agora de acordo coma equacao aqui destacada, definindo a correcao o(v) de modo a que f(x + v) − f(x) =

∇xf [v] + o(v), tem-se lim|v|→01|v| | o(v)| = 0.

Sendo h ∈ <, fazendo hv′ = v, grafando v por v′ e substituindo v por hv na primeiraequacao destacada, tem-se

lim|hv|→0

1

|hv|| f(x+ hv)− f(x)−∇xf [hv]| = 0.

Supondo v fixo e nao nulo, o real h sera a unica variavel desta equacao, uma vez que xe um parametro. Considerando a linearidade da transformacao ∇xf, esta equacao pode,entao, ser escrita

lim|h|→0

1

|h|| f(x+ hv)− f(x)− h∇xf [v]| = 0.

Esta, conforme colocado na definicao 1.3.3, de derivada vetorial, tensorial ou de pontos,

de escalar, sera satisfeita se e somente se limh→01h

(f(x+ hv)− f(x)− h∇xf [v]) = 0, logo

∇xf [v] = limh→0

1

h(f(x+ hv)− f(x)).

Sendo t ∈ <, fazendo x′ + tv = x, grafando x por x′ e substituindo x por x + tv naequacao anterior, tem-se ∇x+tv f [v] = limh→0

1h

(f(x+ (t+ h)v)− f(x+ tv)), ou

∇xf [v] = limh→0

1

h(f(x+ (t+ h)v)− f(x+ tv))

∣∣∣∣t=0

.

A diferenca entre as duas ultimas equacoes destacadas reside no fato de que, naprimeira, antes foi imposto t = 0 e, em seguida, foi efetuado o limite, enquanto que agrafia da segunda indica que antes foi efetuado o limite e, posteriormente, foi impostot = 0. Como a ordem conforme a qual estas duas operacoes sao efetuadas nao afeta oresultado final, o primeiro membro de ambas e o mesmo. A forma da ultima expressaodestacada e decorrente do fato de v e x terem sido supostos parametros, logo esta condicaonao pode ser alterada. Mas nada impede que t seja considerada a variavel do seu membrodireito, ao inves de h. Alias, isto e equivalente a procedimento adotado na mencionadadefinicao 1.3.3, mas em sentido oposto.

Neste caso, f(x+ tv) e uma funcao do argumento t, f(x+(t+h)v) e a mesma funcao,agora aplicada ao argumento t acrescido de h e, de acordo com a primeira igualdade

destacada na citada definicao 1.3.3, limh→01h

(f(x+ (t+ h)v)− f(x+ tv)) = ddt

f(x+ tv),

ou

∇xf [v] =d

dtf(x+ tv)

∣∣∣∣∣t=0

.

55

Logo, a aplicacao da transformacao linear gradiente de f em x, ∇xf, ao vetor v, represen-

tada por ∇xf [v], produz o valor da derivada ddt

f : (a, b) → W , para t = 0, da funcao f de

argumento escalar x + tv, onde x e v sao constantes (se x e v nao fossem constantes, oargumento seria um ponto do espaco euclideano de pontos, ao inves de um escalar). Talvalor e a derivada direcional de f no ponto x, para o vetor v. Note que, neste caso,a denominacao derivada direcional e, sob aspecto geometrico, especialmente apropriada.Para casos analogos, como os que foram e serao apresentados, esta denominacao e, porextensao, mantida.

Definicao 1.3.6 (Grad. Esc., Vet., Ten. ou de Pontos, em Vet. ou Ten.) A ul-tima equacao destacada na definicao 1.3.3, de derivada vetorial, tensorial ou de pontos,de escalar, permite outras generalizacoes alem daquela referente a definicao de campo1.3.4, onde f : D → W , sendo D ⊂ E|D e aberto (definicao de subconjunto aberto1.3.1), o que conduz ao conceito de gradiente de campo escalar, vetorial, tensorial oude pontos, apresentado na sua definicao 1.3.5. De fato, sejam W1 e W2 dois espacosnormatizados, escolhidos entre aqueles listados de (a) a (d) no comeco da citada definicao1.3.3, mas excluindo-se as possibilidades W1 = < e W1 = E , porque ja consideradas. A

funcao F : D → W2 e dita diferenciavel em X ∈ D ⊂ W1| D e aberto, se existir uma

transformacao linear DF(X) : W1 → W3 , logo, de acordo com a definicao de espaco

de transformacao linear 1.2.4 e considerando uma extensao da definicao de espaco deproduto tensorial 1.2.13, DF(X) ∈ L(W1 ,W3) = W3 ⊗W1 , onde W3 = W2 se W2 6= Ee W3 = V se W2 = E , tal que, ∀(X + Y ) ∈ D, logo Y ∈ W1

lim|Y |→0

1

|Y ||F(X + Y )− F(X)−DF(X)[Y ]| = 0 .

Note que:

1. A equacao anterior e a ultima equacao destacada na citada definicao 1.3.3, apos assubstituicoes de

t ∈ (a, b) ⊂ < por X ∈ D ⊂ W1| D e aberto e

h por Y .

2. A transformacao linear DF(X) e determinada de modo unico pela expressao des-tacada, e denominada gradiente de F em X e e grafada ∂F(X) ou ∂XF (esta e asimbologia utilizada neste texto).

3. Em analogia ao apresentado na mencionada definicao 1.3.5, mas agora de acordocom a equacao aqui destacada, definindo a correcao o(Y ) de modo a que F(X +

Y )− F(X) = ∂XF [Y ] + o(Y ), tem-se lim|Y |→01|Y | | o(Y )| = 0.

4. De modo analogo ao efetuado na citada definicao 1.3.5, demonstra-se que

∂XF[Y ] =d

dtF(X + tY )

∣∣∣∣∣t=0

,

onde (F, ∂XF) : D → W2 , sendo D ⊂ W1| D e aberto e ddt

F : (a, b) → W2 .

Denomina-se derivada direcional de F no vetor ou tensor X, para o vetor outensor Y , a ∂XF[Y ].

56

5. Considerando os tipos de espaco listados no inıcio da mencionada definicao 1.3.3,as possibilidades W1 = < e W1 = E ja foram discutidas. Restam W1 = V eW1 = V ⊗ V . No quadro a seguir, para o calculo de ∂XF [Y ] ∈ W2 e utilizadaa notacao para aplicacao de tensor a tensor 1.2.6. Por simplicidade, W1 = V ecombinado so com W2 = < e W2 = V , enquanto que W1 = V ⊗ V apenas comW2 = <. Por analogia, outras possibilidades podem ser calculadas.

W1 W2 L(W1 ,W2) ∂XF ∈ L(W1 ,W2) ∂XF [Y ] ∈ W2

V < V v v[u] = v · uV V V ⊗ V A A[u] = A(u)V V V ⊗ V v⊗ u (v⊗ u)[w] = (u ·w)v

V ⊗ V < V ⊗ V A A[B] = A ·B = tr(ABT )V ⊗ V < V ⊗ V v⊗ u (v⊗ u)[B] = v ·B(u)

Notacao 1.3.1 (Derivada e Gradiente Generalizados) Se a transformacao linearconsiderada indicar a tendencia de variacao de uma funcao num determinado escalar,ela sera chamada derivada, como nas definicoes de derivada escalar em escalar (sımbolo

Df(t) = f(t)) e de derivada vetorial, tensorial ou de pontos, em escalar (sımbolo Df(t) =

f(t)), respectivamente 1.3.2 e 1.3.3. Se a transformacao linear considerada indicar atendencia de variacao de uma funcao num determinado ponto, vetor ou tensor, ela serachamada gradiente, como nas definicoes de gradiente de campo escalar, vetorial, tensorialou de pontos (sımbolo Df(x) = ∇xf) e de gradiente escalar, vetorial, tensorial ou de

pontos, em vetor ou tensor (sımbolo DF(X) = ∂XF), respectivamente 1.3.4 e 1.3.5.

Como sımbolo generico desta transformacao linear, abarcando todos estes casos, nestetexto e utilizado D · (·), onde o primeiro · representa o sımbolo escolhido para a funcao,enquanto que o segundo representa a variavel que define a forma da transformacao linear.O sımbolo generico da aplicacao desta transformacao linear a uma determinada variavel,ou seja, o sımbolo generico de derivada direcional, neste texto e D · (·)[·]. Conformecolocado na mencionada definicao 1.3.2, pode-se entenderD·(·)[·] como uma generalizacaodo conceito de diferencial, portanto D · (·) como uma operacao que gera um diferencial,ou seja, uma operacao de diferenciacao, o que justifica o tıtulo da presente subsecao.

Estes sımbolos genericos podem ser usados em qualquer circunstancia, mas sao obri-

gatorios sempre que nao se tratar de algum caso especıfico, entre aqueles neste texto

citados, para os quais outros sımbolos tambem sao aceitos e, inclusive, costumam sermais usados. Portanto, se W e W1 forem quaisquer dois espacos normatizados (definicao

1.3.3, de derivada vetorial, tensorial ou de pontos, em escalar) e lembrando que normasse anulam quando os respectivos elementos se anulam e v.v., bem como distancias seanulam quando as correspondentes diferencas entre elementos se anulam e v.v.:

1. A funcao F : D → W1 e dita diferenciavel em X ∈ D ⊂ W | D e aberto (definicao de

subconjunto aberto 1.3.1), se existir uma transformacao linear DF(X) : W2 → W3

tal que, ∀(X + Y ) ∈ D , sendo Y ∈ W2 ,

lim|Y |→0

1

|Y ||F(X + Y )− F(X)−DF(X)[Y ]| = 0 .

Quando W for provido de norma ter-se-a W2 = W , mas quando W for provido de

57

funcao distancia isto nao ocorrera (por exemplo, para W = E ter-se-a W2 = V ).

Por outro lado, quando W1 for provido de norma ter-se-a W3 = W1 , mas quando

W1 for provido de funcao distancia isto nao ocorrera (por exemplo, para W1 = Eter-se-a W3 = V ). De acordo com a definicao de espaco de transformacao linear

1.2.4, DF(X) ∈ L(W2,W3) = W3 ⊗W2 , correspondendo esta ultima igualdade a

uma extensao do conceito de espaco de produto tensorial, conforme a sua definicao1.2.13.

2. Define-se a correcao o(Y ) de modo a que F(X +Y )−F(X) = DF(X)[Y ] + o(Y ),

logo a expressao destacada no item 1 implica em lim|Y |→01|Y | | o(Y )| = 0.

3. Demonstra-se que a derivada direcional

DF(X)[Y ] =d

dtF(X + tY )

∣∣∣∣∣t=0

, onded

dtF : (a, b) → W3 .

1.3.2 Aplicacoes da Diferenciacao

Comentario 1.3.1 (Gradientes de φ , sendo φ(A,v) = v · A(v)) Seja a funcao realbilinear φ : V ⊗V ×V → <, definida por φ(A,v) = v·A(v), onde A ∈ V ⊗V e (u,v) ∈ V .Lembrando do comentario 1.2.12, sobre transformacao escalar bilinear e tensor, ondee discutido que todo tensor A, alem de ser uma funcao vetorial linear A : V → V ,corresponde a uma funcao escalar bilinear A : V × V → < tal que A(u,v) = u · A(v),onde o primeiro A representa a funcao escalar biliner a ser aplicada ao argumento (u,v),enquanto que o segundo representa o tensor A a ser aplicado ao vetor v, percebe-se queφ(A,v) = A(v,v) = v ·A(v). Porem, sao interessantes as expressoes dos gradientes ∂vφe ∂Aφ da funcao φ(A,v). Alem disto, o calculo de tais gradientes ilustra, para o casode funcao de multiplas variaveis, o uso do item 4 da definicao 1.3.6, de gradiente escalar,vetorial, tensorial ou de pontos, em vetor ou tensor e a obediencia ao item 3 da mesmadefinicao. De fato, de acordo com o mencionado item 4 tem-se

∂vφ[u] = ddtφ(A,v + tu)

∣∣∣t=0

= ddt

((v + tu) · A(v + tu))∣∣∣t=0

, onde ∂vφ e o gradiente

de φ em v e ∂vφ[u] e a derivada direcional de φ em v, na direcao de u (note

que A e ignorado nestas notacoes e denominacoes, porque e suposto constante).

Como (v + tu) · A(v + tu) = v · A(v) + tv · A(u) + tu · A(v) + t 2 u · A(u), entao

∂vφ[u] = v·A(u)+u·A(v). Mas, de acordo com a definicao de transformacao linear

transposta 1.2.17, v ·A(u) = u ·AT (v), logo v ·A(u)+u ·A(v) = (A+AT )(v) ·u =

(A+ AT )(v)[u] , provindo a ultima igualdade da segunda linha da tabela presenteno item 5 da citada definicao 1.3.6. Tem-se, portanto,

∂vφ = (A+ AT )(v).

Note que φ(A,v+u) = (v+u) ·A(v+u) = v ·A(v)+v ·A(u)+u ·A(v)+u ·A(u) =

φ(A,v)+∂vφ[u]+u ·A(u). Comparando esta igualdade com a imposicao efetuada

no item 3 da mencionada definicao 1.3.6, tem-se o(u) = u · A(u). Se e = u/|u| ,lim|u|→0(|u ·A(u)|/|u|) = lim|u|→0(|u| |e ·A(e)|) = 0, resultado este de acordo com

a exigencia de que lim|Y |→01|Y | | o(Y )| = 0.

58

∂Aφ[B] = ddtφ(A+ tB,v)

∣∣∣t=0

= ddt

(v · (A+ tB)(v))∣∣∣t=0

, onde ∂Aφ e o gradiente de φ

em A e ∂Aφ[B] e a derivada direcional de φ em A, na direcao de B (note que v

e ignorado nestas notacoes e denominacoes, porque e suposto constante). Como

v·(A+tB)(v) = v·A(v)+tv·B(v), tem-se ∂Aφ[B] = v·B(v). Mas, de acordo com

a ultima linha da tabela no item 5 da citada definicao 1.3.6, v ·B(v) = (v⊗v)[B],

logo∂Aφ = v⊗ v .

Note que φ(A+ B,v) = v · (A+ B)(v) = v · A(v) + v · B(v) = φ(A,v) + ∂Aφ[B].

Portanto, comparando esta igualdade com a imposicao efetuada no item 3 da men-cionada definicao 1.3.6, obtem-se o(A) = 0, ficando satisfeita a exigencia de que

lim|Y |→01|Y | | o(Y )| = 0.

Comentario 1.3.2 (Gradiente de φ , sendo φ(A) = u · A(v)) Sejam (u,v) ∈ V ve-tores constantes e seja a funcao real linear φ : V ⊗ V → <, definida por φ(A) = u ·A(v)

(convem sublinhar que, conforme colocado no inıcio do comentario 1.3.1, sobre gradientesde φ, sendo φ(A,v) = v ·A(v), esta ultima, a funcao escalar bilinear A : V × V → < e afuncao vetorial linear A : U → V ja foram definidas, nao podendo ser confundidas entresi, ou com a quarta funcao agora apresentada). De acordo com o item 4 da definicao1.3.6, de gradiente escalar, vetorial, tensorial ou de pontos, em vetor ou tensor, tem-se,para a derivada direcional de φ em A, para B,

∂Aφ[B] =d

dtφ(A+ tB)

∣∣∣∣∣t=0

=d

dt(u · (A+ tB)(v))

∣∣∣∣∣t=0

= u ·B(v) .

Como, considerando a ultima linha da tabela existente no item 5 da mencionada definicao1.3.6, u ·B(v) = (u⊗ v)[B], entao

∂Aφ = u⊗ v.

Note que φ(A+B) = u · (A+B)(v) = u · A(v) + u ·B(v) = φ(A) + ∂Aφ[B]. Portanto,

comparando esta igualdade com a imposicao efetuada no item 3 da citada definicao 1.3.6,

obtem-se o(A) = 0, ficando satisfeita a exigencia de que lim|Y |→01|Y | | o(Y )| = 0.

Considerando o comentario 1.2.46, sobre decomposicao cartesiana de tensor, bemcomo o comentario 1.2.15, sobre transposicao de tensor simples, as parcelas aditivassimetrica e antissimetrica de ∂Aφ sao, respectivamente, (u⊗v+v⊗u)/2 e (u⊗v−v⊗u)/2.Por outro lado, o item 4 da mencionada definicao 1.3.6 mostra que A ∈ Sym(V ) implicaem ∂Aφ ∈ Sym(V ) e v.v., enquanto que A ∈ Skw(V ) implica em ∂Aφ ∈ Skw(V ) e v.v..Portanto, se

A ∈ Sym(V ) tem-se ∂Aφ = (u⊗ v + v⊗ u)/2 ,

mas seA ∈ Skw(V ) tem-se ∂Aφ = (u⊗ v− v⊗ u)/2 .

Comentario 1.3.3 (Gradiente de Traco) Tem-se

∂Atr[B] =d

dttr(A+ tB)

∣∣∣∣∣t=0

=d

dt(trA+ t trB)

∣∣∣∣∣t=0

= trB = 1 ·B = 1 [B], ou

∂Atr = 1 , onde utilizou-se

59

o item 4 da definicao 1.3.6, de gradiente escalar, vetorial, tensorial ou de pontos, emvetor ou tensor, para a primeira igualdade,

o primeiro item do comentario sobre propriedades de tracos 1.2.29 para a segunda,

o primeiro item do comentario sobre propriedades do produto interno tensorial 1.2.31para a quarta e

a penultima linha da tabela presente no item 5 da mencionada definicao 1.3.6, para aquinta igualdade.

Note que tr(A+B) = trA+trB = trA+∂A(trA)[B]. Portanto, comparando esta igualdade

com a imposicao efetuada no item 3 da citada definicao 1.3.6, obtem-se o(A) = 0, ficando

satisfeita a exigencia de que lim|Y |→01|Y | | o(Y )| = 0.

Comentario 1.3.4 (Gradiente de Determinante) De acordo com o item 4 da de-finicao 1.3.6, de gradiente escalar, vetorial, tensorial ou de pontos, em vetor ou tensor,tem-se

∂A det[B] =d

dtdet(A+ tB)

∣∣∣∣∣t=0

=d

dt

w((A+ tB)(v1), . . . , (A+ tB)(vn))

w(v1, . . . ,vn)

∣∣∣∣∣t=0

,

onde, para a segunda igualdade, utilizou-se a definicao de determinante de transformacaolinear 1.2.24. A funcao n-linear alternante w((A + tB)(v1), . . . , (A + tB)(vn)) pode serdecomposta nas seguintes parcelas aditivas:

1. um termo independente de t, w(A(v1), . . . , A(vn)) = w(v1, . . . ,vn) detA ;

2. a soma de n termos de ordem 1 em t, t∑ni=1w(A(v1), . . . , B(vi), . . . , A(vn)) ;

3. termos cuja ordem, em t, e superior a 1.

Por isto, ∂A det[B] =

=

∑ni=1w(A(v1), . . . , B(vi), . . . , A(vn))

w(v1, . . . ,vn)=

∑ni=1w(A(v1), . . . , AA

−1B(vi), . . . , A(vn))

w(v1, . . . ,vn),

ou ∂A det[B] = detA

∑ni=1w(v1, . . . , A

−1B(vi), . . . ,vn)

w(v1, . . . ,vn)= detA tr(A−1B)

onde, na ultima igualdade, foi utilizada a definicao de traco de transformacao linear1.2.26. Mas, usando a penultima linha da tabela apresentada no item 5 da mencionadadefinicao 1.3.6, tem-se tr(A−1B) = A−T ·B = A−T [B], logo

∂A det = (detA)A−T .

Note que, de acordo com a imposicao apresentada no item 3 da citada definicao 1.3.6,o(B) corresponde a soma das parcelas com mais de um B em que se decompoe a funcaon-linear alternante w((A + B)(v1), . . . , (A + B)(vn)) /w(v1, . . . ,vn). Isto garante que

lim|B|→01|B| | o(B)| = 0, porque w e linear e porque, conforme a sua definicao 1.2.28, a

norma |B| de um tensor de segunda ordem B e um real tal que B/|B| seja um tensor denorma igual a unidade.

60

Comentario 1.3.5 (Diferenciacao em Cadeia) Sejam W1, W2 e W3 espacos norma-

tizados, como aqueles apresentados na definicao 1.3.3, de derivada vetorial, tensorial ou

de pontos, em escalar. Sejam, tambem, D1 ⊂ W1|D1 e aberto (definicao de subconjunto

aberto 1.3.1) e D2 ⊂ W2|D2 e aberto. Sejam, ainda, φ : D1 → W2 , ψ : D2 → W3 e

φ(D1) ⊂ D2 . Seja φ diferenciavel em X ∈ D1 e seja ψ diferenciavel em φ(X) ∈ D2 .

Como este comentario nao se restringe a algum caso especıfico, entre aqueles citados

neste texto, os sımbolos sao utilizados em concordancia com a notacao de derivada egradiente generalizados 1.3.1. De acordo estas consideracoes e com a definicao de funcaoe funcional 1.1.1, a composicao de funcoes ψ φ, tal que (ψ φ)(D1) = ψ(φ(D1)), ediferenciavel em X, obtendo-se, ∀Y |(X + Y ) ∈ D1 , que

D(ψ φ)(X)[Y ] = D(ψ(φ(X)))[Y ] = Dψ(φ(X))[Dφ(X)[Y ] ].

Nesta expressao destacada:

A derivada de ψφ se refere aos mesmos X e Y aos quais tambem se refere a derivada deφ, enquanto que a derivada de ψ respectivamente se refere a φ(X) e a Dφ(X)[Y ].A expressao mostra que, impondo isto, a derivada de ψ φ se iguala a derivada deψ. A esta igualdade costuma-se chamar regra de diferenciacao em cadeia

Dφ(X)[Y ] representa, em relacao a φ(X), o mesmo que Y representa, em relacao a X.De fato, Y e uma variacao no valor X que, quando |Y | → 0, define a derivadada funcao que tem X como variavel. Analogamente, Dφ(X)[Y ] e uma variacaono valor φ(X) que, quando |Dφ(X)[Y ]| → 0, define a derivada da funcao que temφ(X) como variavel. Alem disto, de acordo com a expressao destacada no item 1da referida notacao 1.3.1, |Y | → 0 implica em |Dφ(X)[Y ]| → 0 e v.v..

D(ψ(φ(X))) 6= Dψ(φ(X)), porque no primeiro termo a derivacao da funcao ψ φ ocorreem X, como em D(ψ φ)(X), enquanto que no segundo termo a derivacao dafuncao ψ ocorre em φ(X). Esta desigualdade indica a necessidade de nao se usar omesmo sımbolo nos dois ultimos termos da igualdade destacada (p.e., nao utilizarDψ(φ(X)) em ambos os termos).

Comentario 1.3.6 (Gradientes Escalar e Vetorial em Campo Vetorial) Seja afuncao escalar de vetor ϕ : Dϕ ⊂ V → <|Dϕ e aberto, (definicao de subconjunto aberto

1.3.1) a funcao vetorial de vetor h : Dh ⊂ V → V |Dh e aberto e, de acordo com a

definicao de campo 1.3.4, o campo vetorial g : Dg ⊂ E → V |Dg e aberto.

(ϕ g)(x) = ϕ(g(x)) : De acordo com o comentario sobre diferenciacao em cadeia 1.3.5,se g for derivavel em x ∈ Dg , se g(x) ∈ Dϕ e se ϕ for derivavel em g(x), para a

composicao ϕ g : Dg → < existe a derivada direcional

∇x(ϕ g)[v] = ∇xϕ(g(·))[v] = ∂uϕ|u=g(x) [∇xg[v]],

onde (v + x) ∈ Dg , u ∈ Dϕ assume o valor g(x) e, em ∇xϕ(g(·))[v], o ındice x em

∇ e fundamental para indicar que se trata do gradiente em x da composicao, naodo gradiente de ϕ em g(x), cujo sımbolo nao seria ∇. Por outro lado, grafar apenas∇xϕ(g)[v] nao esclareceria que x e o argumento de g. Note que a composicao ϕg

nao poderia ser grafada ϕg porque, conforme a definicao de composicao de tensores

61

de segunda ordem 1.2.20, o sımbolo ϕg, para indicar composicao, seria especıficopara tais tensores.

Tanto o sımbolo ∂uϕ|u=g(x) , quanto o sımbolo ∂g(x)ϕ sao corretos, mas utilizou-se

o primeiro para sublinhar o fato de que a expressao do gradiente, num genericovetor u, deve ser utilizada no especıfico vetor g(x). A definicao de gradiente decampo escalar, vetorial, tensorial ou de pontos 1.3.5 mostra que ∇xg e um ten-

sor de segunda ordem. Como ϕ e uma funcao escalar de um vetor, ∂uϕ|u=g(x) e

um vetor. De acordo com as linhas 2 e 3 da tabela do item 5 da definicao 1.3.6,de gradientes escalar, vetorial, tensorial ou de pontos, em vetor ou tensor, tem-

se entao ∂uϕ|u=g(x) [∇xg[v]] = ∂uϕ|u=g(x) · ∇xg(v) = (∇xg)T (∂uϕ|u=g(x)) · v,

onde a ultima igualdade decorre do uso da definicao de transformacao linear trans-posta 1.2.17. Logo, usando novamente a linha 2 da mencionada tabela, tem-se

∇xϕ(g(·))[v] = (∇xg)T (∂uϕ|u=g(x))[v], ou o vetor

∇xϕ(g(·)) = (∇xg)T (∂uϕ|u=g(x)).

(h g)(x) = h(g(x)) : De acordo com o mencionado comentario 1.3.5, se g for derivavelem x ∈ Dg , se g(x) ∈ Dh e se h for derivavel em g(x), para a composicao

h g : Dg → V existe a derivada direcional

∇x(h g)[v] = ∇xh(g(·))[v] = ∂uh|u=g(x) [∇xg[v]],

onde (v+x) ∈ Dg e u ∈ Dh assume o valor g(x). Como no item anterior,∇xg e um

tensor de segunda ordem. Como h e uma funcao vetorial de um vetor, ∂uh|u=g(x)

tambem e um tensor de segunda ordem. Logo, de acordo com a linha 3 da citada

tabela, ∂uh|u=g(x) [∇xg[v]] = ∂uh|u=g(x) (∇xg(v)) = (∂uh|u=g(x) ∇xg)(v) =

(∂uh|u=g(x) ∇xg)[v] = ∂uh|u=g(x)∇xg[v], onde a ultima igualdade deve-se a

definicao de composicao de tensores de segunda ordem 1.2.19. Tem-se, portanto,

∇xh(g(·))[v] = ∂uh|u=g(x)∇xg[v], ou o tensor de segunda ordem

∇xh(g(·)) = ∂uh|u=g(x)∇xg.

Note que este comentario apresenta as uteis expressoes dos gradientes escalar e vetorial emcampo vetorial, ilustra o uso da regra de diferenciacao em cadeia mostrada no comentario1.3.5, aprofunda a compreensao do uso dos sımbolos utilizados na diferenciacao e, ainda,sublinha a necessidade de se trabalhar com derivadas direcionais e, so apos obtida a

expressao final, escrever esta expressao em termos de gradientes. De fato, se este naotivesse sido o procedimento, percebe-se facilmente os absurdos que poderiam ter sidoobtidos.

Comentario 1.3.7 (Diferenciacao de Produto) A algebra linear contem diversos ti-pos de produtos, mas todos eles tem uma propriedade em comum, a saber, a bilineari-dade. Seja, entao, a operacao bilinear π : W1 ×W2 → W3 , a qual atribui, ∀φ(X) ∈ W1

e ∀ψ(X) ∈ W2 , o produto π(φ(X), ψ(X)) ∈ W3 , onde φ : X ∈ D 7→ φ(X) ∈ W1 e

ψ : X ∈ D 7→ ψ(X) ∈ W2 , sendo D ⊂ W |D e aberto (definicao de subconjunto aberto

1.3.1) e W e normatizado (definicao 1.3.3, de derivada vetorial, tensorial ou de pontos,

62

em escalar). Define-se f(X) = π(φ(X), ψ(X)), ∀X ∈ D, logo f : D → W3 . Sejam φ e ψdiferenciaveis em X ∈ D ⊂ W . A bilinearidade de π(φ(X), ψ(X)) garante, entao, que fe diferenciavel em X, sendo, ∀(X + Y ) ∈ D,

Df(X)[Y ] = π(Dφ(X)[Y ], ψ(X)) + π(φ(X), Dψ(X)[Y ]) .

Comentario 1.3.8 (Diferenciacao de Tensor ao Quadrado) Se A ∈ V ⊗ V , entao

∂AA2[B] = BA + AB. De fato, usando o item 3 da definicao 1.3.6 de gradiente escalar,

vetorial, tensorial ou de pontos, em vetor ou tensor, tem-se ∂AA2[B] = d

dt(A+ tB)2

∣∣∣t=0

.

Mas ddt

((A+ tB)(A+ tB)) = B(A+ tB) + (A+ tB)B, logo ddt

(A+ tB)2∣∣∣t=0

= BA+AB.

Comentario 1.3.9 (Diferenciacao de Tensor Inverso) Se, de acordo com a defi-nicao de tensor inverso de segunda ordem 1.2.29, A ∈ V ⊗ V for invertıvel, entao

∂AA−1[B] = −A−1BA−1. De fato, usando o item 3 da definicao 1.3.6 de gradiente escalar,

vetorial, tensorial ou de pontos, em vetor ou tensor, tem-se ∂AA−1[B] = d

dt(A+ tB)−1

∣∣∣t=0

(como A e invertıvel e t e arbitrario, existe t nao nulo tal que (A+tB)−1 exista, alem disto

ocorrer em t = 0). Como (A + tB)−1(A + tB) = 1 , entao ddt

((A + tB)−1(A + tB)) = 0,

ou ( ddt

(A + tB)−1)(A + tB) + (A + tB)−1 ddt

(A + tB) = 0, ou ( ddt

(A + tB)−1)(A + tB) =

−(A + tB)−1B, ou ddt

(A + tB)−1 = −(A + tB)−1B(A + tB)−1, logo ddt

(A+ tB)−1∣∣∣t=0

=

−A−1BA−1.

Comentario 1.3.10 (Diferenciacao de Traco de Tensor Inverso) Se, conforme adefinicao de tensor inverso de segunda ordem 1.2.29, A ∈ V ⊗ V for invertıvel, entao

∂Atr(A−1) = −(A−2)T . De fato, usando a regra de diferenciacao em cadeia apresentada

no comentario 1.3.5 e, em seguida, o afirmado no comentario sobre diferenciacao de tensor

inverso 1.3.9, obtem-se ∂Atr(A−1)[B] = ∂tr(A−1)[∂AA−1[B]] = −∂tr(A−1)[A−1BA−1],

onde o ındice A−1 foi omitido no sımbolo ∂, para evitar redundancia. Note, porem, queembora redundancias sejam deselegantes e denotem inexperiencia ou desatencao, elas naosao erradas. Por isto, na duvida, corra o risco de ser redundante, antes de correr aquelede errar.

Usando o item 4 da definicao 1.3.6 de gradiente escalar, vetorial, tensorial ou de pon-tos, em vetor ou tensor, seguido dos itens 1 e 5 do comentario sobre propriedades de tracos

1.2.29, tem-se que ∂tr(A−1)[A−1BA−1] = ddt

tr[A−1 + tA−1BA−1]∣∣∣t=0

= tr(A−1BA−1) =

tr(A−2B), logo ∂Atr(A−1)[B] = −tr(A−2B). Considerando a penultima linha da tabela

do item 5 da citada definicao 1.3.6, novamente o comentario 1.2.29 e tambem o co-

mentario 1.2.19, sobre transposicao de composicao, tem-se ∂Atr(A−1)[B] = −(A−2)T [B],

logo ∂Atr(A−1) = −(A−2)T .

Comentario 1.3.11 (Formulas para Diferenciacao de Produtos) Seja a funcaoescalar f e as funcoes vetoriais h e q, sendo o argumento delas uma variavel pertencente aD ⊂ W |D e aberto (definicao de subconjunto aberto 1.3.1). De acordo com o comentario1.3.7, sobre diferneciacao de produtos, tem-se que:

1. para W = <˙︷︸︸︷fh = f h + f h˙︷ ︸︸ ︷

q · h = q · h + q · h

63

2. para W = E

∇(fh) = h⊗∇f + f∇h

∇(q · h) = (∇q)T (h) + (∇h)T (q)

3. para W = V

∂(fh) = h⊗ ∂f + f∂h

∂(q · h) = (∂q)T (h) + (∂h)T (q)

Note que, coerentemente com a simbologia adotada, os parentesis apos os sımbolos ∇e ∂ indicam que a funcao, a qual o gradiente e aplicado, e o produto de duas funcoes.Portanto, tais parentesis nao indicam qual e o valor da variavel que define a forma da

operacao gradiente, porque tal valor apareceria como ındice dos sımbolos ∇ e ∂.

Comentario 1.3.12 (Derivada e Gradiente de Ordem Superior) Seja F : D ⊂W → W1 diferenciavel em X ∈ D|D e aberto (definicao de subconjunto aberto 1.3.1).

Entao, conforme a notacao de derivada e gradiente generalizados 1.3.1, DF(X) : W2 →W3 e DF(X) ∈ W3 ⊗W2 , logo DF : X ∈ D ⊂ W 7→ DF(X) ∈ DF(D) ⊂ W3 ⊗W2 .

Seja DF : D ⊂ W → W3 ⊗W2 diferenciavel em X. Entao D2F(X) : W2 → W3 ⊗W2

e D2F(X) ∈ W3 ⊗ W2 ⊗ W2 , logo D2F : X ∈ D ⊂ W 7→ D2F(X) ∈ D2F(D) ⊂W3 ⊗W2 ⊗W2 , onde D2F(X) e uma funcao derivada ou gradiente de segunda ordem.

Procedendo sucessivamente desta forma, pode-se atingir derivadas ou gradientes de ordemcada vez maior, enquanto as funcoes forem diferenciaveis. Evidentemente, as correspon-

dentes derivadas direcionais sao DF(X)[Y ], D2F(X)[Y ] etc., para (X + Y ) ∈ D, logoY ∈ W2 . Evidentemente tambem, nao se trata de composicao de funcoes, ao contrario

do que ocorre no comentario 1.3.5, sobre diferenciacao em cadeia.

Definicao 1.3.7 (Classe Ck) Se F : D ⊂ W → W1 for diferenciavel em X ∈ D|D e

aberto (definicao de subconjunto aberto 1.3.1) e, conforme o comentario 1.3.12, sobre

derivada e gradiente de ordem superior, DF : D ⊂ W → W3 ⊗W2 for contınua em D,

afirmar-se-a que F pertence a classe C1. Se DF : D ⊂ W → W3⊗W2 for diferenciavel em

X e D2F : D ⊂ W → W3 ⊗W2 ⊗W2 for contınua em D, afirmar-se-a que DF pertence

a classe C1 e F pertence a classe C2. Procedendo sucessivamente desta forma, pode-se

concluir que F pertence a classe Ck, onde, necessariamente, k e um inteiro maior ouigual a unidade. Uma funcao e dita suave (“smooth”) quando ela pertencer a alguma

classe Ck.Seja E e um espaco euclideano de pontos, de acordo com a sua definicao 1.2.44. O

ponto x ∈ E sera regular se todos os campos tensoriais para este fim considerados

forem suaves neste ponto mas, se isto nao ocorrer, ele sera singular. Uma superfıcie emE sera seccionalmente suave quando ela for constituıda por pontos regulares salvo,no maximo, sobre um numero finito de curvas. Um subconjunto de E sera uma regiao

regular quando for totalmente envolvido por uma superfıcie a ele pertencente, que osepare do restante de E e, alem disto, a superfıcie envolvente for seccionalmente suave.

64

Comentario 1.3.13 (Gradiente de Gradiente de Campo Escalar) Seja D ⊂ E|De aberto (definicao de subconjunto aberto 1.3.1) e seja φ : D → <|φ pertence a classeC2. Considerando o comentario 1.3.12, sobre derivada e gradiente de ordem superior ede acordo com a definicao de classe Ck 1.3.7, tem-se entao que, sendo V o espaco detranslacao de E ,

∃∇xφ : V → < tal que

∇φ : x ∈ D ⊂ E 7→ ∇xφ ∈ ∇Dφ ⊂ V seja contınua em D e, alem disto,

∃∇x∇φ : V → V tal que

∇∇φ : x ∈ D ⊂ E 7→ ∇x∇φ ∈ ∇D∇φ ⊂ V ⊗ V seja contınua em D.

Atencao: nao usar o sımbolo ∇2, o qual, conforme a definicao de laplaciano de campo es-

calar ou vetorial 1.3.14, representa uma transformacao completamente diferente daquelaaqui proposta.

Seja v ∈ V . Na expressao f(x+v)−f(x) = ∇xf [v]+o(v), apresentada na definicao degradiente de campo escalar, vetorial, tensorial ou de pontos 1.3.5, pode-se, entao, imporque f = ∇φ, o que resulta na igualdade

∇x+vφ−∇xφ = (∇x∇φ)[v] + o(v),

na qual cada um dos termos e um vetor e, de acordo com a terceira linha da tabelano item 5 da definicao 1.3.6, de gradiente escalar, vetorial, tensorial ou de pontos, emvetor ou tensor, (∇x∇φ)[v] = (∇x∇φ)(v), porque ∇x∇φ e um tensor de segunda ordem.

Deve-se sublinhar que esta igualdade nao representa uma composicao de funcoes (∇φ e

aplicavel a um ponto de E , nao a um vetor). A aplicacao de ∇x a ∇φ antecede qualqueroperacao sobre v, o que e o oposto do que acontece na composicao.

Impondo u ∈ V , pode-se efetuar o produto interno da igualdade destacada por u,

∇x+vφ[u]−∇xφ[u] = u · (∇x∇φ)(v) + o(v),

porque o(v) indica alguma correcao, a qual e funcao de v. Mas, porque f(x+u)− f(x) =∇xf [u] + o(u), tem-se

∇x+vφ[u] = φ(x+ v + u)− φ(x+ v) + o(u) e

∇xφ[u] = φ(x+ u)− φ(x) + o(u).

Substituindo estas duas igualdades na ultima expressao destacada tem-se

u · (∇x∇φ)(v) = φ(x+ v + u)− φ(x+ v)− φ(x+ u) + φ(x) + o(u) + o(v) ,

cujo segundo membro nao se altera com a troca entre u e v, logo

u · (∇x∇φ)(v) = v · (∇x∇φ)(u) .

Considerando a definicao de tensores simetrico e antissimetrico 1.2.18, percebe-se que,se o gradiente do gradiente de um campo escalar pertencer a classe C2, ele sera umtensor simetrico. Este comentario, alem de exemplificar o uso do conceito de derivadae gradiente de ordem superior, apresentado no comentario 1.3.12, produz um resultadomuito util para a mecanica dos meios contınuos.

65

Teorema 1.3.1 (Funcao Inversa) O teorema da funcao inversa, cuja demonstracao e

omitida, mostra que, para D ⊂ W |D e aberto (definicao de subconjunto aberto 1.3.1), se

a funcao F : D → W pertencer a classe Ck e for de um para um em D, respectivamente

de acordo com as definicoes de classe Ck 1.3.7 e de funcao e funcional 1.1.1, entao a

transformacao linear DF(X) sera invertıvel ∀X ∈ D e, alem disto, tambem pertencera

a classe Ck a funcao inversa de F em D, grafada F−1 conforme a mesma definicao1.1.1. Como exemplo de transformacao linear invertıvel pode-se considerar o caso emque DF(X) ∈ V ⊗ V , o qual obedece a definicao de tensor inverso de segunda ordem1.2.29.

1.3.3 Sistemas de Coordenadas

Definicao 1.3.8 (Sistema de Coordenadas) Seja D ⊂ E|D e aberto (definicao de

subconjunto aberto 1.3.1). Um sistema de coordenadas e uma funcao de um para

um que pertence a classe C2, respectivamente de acordo com as definicoes de funcao e

funcional 1.1.1 e de classe Ck 1.3.7, grafada ψ : D → <n. De acordo com o teorema 1.3.1,

sobre funcao inversa, isto garante que ψ−1 existe e pertence a classe C2. Se x ∈ D, entao

ψ : x 7→ (x1, . . . , xn) e um sistema de coordenadas, sendo (x1, . . . , xn) = ψ(x) as coor-

denadas de x. Cada funcao χi : D → <, tal que χi : x 7→ xi para i = 1, . . . , n, e uma

i-esima funcao coordenada do sistema de coordenadas ψ, tambem ela pertencente a

classe C2. Seja χ = ψ−1, portanto seja x = χ(x1, . . . , xn) = χ(χ1(x), . . . , χn(x)).

Seja, ainda, a funcao λi : < → D, a qual define a curva da i-esima coordenada

passando por x quando t = 0, curva esta grafada λi(t) = χ(x1, . . . , xi + t, . . . , xn), onde

x1, . . . , xi−1, xi+1, . . . , xn sao mantidos fixos. Como λi(t) ∈ D, a tangente a esta curva

no ponto x e um vetor ci(x) ∈ Ex , onde Ex e o espaco tangente de E em x, isomorfico

ao espaco de translacao V de E , conforme a definicao de espaco tangente 1.2.45. Tem-se

ci(x) = λi(t)∣∣∣t=0

= ddtχ(X + tY )

∣∣∣t=0

, onde X = ψ(x) e Y = (0, . . . , 0, xi = 1, 0, . . . , 0).

Mas, de acordo com o item 4 da definicao 1.3.6, de gradiente escalar, vetorial, tensorial

ou de pontos, em vetor ou tensor, tem-se que ddtχ(X + tY )

∣∣∣t=0

= ∂Xχ[Y ]. Portanto,

ci(x) = λi(t)∣∣∣t=0

= ∂Xχ[Y ] =

∂χ

∂x i(x1, . . . , xn) ,

onde a ultima igualdade indica que o calculo de ∂Xχ[Y ] pode ser efetuado pelo metodo

tradicional, porque x = χ(x1, . . . , xn) mostra que o argumento de χ (e de ∂χ∂x i ) e um

conjunto de escalares independentes entre si.

Teorema 1.3.2 (Base de Espaco Tangente) O conjunto ordenado (ci(x))ni=1 e uma

base do espaco tangente Ex .Demonstracao: ∀v ∈ Ex pode-se definir uma curva passando por x quando t = 0, a saber

λ(t) = x+tv ∈ E , onde t ∈ <. Mas, de acordo com a definicao de sistema de coordenadas

1.3.8, λ(t) = x+tv = χ(χ1(x+tv), . . . , χn(x+tv)), sendo χ i(x+tv) = (x+tv) i. Portanto,para x e v fixos,

λ = v =n∑i=1

dχ i

dt

∂χ

∂χ i((x+ tv)1, . . . , (x+ tv)n) =

dχ i

dtci(x+ tv) ,

66

onde, na terceira igualdade da ultima expressao destacada, foi novamente usada a de-finicao 1.3.8. A expressao destacada independe de t. Para t = 0 ela pode ser escrita

λ = v =dχ i

dt

∣∣∣∣∣t=0

ci(x) .

Esta ultima expressao indica que o conjunto ordenado (ci(x))ni=1 abrange todo o espaco

Ex . Como, alem disto, os vetores ci(x) sao derivadas parciais em relacao a variaveis inde-

pendentes, eles sao linearmente independentes entre si. Logo, de acordo com a definicaode base 1.2.2, eles formam uma base para Ex . 2

Definicao 1.3.9 (Campo de Bases) De acordo com o item 2 da definicao de campo1.3.4, ci(x) ∈ Ex e um campo vetorial aplicado a D ⊂ E , motivo porque o conjunto

ordenado (ci(x))ni=1 e dito um campo de bases (uma base para cada ponto x, de acordo

com o teorema sobre base de espaco tangente 1.3.2). Cada campo de bases e chamado

base natural, no espaco V de translacao de E , das correspondentes coordenadas (xi)ni=1

que o originam, por meio das funcoes λi(t) apresentadas na definicao de sistema decoordenadas 1.3.8.

Comentario 1.3.14 (Tensor Metrico e Base Natural Dual) A base natural vista

na definicao de campo de bases 1.3.9, (ci(x))ni=1, e contravariante. Sua base dual cova-

riante e (ci(x))ni=1. Os produtos internos gi j(x) = ci(x) · cj(x) e gi j(x) = ci(x) · cj(x)sao, respectivamente, componentes covariantes (obtidos a partir da base contravariante)e contravariantes (obtidos a partir da base covariante) do tensor metrico do sistemade coordenadas para o ponto x. Note que, conforme o comentario 1.2.13, sobre compo-nente associado do tensor identidade, o tensor metrico do sistema de coordenadas e aforma assumida pelo tensor identidade em cada ponto x, em termos das bases naturaiscontravariante e covariante referentes a determinado sistema de coordenadas.

Considerando, de acordo com a definicao de sistema de coordenadas 1.3.8, xi = χi(x)

e x = χ(x1, . . . , xn), tem-se xi = χi(χ(x1, . . . , xn)). Logo, usando a regra de diferenciacao

em cadeia apresentada no comentario 1.3.5, a saber Df(X)[Z] = Dψ(φ(X))[Dφ(X)[Z] ],tem-se

∂xi

∂xj(x1, . . . , xn) = δij =

∇xχi

[∂χ

∂xj(x1, . . . , xn)

]= ∇xχ

i · ∂χ∂xj

(x1, . . . , xn) =

∇xχi · cj(x) , onde:

todos os membros foram divididos pelo acrescimo escalar [Y ],

a primeira igualdade provem do fato das coordenadas serem independentes entre si,

tanto ∇xχi quanto ∂χ

∂xj (x1, . . . , xn) sao vetores,

a terceira igualdade provem do uso da linha 2 da tabela no item 5 da definicao 1.3.6,de gradiente escalar, vetorial ou de pontos, em vetor ou tensor e

67

a quarta igualdade considera a expressao destacada na definicao de sistema de coorde-nadas 1.3.8.

Como, de acordo com a definicao de base dual 1.2.8, ci(x) · cj(x) = δij, a expressao

destacada mostra que ci(x) = ∇xχi. Portanto, ∀x as duas bases naturais duais das

coordenadas (x1, . . . , xn), no espaco V de translacao de E , sao, para i = 1, . . . , n,

ci(x) =∂χ

∂xi(x1, . . . , xn) e ci(x) = ∇xχ

i ,

respectivamente a base contravariante e a covariante das mesmas coordenadas.

Comentario 1.3.15 (Transformacao de Sistema de Coordenadas) Consideran-do a definicao de sistema de coordenadas 1.3.8, sejam os dois sistemas ψ : D → <n

e ψ : D → <n, onde D ⊂ E|D e aberto (definicao de subconjunto aberto 1.3.1) e

sejam (x1, . . . , xn) = ψ(x) e (x1, . . . , xn) = ψ(x) as correspondentes coordenadas de x.Suponha que a transformacao de coordenadas seja dada por

xi = xi(x1, . . . , xn) e xi = xi(x1, . . . , xn) .

Impondo xi = χi(x) e xi = χi(x), para i = 1, . . . , n e aplicando o gradiente em x, para

a equacao destacada a esquerda tem-se ∇xχi =

∑nj=1

∂xi

∂xj (x1, . . . , xn)∇xχ

j, enquanto que

para aquela a direita tem-se ∇xχi =

∑nj=1

∂xi

∂xj (x1, . . . , xn)∇xχ

j. Note que estas ultimas

duas igualdades podem ser obtidas pelos metodos tradicionais de derivacao, porque xi exi sao funcoes escalares de escalares e, conforme indica a definicao de campo 1.3.4, χi eχi sao campos escalares.

Como, de acordo com o comentario 1.3.14, sobre tensor metrico e base natural dual,

ci(x) = ∇xχi e ci(x) = ∇xχ

i, tem-se

ci(x) =n∑j=1

∂xi

∂xj(x1, . . . , xn) cj(x) e ci(x) =

n∑j=1

∂xi

∂xj(x1, . . . , xn) cj(x) .

Alem disto, ci(x) = ∂χ∂xi (x

1, . . . , xn) e ci(x) = ∂χ∂xi (x

1, . . . , xn), onde x = χ(x1, . . . , xn) =

χ(x1, . . . , xn), logo ci(x) = ∂χ∂xi (x

1, . . . , xn) =∑nj=1

∂χ∂xj (x

1, . . . , xn)∂xj

∂xi (x1, . . . , xn) =

∂xj

∂xi (x1, . . . , xn)cj(x). As primeiras duas igualdades provem do mesmo comentario 1.3.14,

enquanto que a seguinte espressao para x utiliza a ja citada definicao 1.3.8. A expressaoque liga ci(x) a cj(x) pode ser obtida pelos metodos tradicionais de derivacao e umaexpressao analoga existe para ci(x). Tem-se, portanto,

ci(x) =∂xj

∂xi(x1, . . . , xn) cj(x) e ci(x) =

∂xj

∂xi(x1, . . . , xn) cj(x) .

As quatro igualdades destacadas podem ser escritas, em analogia ao exposto na definicaode matrizes de transformacao 1.2.21,

ci(x) = M ij cj(x) e ci(x) =

−1

Mi

j cj(x) ,

ci(x) =−1

Mj

i cj(x) e ci(x) = M ji cj(x) ,

68

o que permite a associacao

M ij =

∂xi

∂xj,

−1

Mi

j =∂xi

∂xj,

−1

Mj

i =∂xj

∂xie M j

i =∂xj

∂xi.

Feita esta associacao, as regras de transformacao de componentes de vetor e de tensor,respectivamente apresentadas nos comentarios 1.2.20 e 1.2.21, sao diretamente aplicaveis.

Comentario 1.3.16 (Deformacao em Termos de Coordenadas) Seja uma defor-macao, conforme o item 4 da definicao de campo 1.3.4, κ : D → E , sendo D ⊂E|D e aberto (definicao de subconjunto aberto 1.3.1), logo x = κ(x), onde x ∈ D e

x ∈ κ(D). Sejam, tambem, as correspondentes coordenadas, de acordo com a definicao de

sistema de coordenadas 1.3.8, (x1, . . . , xn) = ψ(x) e (x1, . . . , xn) = ψ(x) e as funcoes in-

versas dos sistemas de coordenadas, respectivamente χ e χ. A deformacao, que ocorre de

um ponto x para um ponto x, tambem pode ser entendida como a alteracao das coordena-

das associadas a x para aquelas referentes a x, por meio da expressao xα = κα(x1, . . . , xn),

para α = 1, . . . , n. Como x = κ(x) = χ(x1, . . . , xn), usando a expressao da deformacao

em termos de coordenadas e a igualdade xi = χi(x), mostrada na citada definicao 1.3.8,pode-se escrever

∇xκ =n∑

α=1

n∑i=1

∂χ

∂xα∂κα

∂xi∇xχ

i .

onde utilizou-se derivacao tradicional.De acordo com o comentario 1.3.14, sobre tensor metrico e base natural dual, a

expressao destacada inclui os vetores

∂χ

∂xα(x1, . . . , xn) = cα(x) = cα(κ(x)) e ∇xχ

i = ci(x) .

Alem disto, ela tambem inclui o escalar ∂κα

∂xi (x1, . . . , xn) e, considerando a definicao de

gradiente de campo escalar, vetorial, tensorial ou de pontos 1.3.5, o tensor de segunda or-dem ∇xκ. Isto indica que os dois vetores no segundo membro formam um tensor simples.

Tal tensor deve ser cα(κ(x))⊗ ci(x), nao ci(x)⊗ cα(κ(x)), porque ∇xκ e aplicado a um

vetor diferenca entre pontos pertencentes, ambos, a D, produzindo um vetor diferencaentre pontos pertencentes, ambos, a κ(D). Obtem-se, entao,

∇xκ =n∑i=1

∂κα

∂xi(x1, . . . , xn) cα(κ(x))⊗ ci(x) ,

onde o somatorio sobre α obedece a notacao de Einstein 1.1.2. A ultima expressaodestacada mostra componentes mixtos do tensor gradiente de deformacao, associados

a base produto correspondente as bases naturais contravariante e covariante de quaisquerdois sistemas de coordenadas, referindo-se cada sistema de coordenadas a um ponto

distinto do espaco euclideano de pontos.De fato, de acordo com a definicao de tensor de segunda ordem 1.2.14, a expressao

destacada indica que

(∇xκ)αi =

∂κα

∂xi(x1, . . . , xn) .

69

Portanto, utilizando a base produto mencionada, os componentes do gradiente da de-formacao sao as derivadas parciais das funcoes escalares de escalares κα : (x1, . . . , xn) 7→xα, para α = 1, . . . , n, que fornecem a deformacao em termos das relacoes entre as co-ordenadas destes dois pontos. Mas, usando o comentario 1.2.15, sobre transposicao detensor simples, tem-se que

(∇xκ)T =

n∑i=1

∂κα

∂xi(x1, . . . , xn) ci(x)⊗ cα(κ(x)) , logo ((∇xκ)

T ) αi =

∂κα

∂xi(x1, . . . , xn) .

De fato, de acordo com o comentario 1.2.16, sobre transposicao de tensor de segundaordem, A i

j = (AT ) ij . O conceito de tensor gradiente de deformacao e de extrema

importancia para a termodinamica dos meios contınuos, usando-se, geralmente, os com-ponentes associados agora mostrados.

1.3.4 Derivadas Covariantes

Definicao 1.3.10 (Componente de Gradiente de Campo) O gradiente de campoescalar, vetorial, tensorial ou de pontos foi apresentado na definicao 1.3.5. No comentario1.3.16, sobre deformacao em termos de coordenadas, foram indicados os componentes dogradiente de campo de pontos, associados a base produto correspondente as bases naturaiscontravariante e covariante de quaisquer dois sistemas de coordenadas, referindo-se cadasistema de coordenadas a um ponto distinto do espaco euclideano de pontos. Sera, agora,considerado um unico sistema de coordenadas, aplicavel a todos os pontos do espaco

euclideano e os dois campos de bases naturais, um contravariante e o outro covariante,referentes a este sistema de coordenadas (definicao de campo de bases 1.3.9 e comentario1.3.14, sobre tensor metrico e base natural dual).

De fato, os componentes dos gradientes dos campos escalar, de bases naturais, ve-torial e tensorial de segunda ordem, associados aos dois campos de bases mencionados,apresentam especial interesse para a mecanica dos meios contınuos. Portanto, seja ψ o

sistema de coordenadas, de acordo com sua definicao 1.3.8 e sejam (x1, . . . , xn) = ψ(x)

as correspondentes coordenadas, ou x = χ(x1, . . . , xn), onde x ∈ D ⊂ E|D e aberto (de-

finicao de subconjunto aberto 1.3.1). De acordo com o ja citado comentario 1.3.14, sejam,

∀x, (ci(x))ni=1 e (ci(x))ni=1 as bases naturais, respectivamente contravariante e covariante,

referentes a estas coordenadas.

1. Campo escalar f : D → <: o gradiente de f e um vetor, portanto seus com-ponentes sao produtos internos do vetor gradiente pelos vetores de base. Logo, deacordo com a definicao de base dual 1.2.8, os componentes covariantes do gradientede f sao dados por

∇xf · ci(x) = ∇xf [ci(x)] = limt→0

1

t(f(x+ tci(x))− f(x)) ,

onde na ultima igualdade usou-se sequencialmente a expressao para derivada di-recional da citada definicao 1.3.5, seguida da definicao de derivada escalar em es-

70

calar 1.3.2. Como ci(x) = ∂χ∂xi (x

1, . . . , xn) = limt→01t(χ(x1, . . . , xi + t, . . . , xn) −

χ(x1, . . . , xn)), onde na primeira igualdade usou-se o mencionado comentario 1.3.14

e na segunda a citada definicao 1.3.2, tem-se limt→01t(χ(x1, . . . , xi + t, . . . , xn) −

χ(x1, . . . , xn)−tci(x)) = 0. Portanto, limt→01tχ(x1, . . . , xi+t, . . . , xn) = limt→0

1t(x

+tci). Usando o conceito de composicao de funcoes apresentado na definicao de

funcao e funcional 1.1.1 tem-se, entao, ∇xf · ci(x) = limt→01t(f χ(x1, . . . , xi +

t, . . . , xn)− f χ(x1, . . . , xn)), ou

∇xf · ci(x) =∂(f χ)

∂xi(x1, . . . , xn) .

Se ∇xf =∑nj=1

∂(fχ)∂xj (x1, . . . , xn) cj(x), entao ∇xf · ci(x) =

∑nj=1

∂(fχ)∂xj cj(x) ·

ci(x) =∑nj=1

∂(fχ)∂xj δji = ∂(fχ)

∂xi , logo

∇xf =n∑j=1

∂(f χ)

∂xj(x1, . . . , xn) cj(x) .

Portanto, os componentes covariantes do vetor gradiente de um campo escalar,

evidentemente associados a correspondente base natural covariante de um sistemade coordenadas de um espaco euclideano de pontos, sao as derivadas parciais def χ em relacao as mencionadas coordenadas. Tais escalares costumam ser grafados

∂(f χ)

∂xj(x1, . . . , xn) = f, j(x) ,

sendo denominados derivadas covariantes de campo escalar. Tem-se, entao,

∇xf = f, j(x) cj(x) ,

que claramente mostra ser o nome derivada covariante proveniente do fato de quetrata-se dos componentes, do gradiente campo escalar f(x), associados a base na-tural covariante referente ao ponto x (derivadas contravariantes nao serao tratadas

neste texto). Como deseja-se utilizar a notacao de Einstein 1.1.2, esta e a razaoporque o indicador referente a coordenada de derivacao (no caso, j) aparece comoındice, nao como superındice do sımbolo do campo (no caso, f).

2. Campo de bases naturais: as bases naturais sao (ci(x))ni=1 (contravariante) e

(ci(x))ni=1 (covariante). Para cada i fixo tem-se ci : x ∈ D 7→ ci(x) ∈ Ex , sendo

o gradiente de ci um tensor de segunda ordem grafado Γi(x) = ∇xci ∈ Ex ⊗ Ex .

Analogamente, ci : x ∈ D 7→ ci(x) e Γi(x) = ∇xci ∈ Ex ⊗ Ex . Os componentes

de Γi e Γi associados as bases produto naturais sao os sımbolos de Christoffel,a seguir relacionados (nas expressoes abaixo, todas as grandezas dependem de x,motivo porque esta dependencia sera omitida ate ao final deste item):

Γi = Γ ji k cj ⊗ ck = Γi j k cj ⊗ ck = Γ k

i j cj ⊗ ck = Γ j ki cj ⊗ ck e

Γi = Γi j k cj ⊗ ck = Γi j k cj ⊗ ck = Γi kj cj ⊗ ck = Γi j k cj ⊗ ck .

71

Note que os sımbolos de Christoffel nao representam componentes associados de

algum tensor de terceira ordem, porque o indicador i nao se refere a base associada,

mas sim ao fato de se tratar de um componente do gradiente de ci (primeira entreas ultimas duas linhas destacadas) ou de ci (segunda entre as ultimas duas linhasdestacadas).

De acordo com a segunda igualdade do item 2 do comentario 1.3.11, sobre formulas

para diferenciacao de produtos, tem-se que 0 = ∇(ci ·cj) = (∇ci)T (cj)+(∇cj)T (ci)

= (Γi)T (cj) + (Γj)T (ci). Seja Γi = Γim k cm ⊗ ck , logo, (Γi)T = Γim k ck ⊗ cm.

Analogamente, seja Γj = Γ mj k cm⊗ ck , logo (Γj)

T = Γ mj k ck⊗ cm . Substituindo

(Γi)T e (Γj)T na expressao de ∇(ci ·cj) obtem-se ∇(ci ·cj) = Γi j k ck+Γ i

j k ck = 0 ,ou

Γi j k = −Γ ij k .

Usando sempre o mesmo produto (ci · cj), mas cm ⊗ ck ao inves de cm ⊗ ck e

cm⊗ck ao inves de cm⊗ck, obtem-se Γi kj = −Γ i k

j ao inves de Γi j k = −Γ ij k . E

facil perceber que nao sao obtenıveis mais outras igualdades analogas a estas duas.

De fato, usando (cj · ci), ao inves de (ci · cj), apenas se intercambiam i e j nos

dois sımbolos de ambas as duas ultimas igualdades, cabendo, ainda, lembrar que oproduto interno e comutativo.

Porem, considerando o comentario 1.3.14, Γi(x) = ∇xci = ∇x∇χi, onde xi = χi(x).

Entao, de acordo com o comentario 1.3.13, sobre gradiente de gradiente de campo

escalar, ∇x∇χi e simetrico, porque a definicao 1.3.8 afirma que χi pertence a classe

C2. Portanto, cm ·Γicn = cn ·Γicm , ou cm ·Γi j k(cj⊗ck)cn = cn ·Γi j k(cj⊗ck)cm ,

ou Γim n = Γin m . E facil perceber que, embora Γi = Γi j k cj ⊗ ck = Γi kj cj ⊗ ck ,

nao existe uma relacao analoga para Γi kj . Como a simetria e uma propriedade

que muito facilita os calculos, apenas a igualdade destacada costuma ser utilizada.

Esta, pode entao ser re-escrita

Γik j = Γi j k = −Γ ij k = −Γ i

k j .

Por causa da existencia desta ultima expressao destacada, usa-se um unico sımbolo

de Christoffel. Geralmente, escolhe-se o componente Γ ij k , frequentemente cha-

mado o sımbolo de Chistoffel de segunda especie.

3. Campo vetorial v : D → V : de acordo com a primeira igualdade do item 2 docomentario 1.3.11, sobre formulas para diferenciacao de produtos, tem-se (todasas grandezas dependem de x, motivo porque esta dependencia sera omitida ate ao

final deste item) ∇v = ∇(vici) = ci ⊗∇vi + vi∇ci . Mas, usando o primeiro item

da presente definicao, ∇vi =∑nj=1

∂(viχ)∂xj (x1, . . . , xn) cj = vi, j c

j. Por outro lado,

usando o segundo item da presente definicao tem-se ∇ci = Γi = Γ ji k cj ⊗ ck.

Portanto,∇v = vi, j ci ⊗ cj + vi Γ j

i k cj ⊗ ck .

Considerando que, no primeiro termo do segundo membro da ultima equacao des-tacada, tanto i quanto j sao indicadores mudos, eles poder ser respectivamente

72

substituıdos por j e k, disto resultando a expressao de ∇v em termos da derivadacovariante do componente contravariante do vetor v,

∇v = vj, k cj ⊗ ck , sendo vj, k = vj, k + vi Γ ji k .

Alternativamente, pode-se considerar ∇v = ∇(vici) = ci ⊗ ∇vi + vi∇ci , sendo

∇vi =∑nj=1

∂(viχ)∂xj (x1, . . . , xn) cj = vi, j c

j e ∇ci = Γi = Γi j k cj ⊗ ck. Portanto,

a expressao de ∇v em termos da derivada covariante do componente covariante dovetor v e

∇v = vi, j ci ⊗ cj + vi Γi j k cj ⊗ ck , ou

∇v = vj, k cj ⊗ ck , sendo vj, k = vj, k − vi Γ ij k ,

onde foi utilizado Γi j k = −Γ ij k. Os escalares vj, k e vj, k representam, respectiva-

mente, componentes associados a bases produto mista e covariante do tensor ∇xv .Estes escalares sao denominados derivadas covariantes de campo vetorial.

Note que, semelhantemente ao colocado no final do item 1, o indicador referente acoordenada de derivacao (no caso, k) aparece como ındice porque a correspondente

base natural no ponto x (no caso, (ck(x))nk=1) e covariante, justificando o nomederivada covariante.

4. Campo tensorial de segunda ordem. A aplicacao, a um tensor de segundaordem, da operacao gradiente e dos sımbolos de Chistoffel selecionados no item 2desta definicao produz um tensor de terceira ordem. Os componentes de tal tensor,a seguir apresentados sem demonstracao, sao escalares denominados derivadas

covariantes de campo tensorial de segunda ordem. Informa-se, portanto,que:

(a) Para a representacao mista do campo tensorial de segunda ordem A(x) =Ai j(x) ci(x)⊗ cj(x) tem-se

∇A = Ai j, k ci ⊗ cj ⊗ ck , sendo Ai j, k = Ai j, k + Al j Γ il k − Ai l Γ l

j k ,

onde Ai j, k =∂(Ai

jχ)

∂xk (x1, . . . , xn).

(b) Para a representacao mista do campo tensorial de segunda ordem A(x) =A ji (x) ci(x)⊗ cj(x) tem-se

∇A = A ji , k ci ⊗ cj ⊗ ck , sendo A j

i , k = A ji , k + A l

i Γ jl k − A j

l Γ li k ,

onde A ji , k =

∂(A ji χ)

∂xk (x1, . . . , xn).

(c) Para a representacao contravariante do campo tensorial de segunda ordemA(x) = Ai j(x)ci(x)⊗ cj(x) tem-se

∇A = Ai j, k ci ⊗ cj ⊗ ck , sendo Ai j, k = Ai j, k + Al j Γ il k + Ai l Γ j

l k ,

onde Ai j, k = ∂(Ai jχ)∂xk (x1, . . . , xn).

73

(d) Para a representacao covariante do campo tensorial de segunda ordem A(x) =Ai j(x)c

i(x)⊗ cj(x) tem-se

∇A = Ai j, k ci ⊗ cj ⊗ ck , sendo Ai j, k = Ai j, k − Al j Γ li k − Ai l Γ l

j k ,

onde Ai j, k = ∂(Ai jχ)

∂xk (x1, . . . , xn).

Note que o nome derivada covariante pode ser justificado do mesmo modo ja apresentadono final do item 3.

Notacao 1.3.2 (Derivada Covariante) A aplicacao do gradiente transforma um ten-sor de ordem 0, 1 ou 2 respectivamente num tensor de ordem 1, 2 ou 3. Mas, nos trescasos, ao se aumentar em uma unidade a ordem do tensor, na definicao de componentede gradiente de campo 1.3.10 foi adicionado um ındice, nao um superındice, aos compo-

nentes associados do tensor. Isto ocorreu porque, conforme entao explicado, a derivacaoefetuada foi covariante.

A vırgula presente nos sımbolos das derivadas covariantes indica que tais grandezas

resultam da aplicacao de uma ou mais derivacoes covariantes e, ao mesmo tempo, se-para dos outros ındices aqueles que foram adicionados em decorrencia da realizacao detais operacoes. Na citada definicao 1.3.10, sempre apenas um ındice e separado a di-reita da vırgula, porque uma unica derivacao covariante e realizada. Mas, a cada novaderivacao covariante porventura executada, um ındice e adicionado a direita dos ındicesanteriormente posicionados apos a vırgula, os quais se referem a derivacoes anteriormenteefetuadas (existe, sempre, uma unica vırgula).

Comentario 1.3.17 (Derivada Covariante de 1 e de e) De acordo com a definicaode transformacao tensorial identidade 1.2.16, 1v = v mas, considerando o comentario1.3.7, sobre diferenciacao de produto, Df(X)[Y ] = π(Dφ(X)[Y ], ψ(X))+π(φ(X), Dψ(X)[Y ]). Como consequencia, a derivada covariante de 1 e necessariamente nula, independen-temente da representacao (uma das duas mistas, contravariante ou covariante) escolhidapara 1 .

De acordo com o comentario 1.2.13, sobre componente associado do tensor identidade,

1 = gi j ci ⊗ cj = δij ci ⊗ cj = δ ji ci ⊗ cj = gi j c

i ⊗ cj. Mas, de acordo com o co-

mentario 1.3.14, sobre tensor metrico e base natural dual, gi j(x) = ci(x) · cj(x) e

gi j(x) = ci(x) ·cj(x), ou seja, os componentes gi j e gi j, do tensor metrico de um sistema

de coordenadas de um espaco euclideano de pontos, sao funcoes do ponto considerado.

Portanto, embora os campos escalares gi j e gi j nao sejam funcoes constantes de x, suas

derivadas covariantes sao nulas, logo gi j , k = 0 e gi j, k = 0. De fato, a ultima expressao

destacada, no item 1 da definicao de componente de gradiente de campo 1.3.10, deixaevidente que o valor da derivada covariante depende nao so do campo escalar considerado,

como tambem, por meio da funcao χ = ψ−1, do sistema de coordenadas utilizado.

Considerando a definicao de campo de bases 1.3.9 e o comentario 1.3.14, sobre tensormetrico e base natural dual, isto e analogo a dizer que o valor da derivada covariantedepende nao so do campo escalar considerado, como tambem dos campos de bases duais

definidos pelo sistema de coordenadas. No caso dos componentes gi j e gi j do tensor

metrico, a dependencia em x destes componentes e compensada pela dependencia em x

74

das correspondentes bases (ci⊗cj ) e (ci⊗cj), de modo a que 1 = gi j ci⊗cj = gi j ci⊗cj,

ou seja, de modo a que gi j , k = 0 e gi j, k = 0.

O comentario 1.2.35, sobre propriedades dos componentes do tensor e, indica que,

sendo g = det[gi j], tem-se ei j k = ±√g εi j k e ei j k = ±(√g)−1 εi j k , onde o sımbolo de

permutacao εi j k independe de x. Como a derivada covariante de gi j e nula, por causa

do comentario 1.3.5, sobre diferenciacao em cadeia, o mesmo ocorre com a derivada co-

variante de det[gi j] (o comentario 1.3.4, sobre gradiente de determinante, fornece tal

gradiente, no tensor gi j). Logo, a derivada covariante de e e nula, independentemente

da representacao ser qualquer uma entre as 23 = 8 possıveis. Por exemplo, para as deri-vadas covariantes das representacoes covariante e contravariante tem-se respectivamente

ei j k , l = 0 e ei j k, l = 0. Conclui-se, portanto, que os componentes do tensor metrico e

do tensor elemento de volume apresentam derivadas covariantes nulas embora, em geral,tais componentes sejam funcoes de x.

Comentario 1.3.18 (Propriedades do Sımbolo de Christoffel Γ ji k) Utilizando a

expressao apresentada no item 4d da definicao de componente de gradiente de campo1.3.10 e a igualdade gi j , k = 0, apresentada no comentario 1.3.17, sobre derivada co-

variante de 1 e de e, obtem-se uma expressao que relaciona o sımbolo de Christoffelde segunda especie aos componentes covariantes dos tensores metricos, para um dadosistema de coordenadas, a saber

Γ ji k =

1

2gj l

(∂gl i∂xk

+∂gl k∂xi

− ∂gi k∂xl

).

Outra propriedade importante e a regra de transformacao entre sımbolos de Christoffelde segunda especie relativos a dois diferentes sistemas de coordenadas de um espacoeuclideano de pontos, dada por

Γ ji k = Γ s

r t

∂xr

∂xi∂xj

∂xs∂xt

∂xk+

∂2xr

∂xi∂xk∂xj

∂xr.

1.3.5 Operadores para a Mecanica dos Meios Contınuos

Definicao 1.3.11 (Divergencia de Campo Vetorial) De acordo com a definicao decampo 1.3.4, seja o campo vetorial u(x). A divergencia deste campo vetorial e umcampo escalar definido por divu(x) = tr(∇xu). De fato, para ∇xu fornecido em termos

da derivada covariante do componente contravariante do vetor u, conforme o item 3 da

definicao de componente de gradiente de campo 1.3.10, tem-se tr(∇xu) = tr(uj, k cj⊗ck) .

Mas, de acordo com os itens 1 e 3 do comentario 1.2.29, sobre propriedades de tracos,

tr(uj, k cj ⊗ ck) = uj, k tr(cj ⊗ ck) = uj, k cj · ck = uj, k δkj = uk, k . Por outro lado, para

∇xu fornecido em termos da derivada covariante do componente covariante do vetor u,

tem-se tr(∇xu) = tr(uj, k cj ⊗ ck) = uj, k tr(cj ⊗ ck) = uj, k cj · ck = uj, k gj k = uk, k , onde

a penultima igualdade e devida ao comentario 1.2.6, sobre funcoes gi j e gi j, enquanto

que a ultima provem do comentario 1.2.14, sobre gi j ou gi j aplicado a componente detensor. Portanto,

divu(x) = tr(∇xu) = uj, k(x) gj k(x) = uk, k(x).

75

Definicao 1.3.12 (Rotacional de Campo Vetorial) De acordo com a definicao decampo 1.3.4, seja o campo vetorial u(x). O rotacional de u(x) e um campo vetorial

definido por rotu(x) =< (∇xu)T −∇xu >, onde foi utilizada a notacao 1.2.9, para vetor

associado a tensor antissimetrico, o que indica que rotu(x) e um campo vetorial axial.

De acordo com o comentario 1.2.46, sobre decomposicao cartesiana, (∇xu)T − ∇xu e

o dobro da parte antissimetrica do tensor ∇xu, mas com sinal oposto. Portanto, rotu

e o vetor axial correspondente a parte antissimetrica do gradiente do vetor (−2u). Deacordo com o item 3 da definicao de componente de gradiente de campo 1.3.10, tem-se

∇u = uk, j ck ⊗ cj = uk, j ck ⊗ cj. Portanto:

1. Para ∇xu fornecido em termos da derivada covariante do componente covariante

do vetor u tem-se, de acordo com o comentario 1.2.15, sobre transposicao de tensor

simples, (∇u)T − ∇u = uk, j (cj ⊗ ck − ck ⊗ cj) = uk, j cj ∧ ck, onde a ultima

igualdade deve-se a definicao de produto externo de vetores 1.2.36. De acordo

com a mencionada notacao 1.2.9, < (∇xu)T − ∇xu >= τ((∇xu)T − ∇xu), logo

rotu(x) = uk, j τ(cj ∧ ck). De acordo com o comentario 1.2.37, sobre propriedades

do tensor axial, τ(cj ∧ ck) = ej k ici = ej kici , onde ej k i = e(cj, ck, ci) e ej ki =

e(cj, ck, ci). Mas, conforme a definicao de funcao e tensor elemento de volume

1.2.34, e : V 3 → < e uma funcao alternante trilinear nao trivial de orientacao

positiva, logo e(cj, ck, ci) = e(ci, cj, ck) e e(cj, ck, ci) = e(ci, cj, ck), portanto

ej k i = eij k e ej ki = e j ki , ou seja,

rotu(x) = eij k uk, j(x)ci(x) = e j ki uk, j(x)c

i(x) ,

onde, de acordo com o comentario 1.3.17, sobre derivada covariante de 1 e de e, as

unicas grandezas independentes de x sao eij k e e j ki .

2. Analogamente, para ∇xu dado em termos da derivada covariante do componente

contravariante do vetor u, obtem-se

rotu(x) = ei jk uk, j(x)ci(x) = e j

i k uk, j(x)c

i(x) .

Comentario 1.3.19 (Rotacional e Divergencia de Campo Vetorial) De acordocom a definicao de campo 1.3.4, sejam os campos vetoriais u(x) e v(x)|cte , sendo v(x)|cte =

vl cl(x) um campo tal que seus componentes (vl)

nl=1 , no campo de bases (cl(x))nl=1 , inde-

pendam de x. Portanto, v(x)|cte e um campo vetorial constante, ou independente de x,

em relacao ao campo de base, logo em relacao ao sistema de coordenadas escolhido, mas

nao em relacao ao espaco euclideano de pontos. Conforme a definicao de rotacional de

campo vetorial 1.3.12, tem-se v · rotu = vl cl · eij k uk, j ci = vl e

ij k uk, j δli = vi e

ij k uk, j ,

ou v(x)|cte · rotu(x) = vi eij k uk, j(x), porque vj independe de x por hipotese e, de acordo

com o comentario 1.3.17, sobre derivada covariante de 1 e de e, tambem eij k independede x.

Por outro lado, de acordo com a definicao de produto vetorial 1.2.38, tem-se u×v =<

76

u∧v >= eij k uivjck = eij k uivj ck = wkck , logo, considerando a definicao de divergencia

de campo vetorial 1.3.11, tem-se div (u(x) × v(x)|cte) = div (wk(x)ck(x)) = wk, k(x).

Porem wk(x) = eij k vjui(x), portanto wk, k(x) = eij k vj ui, k(x) e div (u(x) × v(x)|cte) =

vj eij k ui, k(x) = vi e

k i j uk, j(x) . Como, conforme a definicao de funcao e tensor elemento

de volume 1.2.34, e : V 3 → < e uma funcao alternante trilinear nao trivial de orientacao

positiva, tem-se ek i j = eij k, logo div(u(x)× v(x)|cte) = vi eij k uk, j(x) . A expressao

v(x)|cte · rotu(x) = div(u(x)× v(x)|cte)

e uma definicao alternativa do campo vetorial rotacional de u(x). Sugere-se comparar

o conceito agora apresentado para v(x)|cte = vl cl(x) com o conceito de 1 = gi j ci⊗ cj =

gi j ci ⊗ cj, conforme discutido no mencionado comentario 1.3.17.

Definicao 1.3.13 (Divergencia de Campo Tensorial) De acordo com a definicao decampo 1.3.4, seja o campo tensorial de segunda ordem A(x). A divergencia deste campotensorial, divA(x), e um campo vetorial definido por

v(x)|cte · divA(x) = div (AT (x)(v(x)|cte)),

onde v(x)|cte foi definido no comentario 1.3.19, sobre rotacional e divergencia de campo

vetorial. Informa-se, sem demonstracao, que a partir desta definicao se obtem:

1. divA(x) = Ai j, j(x)ci(x), onde o componente Ai j, j(x) do tensor de terceira ordem,

que e a derivada covariante da representacao contravariante A(x) = Ai j(x)ci(x)⊗cj(x) do tensor de segunda ordem, e fornecida na letra (c) do quarto item da

definicao de componente de gradiente de campo 1.3.10.

2. divA(x) = gj k Ai j, k(x)ci(x), onde o componente Ai j, k(x) do tensor de terceira

ordem, que e a derivada covariante da representacao mista A(x) = Ai j(x)ci(x) ⊗cj(x) do tensor de segunda ordem, e fornecida na letra (a) do quarto item da citada

definicao 1.3.10. Porem, considerando o comentario 1.2.14, sobre gi j ou gi j aplicado

a componente de tensor, tem-se gj k Ai j, k = Ai k, k = Ai j, j , a ultima igualdade sendo

devida ao fato de k ser um ındice mudo somativo. O resultado, portanto, e o mesmodo item 1.

3. divA(x) = A ji , j(x)c

i(x), onde o componente A ji , j(x) do tensor de terceira ordem,

que e a derivada covariante da representacao mista A(x) = A ji (x)ci(x) ⊗ cj(x)

do tensor de segunda ordem, e fornecida na letra (b) do quarto item da definicao1.3.10.

4. divA(x) = gj k Ai j, k(x)ci(x), onde o componente Ai j, k(x) do tensor de terceira or-

dem, que e a derivada covariante da representacao covariante A(x) = Ai j(x)ci(x)⊗

cj(x) do tensor de segunda ordem, e fornecida na letra (d) do quarto item da men-

cionada definicao 1.3.10. Analogamente ao afirmado no item 2, tem-se gj k Ai j, k =

A ki , k = A j

i , j , portanto o resultado e o mesmo do item 3.

77

Definicao 1.3.14 (Laplaciano de Campo Escalar ou Vetorial) De acordo com adefinicao de campo 1.3.4, sejam os campos escalar φ(x) e vetorial h(x). Os laplacianos

destes campos sao respectivamente o campo escalar definido por ∇2xφ = div(∇xφ) e o

campo vetorial definido por ∇2xh = div(∇xh).

1. Considerando o item 1 da definicao de componente de gradiente de campo 1.3.10,

para φ(x) tem-se ∇xφ = φ, j(x)cj(x). Logo, usando-se definicao de divergencia de

campo vetorial 1.3.11 tem-se

∇2xφ = div(φ, j(x)c

j(x)) = (φ, j), k gj k = gj k φ, j k(x) ,

onde a ultima igualdade provem do uso da notacao de derivada covariante 1.3.2.

2. Considerando o item 3 da citada definicao 1.3.10, para h(x) tem-se ∇xh = hi , j ci⊗cj = hi, j c

i ⊗ cj. Usando o item 2 da definicao de divergencia de campo tensorial1.3.13 obtem-se, para a representacao mista de ∇xh,

∇2xh = gj k ¯h

i

, j k(x)ci(x) .

Por outro lado, usando o item 4 da definicao 1.3.13 obtem-se, para a representacaocovariante de ∇xh,

∇2xh = gj k ¯hi, j k(x)c

i(x) .

Note que, nas ultimas duas expressoes destacadas, foi usada a ja mencionadanotacao 1.3.2.

Comentario 1.3.20 (Expressoes para Divergencia e Laplaciano) De acordo coma definicao de campo 1.3.4, seja um campo escalar f(x), dois campos vetoriais u(x) ev(x) e um campo tensorial de segunda ordem A(x). Serao utilizados os comentarios

1.2.6, sobre funcoes gi j e gi j,

1.2.10, sobre calculo de componente associado de tensor de segunda ordem,

1.2.14, sobre gi j ou gi j aplicado a componente de tensor,

1.2.18, sobre composicao com tensor simples,

1.2.29, sobre propriedades de tracos,

1.2.31, sobre propriedades do produto interno tensorial,

1.3.17, sobre derivada covariante de 1 e de e

e as definicoes

1.1.2, de matriz,

1.2.34, de funcao e tensor elemento de volume,

1.2.38, de produto vetorial,

1.3.10, de componente de gradiente de campo,

78

1.3.11, de divergencia de campo vetorial,

1.3.12, de rotacional de campo vetorial,

1.3.13, de divergencia de campo tensorial,

1.3.14, de laplaciano de campo escalar ou vetorial,

para demonstrar as quatro expressoes (a dependencia em x e omitida):

1. div(fu) = u · ∇f + fdivu

(a) div(fu) = ( fu )i , i = ( fui ), i , usando a definicao 1.3.11 em termos do com-

ponente contravariante do vetor fu e, em seguida, o fato de que se trata damultiplicacao de um escalar por um vetor.

(b) u · ∇f = ujcj · f, i ci = ujf, i δi

j = f, iui , usando item 1 da definicao 1.3.10.

(c) fdivu = fui, i , usando a definicao 1.3.11 em termos do componente contra-

variante do vetor u.

Logo, ( fui ), i = f, iui + fui, i . Como as regras comuns para derivacao de escalares

foram obedecidas, pode-se considerar demonstrada a expressao. Lembrar que abarra indica que um termo, especıfico para cada um dos dois casos, deve ser adi-cionado as derivadas covariantes dos campos escalares f(x)ui(x) e ui(x), para seobter as correspondentes derivadas covariantes dos respectivos campos vetoriais.

2. div(A(u)) = u · divAT + tr(A∇u)

(a) div(A(u)) = (A(u) )i , i usando a definicao 1.3.11 em termos do componente

contravariante do vetor A(u). Mas A(u) = Ai juk(ci ⊗ cj)ck = Ai juk(cj ·

ck)ci = Ai j uk δk

j ci = Ai j uj ci , logo (A(u))i = Ai juj , ou div(A(u)) =

(Ai juj ), i .

(b) u · divAT = uk ck · (AT )i j, j ci = uk(AT )i j, j δki = (AT )i j, jui = Aj i, j ui =

Ai j, i uj , usando na primeira igualdade o item 1 da definicao 1.3.13 e, na

quarta igualdade, a definicao 1.1.2.

(c) tr(A∇u) = tr(A(uj, icj⊗ci)) = tr(uj, iA(cj⊗ci)) = uj, i tr(A(cj⊗ci)), usando o

item 3 da definicao 1.3.10, para a componente covariante do vetor, na primeiraigualdade e, na terceira igualdade, o primeiro item do comentario 1.2.29. Mas,

utilizando o primeiro item do comentario 1.2.18, tem-se A(cj⊗ci) = A(cj)⊗ci,

logo tr(A(cj ⊗ ci)) = tr(A(cj) ⊗ ci) = A(cj) · ci = Ai j, onde na segunda

igualdade foi usado o terceiro item do comentario 1.2.29 e, na terceira, o

comentario 1.2.10. Portanto, tr(A∇u) = Ai juj, i .

Logo, (Ai juj ), i = Ai j, i uj + Ai juj, i , podendo-se considerar demonstrada a ex-

pressao.

3. div(u× v) = v · rotu− u · rotv

79

(a) div(u×v) = (u× v)l, i gi l usando a definicao 1.3.11 em termos do componente

covariante do vetor u×v e lembrando que, de acordo com o comentario 1.2.6,

gi l = gl i. Mas, de acordo com a definicao 1.2.38, u × v = ei j kuivjck, ou

u× v = ej k lujvkcl = el j ku

jvkcl, sendo a ultima igualdade devida a definicao

1.2.34, logo (u × v)l = el j kujvk, portanto (u× v)l, i g

i l = (el j kujvk), i gi l =

(gi lel j kujvk), i , sendo a ultima igualdade devida a que, de acordo com o

comentario 1.3.17, gi l , i = 0. Tem-se, entao, div(u× v) = (gi lel j kujvk), i .

(b) v · rotu = vlcl · e ji k u

k, jc

i, usando os componentes contravariantes do vetor u,

de acordo com o item 2 da definicao 1.3.12. Considerando que cl · ci = δ il ,

tem-se entao v · rotu = e ji k u

k, jv

i = e ik j u

j, iv

k = gi lek l j uj, iv

k, onde a ultima

igualdade e devida ao comentario 1.2.14. Como, de acordo com a definicao

1.2.34, e(ck, cl, cj) = e(cl, cj, ck), tem-se v · rotu = gi lel j k uj, iv

k.

(c) u · rotv = e ji k v

k, ju

i, obtido permutando u com v na expressao v · rotu =

e ji k u

k, jv

i, calculada no anterior item (b). Porem, em analogia mas diferen-

temente do efetuado no item (b), pode-se fazer e ji k v

k, ju

i = e ij k v

k, iu

j =

gi lej l k vk, iu

j. Como, conforme a definicao 1.2.34, e(cj, cl, ck) = −e(cl, cj, ck),tem-se −u · rotv = gi lel j k v

k, iu

j.

Portanto, (gi lel j kujvk), i = gi lel j k uj, iv

k + gi lel j k uj vk, i . Como as regras comuns

para derivacao de escalares foram obedecidas, a expressao pode ser consideradademonstrada.

4. ∇2(u · v) = ∇2u · v + 2∇u · ∇v + u · ∇2v

(a) ∇2(u · v) = gj k(u · v), j k = gj k(uici · vlcl), j k = gj k(uivlδ li ), j k = gj k(uivi), j k ,

onde a primeira igualdade provem do item 1 da definicao 1.3.14.

(b) ∇2u · v = gj k ¯ui , j kci · vlcl = gj k ¯ui , j kvlδli = gj k ¯ui , j kvi , onde a primeira

igualdade provem do item 2 da definicao 1.3.14, para representacao mista.

(c) ∇u · ∇v = (ui , kci ⊗ ck) · (vi, jci ⊗ cj), de acordo com o item 3 da definicao

1.3.10, para a componente contravariante de u e covariante de v. Porem,

vi, jci⊗ cj = gj kvi, jc

i⊗ ck , por causa do comentario 1.2.14. Logo, ∇u · ∇v =

gj k ui , k vi, j(ci⊗ck) · (ci⊗ck) = gj k ui , k vi, j , onde a ultima igualdade e devida

ao item 4 do comentario 1.2.31.

(d) u · ∇2v = ulcl · gj k ¯vi, j kci = ul gj k ¯vi, j kδ

il = gj k ui ¯vi, j k , onde a primeira

igualdade e proveniente do item 2 da definicao 1.3.14, para representacaocovariante.

Logo, gj k(uivi), j k = gj k ¯ui , j kvi+2gj k ui , k vi, j+gj k ui ¯vi, j k . Como as regras comuns

para derivacao de escalares foram obedecidas, a expressao pode ser consideradademonstrada.

Este comentario, alem de apresentar quatro expressoes de grande utilidade para a meca-nica dos meios contınuos, exemplifica o uso de derivadas covariantes no calculo tensorial.

80

Tal uso pode ser muito conveniente porque, conforme mostrado, as expressoes se reduzema funcoes escalares, para as quais as regras comuns de derivacao sao aplicaveis.

Teorema 1.3.3 (Divergencia) Seja E um espaco euclideano de pontos, conforme a sua

definicao 1.2.44 e seja R ⊂ E|R e regular, de acordo com a definicao de classe Ck, 1.3.7.Se

∂R indicar a superfıcie de R, enquanto que da indicar o diferencial da area de ∂R e dvo diferencial do volume de R ,

n(x) indicar um campo vetorial (conforme a sua definicao 1.3.4), de modulo unitario,normal a ∂R, dirigido para fora de R e

φ : R → < , h : R → V e A : R → V ⊗ V forem campos, respectivamente escalar,vetorial e tensorial de segunda ordem, que apresentem dependencia em x suave (deacordo com a ja citada definicao 1.3.7),

entao

1.∫∂R φ(x)n(x) da =

∫R∇xφ dv ,

2.∫∂R h(x) · n(x) da =

∫R divh(x) dv ,

3.∫∂RA(x)(n(x)) da =

∫R divA(x) dv e

4.∫∂R h(x)⊗ n(x) da =

∫R∇xh dv.

A demonstracao do teorema da divergencia e omitida.

Teorema 1.3.4 (Funcao Identicamente Nula em E) Seja E um espaco euclideanode pontos, conforme a sua definicao 1.2.44 e seja D ⊂ E|D e aberto (definicao de sub-conjunto aberto 1.3.1). Seja, tambem, φ : D → W uma funcao contınua, onde W e umespaco normatizado, de acordo com o colocado na definicao 1.3.3, de derivada vetorial,

tensorial ou de pontos, em escalar. Se, ∀N ⊂ D, ocorrer∫N φ(x) dv = 0, entao, ∀x ∈ D,

ter-se-a φ(x) = 0, ou seja, entao φ sera identicamente nulo em D.

Demonstracao: Se φ(x) 6= 0 para algum x ∈ D, como φ e contınua ∃N ⊂ D tal que

φ(x) 6= 0 ∀x ∈ N . Logo, usando-se o teorema do valor medio do calculo integral tem-se∫N φ(x) dv = Kφ(x), onde K e o volume de N e o valor medio x ∈ N , logo φ(x) 6= 0,

portanto∫N φ(x) dv 6= 0, o que contraria a hipotese inicial. 2

81

Capıtulo 2

Cinematica

2.1 Configuracao e Deformacao

2.1.1 Gradiente de Deformacao

As ciencias naturais utilizam funcoes, chamadas estruturas referenciais ou observadores,aplicaveis aos corpos e aos instantes pertencentes a algum espaco-tempo, o qual e umaabstracao mental do universo material real que se supoe contenha estes corpos e instantes.Tal aplicacao produz imagens, destes conjuntos corpo-instante, as quais pertencem aalgum espaco capaz de descrever matematicamente a abstracao mental considerada. Umaestrutura referencial, ou observador, de Newton, φ, e aplicavel a conjuntos corpo-instante pertencentes ao espaco-tempo de Newton, W , que e a abstracao mentalcorrespondente a suposicao de que o universo material real seja governado pelas leis damecanica classica.

A aplicacao de uma estrutura referencial, ou observador, de Newton a conjuntos corpo-instante pertencentes ao espaco-tempo de Newton produz imagens no espaco produto doespaco euclideano de pontos tridimensional, E , pelo espaco unidimensional dos numerosreais, <, ou seja,

φ : W → E ×<.

Isto permite que qualquer ponto pertencente a E seja associado a qualquer instantepertencente a < e v.v., o que indica que o tempo e o ponto sao considerados independentes.

Deve ser notado que diferentes observadores de Newton registrarao de modo diferente osfatos que ocorram em W . Na subsecao 2.6.1 sera discutida a relacao entre estes diferentesregistros mas, ao longo de todo o presente texto, apenas estruturas referenciais de Newton

serao consideradas.Seja B o sımbolo utilizado para representar um corpo pertencente a W . Como φ

e uma funcao de um para um em B (veja a definicao 1.1.1 de funcao e funcional), nao

so em E × < o tempo e uma variavel independente do conjunto de pontos que formaa imagem de B, como tambem em W o tempo e B sao independentes. Por isto, nadaimpede a existencia de uma funcao de B para E , de um para um em B, valida em qualquer

instante. Tal funcao e chamada uma configuracao de B. Uma especıfica configuracaode B, grafada κ, sera considerada a configuracao referencial de B. Se X for o pontomaterial pertencente a B que corresponde ao ponto matematico X ∈ E , tem-se entao

κ : B → E e κ(X) = X. (2.1)

82

A imagem do corpo B na configuracao κ e grafada Bκ , logo X ∈ Bκ ⊂ E . As coor-denadas (ver a definicao 1.3.8 de sistema de coordenadas) de X, (Xα, α = 1, 2, 3) saoas coordenadas referenciais, tambem chamadas coordenadas materiais, porque oponto material X e matematicamente identificado pelo ponto X.

Seja χ uma configuracao arbitraria, tambem chamada configuracao corrente, deB. Tem-se, entao

χ : B → E e χ(X) = x , portanto

χκ = χ κ−1 : Bκ → Bχ , logo x = χκ(X) = χ(κ−1(X)), (2.2)

onde x ∈ Bχ ⊂ E , as coordenadas de x sao as coordenadas correntes, grafadas (xi,

i = 1, 2, 3) e Bχ e a imagem do corpo B na configuracao χ. A funcao χκ e denominada

deformacao de B desde κ ate χ. Em termos das coordenadas (Xα, α = 1, 2, 3) e (xi,

i = 1, 2, 3), a deformacao χκ pode ser escrita

xi = χiκ(X1, X2, X3), (2.3)

onde o argumento (X1, X2, X3) das funcoes de deformacao χiκ pode ser abrevia-damente escrito (Xα). Define-se, tambem, o tensor de segunda ordem gradiente dedeformacao, de χ em relacao a κ no ponto X,

Fκ(X) = ∇Xχκ . (2.4)

Quando nao houver duvidas sobre qual e a configuracao referencial, o ındice pode seromitido tanto em χiκ como em Fκ (nao pode ser omitido em χκ porque a funcao χtem outro significado, ja apresentado). Isto sera suposto a partir deste ponto do texto.

Como a funcao φ e de um para um em B, χκ e de um para um em Bκ , o que implica emser F nao singular, ou seja, implica em que

J = detF 6= 0, (2.5)

de acordo com a definicao de tensor inverso de segunda ordem 1.2.29.Em relacao as coordenadas (xi, i = 1, 2, 3) e (Xα, α = 1, 2, 3), respectivamente

referentes a configuracao deformada e referencial, F pode ser representado em termos

dos seus componentes associados a base (ci(x)⊗ cα(X))i=3α=3i=1α=1 , ou seja,

F = F iα ci(x)⊗ cα(X) e F T = (F T ) i

α cα(X)⊗ ci(x) , onde F iα = (F T ) i

α =∂χi

∂Xα,

(2.6)de acordo com o comentario 1.3.16 (deformacao em termos de coordenadas). Note quea funcao deformacao apresentada pela eq. 2.3 nao precisa ser fornecida em coordenadascartesianas, sendo utilizado um componente de carater contravariante (definicao de base

dual 1.2.8) em x, referente a base natural (definicao de campo de bases 1.3.9) (ci(x))3i=1

e um componente de carater covariante em X, referente a base natural (cα(X))3α=1. Sao

tambem possıveis outras representacoes do tensor gradiente de deformacao, em relacao apontos do espaco euclideano. Mas a representacao fornecida pelas eqs. 2.6 e particular-mente simples, porque envolve apenas as derivadas parciais escalares ∂χi/∂Xα.

83

2.1.2 Diferenciais Definidos pelo Gradiente de Deformacao

De acordo com a definicao 1.3.5 de gradiente de campo escalar, vetorial, tensorial oude pontos, o gradiente de deformacao, F , e uma transformacao linear F : V → V , noespaco de translacao V de E (definicao de espaco euclideano de pontos 1.2.44). Taltransformacao satisfaz a expressao

χκ(X)− χκ(X0) = F (X0)[X−X0 ] + o(X−X0), onde limε→0

|o(X−X0)|ε

= 0, (2.7)

sendo ε = |X − X0| a norma (definicao de espaco vetorial euclideano 1.2.6) do vetor

X − X0 ∈ V | (X,X0) ∈ Bκ. A eq. 2.7 mostra, portanto, que o valor F (X0) determina

o valor de χκ(X) em relacao ao valor χκ(X0), a menos de um erro de segunda ordem

em ε = |X −X0| . Em outras palavras, numa aproximacao de primeira ordem o vetor

imagem do vetor X − X0 , apos a aplicacao da transformacao F (X0) a este vetor, e o

vetor χκ(X)− χκ(X0)| (χκ(X), χκ(X0)) ∈ Bχ .

O verdadeiro vetor imagem do vetor X − X0 , apos a aplicacao da transformacao

F (X0) a este vetor, e F (X0)[X−X0 ] ∈ V . Logo, definindo

dX = X−X0 e dx = F (X0)[X−X0 ] , tem-se

dx = F (X0)dX , (2.8)

sendo dx uma aproximacao de primeira ordem ao vetor χκ(X) − χκ(X0) e (X,X0) ∈Bκ . A eq. 2.8, chamada equacao definidora dos diferenciais dX e dx, mostra que a

definicao de diferencial independe dos valores das normas dos vetores dX e dx, embora

tal independencia esteja limitada pela obediencia a condicao (X,X0) ∈ Bκ. Porem:

1. Devido a continuidade do espaco euclideano de pontos, se for imposto que a normade dX seja infinitesimal, isto implicara em que, se X0 ∈ Bκ , entao X ∈ Bκ , logo

(χκ(X), χκ(X0)) ∈ Bχ . Portanto, se X0 ∈ Bκ , a imposicao de que a norma de

dX seja infinitesimal sera suficiente para garantir que seja satisfeita a exigencia da

eq. 2.7 de que (χκ(X), χκ(X0)) ∈ Bχ , embora nao seja necessaria para que estasatisfacao ocorra.

2. Como a definicao de gradiente exige que limε→0(|o(X − X0)|/ε) = 0 (eq. 2.7), a

imposicao de que a norma de dX, grafada ε conforme ja colocado, seja infinitesimal,corresponde a imposicao de que |o(X−X0)| = 0 , logo, por causa da eq. 2.7, tambemde que χκ(X)−χκ(X0) = dx e, considerando a eq. 2.8, de que a norma deste ultimovetor tambem seja infinitesimal. Estas tres imposicoes, porem, sao desnecessariasa satisfacao de qualquer uma entre as eqs. 2.7 e 2.8.

Fatos absolutamente analogos a estes correspondem a definicao costumeira de di-ferencial de escalar. A correta definicao de diferencial de escalar pode, por exemplo,ser encontrada em Tom M. Apostol, Calculus: Volume I e II, Wiley, segunda edicao,New York, 1969, onde e utilizada uma equacao escalar analoga a eq. 2.8. Muitos li-vros de matematica, porem, no conceito de diferencial destacam a opcional imposicao

de infinitesimo, ao inves da equacao definidora dos diferenciais (ao inves da eq. 2.8, ou

84

de uma equacao analoga a ela). Tal enfoque e replicado por inumeros livros de fısica,fısico-quımica e engenharia, mas sem consequencias prejudiciais ao desenvolvimento da

correspondente teoria, porque a equacao definidora, embora algumas vezes seja apenassubentendida ou mesmo ignorada, nao obstante isto ela sempre existe.

Mas a atemporalidade da termodinamica tradicional, ao excluı-la de qual-quer espaco-tempo quadridimensional, tem como consequencia a possıvel ine-xistencia da equacao definidora, quando entao o conceito de diferencial passaa ser unicamente o de infinitesimo. Isto leva a termodinamica tradicional a

diversos ilogismos matematicos, conforme mostrado por Clifford A. Truesdell,Rational Thermodynamics, Springer, New York, 1984.

Evidentemente, porem, a imposicao de que a norma de dX seja infinitesimal nao e

errada, uma vez que a definicao de diferencial permite qualquer norma tal que (X,X0) ∈Bκ. A imposicao de que a norma de dX seja infinitesimal pode, inclusive, ser muito util

para simplificar a compreensao de diversos conceitos matematicos. Por exemplo, deacordo com o anterior item 2, tal imposicao corresponde a obrigatoriedade de que ocorra|o(X − X0)| = 0 e χκ(X) − χκ(X0) = dx = F (X0)dX, sendo tambem infinitesimal anorma de dx, o que pode ajudar na compreensao do significado da transformacao linearF (X0). De fato, este e o modo costumeiramente utilizado pelos livros de texto paraapresentar, ao leitor iniciante, o conceito de derivada de escalar. Mas um infinitesimonao precisa ser um diferencial, assim como um diferencial nao precisa ser um infinitesimo.

Por exemplo, seja o vetor A, que representa uma area plana de dimensao finita. Talvetor e perpendicular ao plano que contem a area e tem como norma o valor da area.Neste caso, certamente a norma de A nao e infinitesimal, mas A pode ser um diferencial,ou seja, pode-se ter dX = A, obedecendo dX a alguma equacao definidora do tipo daeq. 2.8. Mas, se a area considerada nao for plana, havera um vetor para cada sub-areaplana que ela contenha, sendo possıvel que cada sub-area plana se reduza a apenas umponto (imagine, por exemplo, a area de uma superfıcie esferica). Neste caso, cada areaplana sera infinitesimal, o mesmo ocorrendo com a norma do vetor A que a representa,logo, se A for um diferencial, com a norma de dX = A. Porem, o simples fato de que

seja infinitesimal o valor de |A|, sem que exista uma equacao definidora de diferenciais,nao permite que se escreva dX = A, ou seja, nao permite que se afirme que A e umdiferencial, ja que para um diferencial a equacao definidora por hipotese existe.

Seja ou nao infinitesimal o valor de |A| , o vetor unidade na direcao de A (definicaode vetor projecao 1.2.7) e o vetor A/|A| = (v1 × v2)/|v1 × v2| , onde v1 e v2 sao ve-tores linearmente independentes que tangenciam a superfıcie plana considerada (seja ounao infinitesimal area de tal superfıcie). Conforme colocado na eq. 2.2, sejam Bκ e Bχrespectivamente a imagem do corpo B na configuracao referencial e numa configuracaoarbitraria, contendo Bκ a area (infinitesimal ou nao) tangenciada pelos vetores v1 e v2 .Imponha-se que cada um dos vetores v1 e v2 possa ser definido por dois pontos do espacoeuclideano, sendo ambos os pontos pertencentes a Bκ . Portanto, seja v1 = X1 −X10 ev2 = X2 − X20 , onde (X1,X10 ,X2,X20) ∈ Bκ. Se a citada area for infinitesimal, istoexigira que as normas de v1 e v2 sejam infinitesimais. Se a citada area nao for infini-tesimal, esta exigencia nao mais existira, mas nada impedira que normas infinitesimaissejam consideradas. Evidentemente, normas infinitesimais de v1 e v2 nao implicam emarea infinitesimal.

85

Sejam as normas dos vetores X1−X10 e X2−X20 infinitesimais ou nao, por meio da

eq. 2.8 obtem-se os correspondentes vetores imagens, apos a aplicacao da transformacao

F (X10) e F (X20) respectivamente, bem como definem-se os diferenciais dX1 = X1−X10

e dX2 = X2 − X20 , com seus correspondentes diferenciais imagens, dx1 = F (X10)dX1

e dx2 = F (X20)dX2 . Porem, se for imposto que as normas dos vetores X1 − X10 e

X2 −X20 sejam infinitesimais, de acordo com o anterior item 2 os diferenciais imagens,

respectivamente F (X10)dX1 e F (X20)dX2 , serao iguais aos correspondentes vetores

χκ(X1)−χκ(X10) e χκ(X2)−χκ(X20). Por isto, tal imposicao em muito simplifica as ex-

pressoes dos vetores unidade perpendiculares a superfıcie, numa configuracao arbitraria.De fato tem-se, entao, os vetores unidade perpendiculares a superfıcie

eκ =dX1 × dX2

| dX1 × dX2|e e =

FdX1 × FdX2

|FdX1 × FdX2|,

respectivamente referentes a configuracao referencial e arbitraria.Note que, nestas ultimas equacoes destacadas, foram omitidos os pontos que definem

as formas dos operadores gradiente. Isto ocorreu porque, alem de ter sido imposto queque as normas dos vetores X1−X10 e X2−X20 fossem infinitesimais, foi adicionalmente

imposto que fosse tambem infinitesimal a area que eles tangenciam, o que implica nacoincidencia dos pontos X10 e X20 . Implica, tambem, em que seja infinitesimal a areatangenciada pelos vetores dx1 e dx2 . Portanto, a mencionada imposicao adicional naoapenas permite a omissao dos pontos que definem as formas dos operadores gradiente,como tambem implica em que

|dX1 × dX2| = daκ e |FdX1 × FdX2| = da

sejam as equacoes definidoras dos diferenciais correspondentes as areas planas, os quaissao infinitesimais.

Seja um vetor v do espaco de translacao V de E . Considerando infinitesimal o di-

ferencial daκ , tem-se que v · e da = v · (FdX1 × FdX2) = F (F−1v) · (FdX1 × FdX2).

De acordo com a definicao de produto triplo 1.2.39, F (F−1v) · (FdX1 × FdX2) =

[FdX1, FdX2, F (F−1v)]. Mas, [FdX1, FdX2, F (F−1v)] = detF [dX1, dX2, (F−1v)], de

acordo com o comentario 1.2.39, sobre determinante, traco e produto triplo. Consi-derando a eq. 2.5 e usando novamente a definicao 1.2.39 tem-se, entao, v · e da =

J(F−1v)·(dX1×dX2) = J(F−1v)·eκ daκ = v·JF−Teκ daκ , sendo a ultima igualdade de-

vida a definicao de transformacao linear transposta 1.2.17. Portanto, e da = JF−Teκ daκ .

Analogamente, seja v3 = X3 −X30 , onde (X3,X30) ∈ Bκ , um vetor nao pertencente

ao plano dos vetores v1 e v2 . Defina-se o diferencial dX3 = X3 − X30 , bem como

o seu diferencial imagem dx3 = F (X30)dX3 , correspondentes a equacao definidora 2.8

e imponha-se que |X3 − X30| e daκ sejam infinitesimais. De acordo com o anterior

item 2, neste caso dx3 = χκ(X3) − χκ(X30). Tem-se, entao, o volume infinitesimal

dv = | dx3 · dx1× dx2| = |FdX3 ·FdX1×FdX2|. Usando novamente a definicao 1.2.39 e

o comentario 1.2.39, tem-se que |FdX3 · FdX1 × FdX2| = | detF || dX3 · dX1 × dX2| =| J | dvκ , logo dv = | J | dvκ . Isto indica que, se | J | = 1, a deformacao preserva o volume.

A relacao entre os diferenciais infinitesimais de area referencial e arbitraria,

86

bem como a relacao entre os diferenciais infinitesimais de volume referencial earbitrario, respectivamente

e da = JF−Teκ daκ e dv = | J | dvκ , (2.9)

muito uteis para a mecanica dos meios contınuos, foram facilmente obtidas por causa dagrande simplificacao proveniente de terem sido consideradas infinitesimais as normas dosdiferenciais daκ e dX3 .

2.1.3 Mudanca de Configuracao Referencial

Seja κ uma outra configuracao referencial de B, definida de modo analogo a configuracaoreferencial κ (eq. 2.1), pertencendo as imagens de ambas as duas configuracoes ao espacoeuclideano de pontos E , correspondente a estrutura referencial de Newton φ. A com-posicao

λ = κ κ−1 : E → E , tal que X = λ(X) = κ(κ−1(X)) ,

e chamada uma mudanca de configuracao referencial de κ para κ. Seja χκ definidade modo analogo a χκ (eq. 2.2). As deformacoes desde cada uma das duas configuracoesreferenciais κ e κ , ate a configuracao arbitraria χ , respectivamente χκ e χκ , sao relaci-onadas entre si por meio da composicao

χκ = χκ λ : Bκ → Bχ , tal que x = χκ(X) = χκ(λ(X)) = χκ(X) .

Se dX = X −X0 , de acordo com a ultima equacao destacada ∇X0

χκ dX = ∇X0

(χκ λ) dX = ∇

X0

χκ [∇X0

λ dX], onde a ultima igualdade e devida ao comentario 1.3.5, sobre

diferenciacao em cadeia. Porem ∇X0

χκ [∇X0

λ dX] = (∇X0

χκ ∇X0

λ) dX ou, usando

a eq. 2.4,

Fκ(X) = ∇Xχκ = ∇

Xχκ ∇X

λ e, sendo P (X) = ∇Xλ = ∇

X(κ κ−1),

Fκ = Fκ P , onde Fκ ( X ) = ∇Xχκ . (2.10)

2.2 Tracao e Rotacao

O gradiente da deformacao (eq. 2.4) e uma medida da deformacao no ponto X ∈ Bκ ⊂ E .Mas outras medidas existem, cujos significados fısicos sao, ate, mais evidentes. Comoo gradiente da deformacao F e nao singular (eq. 2.5), de acordo com o teorema dadecomposicao polar 1.2.10 ha dois tensores simetricos (definicao de tensores simetricoe antissimetrico 1.2.18) de definicao positiva (definicao de tensor de definicao positiva,negativa e semi-definicao 1.2.43), U e V e um tensor ortogonal (definicao de tensorortogonal de segunda ordem 1.2.30), R, determinados de modo unico a partir de F , taisque

F = RU = V R , U =√F TF , V = RURT =

√FF T e R = FU−1 . (2.11)

Denomina-se tensor de rotacao a R, tensor direito de estiramento a U e tensoresquerdo de estiramento a V , onde direito e esquerdo referem-se a posicao do tensor,

87

em relacao a R, na composicao F = R U = V R (note que e esta composicao que daorigem ao nome decomposicao polar). Estas denominacoes provem da interpretacao fısicadestes tensores. De fato, de acordo com o teorema espectral 1.2.6, sobre autovalores detensor simetrico, como os tensores U e V sao simetricos, para cada um deles existe umabase ortonormal, do espaco vetorial tridimensional, tal que o tensor possa ser representadocomo uma matriz diagonal de autovalores. Alem disto, de acordo com o teorema 1.2.8(tensor simetrico de definicao positiva ou negativa), como U e V sao de definicao positiva,todos os seus autovalores sao positivos. Por isto, U e V representam estiramentos puros,ao longo de tres eixos ortogonais entre si.

Mas, como a aplicacao de tensor ortogonal a dois vetores preserva o produto internoentre eles, R representa uma rotacao pura. Logo, o gradiente de deformacao resulta deum estiramento puro U seguido de uma rotacao R, ou da mesma rotacao R seguida de umestiramento V 6= U . Enquanto que ambos os tensores de estiramento medem a tracao,ou mudanca de forma, o tensor de rotacao mede a mudanca de orientacao, ou rotacao.Como U2 = F TF e V 2 = FF T , o uso dos itens 3 e 4 do comentario 1.2.27, sobrepropriedades de determinantes - parte I, mostra que (detU)2 = (detF )2 = (detV )2.Mas, de acordo com o comentario 1.2.45, sobre determinante de tensor simetrico dedefinicao positiva ou negativa, como U e V sao simetricos de definicao positiva, seuscorrespondentes determinantes sao positivos. Pode-se, portanto, escrever

detU = detV = | detF | . (2.12)

Sejam os autovalores e autovetores de U respectivamente vi e ei , para i = 1, 2, 3,logo seja Uei = viei (de acordo com a notacao de Einstein 1.1.2, nao ocorre somatoriosobre o ındice i). Como V = RURT , tem-se V (Rei) = RURT (Rei) = RU(ei) = vi(Rei).Portanto

U e V tem os mesmos autovalores e seus autovetores diferem apenas pelarotacao R.

Os autovalores vi , todos eles positivos, sao chamados estiramentos principais e oscorrespondentes autovetores, mutuamente ortonormais, sao chamados direcoes princi-pais. Utilizando as eqs. 2.12, U e V podem ser obtidos a partir de F , calculando-se araiz quadrada dos tensores simetricos de definicao positiva F TF e FF T , respectivamente.Para isto, basta considerar o teorema 1.2.9, sobre quadrado de tensor simetrico de de-finicao positiva ou negativa e a notacao 1.2.10, para tensor raiz quadrada. Mas, paraefeito de calculo, e mais conveniente introduzir os tensores de tracao de Cauchy -Green direito e esquerdo, respectivamente definidos por

C = U2 = F TF e B = V 2 = FF T . (2.13)

Usando a representacao F = F jβ cj ⊗ cβ do gradiente de deformacao (eqs. 2.6),

bem como o comentario 1.2.15, sobre transposicao de tensor simples e a definicao de

matrizes transposta e inversa 1.1.4, tem-se F TF = F iαF

jβ (cα ⊗ ci)(cj ⊗ cβ) e FF T =

F iαF

jβ (cj⊗cβ)(cα⊗ci) . Por meio do item 1 do comentario 1.2.18, sobre composicao com

tensor simples, obtem-se (cα⊗ci)(cj⊗cβ) = ((cα⊗ci)(cj))⊗cβ. Considerando a definicao

de produto tensorial de vetores ou tensor simples 1.2.12 e, em seguida, o comentario 1.2.6,

sobre funcoes gi j e gi j, tem-se ((cα ⊗ ci)(cj))⊗ cβ = (ci · cj)cα ⊗ cβ = gi j cα ⊗ cβ, logo

88

(cα ⊗ ci)(cj ⊗ cβ) = gi j cα ⊗ cβ. Analogamente, (cj ⊗ cβ)(cα ⊗ ci) = gαβcj ⊗ ci . Logo,

F TF = gi jFiαF

jβ cα ⊗ cβ e FF T = gαβF i

αFjβ cj ⊗ ci = gαβF i

αFjβ ci ⊗ cj , porque

FF T e simetrico. Tem-se, portanto,

Cαβ = gi j FiαF

jβ e Bi j = gαβF i

αFjβ ,

ou, na forma matricial,

[Cαβ] = [F iα]T [gi j][F

jβ] e [Bi j] = [F i

α][gαβ][F j

β]T .

Convem lembrar que gi j e gαβ sao, de acordo com a eq. 2.6 e com o comentario 1.3.14,sobre tensor metrico e base natural dual, respectivamente um componente covariante dotensor metrico referente ao sistema de coordenadas no ponto x da configuracao deformadae um componente contravariante do tensor metrico referente ao sistema de coordenadasno correspondente ponto X da configuracao referencial. Como exemplo, considere a de-formacao x = χκ(X), dada em coordenadas cartesianas tanto na configuracao referencialcomo na deformada e definida por meio das expressoes

x = X + κY , y = Y e z = Z . (2.14)

Esta deformacao e chamada cisalhamento simples e κ > 0 e chamado quantidadede cisalhamento. Usando as eqs. 2.3 e 2.6, conforme as quais Fi α = ∂χi/∂Xα, tem-sea forma matricial

[Fi α] =

1 κ 00 1 00 0 1

. (2.15)

Note que, como detF = 1, de acordo com a eq. 2.9 o cisalhamento simples preserva ovolume. Sugere-se acompanhar pelo livro (p. 6 e 7) o tratamento restante deste exemplo.

2.3 Tracao e Rotacao Lineares

Os tensores de tracao e rotacao mostrados na secao 2.2 podem representar quaisquerdeformacoes. Mas, nesta secao, somente serao consideradas deformacoes suficientementepequenas para que a imposicao da linearidade, nos tensores que que as representam,cause erros desprezıveis. De acordo com a eq. 2.8, tem-se

dx1 · dx2 = FdX1 · FdX2 = dX2 · (F TF ) dX1 = dX2 · CdX1 ,

onde a segunda igualdade provem da definicao de transformacao linear transposta 1.2.17e a terceira igualdade provem da eq. 2.13. A expressao destacada mostra que

dx1 · dx2 − dX1 · dX2 = dX2 · (C − 1 ) dX1 = 2 dX2 · E dX1 , onde (2.16)

E =C − 1

2(2.17)

e chamado tensor de tracao de Green - St. Venant, ou tensor de tracao referen-cial (de acordo com a definicao de transformacao tensorial identidade 1.2.16, o sımbolo1 representa o tensor identidade). Analogamente, tem-se

dX1 · dX2 = F−1dx1 · F−1dx2 = dx2 · (F−TF−1) dx1 = dx2 ·B−1dx1 , logo

89

dx1 · dx2 − dX1 · dX2 = dx2 · (1 −B−1) dx1 = 2 dx2 · e dx1 , onde (2.18)

e =1 −B−1

2(2.19)

e chamado tensor de tracao de Almansi - Hamel, ou tensor de tracao corrente.Se nao houver deformacao (ou para deformacao infinitesimal), χκ(X) − χκ(X0) =

X−X0 ∀(X,X0) ∈ Bκ , logo a eq. 2.7 indicara que o(X−X0) = 0 e F = 1 . Portanto,

a eq. 2.13 mostrara que C = B = 1 e as eqs. 2.17 e 2.19 respectivamente produziraoE = 0 e e = 0. Por isto,

para deformacoes pequenas os tensores E e e nao diferem muito de tensoresnulos.

Para tratar adequadamente deformacoes pequenas, utiliza-se o vetor deslocamentou = x − X. Em relacao a configuracao referencial, κ, o vetor deslocamento pode serescrito

u(X) = χκ(X)−X

(sendo χκ definido pela eq. 2.2), o que permite obter o tensor gradiente referencialde deslocamento

H(X) = ∇X

u = F (X)− 1 ,

onde foi usada a eq. 2.4. Mas o vetor deslocamento tambem pode ser escrito em relacaoa configuracao corrente, χ, tendo-se entao

u(x) = x− χ−1κ (x) ,

o que produz o tensor gradiente espacial de deslocamento

h(x) = ∇xu = 1 − F−1(x) ,

porque, do acordo com a eq. 2.4, ∇xχ−1κ = F−1(x). Evidentemente,

para deformacoes pequenas os tensores H e h tambem nao diferem muito detensores nulos.

Utilizando as equacoes acima destacadas para H(X) e h(x), bem como as eqs. 2.13, 2.17e 2.19, tem-se

E = C−12

= FTF−12

= (H+1 )T (H+1 )−12

=H +HT +HTH

2e

e = 1−B−1

2= 1−(FFT )−1

2= 1−(1−h)T (1−h)

2=

h+ hT − hTh

2. (2.20)

Sublinhe-se que, ao contrario do conceito de infinitesimal apresentado na subsecao2.1.2, o conceito de deformacao pequena independe do modulo do vetor X−X0 , enquanto

que, ∀X ∈ Bκ , implica em modulo pequeno para o vetor χκ(X)−X. Usando a primeira

das duas eqs. 2.20 e simbolizando qualquer conjunto de termos de ordem igual ou superiora dois em |H| por meio de o(2), obtem-se E = E + o(2), onde

E =H +HT

2(2.21)

90

e o tensor de tracao infinitesimal introduzido por Cauchy na teoria classica da elas-ticidade. Numa aproximacao de primeira ordem em relacao a H considera-se o(2) = 0,

logo E = E, portanto impoe-se a linearidade da definicao de E a partir de H. Eviden-temente, tal aproximacao se justifica somente se H for suficientemente proximo de umtensor nulo, ou seja, somente se a deformacao for suficientemente pequena para que o

erro causado seja desprezıvel. Evidentemente, para tracao infinitesimal E = E = 0.

A segunda das eqs. 2.11 indica que U =√F TF logo, usando a definicao de H antes

destacada, tem-se U =√

(H + 1 )T (H + 1 ) =√

1 +H +HT +HTH. A quarta das eqs.

2.11 mostra que R = FU−1 = (H + 1 )/√

1 +H +HT +HTH. Considere, agora, o

desenvolvimento em serie de MacLaurin (1 + x)n = 1 + nx+ n(n− 1)x2/2! + . . ., o qual

contem um numero finito de termos se n for um inteiro positivo e, caso contrario, converge

para x2 < 1. Fazendo n = 1/2 e x = H +HT +HTH tem-se√

1 +H +HT +HTH =

1 + (H + HT )/2 + o(2). Fazendo n = −1/2 e x = H + HT + HTH tem-se (H +

1 )/√

1 +H +HT +HTH = (H + 1 )(1 − (H +HT )/2+ o(2)) = 1 +(H −HT )/2+ o(2).Portanto,

U =√F TF = 1 + H+HT

2+ o(2) = 1 + E + o(2) e

R = FU−1 = 1 + H−HT

2+ o(2) = 1 + R + o(2), (2.22)

onde

R =H −HT

2(2.23)

e chamado tensor de rotacao infinitesimal, em analogia ao tensor de tracao infinite-

simal, E. Note que, de acordo com o comentario sobre decomposicao cartesiana 1.2.46,

E e R sao, respectivamente, a parte simetrica e a parte antissimetrica do tensor H.Pode-se obter interpretacoes geometricas para os componentes do tensor infinitesimal

de tracao E, em relacao a um sistema de coordenadas cartesianas. Para isto:

1. Seja dX1 = dX2 = s0e1. Neste caso, eq. 2.16 indica que dx1 · dx2 − s20e1 · e1 =

2s20e1 · Ee1 , ou dx1 · dx2 − s2

0 = 2s20E1 1 . De acordo com a subsecao 2.1.2, a eq.

2.8 define os diferenciais dx1 = F (X10)dX1 e dx2 = F (X20)dX2 , respectivamente

em relacao aos diferenciais dX1 = X1 − X10 e dX2 = X2 − X20 . Estes ultimos

sao arbitrarios, sujeitos apenas a restricao de que (X1,X10 ,X2,X20) ∈ Bκ. Mas,porque

so faz sentido comparar diferenciais correspondentes a mesma equacaodefinidora,

a igualdade dX1 = dX2 implica nao apenas em vetores respectivamente com igualnorma e direcao (direcao inclui sentido), conforme colocado no comentario 1.2.3,sobre igualdade entre vetores, mas tambem com igual ponto de aplicacao no espacoeuclideano de pontos tridimensional. Logo, dx1 = dx2 e dx1 · dx2 = s2, ondeo comprimento s e o comprimento s0 apos deformacao. Note que a direcao dedx1 = dx2 nao precisa ser a mesma de dX1 = dX2 . Tem-se, portanto,

E1 1 =s2 − s2

0

2s20

=(s− s0)(s+ s0)

2s20

91

e analogamente para E2 2 e E3 3 . Numa deformacao suficientemente pequena para

que se possa considerar E = E, tambem pode-se impor s+ s0 = 2s0 , portanto

E1 1 =s− s0

s0

.

A ultima igualdade destacada mostra que os componentes diagonais do tensor E, emrelacao a um sistema de coordenadas cartesianas, sao as alteracoes de comprimentosofridas, por unidade de comprimento original.

2. Seja dX1 = s0e1 e dX2 = s0e2. Neste caso, eq. 2.16 indica que dx1 · dx2 − s20e1 ·

e2 = 2s20e2 · Ee1 , ou dx1 · dx2 − s2

0 cos(π/2) = 2s20E2 1 . A eq. 2.8 mostra que

dx1 · dx2 = FdX1 · FdX2 = s20Fe1 · Fe2 = s2

0|Fe1||Fe2| cos θ, onde θ ∈ [0, π] e o

angulo formado entre os dois vetores apos a deformacao. Logo,|Fe1||Fe2| cos θ =

2E2 1 = 2E1 2 (para confirmar que E e simetrico veja as eqs. 2.13 e 2.17). Seγ = π/2− θ , ter-se-a

senγ

2=

E1 2

|Fe1| |Fe2|=

E2 1

|Fe1| |Fe2|,

onde γ e o simetrico da alteracao sofrida no angulo entre os dois vetores, comoconsequencia da deformacao. Numa deformacao suficientemente pequena para que

se possa considerar E = E, tambem pode-se impor |Fe1| = |Fe2| = 1 e senγ = γ,obtendo-se

E1 2 = E2 1 =γ

2.

Os outros componentes de E, fora da diagonal, tem interpretacoes analogas a esta.

3. Como F = 1 + H, de acordo com o comentario 1.2.41, sobre a relacao entre A e1+A, paraH ≈ 0, tem-se detF ≈ 1+trH. Por outro lado, de acordo com a segundadas eqs. 2.9, para diferenciais de volume infinitesimais tem-se dv = | detF | dvκ , queneste caso pode ser escrito dv = detF dvκ , porque detF ≈ 1. Numa deformacao

suficientemente pequena para que se possa considerar E = E tem-se H ≈ 0 logo,se adicionalmente forem impostos diferenciais de volume infinitesimais,

dv − dvκdvκ

=detF dvκ − dvκ

dvκ= detF − 1 = trH =

3∑i=1

Ei i ,

onde a ultima igualdade e devida a eq. 2.21. Portanto, a soma dos elementos

diagonais de E e a alteracao de volume sofrida, em relacao a um volume infinitesimaloriginal.

Pode-se, tambem, interpretar os componentes do tensor infinitesimal de rotacao, R, emrelacao a um sistema de coordenadas cartesianas. Para isto, considere dX = s0(cos θ e1 +

sen θ e2), logo considere que dX forme um angulo θ com e1 . De acordo com a eq.

2.8, tem-se dx = FdX = (1 + H) dX = (1 + E + R) dX, onde a segunda igualdadedeve-se a definicao do gradiente referencial de deslocamento, H, enquanto que a terceiraprovem das eqs. 2.21 e 2.23. Seja dxh o vetor projecao de dx sobre o plano definidopor e1 e e2 , sendo s a norma deste vetor projecao. Considere que e3 seja perpendicular

92

ao mencionado plano. Como o outro vetor componente de dx e paralelo a e3 , tem-sedX × dx · e3 = dX × dxh · e3 = s0s senw, onde w e o angulo de rotacao desde dX atedxh . Tem-se, portanto,

s0s senw = dX× dx · e3 = dX× (1 + E + R) dX · e3 = dX× (E + R) dX · e3 .

Substituindo dX = s0(cos θ e1 + sen θ e2) na igualdade destacada e efetuando-se asoperacoes indicadas, entre os vetores de base ortonormais ei , obtem-se

s0s senw = s20(R2 1 + cos 2θE1 2 −

1

2sen 2θ(E1 1 − E2 2)) .

Numa deformacao suficientemente pequena para que se possa considerar E = E, tambempode-se impor s = s0 e senw = w. Neste caso, a ultima igualdade destacada toma aforma

w = R2 1 + cos 2θE1 2 −1

2sen 2θ(E1 1 − E2 2) .

Esta igualdade mostra que w depende de θ, ou seja, o angulo de rotacao desde dX atedxh depende do angulo entre os vetores dX e e1 . Mas convem lembrar que, por causada eq. 2.8, que define dx em funcao de dX, o vetor dX = X − X0 necessariamente

apresenta norma e direcao (direcao inclui sentido) completamente arbitrarias, sendo bemestabelecido apenas o seu ponto de aplicacao, X0 . Logo, o angulo θ e necessariamentearbitrario e a ultima equacao destacada define w em funcao de θ, assim como a eq. 2.8define dx em funcao de dX.

Evidentemente, os tensores E e R nao dependem de θ. De fato, eles respectivamentesao a parte simetrica e antissimetrica do tensor gradiente referencial de deslocamentoH = F − 1 (texto logo apos a eq. 2.23), o qual, assim como o gradiente de deformacaoF , depende apenas do ponto de aplicacao do vetor dX (veja a eq. 2.4). Seja

< w >=1

2π

∫ 2π

0w(θ) dθ

o angulo medio de rotacao desde dX ate dxh , quando o angulo θ, entre dX e e1 , variar

desde 0 ate 2π rd. Integrando, para θ variando entre desde 0 ate 2π rd, a penultimaigualdade destacada, percebe-se que

< w >= R2 1 .

Interpretacoes analogas valem para R1 3 e R3 2 , que sao os outros dois componentes naonulos do tensor antissimetrico, correspondentes ao mesmo vetor axial.

Foi efetuado um estudo das interpretacoes geometricas dos tensores de tracao infi-nitesimal, E e de rotacao infinitesimal, R, que respectivamente sao as partes simetricae antissimetrica do gradiente referencial de deslocamento, H. Tratamento semelhantepode ser feito usando-se o gradiente espacial de deslocamento, h. Porem, h = 1 − F−1 eH = F−1 diferem apenas em o(2), conforme pode ser mostrado efetuando-se o desenvol-vimento em serie de F−1, em termos de F . Portanto, numa deformacao suficientementepequena para que se possa considerar E = E, tem-se h = H. Tem-se, ainda, as expressoespara componentes dos tensores de tracao e de rotacao infinitesimais, em termosde derivadas do vetor deslocamento em coordenadas cartesianas da configuracao corrente,

Ei j =1

2

(∂ui∂xj

+∂uj∂xi

)e Ri j =

1

2

(∂ui∂xj

− ∂uj∂xi

). (2.24)

93

2.4 Movimento

2.4.1 Conceito Basico

Desde o inıcio do presente capıtulo, a variavel tempo foi utilizada apenas para explicar,nos primeiros paragrafos da subsecao 2.1.1, o conceito de estrutura referencial, ou obser-vador. Isto ocorreu porque, devido ao fato de serem espacos produtos ambos os espacosentre si relacionados por meio do observador de Newton, φ, existe uma funcao que, ao seraplicada ao corpo material B, produz uma imagem de B no espaco euclideano de pontostridimensional E . Tal funcao, de um para um em B e valida em qualquer instante, foichamada configuracao. A teoria desenvolvida ate a este ponto do texto e consequenciada existencia da funcao configuracao e, por isto, independe da variavel tempo, logo eatemporal. A perda conceitual envolvida em toda teoria atemporal e devida ao fato deque, evidentemente, numa teoria atemporal perdem a separacao temporal eventos que,numa teoria temporal, ocorrem em instantes distintos.

Por exemplo, para a teoria atemporal ate agora desenvolvida, as configuracoes ar-bitrarias de B poderiam ser distinguidas entre si por meio da aplicacao, ao sımbolo χ,de um ındice identificador. Neste caso, o valor do ındice nao seria o valor da variavel

tempo, mas sim uma identificacao da configuracao considerada. Mas, na teoria temporal,a cada instante t, pertencente a determinado intervalo temporal, corresponde uma unica

configuracao. Logo, para o mencionado intervalo, o valor t indica qual e a configuracaoconsiderada, por isto mesmo chamada configuracao corrente.

O sımbolo χ(·, t) (definicao de funcao e funcional 1.1.1) e mais apropriado do que ouso de t como um ındice, uma vez que t e uma variavel que se altera de modo contınuo.Alem disto, o uso de t como ındice tera um outro significado, que sera apresentado

na subsecao 2.5.1. Na teoria temporal a funcao espacial χ(·, t) e uma configuracao,assim como, na teoria atemporal, a funcao espacial χ, que pode ser grafada χ(·), e umaconfiguracao. Constitui-se a unica diferenca na determinacao, por meio do valor t, dequal e a configuracao, ou seja, desaparece a funcao χ(·), considerada valida em qualquerinstante, sendo substituıda pela funcao χ(·, t), especıfica para o instante t.

Uma sequencia temporal contınua de configuracoes χ(·, t) : B → E e, por definicao,

um movimento de B, simbolizado por

χ =(χ(·, t) : B → E|χ(·, t) varia continuamente para t# < t < t#, t ∈ <

).

Note que o sımbolo χ passa a ter, a partir deste ponto do texto, significado distinto do

anterior, apresentado na primeira subsecao. Alteracoes analogas ocorrerao com outrossımbolos, mas a mudanca de significado nao mais sera destacada. Evidentemente, como

a funcao espacial configuracao χ(·, t) varia continuamente para t# < t < t#, o mesmoacontece com a imagem do corpo B em E .

O conjunto χ de funcoes, chamado movimento, e uma funcao espacial-temporal

χ : B × < → E , tal que x = χ(X, t). (2.25)

Enquanto o sımbolo χ(X, t) indica que tanto o valor X como o valor t sao fornecidos, sendoa funcao espacial-temporal movimento χ = χ(·, ·) a eles aplicada e disto resultando comoimagem o ponto χ(X, t) = x, o sımbolo χ(·, t) indica que apenas o valor t e fornecido,sendo a funcao espacial-temporal movimento χ = χ(·, ·) a ele aplicada e disto resultando

94

como imagem a funcao χ(·, t), que aplicada ao corpo B produz a imagem dele em E , noinstante t (tal imagem e o conjunto dos pontos x). Isto confirma que χ(·, t) e a funcaoespacial configuracao, que produzira x se for aplicada a X.

Tem-se, tambem, a representacao do movimento de B por meio da sequenciatemporal contınua de deformacoes, em relacao a configuracao referencial κ, a qual, assimcomo acontece com o corpo material B, permanece independente do tempo e valida em

qualquer instante,

χκ =(χκ(·, t) : Bκ → B t|χκ(·, t) = χ(·, t) κ−1 varia cont. para t# < t < t#, t ∈ <

),

onde B t e a imagem do corpo B na configuracao χ(·, t). Assim como acontece com oconjunto χ de funcoes (que e o movimento), tambem o conjunto χκ de funcoes (que e arepresentacao do movimento) e uma funcao espacial-temporal

χκ : Bκ ×< → E , tal que x = χκ(X, t) = χ(κ−1(X), t). (2.26)

Note que, para um ponto fixo X da imagem da configuracao referencial, o conjunto dasimagens x = χκ(X, t) da funcao temporal

χκ(X, ·) : < → E

forma uma curva no espaco euclideano de pontos. Tal curva, chamada caminho outrajetoria do ponto X ∈ Bκ , ou do ponto X do corpo B, e, respectivamente, a imagem

da funcao temporal χκ(X, ·), ou da funcao temporal χ(X, ·).Os vetores velocidade, v e aceleracao , a do ponto X sao, por definicao, respecti-

vamente a primeira e a segunda derivada temporal da posicao deste ponto, quando estase altera ao longo do caminho percorrido pelo ponto X ∈ Bκ , ou seja,

v : Bκ ×< → V tal que v(X, t) =∂χκ(X, t)

∂te (2.27)

a : Bκ ×< → V tal que a(X, t) =∂2χκ(X, t)

∂t2, (2.28)

onde V e o espaco de translacao de E e χκ(X, t) e derivavel em relacao a t, o mesmoocorrendo com a sua derivada temporal. Por outro lado, χκ(X, t) e derivavel em relacaoa X, produzindo a expressao do gradiente de deformacao da configuracao corrente noinstante t, configuracao esta grafada χ(·, t), em relacao a configuracao referencial κ, noponto material X da imagem desta ultima,

Fκ(X, t) = ∇Xχκ(·, t) . (2.29)

Na atemporalidade, a eq. 2.29 se reduz a eq. 2.4. A partir deste ponto do texto, seraimplicitamente considerado que as funcoes satisfazem as condicoes necessarias para que asoperacoes indicadas possam ser efetuadas, sem que isto precise ser de cada vez afirmado.

2.4.2 Descricoes Material e Espacial

Os vetores velocidade (eq. 2.27) e aceleracao (eq. 2.28), bem como o tensor de segundaordem gradiente de deformacao (eq. 2.29), sao exemplos de quantidades fısicas atribuıdas

95

a cada ponto de um corpo material, quantidades estas cujos valores variam de ponto paraponto do citado corpo e, dado um ponto fixo X (logo, dado um ponto fixo X), variam com

a alteracao exclusivamente temporal de x = χκ(X, t) (eq. 2.26), ou seja, variam a medida

que o ponto X prossegue no seu caminho, definido pela funcao temporal χκ(X, ·). Embora

a modificacao temporal destes dois vetores e tensor dependa apenas da alteracao temporal

de x = χκ(X, t), existem outras quantidades fısicas cujas modificacoes temporais, alem

de dependerem da alteracao temporal de x = χκ(X, t), tambem dependem diretamente

do instante considerado. O estudo de tais quantidades pode basear-se em dois enfoquesalternativos, os quais levam as mesmas conclusoes:

• enfocando-se inicialmente como evolui o valor da quantidade considerada, ao longo

do caminho percorrido pelo ponto X ∈ Bκ , como efetuado no final da subsecao an-terior para os vetores velocidade e aceleracao e conforme poderia ser efetuado parao tensor gradiente da deformacao (obtendo-se a correspondente derivada parcialtemporal), ou

• enfocando-se inicialmente como se altera o valor da quantidade considerada, de

ponto para ponto da imagem da configuracao corrente do corpo.

O primeiro enfoque corresponde a descricao material, ou referencial, ou lagrange-ana da quantidade, enquanto que o segundo e chamado descricao espacial, ou euleri-ana. Para melhor apresentar estas duas descricoes, considere uma configuracao referen-cial κ e uma quantidade fısica cujos valores Q pertencam a um espaco W . Na descricaomaterial, os valores Q sao definidos, em relacao ao movimento χ do corpo material B,por meio da funcao temporal f(X, ·) : < → W . Seja f = f(X, ·) o conjunto espacialcontınuo de tais funcoes temporais, que engloba todos os pontos de Bκ e somente estespontos. Tem-se, entao,

f : Bκ ×< → W, tal que Q = f(X, t).

A segunda entre as equacoes acima destacadas, analoga as eqs. 2.27, 2.28 e 2.29, e adescricao material da quantidade fısica cujo valor e Q ∈ W . Ja a descricao espacial

da mesma quantidade e dada pela funcao espacial f(·, t) : Bt → W . Considerando a

sequencia temporal contınua de tais funcoes, grafada f =(f(·, t)

), tem-se

f : Bt ×< → W, tal que Q = f(x, t) .

Evidentemente,Q = f(x, t) = f(χκ(X, t), t) = f(X, t). (2.30)

Na mecanica dos meios contınuos, a eq. 2.30 e escrita por meio da simbologia (analogaa utilizada na termodinamica tradicional)

f = f(X, t) = f(x, t),

onde Q foi substituıdo por f e f(x, t) foi substituıdo por f(x, t). Esta simbologia sim-plificada pode causar equıvocos, especialmente quando forem envolvidas diferenciacoes.Tais equıvocos podem ser evitados escrevendo-se explicitamente as variaveis envolvidas,como por exemplo em ∂f(X, t)/∂t, para a derivada temporal na descricao material e

96

∂f(x, t)/∂t, para a derivada temporal na descricao espacial. Como as duas descricoessao igualmente diferenciaveis, tanto em relacao ao tempo quanto em relacao ao ponto(X ou x conforme o caso), a diferenca entre elas se reduz a uma simples troca entre Xe x. Porem, abandonando a simbologia matematica rigorosa, para evitar os menciona-dos equıvocos a mecanica dos meios contınuos introduz sımbolos especıficos, a seguirapresentados (as quais, na verdade, nao precisariam existir). Tem-se, assim, os sımbolos:

1. Para derivada parcial temporal de f(X, t),

f =df

dt=∂f(X, t)

∂t,

onde, em df/dt, evidentemente f representa a funcao temporal f(X, ·), a qual euma funcao local. Note que o adjetivo “local” indica “num determinado ponto fixodo corpo B”, logo num determinado ponto fixo da imagem de alguma configuracaoreferencial do corpo. Portanto, fixado um ponto do corpo, df/dt e a derivada unicade uma funcao temporal.

2. Para o gradiente, no ponto X, de f(X, t),

Gradf = ∇Xf(·, t),

e analogamente Div para a divergencia e Rot para o rotacional.

3. Para derivada parcial temporal de f(x, t),

∂f

∂t=∂f(x, t)

∂t.

4. Para o gradiente, no ponto x, de f(x, t),

gradf = ∇xf(·, t),

e analogamente div para a divergencia e rot para o rotacional.

As relacoes entre estas notacoes sao de grande importancia. Sendo v dado pela eq.2.27 tem-se, respectivamente para f = ψ, onde ψ e um escalar e para f = u, onde u eum vetor:

ψ =∂ψ

∂t+ (gradψ) · v, u =

∂u

∂t+ (gradu)v e (2.31)

Gradψ = F Tgradψ, Gradu = (gradu)F. (2.32)

Nas eqs. 2.31, a derivada parcial ∂f/∂t informa a tendencia de variacao temporal de fno ponto x, considerando nula a tendencia de alteracao temporal na localizacao desteponto. Esta e, portanto, a derivada a que se refere o item 3. Logo, ∂f/∂t 6= 0 indica quef apresenta a dependencia temporal direta citada no primeiro paragrafo desta subsecao.

Por outro lado, a derivada unica f informa a tendencia de variacao temporal de f noponto x, levando porem em consideracao a tendencia de alteracao temporal na localizacao

97

deste ponto, dada pelos segundos termos dos segundos membros das eqs. 2.31. Por esta

razao, f e a derivada a que se refere o item 1, que engloba a tendencia total de variacaode f com t, neste instante, para um determinado ponto fixo do corpo B.

O tensor de segunda ordem Fκ(X, t) = ∇Xχκ(·, t) (eq. 2.29), ao ser aplicado a um

vetor diferenca infinitesimal entre dois pontos da imagem da configuracao referencial, pro-duz um vetor diferenca infinitesimal entre dois pontos da imagem da configuracao corrente

(eq. 2.7 e 2.8). Por outro lado, o tensor de segunda ordem F−1κ (x, t) = ∇xχ

−1κ (·, t), ao ser

aplicado a um vetor diferenca infinitesimal entre dois pontos da imagem da configuracaocorrente, produz um vetor diferenca infinitesimal entre dois pontos da imagem da con-

figuracao referencial. O tensor F Tκ (X, t), embora ainda relacionado a ∇

Xχκ(·, t) assim

como Fκ(X, t), por causa da transposicao e aplicado a um vetor diferenca infinitesimal

entre dois pontos da imagem da configuracao corrente e produz um vetor diferenca in-finitesimal entre dois pontos da imagem da configuracao referencial (ao contrario de

F−1κ (x, t), o tensor F T

κ (X, t) nao se relaciona a ∇xχ−1κ (·, t)).

Por isto, enquanto que F pode ser aplicado a um vetor diferenca cujos componentes

contravariantes se refiram a base natural (cα(X))3α=1 (eq. 2.6), F T pode ser aplicado a um

vetor cujos componentes covariantes se refiram a base natural (ci(x))3i=1 , com e o caso do

vetor gradψ = ∇xψ(·, t), o que esclarece alguns aspectos fundamentais da primeira entreas eqs. 2.32. Quanto a segunda equacao, se o tensor de segunda ordem gradu for fornecido

na base mista (cj(x) ⊗ ck(x))j=3 k=3j=1 k=1 , ou na base covariante (cj(x) ⊗ ck(x))j=3 k=3

j=1 k=1 , a

composicao (gradu)F fornecera o resultado indicado.Para o caso especıfico em que u = v tem-se, usando a eq. 2.27, o gradiente material

da velocidade,

Gradv = ∇X

v(·, t) = ∇X

∂

∂tχκ(·, t) =

∂

∂t∇

Xχκ(·, t) =

∂

∂tF (X, t) = F ,

onde foi usada a eq. 2.29 na penultima igualdade. Logo,

Gradv = F (2.33)

e, usando a segunda eq. 2.32, tem-se (gradv)F = F , ou, para o gradiente espacial davelocidade ,

gradv = FF−1. (2.34)

Re-escrevendo a eq. 2.26, x = χκ(X, t), sob a forma x = x(X, t) (em analogia a f =f(X, t)) e usando a simbologia apresentada no item 1, eq. 2.27 mostra que v = x.Analogamente, obtem-se a = v = x. Portanto, usando a segunda entre as eqs. 2.31chega-se a expressao da aceleracao em funcao da velocidade,

a =∂v

∂t+ (gradv)v. (2.35)

Serao a seguir apresentadas, sem demonstracao, duas uteis equacoes complementares:

GradJ = J div(F T ) e div(J−1F T ) = 0; (2.36)

Div(JF−T ) = 0 e gradJ = −J Div(F−T ). (2.37)

98

Um tipo importante de movimento, definido por meio da eq. 2.26, e dado por

χκ(X, t) = x(t) +Q(t)(X−X), (2.38)

onde Q(t) e um tensor ortogonal dependente do tempo. Para este movimento demonstra-se que

v = x + w′ × (x− x) e a = x + w′ × (x− x) + w′ × (w′ × (x− x)),

onde a velocidade angular w′ e definida como o vetor axial do tensor antissimetrico

QQT , ou seja, w′ =< QQT >. Demonstra-se, tambem, que neste movimento a forma(comprimento e angulo) de qualquer elemento material nao se altera. Por isto, ele echamado movimento rıgido. Outro tipo importante e o movimento harmonico,descrito pelo campo de aceleracao, na descricao espacial,

a(x, t) = k2xex + k2yey , (2.39)

onde (ex, ey) e a base natural do sistema de coordenadas cartesianas bidimensional.

2.5 Deformacao Relativa

2.5.1 Conceito e Exemplo

A eq. 2.25 definiu o movimento por meio da funcao espacial-temporal χ : B×< → E , talque x = χ(X, t), ou

x′ = χ(X, τ), (2.40)

onde a variavel x foi substituıda por x′ e a variavel t foi substituıda τ . Esta substituicaofoi feita para permitir que a funcao espacial χ(·, τ) , que e configuracao no instante τ ,seja comparada com a configuracao correspondente a um instante referencial t, χ(·, t),embora κ : B → E , tal que X = κ(X), continue sendo uma configuracao referencialatemporal. Deseja-se, portanto, comparar configuracoes em momentos τ anteriores eposteriores ao instante t (o qual pode, por exemplo, ser o instante corrente). Assimcomo as eqs. 2.26 representam o movimento por meio da funcao χκ : Bκ ×< → E , que euma sequencia temporal contınua de deformacoes em relacao a configuracao referencialatemporal κ, pode-se representar o movimento por meio da sequencia temporal contınuade deformacoes relativas

χt : Bt ×< → E , tal que x′ = χt(x, τ) = χ(χ−1(x, t), τ) = χκ(χ−1κ (x, t), τ), (2.41)

onde a funcao espacial χt(·, τ) = χ(·, τ) χ−1(·, t) = χκ(·, τ) χ−1κ (·, t) : Bt → Bτ e a

deformacao relativa no instante τ .Em analogia ao gradiente de deformacao apresentado pela eq. 2.29, define-se o tensor

de segunda ordem gradiente de deformacao relativa,

Ft(x, τ) = ∇xχt(·, τ) , (2.42)

que e o gradiente de deformacao da configuracao χ(·, τ), referente ao instante τ , emrelacao a configuracao χ(·, t), relativa ao momento t, no ponto x da imagem desta ultimaconfiguracao. Evidentemente,

Ft(x, t) = 1 . (2.43)

99

Por outro lado, de acordo com a eq. 2.29 tem-se Fκ(X, t) = ∇Xχκ(X, t) e Fκ(X, τ) =

∇Xχκ(X, τ). Usando estas duas expressoes e a eq. 2.42 obtem-se

Fκ(X, τ) = Ft(x, τ)Fκ(X, t) . (2.44)

Por exemplo, seja um movimento no plano x-y, dado em relacao a configuracao referen-cial κ (eqs. 2.26) e considerando-se, para todas as configuracoes, o sistema de coordenadascartesianas. Considere o movimento especıfico dado por

x = χκ(X, Y, t) = (X et, Y (t+ 1)) , onde X = (X, Y ). (2.45)

Em termos de funcoes de deformacao analogas a eq. 2.3, tem-se x = χxκ(X, Y, t) = X et

e y = χyκ(X, Y, t) = Y (t+ 1), logo X = x e−t e Y = y/(t+ 1), ou

X = χ−1κ (x, y, t) = (x e−t,

y

t+ 1) .

Usando a eq. 2.41, calcula-se a deformacao relativa

x′ = χκ(χ−1κ (x, y, t), τ) = χκ(x e

−t,y

t+ 1, τ) = (x eτ−t,

τ + 1

t+ 1y) .

Aplicando as eqs. 2.6 a este caso especial tem-se F = F xXex⊗ ex +F x

Y ex⊗ ey +F yXey⊗

ex + F yY ey ⊗ ey, onde (ex, ey) e a base natural do sistema de coordenadas cartesianas e

F xX = ∂χxκ/∂X = et, F x

Y = ∂χxκ/∂Y = 0, F yX = ∂χyκ/∂X = 0 e F y

Y = ∂χyκ/∂Y = t+1.

Portanto,Fκ(t) = et ex ⊗ ex + (t+ 1) ey ⊗ ey .

Por outro lado, aplicando a eq. 2.42 a este caso especial tem-se, considerando a penultimaequacao destacada,

Ft(τ) =∂(x eτ−t)

∂xex ⊗ ex +

∂(x eτ−t)

∂yex ⊗ ey +

∂( τ+1t+1

y)

∂xey ⊗ ex +

∂( τ+1t+1

y)

∂yey ⊗ ey , ou

Ft(τ) = eτ−t ex ⊗ ex +τ + 1

t+ 1ey ⊗ ey .

Evidentemente, a expressao de Fκ(τ) e obtida substituindo-se t por τ na expressao deFκ(t). Fazendo τ = t na expressao de Ft(τ), percebe-se que a eq. 2.43 e satisfeita.Sustituindo-se as expressoes de Fκ(τ), Ft(τ) e Fκ(t) na eq. 2.44, percebe-se que ela,tambem, e satisfeita.

Na subsecao 2.4.1 foi informado que o caminho ou trajetoria e o conjunto das imagensx = χκ(X, t) da funcao temporal χκ(X, ·) : < → E . Logo, para este caso especıfico o

caminho e dado pela eq. 2.45, considerando-se fixo o ponto X. Mas, para X 6= 0, o tempo

pode ser eliminado nas funcoes de deformacao x = X et e y = Y (t + 1), obtendo-se

y = Y (ln xX

+ 1). Logo, para o ponto fixo X com X 6= 0, a ultima equacao fornece

a coordenada y referente a cada coordenada x e v.v., evidentemente correspondendox = (x, y) a algum instante t nao diretamente explicitado pela equacao. Mas, se X = 0,entao x = 0 e y = Y (t+ 1), sendo portanto impossıvel eliminar a variavel t. As funcoesde deformacao ainda mostram que, neste caso especial, a configuracao referencial e a

100

configuracao corrente no instante t = 0. Como outro exemplo, demonstra-se que ocampo de velocidades

v(x, t) = u(y) ex , (2.46)

denominado escoamento newtoniano, apresenta o gradiente de deformacao relativa

Ft(τ) = 1 + (τ − t)du

dyex ⊗ ey . (2.47)

2.5.2 Velocidade de Alteracao da Tendencia de Deformacao

A eq. 2.29 define o gradiente de deformacao, o qual mede a tendencia de deformacaoda configuracao corrente no instante t, em relacao a configuracao referencial, no pontoX da imagem desta ultima. Uma medida da velocidade de alteracao desta tendencia

de deformacao e o valor da derivada temporal material Fκ(X, t), no instante t (item 1

da subsecao 2.4.2). Mas, de acordo com a eq. 2.33, Fκ(X, t) = Gradv, onde Gradv e o

gradiente material (item 2 da subsecao 2.4.2) da velocidade v, sendo esta ultima definidapela eq. 2.27. Esta equacao mostra que v e a velocidade de alteracao, no instante t,da posicao x ocupada pelo ponto material X naquele momento t. Logo, Gradv mede atendencia de modificacao desta velocidade, dentro da imagem da configuracao correntereferente ao instante t, em relacao a configuracao referencial, no ponto X da imagem destaultima. A igualdade entre estes dois conceitos, expressa pela eq. 2.33, e matematicamente

explicada pela troca de ordem de derivacao, ou seja ∂∂t∇

Xχκ(·, t) = ∇

X∂∂tχκ(·, t).

Uma analoga igualdade conceitual provem da eq. 2.34, gradv = Fκ(X, t)F−1κ (X, t).

De acordo com o item 4 da subsecao 2.4.2, gradv mede a tendencia de modificacaoespacial da velocidade num ponto x da imagem da configuracao corrente, no instante tque corresponde a configuracao corrente. Faz-se, portanto, necessario mostrar qual e o

significado da composicao de Fκ(X, t) com F−1κ (X, t). Para isto, considerando o gradiente

de deformacao relativa apresentado pela eq. 2.42, pode-se definir

L(x, t) =∂

∂τFt(x, τ)|τ=t = Ft(x, τ)|τ=t = Ft(x, t) , (2.48)

onde a segunda igualdade sera justificada no proximo paragrafo e ∂ Ft(x, τ)/∂ τ e uma

medida da velocidade de alteracao, no instante τ , da tendencia de deformacao da con-figuracao referente ao instante τ em relacao a configuracao corrente no momento t, noponto x da imagem desta ultima. Portanto, L(x, t) e uma medida da velocidade de al-teracao, no instante t, da tendencia de deformacao da configuracao corrente no momentot, em relacao a ela mesma, no ponto x da imagem desta configuracao.

No inıcio da subsecao 2.4.2 foi colocado que Fκ(X, t) varia com t apenas devido a

101

alteracao temporal de x = χκ(X, t) (eq. 2.25) e, no item 1 daquela subsecao, foi mostrado

que este fato pode ser simbolizado por Fκ(X, t) = ∂Fκ(X, t)/∂t. Analogamente, Ft(x, τ)

varia com τ apenas devido a alteracao temporal de x′ = χt(x, τ) (eq. 2.41). Logo, pela

mesma razao que Fκ(X, t) = ∂Fκ(X, t)/∂t, tem-se que Ft(x, τ) = ∂ Ft(x, τ)/∂ τ , ou seja,

o gradiente local da deformacao relativa e uma funcao unica do tempo, o que justifica a

segunda igualdade na eq. 2.48. De acordo com a eq. 2.44, Fκ(X, τ) = Ft(x, τ)Fκ(X, t).

Derivando em relacao a τ tem-se, entao, Ft(τ) = F (τ)F−1(t). Mas, de acordo com a eq.

2.34, F (τ) = (gradv(τ))F (τ), logo Ft(τ) = (gradv(τ))F (τ)F−1(t). Usando novamente a

eq. 2.44, obtem-se Ft(τ) = (gradv(τ))Ft(τ). Como Ft(t) = 1 (eq. 2.43), tem-se Ft(t) =

gradv(t) ou, de acordo com a eq. 2.48,

L = gradv . (2.49)

A eq. 2.49, proveniente da eq. 2.34, indica a igualdade entre as interpretacoes conceituaisde gradv e de L, ambas apresentadas no paragrafo anterior.

Como, de acordo com a subsecao 2.1.1, as estruturas referenciais, ou observadores,sao de um para um no corpo material β, nao apenas o gradiente de deformacao F teminversa (eq. 2.5), como tambem existe a transformacao linear inversa do gradiente dedeformacao relativa Ft(x, τ), definido pela eq. 2.42. Portanto, de acordo com o teoremada decomposicao polar 1.2.10, ha dois tensores simetricos (definicao de tensores simetricoe antissimetrico 1.2.18) de definicao positiva (definicao de tensor de definicao positiva,negativa e semi-definicao 1.2.43), Ut e Vt e um tensor ortogonal (definicao de tensorortogonal de segunda ordem 1.2.30), Rt , determinados de modo unico a partir de Ft ,tais que

Ft = RtUt = VtRt , Ut =√F Tt Ft , Vt = RtUtR

Tt =

√FtF T

t e Rt = FtU−1t , (2.50)

analogamente ao definido para a decomposicao polar do tensor de deformacao F (eqs.2.11).

Continuando a analogia, Ut e o tensor direito de estiramento relativo, Vt e otensor esquerdo de estiramento relativo e Rt e o tensor de rotacao relativa. Asinterpretacoes fısicas destes tensores tambem sao analogas as entao efetuadas, valendocomentarios e equacoes analogas, inclusive no que se refere a definicao dos tensores detracao relativa de Cauchy-Green direito e esquerdo, respectivamente grafados Cte Bt . Para τ = t, de acordo com a eq. 2.43 tem-se Ft = F T

t = 1 . Logo, considerando aseqs. 2.50,

Ut(t) = Vt(t) = Rt(t) = 1 .

Mantendo x e t constantes e derivando em relacao a τ a primeira entre as eqs. 2.50,

obtem-se Ft(τ) = Rt(τ)Ut(τ) + Rt(τ)Ut(τ). Impondo τ = t nesta expressao e usando a

ultima expressao destacada, bem como a eq. 2.48, tem-se

L(t) = Ut(t) + Rt(t) . (2.51)

Como Ut e simetrico tem-se a · Ut(τ)b = b · Ut(τ)a. Como os vetores a e b saoarbitrarios, eles podem independer de τ , logo o fato de Ut ser simetrico implica em

a · Ut(τ)b = b · Ut(τ)a, o que indica que Ut(τ) e um tensor simetrico. Analogamente,

Rt(τ) e um tensor antissimetrico. Portanto, de acordo com o comentario 1.2.46, so-bre decomposicao cartesiana, a eq. 2.51 mostra a decomposicao de L(t) em suas partes

102

simetrica e antissimetrica. Logo, definindo o tensor estirante

D(t) = Ut(t) = DT (t) (2.52)

e o tensor rotativoW (t) = Rt(t) = −W T (t) , (2.53)

as eqs. 2.49, 2.51, 2.52 e 2.53 mostram que

D =1

2(gradv + gradvT ) e W =

1

2(gradv− gradvT ) . (2.54)

De acordo com a notacao para vetor associado a tensor antissimetrico 1.2.9 e o comentario1.2.37, sobre propriedades do vetor axial, o vetor axial associado ao tensor antissimetricoW e grafado < W >. Define-se o vetor axial w, chamado vorticidade, tal que

w =< −2W >= rotv, (2.55)

onde a ultima igualdade e devida a definicao de rotacional de campo vetorial 1.3.12.O tensor direito de tracao relativa de Cauchy-Green e dado por

Ct(τ) = F Tt (τ)Ft(τ) , (2.56)

em analogia a primeira entre as eq. 2.13. Os tensores de Rivlin-Ericksen, grafadosAn(x, t), sao as n-esimas derivadas temporais de Ct(τ) aplicadas ao instante τ = t,

An(x, t) = C(n)t (x, t) =

∂ n

∂τnCt(x, τ)|τ = t , n = 1, 2, 3, . . . . (2.57)

Para n = 1 tem-se

A1(x, t) = Ct(x, t) = F Tt (x, t) + Ft(x, t) = LT + L ,

onde a primeira igualdade e justificada da mesma forma que a segunda igualdade na eq.2.48, a segunda igualdade e obtida usando as eqs. 2.56 e 2.43 e a ultima e devida a eq.2.48. Usando a eq. 2.49 e a primeira entre as eqs. 2.54, a equacao antes destacada produz

A1 = 2D . (2.58)

Demonstra-se, ainda, que

v =∂v

∂t+

1

2grad(v · v) + 2Wv =

∂v

∂t+

1

2grad(v · v) + w× v (2.59)

e que, para o campo de velocidades dado pela eq. 2.46 (escoamento newtoniano), tem-se

A1 =du

dy(ex ⊗ ey + ey ⊗ ex) , A2 = 2

(du

dy

)2

(ey ⊗ ex)(ex ⊗ ey) e A3 = 0. (2.60)

103

2.6 Mudanca de Estrutura Referencial

2.6.1 Transformacao Euclideana

Conforme apresentado na subsecao 2.1.1, uma estrutura referencial de Newton, φ, e umafuncao que, ao ser aplicada a um conjunto corpo-instante pertencente a W , produz umaimagem em E × <, logo φ : W → E × <. Como φ e uma funcao de um para um em B,o tempo e uma variavel independente tanto em W quanto em E × <. Porem, diferentesestruturas referenciais de Newton produzem imagens diferentes do mesmo conjunto corpo-instante, seja em E como em <. Mas, se as unidades de medida de espaco e de tempoforem respectivamente as mesmas para todos os observadores de Newton,

1. as distancias e os angulos das imagens do corpo em E , referentes a um mesmo

instante em W , serao os mesmos e

2. para todo intervalo temporal em W , a sua imagem em < independera da estruturareferencial escolhida.

Estas duas condicoes serao impostas, ao se mudar de uma estrutura referencial de Newtonpara outra.

Sejam φ e φ∗ duas estruturas referenciais de Newton e seja

∗ = φ∗ φ−1 : E × < → E × < , tal que ∗ : (x, t) 7→ (x∗, t∗),

uma mudanca de φ para φ∗. A mudanca de estrutura referencial de Newton mais geralpossıvel, mas que obedece a imposicao colocada no paragrafo anterior, e uma trans-formacao rıgida dependente do tempo chamada transformacao euclideana, definidapor

x∗ = Q(t)(x− x) + c(t) e t∗ = t+ a , (2.61)

onde a ∈ <, (x, c(t)) ∈ E e Q(t) ∈ O(V ), sendo, conforme a notacao para gruposespeciais 1.2.8, O(V ) o sımbolo do grupo ortogonal do espaco vetorial V , o que indicaque Q(t) e um tensor ortogonal de segunda ordem. Note que x e um ponto referencialpara x, enquanto que c(t) e um ponto referencial para x∗ e perceba que a eq. 2.61 definex∗ como uma funcao de x e t, enquanto que t∗ e definido como funcao apenas de t.

As eqs. 2.61 indicam que, se em determinado momento t forem registrados os pontosx1 e x2 pelo observador φ, logo for registrado o vetor u = x2 − x1 , no correspondentemomento t∗ sera registrado o vetor u∗ = x∗2 − x∗1 pelo observador φ∗, sendo

u∗ = Q(t)u . (2.62)

De modo analogo, pode-se definir os vetores v = x4 − x3 e v∗ = x∗4 − x∗3 . De acordocom a definicao de tensor ortogonal de segunda ordem 1.2.30, Q(t)u · Q(t)v = u · v.Por outro lado, considerando o segundo item comentario 1.2.33, sobre propriedades detensor ortogonal, |Q(t)u| = |u| e |Q(t)v| = |v|. Estas tres ultimas igualdades mostramque a primeira entre as eqs. 2.61 garante que os dois observadores registram os mesmoscomprimentos e angulos, enquanto que a segunda garante os mesmos intervalos temporais.

Se a configuracao referencial, κ, coincidir com a configuracao corrente de B registradapela estrutura referencial φ no instante t, ter-se-a X = x e X = x. Neste caso, adiferenca χκ(X, t)− x(t), na eq. 2.38, coincidira com a diferenca x∗ − c(t), na primeiraentre as eqs. 2.61. Portanto, na transformacao euclideana o registro feito pela estrutura

104

referencial φ∗, no momento t∗ = t+a, e o resultado da aplicacao de um movimento rıgidoao registro efetuado pela estrutura referencial φ, no instante t, movimento este que de-pende de t. Ou seja, coerentemente com o que foi colocado no primeiro paragrafo, os doisobservadores registram exatamente os mesmos comprimentos e angulos, mas os percebemem locais do espaco e em instantes diferentes, sendo fixa a diferenca temporal, enquantoque a diferenca espacial depende do instante (t ou t∗ de acordo com o observador) emque a observacao e efetuada.

De acordo com a definicao de tensor de ordem k 1.2.20, existe o espaco de produto

tensorialn⊗ V , no qual se encontram os tensores de ordem n. Define-se a transformacao

linear Q∗, a qual e denominada funcao linear induzida, no espaco de produto tensorialn⊗ V , pela rotacao Q(t) da transformacao euclideana entre as estruturas referenciais (pri-

meira entre as eqs. 2.61). A funcao linear induzida Q∗ :n⊗ V →

n⊗ V e uma transformacao

linear que, ao ser aplicada a um tensor de ordem n do espaco de produto tensorialn⊗ V ,

transforma-o em outro tensor de ordem n pertencente ao mesmo espaco, sendo os doistensores respectivamente os registros que as estruturas referenciais φ e φ∗, onde a se-gunda e uma transformacao euclideana da primeira, efetuam para um tensor de ordemn definido pelos mesmos pontos de B.

Por exemplo, para n = 1 tem-se Q∗ : V → V , ou seja, a funcao linear induzida, aoser aplicada a um vetor do espaco vetorial V , transforma-o em outro vetor pertencenteao mesmo espaco. A eq. 2.62 mostra entao que, neste caso,

Q∗[u] = Qu . (2.63)

Assim como, por causa da eq. 2.62, a transformacao linear Q∗ : V → V corresponde a eq.

2.63, por causa da mesma eq. 2.62 a transformacao linear Q∗ :n⊗ V →

n⊗ V corresponde

Q∗[u1 ⊗ u2 ⊗ . . .⊗ un−1 ⊗ un] = Qu1 ⊗Qu2 ⊗ . . .⊗Qun−1 ⊗Qun , (2.64)

sendo a eq. 2.63 uma forma particular da eq. 2.64 para n = 1, ou seja, para Q∗ : V → V .Para n = 2, tem-se Q∗ : V ⊗ V → V ⊗ V tal que, de acordo com a eq. 2.64,

Q∗[u1 ⊗ u2] = Qu1 ⊗Qu2 = Q(u1 ⊗ u2)QT ,

devendo-se a ultima igualdade aos dois itens do comentario 2.18, sobre composicao comtensor simples. De acordo com o comentario 2.8, sobre decomposicao de transformacaolinear, toda transformacao linear entre espacos vetoriais e uma combinacao linear detensores simples. Portanto, o tensor de segunda ordem T ∈ V ⊗ V e uma combinacaolinear de tensores simples u1 ⊗ u2 , o que implica em

T ∗ = Q∗[T ] = QTQT ou T ∗i1 i2 = Q j1i1 Tj1 j2(Q

T )j2i2 = Q j1i1 Q j2

i2 Tj1 j2 , (2.65)

onde a segunda equacao esta escrita em termos dos componentes covariantes de T ∗ e T ,logo i1 , i2 , j1 , j2 = 1, . . . , d, sendo d a dimensao de V . Note que a ultima igualdade dasegunda equacao e devida ao uso do comentario 1.2.16, sobre transposicao de tensor desegunda ordem.

De um modo geral, para n > 0 e M ∈n⊗ V tem-se

M∗ = Q∗[M ] e M∗i1 ... in

= Q j1i1 . . . Q jn

in Mj1 ... jn , (2.66)

105

onde a segunda equacao, em termos de componentes, e uma generalizacao da eq. 2.65.A segunda, entre as eqs. 2.66, evidentemente indica que, para um espaco vetorial V dedimensao tres, pode-se efetuar inicialmente a soma

Q 1in Mj1 ... jn−1 1 +Q 2

in Mj1 ... jn−1 2 +Q 3in Mj1 ... jn−1 3 = (QM)j1 ... jn−1 in ,

seguida da soma

Q 1in−1

(QM)j1 ... jn−2 1 in +Q 2in−1

(QM)j1 ... jn−2 2 in +Q 3in−1

(QM)j1 ... jn−2 3 in =

(Q2M)j1 ... jn−2 in−1 in e assim sucessivamente ate a soma

Q 1i1

(Qn−1M)1 i2,... in +Q 2i1

(Qn−1M)2 i2,... in +Q 3i1

(Qn−1M)3 i2,... in = (QnM)i1 ... in =

M∗i1 ... in

, porque cada um dos ındices i1 . . . in e j1 . . . jn assume os valores 1, 2 e 3,

podendo o tensor tridimensional de segunda ordem Q(t) ser representado por uma matrizquadrada de dimensao tres. Por outro lado, para n = 0 a eq. 2.61 mostra que, se umescalar for aplicado ao ponto x, o mesmo escalar sera aplicado a x∗. Logo, para n = 0tem-se

Q∗ : < → < e Q∗ = 1. (2.67)

As eqs. 2.66 (n > 0) e 2.67 (n = 0) compoem a definicao matematica completa da funcaolinear induzida Q∗.

Se Φ for o conjunto de todas as estruturas referenciais, pode-se definir a funcao

f : Φ →n⊗ V ,

denominada observavel, cujo argumento, φ ∈ Φ, e alguma estrutura referencial e cuja

imagem, f(φ) ∈n⊗ V , e o valor do observavel f registrado pela estrutura φ. Note que

esta definicao de observavel considera que todas as imagens f(φ) pertencam ao mesmoespaco tensorial de ordem n, qualquer que seja a estrutura referencial escolhida. Isto euma generalizacao do fato de que, para uma transformacao euclideana, tanto o argumentocomo a imagem de Q∗ pertencem, sempre, ao mesmo espaco de ordem n.

O conjunto de todas as transformacoes euclideanas e chamado classe euclideana,representada por Σ. Seja Ψ uma sub-classe pertencente a Σ. O observavel f e dito indi-ferente a estrutura referencial em Ψ, ou invariante a alteracao de estrutura referencialem Ψ, se

f(φ∗) = Q∗f(φ) (2.68)

sempre que a mudanca entre estruturas referenciais pertencer a Ψ. Em palavras, o

observavel f e dito indiferente a estrutura referencial em Ψ se suas imagens emn⊗ V se

transformarem uma na outra de modo coerente com a eq. 2.61.Se Ψ = Σ diz-se que f e indiferente a estrutura referencial, ou invariante a mudanca

de estrutura referencial, ou objetivo, sob transformacao euclideana. Especificamente,

um escalar s, um vetor u e um tensor de segunda ordem T sao objetivos quando

s∗(t∗) = s(t) , u∗(t∗) = Q(t)u(t) e T ∗(t∗) = Q(t)T (t)QT (t). (2.69)

Como exemplo de grandezas objetivas temos escalares, vetores e tensores associados

a pontos do corpo B, conforme considerado para a deducao da definicao matematicacompleta da funcao linear induzida Q∗. Como exemplo de grandezas nao objetivas,

pode-se citar grandezas relacionadas ao movimento, conforme sera mostrado na proximasubsecao. Pode-se, tambem, mostrar que nao sao objetivos os vetores axiais associadosa tensores antissimetricos objetivos.

106

2.6.2 Transformacoes Galileiana e Rıgida Independente de t

De acordo com a subsecao 2.4.1, o movimento e dado pela funcao χ(·, ·), a qual e uma

sequencia temporal de configuracoes do corpo B tal que x = χ(X, t), onde t ∈ < , X ∈ Be x ∈ E . De acordo com a subsecao 2.6.1, seja ∗ uma mudanca de estrutura referencial

de φ para φ∗. Na nova estrutura referencial o movimento e representado por χ∗(·, ·), tal

que x∗ = χ∗(X, t∗), onde t∗ ∈ < , X ∈ B e x∗ ∈ E . A eq. 2.61 mostra, entao, que

χ∗(X, t∗) = Q(t)(χ(X, t)− x) + c(t) e t∗ = t+ a . (2.70)

Note que a eq. 2.70 pressupoe que o tempo, em W , seja definido a menos de uma cons-tante aditiva. De fato, os argumentos de χ e χ∗ sao conjuntos ponto corporal-instanteque diferem entre si apenas pela constante aditiva temporal permitida pela transformacaoeuclideana. Em outras palavras, cada estrutura referencial pressupoe que seus registrostemporais coincidam com os correspondentes valores do tempo em W e todas as estru-turas referenciais consideradas sao interligaveis por meio de transformacao euclideana.

As eqs. 2.27 e 2.28 respectivamente definiram os vetores velocidade e aceleracao comoderivadas parciais temporais referentes a um ponto fixo da imagem da configuracao refe-rencial, porque esta era considerada unica. Porem, na proxima subsecao sera consideradaa alteracao da configuracao referencial causada por uma alteracao de estrutura referencial.Nao sendo unica a configuracao referencial, convem propor definicoes mais fundamentaispara os vetores velocidade e aceleracao, ou seja, convem considerar um ponto fixo docorpo B, ao inves de um ponto fixo da imagem da configuracao referencial. Por outrolado, de acordo com a subsecao 2.4.2, na descricao material esta derivada parcial podeser anotada x, o que tambem sera feito quando o ponto fixo pertencer ao corpo B.

Calculando a derivada parcial da eq. 2.70 tem-se, entao,

x∗ =∂χ∗(X, t∗)

∂t∗= Q(x− x) +Qx + c ou x∗ −Qx = Ω(x∗ − c) + c , (2.71)

porque Q(x − x) = QQTQ(x − x) = QQT (x∗ − c) = Ω(x∗ − c), sendo a primeira

igualdade devida ao fato de Q ser ortogonal, a segunda devido a aplicacao da eq. 2.70 ea terceira a definicao

Ω(t) = Q(t)QT (t), (2.72)

onde Ω(t) e denominado o tensor velocidade angular de φ∗ em relacao a φ. Derivando

Q(t)QT (t) = 1 obtem-se Q(t)QT (t) + Q(t)QT (t) = 0 ou Q(t)QT (t) + (Q(t)QT (t))T = 0ou, usando a eq. 2.72,

ΩT = −Ω , (2.73)

logo Ω e antissimetrico. Derivando a segunda entre as duas eqs. 2.71 obtem-se

x∗ −Qx = Qx + Ω(x∗ − c) + Ω(x∗ − c) + c .

Tem-se Qx = QQTQx = Ω(x∗ − Ω(x∗ − c) − c), onde a primeira igualdade e devida a

ortogonalidade de Q e a segunda e devida, conjuntamente, a eq. 2.72 e a segunda entre

as eqs. 2.71. Substituindo Qx = Ω(x∗ − c) − Ω2(x∗ − c) na ultima equacao destacadaobtem-se

x∗ −Qx = c + 2Ω(x∗ − c) + (Ω − Ω2)(x∗ − c) . (2.74)

107

Note que, de acordo com a segunda entre as eqs. 2.69, tanto a segunda entre as eqs.2.71, quanto a eq. 2.74, deveriam apresentar o segundo membro nulo caso, respectiva-mente, a velocidade e a aceleracao fossem vetores objetivos. Mas a eq. 2.72 mostra que,se Q(t) for uma funcao constante do tempo, Ω = 0. Se, alem disto, c(t) for uma funcao

linear no tempo, a eq. 2.74 mostra que a aceleracao sera um tensor objetivo. Tal mudancade estrutura referencial e chamada transformacao galileiana, dada por

x∗ = Q(x− x) + Vt+ c e t∗ = t+ a , (2.75)

onde a ∈ <, (x, c) ∈ E , Q ∈ O(V ) e V ∈ V . Alem disto, a, x , c , Q e V sao,todas elas, funcoes constantes do tempo.

Porem, embora a aceleracao seja indiferente a mudanca galileiana de estrutura referen-cial, a segunda entre as eqs. 2.71 mostra que a velocidade nao e objetiva nem em relacaoa transformacao galileiana. De fato, a velocidade apenas e indiferente a transformacaorıgida independente do tempo entre estruturas referenciais, definida por

x∗ = Q(x− x) + c e t∗ = t+ a , (2.76)

onde valem para a, x , c e Q os mesmos comentarios feitos para o caso da trans-formacao galileiana.

2.6.3 Aplicacoes para Grandezas Cinematicas

A configuracao referencial, κ, correspondente a estrutura referencial φ e grafada κφ ecoincide com a configuracao corrente de B registrada pela estrutura referencial φ noinstante t . Tem-se, entao,

X = κφ(X) = χ(X, t) e X∗ = κφ∗(X) = χ∗(X, t∗). (2.77)

Mas, de acordo com a primeira entre as eqs. 2.70,

χ∗(X, t∗) = Q(t)(χ(X, t)− x) + c(t) , logo X∗ = Q(t)(X− x) + c(t).

Fazendo K = Q(t) um tensor ortogonal de segunda ordem e c = c(t) um ponto,ambos independentes de t, obtem-se a expressao, para a transformacao euclideana de um

ponto da imagem da configuracao referencial,

X∗ = κφ∗(κ−1φ (X)) = K(X− x) + c . (2.78)

Note que a eq. 2.78 implica em que, definida a configuracao referencial κφ , estao definidasas configuracoes referenciais correspondente a todas as estruturas referenciais obtidas portransformacao euclideana de φ.

De acordo com as eqs. 2.26, em termos de deformacoes o movimento, nas duas estru-turas referenciais, pode ser respectivamente representado por χκ(·, ·), logo x = χκ(X, t)

e χ∗κ(·, ·), logo x∗ = χ∗κ(X∗, t∗). Portanto, usando-se a primeira entre as duas eqs. 2.61

tem-seχ∗κ(X

∗, t∗) = Q(t)(χκ(X, t)− x) + c(t) .

108

Definindo F ∗κ (X∗, t∗) = ∇

X∗χ∗κ(·, t∗) em analogia a Fκ(X, t) = ∇

Xχκ(·, t) (eq. 2.29), con-

siderando que ∇X

(κφ∗(κ−1φ (·))) = K de acordo com a eq. 2.78 e lembrando que KT =

K−1, a aplicacao de ∇X

a ultima equacao destacada produz, por meio do uso em seu pri-

meiro membro da expressao χ∗κ(X∗, t∗) = χ∗κ(κφ∗(κ

−1φ (X)), t∗), logo∇

Xχ∗κ(κφ∗(κ

−1φ (·)), t∗)

= ∇X∗χ

∗κ(·, t∗)∇X

(κφ∗(κ−1φ (·))), deduzida a partir do comentario 1.3.5, sobre diferen-

ciacao em cadeia,

F ∗κ (X∗, t∗) = Q(t)Fκ(X, t)K

T , ou, simplificadamente,

F ∗ = QFKT . (2.79)

Comparando a eq. 2.79 com a terceira entre as eqs. 2.69 percebe-se que o gradiente dedeformacao nao e um tensor de segunda ordem objetivo, em relacao a transformacaoeuclideana.

De acordo com o teorema 1.2.10 (decomposicao polar), F = RU = V R e F ∗ =R∗U∗ = V ∗R∗, sendo V , U , V ∗ e U∗ bem determinados, simetricos e de definicao positiva,enquanto que R e R∗ sao bem determinados e ortogonais (veja as eqs. 2.11). A eq. 2.79mostra, entao, que

R∗U∗ = F ∗ = QRUKT = QRKTKUKT e V ∗R∗ = F ∗ = QV RKT = QV QTQRKT ,

logoR∗ = QRKT , U∗ = KUKT e V ∗ = QV QT . (2.80)

Porque as eqs. 2.13 mostram que C = U2 e B = V 2, tem-se tambem que

C∗ = KCKT e B∗ = QBQT . (2.81)

Comparando as eqs. 2.80 e 2.81 com a terceira entre as eqs. 2.69 percebe-se que o tensorde rotacao R, o tensor de estiramento direito U e o tensor direito de Cauchy-Green Cnao sao tensores de segunda ordem objetivos, em relacao a transformacao euclideana,

enquanto que o tensor de estiramento esquerdo V e tensor esquerdo de Cauchy-Green Bsao objetivos em relacao a esta transformacao.

Derivando a eq. 2.79 em relacao ao tempo obtem-se

F ∗ = QFKT + QFKT .

Considerando as eqs. 2.34 e 2.49 tem-se F = LF , que substituıdo na ultima equacaodestacada produz

L∗F ∗ = QLFKT + QFKT = QLQTQFKT + QQTQFKT = QLQTF ∗ + QQTF ∗,

devendo-se a ultima igualdade a eq. 2.79. Pos-multiplicando a ultima equacao destacadapor (F ∗)−1 e usando a eq. 2.72 obtem-se, entao,

L∗ = QLQT + Ω . (2.82)

Considerando a decomposicao de L em sua parte simetrica D (tensor estirante, eq. 2.52)e antissimetrica W (tensor rotativo, eq. 2.53), tem-se L = D +W (eq. 2.51), portanto aeq. 2.82 pode ser escrita

D∗ +W ∗ = Q(D +W )QT + Ω

109

de onde, separando os termos simetricos e antissimetricos (a eq. 2.73 mostra que Ω eantissimetrico), obtem-se

D∗ = QDQT e W ∗ = QWQT + Ω . (2.83)

Portanto, a terceira entre as eqs. 2.69 mostra que, enquanto que os tensores gradienteespacial da velocidade L e rotativo W nao sao objetivos em relacao a uma transformacao

euclideana, o tensor estirante D e objetivo em relacao a esta transformacao.

Seja u(x, t) um campo vetorial objetivo, em relacao a transformacao euclideana. De

acordo com a segunda entre as eqs. 2.69 tem-se, entao,

u∗(x∗, t∗) = Q(t)u(x, t). (2.84)

Lembrando que, de acordo com o inıcio da subsecao 2.6.1, ∗ : (x, t) 7→ (x∗, t∗), tem-se

u∗(x∗, t∗) = u∗(∗(x, t)), logo ∇xu∗(∗(·, t)) = ∇x∗u∗(·, t∗)∇x ∗ (·, t) = ∇x∗u∗(·, t∗)Q(t)

onde, para a penultima igualdade, foi utilizado o comentario 1.3.5, sobre diferenciacaoem cadeia, enquanto que para a ultima foi usada a primeira entre as eqs. 2.61. Logo,

∇xu∗(∗(·, t)) = ∇x∗u∗(·, t∗)Q(t).

Por outro lado, aplicando ∇x a eq. 2.84 tem-se

∇xu∗(∗(·, t)) = Q(t)∇xu(·, t)

e, igualando os segundos membros das duas ultimas equacoes destacadas, obtem-se

∇x∗u∗(·, t∗) = Q(t)∇xu(·, t)QT (t), ou (gradu)∗ = Q(gradu)QT . (2.85)

Portanto, se u(x, t) for um campo vetorial objetivo, gradu sera um campo tensorial desegunda ordem objetivo. Analogamente, demonstra-se que, se f for um campo tensorialobjetivo de grau n, entao gradf sera um campo tensorial objetivo de grau n+ 1. Mas a

eq. 2.84 mostra que a derivada ∂u∂t

nao e objetiva.

Por outro lado, reescrevendo a eq. 2.84 na configuracao referencial, u∗(X∗, t∗) =

Q(t)u(X, t) e calculando tanto a derivada temporal, quanto o gradiente em relacao a X,

obtem-seu∗ = Qu + Qu e (Gradu)∗ = Q(Gradu)KT , (2.86)

onde ∇X

(κφ∗(κ−1φ (·))) = K, de acordo com a eq. 2.78. Portanto, embora u(X, t) seja

um vetor objetivo em relacao a transformacao euclideana, tanto a sua derivada temporalmaterial, que e o vetor u, quanto o tensor de segunda ordem Gradu, nao sao objetivos

em relacao a esta transformacao. Seja, agora, um campo escalar objetivo ψ, logo ψ∗ = ψ,

de acordo com a primeira entre as eqs. 2.69. Obtem-se, de modo analogo ao efetuadopara o campo vetorial u, que

ψ∗ = ψ , (gradψ)∗ = Q(gradψ) e (Gradψ)∗ = K(Gradψ), (2.87)

portanto ψ e gradψ sao objetivos em relacao a transformacao euclideana, enquanto que

Gradψ nao e objetivo em relacao a esta transformacao.

110

2.6.4 Derivada Temporal Corotacional

A derivada temporal corotacional de um campo vetorial pode ser definida por

u= lim

h→0

1

h(u(t+ h)− P (t+ h)u(t)), (2.88)

onde a transformacao linear P : V → V e o tensor de rotacao relativa Rt apresentadona secao 2.5.2, ou seja, onde impoe-se P (τ) = Rt(x, τ). Portanto, P (t + h) aplica ao

vetor u(t) a tendencia de rotacao existente no ponto x′ = χ(t)

(x, t + h) (eq. 2.41) que

corresponde ao instante t + h, relativa ao ponto x no instante t. O vetor resultante esubtraıdo do vetor u(t+h). Mas, ao se fazer h→ 0, tende-se ao mesmo instante e ponto,

indicandou a velocidade de alteracao do vetor u em relacao a sua velocidade de rotacao

devida ao movimento do corpo. Como Rt(x, t+h) = Rt(x, t)+hRt(x, t)+o(2) (definicao

de derivada), Rt(t) = 1 (subsecao 2.5.2) e Rt(t) = W (t) (eq. 2.53), a eq. 2.88 pode serescrita

u= lim

h→0

1

h(u(t+ h)− u(t)− hW (t)u(t)) , ou

u= u−Wu (2.89)

A eq. 2.89 indica, portanto, que a derivada temporal corotacional de um campovetorial e a diferenca entre a derivada temporal do campo e o resultado da aplicacaodo tensor rotativo ao campo vetorial (nesta equacao, evidentemente todos os termos sereferem ao mesmo instante e ao mesmo ponto). Se o campo vetorial u for objetivo em

relacao a transformacao euclideana, entao, de acordo com a segunda entre as eqs. 2.69,u∗(t∗) = Q(t)u(t) e u∗ = Qu + Qu. Usando estas duas expressoes e a segunda entre

as eqs. 2.83 obtem-seu∗= u∗ −W ∗u∗ = Qu + Qu − (QWQT + Ω)Qu. De acordo com

a eq. 2.72, Ω = QQT , logo ΩQu = QQTQu = Qu, porque Q e ortogonal. Substituindo

este resultado na expressao deu∗

obtem-seu∗= Q(u−Wu) ou, usando a eq. 2.89,

u∗= Q

u .

A ultima equacao destacada mostra que, se o campo vetorial u for objetivo em relacaoa transformacao euclideana, sua derivada temporal corotacional tambem sera um campovetorial objetivo.

Define-se, tambem, a derivada temporal corotacional de um campo tensorial de se-gunda ordem, S, por meio da equacao

S (t) = lim

h→0

1

h(S(t+ h)− P (t+ h)S(t)P T (t+ h)) (2.90)

e prova-se que impor P (τ) = Rt(x, τ), na eq. 2.90, implica em que

S= S −WS + SW .

A partir da ultima equacao destacada demonstra-se que, se S for objetivo,S sera objetivo.

111

Capıtulo 3

Balanceamento

3.1 Equacoes de Balanceamento

3.1.1 Equacoes de Balanceamento na Configuracao Corrente

A forma integral para balanceamento classico na configuracao corrente, dequalquer grandeza material ψ, e

d

dt

∫Pt

ψ dv =∫∂Pt

Φψ [n] da+∫Pt

σψ dv . (3.1)

Na eq. 3.1:

1. P ⊂ B, sendo Pt a imagem da configuracao corrente de P no instante t e impondo-

se que Pt seja regular (o significado de regular e apresentado na definicao de classe

Ck 1.3.7). O sımbolo ∂Pt representa a superfıcie que separa Pt do restante de

Bt . Note que, embora a regiao Pt varie com o tempo, ela sempre corresponde

aos mesmos pontos materiais X ∈ B, qualquer que seja o instante t, analogamente

ocorrendo com ∂Pt . Por isto, Pt e ∂Pt sao respectivamente denominadas imagens

da configuracao corrente de uma regiao material e de uma superfıcie material,

enquanto que ddt

∫Ptψ dv e a derivada unica de uma funcao temporal.

2. v representa volume, a simboliza area e n(x, t) e um campo vetorial de norma iguala unidade, perpendicular a ∂Pt e que aponta para fora da regiao Pt .

3. A descricao espacial (subsecao 2.4.2) ψ(x, t) e o seu suprimento mecanico-classico dentro de Pt , simbolizado σψ(x, t), sao campos tensoriais de ordem m,enquanto que o fluxo mecanico-classico de ψ(x, t) atraves de ∂Pt , representadopor Φψ(x, t), e um campo tensorial de ordem m+1. Como indicam seus nomes, su-primentos e fluxos mecanico-classicos sao explicados por meio de modelos classicosdo comportamento da materia.

4. A aplicacao de Φψ a n e descrita na notacao para aplicacao de tensor a tensor1.2.6.

5. Existem fluxos e suprimentos mecanico-estatısticos, os quais sao explicados pormeio de modelos estatısticos do comportamento da materia, mas eles nao aparecem

na eq. 3.1. Eles apareceriam, como parcelas aditivas, no segundo membro dela, o

112

que a tornaria mais abrangente. Mas este texto limita-se ao enfoque classico da

materia. Como exemplos de fluxos e suprimentos mecanico-classicos pode-se citar ofluxo de massa (por definicao, inexiste suprimento mecanico-classico de massa), bemcomo fluxos e suprimentos de momento linear, momento angular, energia cinetica,energia interna e energia total. Como exemplo de fluxo mecanico-estatıstico pode-se mencionar o fluxo difusivo, para o caso de solucoes com ou sem reacao quımicae, como exemplo de suprimento mecanico-estatıstico, pode-se lembrar suprimentosde massa de especies quımicas distintas, decorrentes de reacoes quımicas.

A eq. 3.1 mostra que, no instante t e em Pt , a velocidade de alteracao da grandeza∫Ptψ dv, dada por d

dt

∫Ptψ dv , e o resultado da adicao de duas parcelas:

a velocidade de ingresso ou egresso de ψ em Pt no instante t, atraves de ∂Pt , dada por∫∂Pt

Φψ nda e

a velocidade de criacao ou aniquilacao de ψ em Pt no instante t, dada por∫Ptσψ dv,

onde o suprimento σψ pode ser devido a fontes externas e tambem internas, estasultimas causadas pelo movimento do corpo.

Sao chamadas conservativas as grandezas para as quais os correspondentes supri-mentos sao devidos exclusivamente a fontes externas. Esta denominacao provem do fato

de que, quando isto acontecer, para qualquer regiao material isolada P (separada dorestante do corpo B por meio de uma superfıcie material ∂P impermeavel a materia e aenergia) ocorrera a conservacao de

∫Ptψ dv . A lei classica de conservacao de

∫Ptψ dv

e um conjunto de condicoes suficiente para que

∀x ∈ ∂P , Φψ(x, t) = 0 e

∀x ∈ P , σψ(x, t) = 0.

Entretanto, poderiam ser criados vınculos entre parcelas de Φψ e σψ que garantissem a

conservacao temporal de∫Ptψ dv sem que se tivesse Φψ = σψ = 0 na eq. 3.1, ou seja, a

lei classica de conservacao poderia nao ser necessaria para que ocorresse a conservacao

de∫Ptψ dv .

Por outro lado, se existirem fluxos ou suprimentos mecanico-estatısticos, impor Φψ =

σψ = 0 na eq. 3.1 pode ser insuficiente para que ocorra a conservacao de∫Ptψ dv. Neste

caso, a lei classica de conservacao devera ser substituıda por outra lei, nao apenas classica,

que seja suficiente para garantir a mencionada conservacao. Porem, so quando a grandeza

φ for conservativa existira alguma lei de conservacao (apenas classica ou nao), ou seja,so quando nao existirem fontes internas de suprimento para φ.

O teorema de transporte coloca que

d

dt

∫Vψ dv =

∫V

∂ψ

∂tdv +

∫∂Vψ un da , onde (3.2)

V (t) ⊂ E|V (t) e regular, ∂V (t) e a superfıcie que separa V (t) do restante de E e x nao

mais simboliza a representacao corrente do ponto X do corpo B, mas apenas umponto pertencente ao subconjunto V (t) do espaco euclideano de pontos.

113

v representa volume, a simboliza area e o escalar un(x, t) e a norma do componente,perpendicular a superfıcie ∂V (t), do vetor velocidade de um ponto x ∈ ∂V (t). Talnorma sera afetada por sinal positivo quando o componente for dirigido para forade V (t) e por sinal negativo em caso contrario.

ψ(x, t) e um campo tensorial suave (o significado de suave e apresentado na definicaode classe Ck 1.3.7) para todo ponto interior a V (t) (logo, ψ(x, t) nao precisa ser

suave para todo ponto em ∂V (t)).

Deve-se notar que o teorema de transporte e uma versao tridimensional da conhecidaformula de Laplace do calculo,

d

dt

∫ f(t)

g(t)ψ(x, t)dx =

∫ f(t)

g(t)

∂ψ

∂tdx+ ψ(f(t), t)f(t)− ψ(g(t), t)g(t) , (3.3)

onde ψ(x, t) precisa ser suave no intervalo aberto (definicao de subconjunto aberto 1.3.1)(g(t), f(t)), nao se exigindo suavidade nos pontos terminais do intervalo, g(t) e f(t). Nocaso particular de V (t) ser uma imagem Pt de uma regiao material, como a superfıcie

∂V (t) sera imagem de uma superfıcie material ter-se-a un(x, t) = x(x, t) · n(x, t), onde

x voltou a simbolizar a representacao corrente do ponto X do corpo B e x e o vetorvelocidade definido pela eq. 2.27. Neste caso, a eq. 3.2 pode ser escrita, utilizando adescricao espacial (subsecao 2.4.2) da grandeza ψ, o que exige o uso das imagens das

configuracoes correntes da regiao e da superfıcie material, respectivamente Pt e ∂Pt ,

d

dt

∫Pt

ψ dv =∫Pt

∂ψ

∂tdv +

∫∂Pt

ψ (x · n) da . (3.4)

Como um exemplo de aplicacao da eq. 3.4 suponha ψ = 1, o que reduz esta equacaoa

d

dt

∫Pt

dv =∫∂Pt

x · n da .

Definindo V (t) =∫Ptdv e lembrando o item 2 do teorema 1.3.3 (teorema da divergencia)

tem-se, entao,dV

dt=∫Pt

div x dv . (3.5)

Se o movimento for incompressıvel, ou seja, se o volume de qualquer parte de P semantiver constante durante o movimento, entao, como o integrando e contınuo (supoe-se que o vetor aceleracao possa ser definido), de acordo com o teorema 1.3.4 (funcaoidenticamente nula em E) a divergencia da velocidade devera ser nula, ou seja,

div x = 0. (3.6)

Note que, ao contrario do que ocorre para a eq. 3.1, a satisfacao da eq. 3.2 exige queψ(x, t) seja um campo tensorial suave para todo ponto interior a regiao de integracaoV (t). Esta exigencia, evidentemente, persiste para a eq. 3.4, no que se refere a regiao deintegracao Pt , embora o sımbolo Pt represente qualquer regiao regular que seja imagem

de uma regiao material, ou seja, embora este sımbolo nao informe sobre esta exigencia

adicional. Suponha agora que, ao inves de ψ(x, t) ser um campo tensorial suave para todoponto interior a Pt , ele sofresse uma descontinuidade finita nos pontos de uma superfıcie

114

orientada S, interior a Pt , a qual, de acordo com a definicao de classe Ck 1.3.7, seriaportanto uma superfıcie singular em relacao ao campo tensorial ψ(x, t). Neste caso, emS o campo sofreria a descontinuidade finita

‖ψ‖ = ψ+ − ψ− (3.7)

sendo, em cada ponto x ∈ S, ψ+(x) e ψ−(x) os valores limites do campo, dos doislados de S.

Seja V uma especial regiao Pt com, no maximo, uma descontinuidade finita de cam-

pos tensoriais sobre uma unica superfıcie interna S. Imponha-se, portanto, que todos os

campos tensoriais considerados sejam suaves em V−S. Embora V seja uma regiao Pt es-pecial, V ainda nao e suficientemente especıfica para garantir que a eq. 3.4 seja aplicavel.Porem, assim como a eq. 3.4 foi escrita usando-se Pt e admitindo-se uma restricao adi-cional nao explicitada neste sımbolo, nada impede que ela seja grafada usando-se V eadmitindo-se uma analoga restricao adicional.

Considere que o limite ψ+ aconteca na subregiao V+ e que o limite ψ− esteja nasubregiao V−. Nao se impoe que a superfıcie S seja material. Portanto, os pontos do corpo

correspondentes a descontinuidade finita de ψ(x, t) nao precisam ser os mesmos em cada

momento, ao contrario do que ocorre com os pontos de ∂V . Logo, o escalar velocidadeun(x, t), com que cada ponto de S se move, nao precisa ser x·n. A superfıcie S e orientada

de modo a que un(x, t) seja positivo quando o correspondente vetor velocidade for dirigidopara V+. Nestas condicoes, o teorema de transporte pode ser aplicado separadamente asduas subregioes V+ e V−, obtendo-se respectivamente

d

dt

∫V+ψ dv =

∫V+

∂ψ

∂tdv +

∫(∂V)+

ψ (x · n) da+∫Sψ+(−un)da, e

d

dt

∫V−ψ dv =

∫V−

∂ψ

∂tdv +

∫(∂V)−

ψ (x · n) da+∫Sψ− un da .

Somando estas duas igualdades e usando a eq. 3.7 obtem-se

d

dt

∫Vψ dv =

∫V

∂ψ

∂tdv +

∫∂Vψ (x · n) da−

∫S‖ψ‖un da . (3.8)

Evidentemente, a eq. 3.4 pode ser considerada um caso particular da eq. 3.8, especıficopara ‖ψ‖ = 0.

Igualando os segundos membros das eqs. 3.1 e 3.8, para uma regiao V contendo umasuperfıcie singular S tem-se∫

V

∂ψ

∂tdv +

∫∂Vψ (x · n) da−

∫S‖ψ‖un da =

∫∂V

Φψ [n] da+∫Vσψ dv . (3.9)

Restrinja-se, a partir de agora e ate a eq. 3.11 inclusive, a definicao de ψ de modo a que

ou ψ e σψ sejam escalares, portanto ψ (x · n) = (ψ x) · n e Φψ [n] = Φψ · n, logo ψ xe Φψ sejam vetores que, na eq. 3.9, fazem produto interno com o vetor n,

ou ψ e σψ sejam vetores, portanto ψ (x · n) = (ψ ⊗ x)(n) (definicao de produtotensorial de vetores ou tensor simples 1.2.12) e Φψ [n] = Φψ(n), logo ψ ⊗ x e Φψ

sejam tensores de segunda ordem que, na eq. 3.9, sao aplicados ao vetor n.

115

No primeiro caso, e aplicavel o item 2 do teorema 1.3.3 (teorema da divergencia) as duasintegrais sobre ∂V da eq. 3.9, enquanto que, no segundo caso, e aplicavel o item 3 domesmo teorema, as mesmas integrais. Obtem-se entao, respectivamente,

∫V

[∂ψ

∂t+ div(ψ x− Φψ)− σψ

]dv =

∫S‖ψ‖un da e

∫V

[∂ψ

∂t+ div(ψ ⊗ x− Φψ)− σψ

]dv =

∫S‖ψ‖un da .

Lembrando que todo ponto regular e um ponto interno de uma regiao constituıda apenas

por pontos regulares, seja VR ⊂ V uma regiao formada exclusivamente por pontos regu-

lares e seja x ∈ VR qualquer um dos pontos regulares pertencentes a V . Entao, para VRas duas ultimas equacoes destacadas respectivamente indicam que

∫VR

[∂ψ

∂t+ div(ψ x− Φψ)− σψ

]dv = 0 e

∫VR

[∂ψ

∂t+ div(ψ ⊗ x− Φψ)− σψ

]dv = 0. (3.10)

A partir de agora apenas a eq. 3.10 sera utilizada, porque convenciona-se que

o sımbolo ψ ⊗ x deve ser entendido como ψ x, quando ψ for escalar,

sendo ψ ⊗ x denominado fluxo convectivo de ψ.Como o integrando e contınuo, de acordo com o teorema 1.3.4 (funcao identicamente

nula em E) obtem-se, entao, a equacao de balanceamento em um ponto regular, tambem

chamada equacao de campo,

∂ψ

∂t+ div(ψ ⊗ x− Φψ)− σψ = 0. (3.11)

Conforme a subsecao 3.1.1, a lei classica de conservacao de∫Ptψ dv e um conjunto de

condicoes suficiente para que Φψ = σψ = 0, na eq. 3.1. Evidentemente, em termos da

eq. 3.11 esta lei pode ser descrita como um conjunto de condicoes suficiente para que,∀x ∈ Pt , tenha-se divΦψ(x, t) = σψ(x, t) = 0.

Volte, a partir de agora, a considerar que ψ(x, t) seja um campo tensorial de ordemarbitraria m e suponha um ponto singular qualquer x ∈ V . Logo, impoe-se apenas que

x ∈ S, sendo S uma superfıcie interna em V na qual ψ, Φψ e σψ podem apresentar

descontinuidades finitas. Seja VS ⊂ V uma regiao que contem o ponto singular x e sejas = VS ∩S. Mantenha a area s inalterada enquanto que o volume de VS tende para zero,ou seja, faca (∂VS)+ e (∂VS)− tenderem para s. Deseja-se encontrar a forma para a qualtendera a eq. 3.9, quando VS tender para este limite. Para isto, deve-se lembrar que oescalar un e positivo quando o correspondente vetor velocidade for dirigido para V+ edeve-se impor que, no limite considerado, n tambem seja dirigido para V+ (ao contrariode ser sempre dirigido para fora de VS, o que seria coerente com o segundo esclarecimentoapos a eq. 3.1 mas, no limite considerado, deixaria indeterminado o sentido de n). Paraencontrar a desejada forma da eq. 3.9, ela deve ser discutida termo a termo:

116

1. Considerando que ∂ψ/∂t e σψ sao finitos em VS , obtem-se que

limVS→0

∫VS

∂ψ

∂tdv = lim

VS→0

∫VS

σψ dv = 0 .

2. Lembrando que χκ(X, t) nao precisa ser suave, embora precise ser contınua, consi-

dere a possibilidade de que a descontinuidade finita do campo tensorial ψ, na areas, por motivo fısico cause uma descontinuidade finita da velocidade x nesta mesmaarea, dada por ‖x‖ = x+− x− (por exemplo, suponha que a area s pertenca a umafrente de onda acustica que se propague num lıquido em movimento). Definindo

‖ψ (x · n)‖ = ψ+(x+ · n)− ψ−(x− · n) tem-se, entao,

limVS→0

∫∂VS

ψ (x · n) da =∫s[ψ+(x+ · n)− ψ−(x− · n)] da =

∫s‖ψ (x · n)‖ da .

3. Considerando que a descontinuidade finita do campo tensorial ψ, na area s, causeuma descontinuidade finita do campo tensorial fluxo de ψ, nesta mesma area, gra-fada ‖Φψ‖ = Φ+

ψ − Φ−ψ , tem-se

limVS→0

∫∂VS

Φψ [n] da =∫s(Φ+

ψ − Φ−ψ ) [n] da =

∫s‖Φψ‖ [n] da .

Lembrando que ‖ψ‖ = ψ+ − ψ− e definindo

‖ψ(x · n− un)‖ = ((x+ · n)− ψ+un)− (ψ−(x− · n)− ψ−un) ,

a forma limite da eq. 3.9 pode entao ser escrita∫s‖ψ(x · n− un)‖ − ‖Φψ‖[n] da = 0. (3.12)

Como o integrando e contınuo, de acordo com o teorema 1.3.4 (funcao identicamentenula em E) obtem-se, entao, a equacao de balanceamento em um ponto singular, tambem

chamada equacao de Rankine-Hugoniot

‖ψ(x · n− un)‖ − ‖Φψ‖[n] = 0 . (3.13)

Definindo os dois escalares velocidades locais de propagacao, de S em relacao aocorpo em movimento

U± = un − x± · n , (3.14)

logo

‖ψ U‖ = (ψ+un − ψ+(x+ · n))− (ψ−un − ψ−(x− · n)) = −‖ψ(x · n− un)‖ ,

a eq. 3.13 pode ser escrita‖ψ U‖+ ‖Φψ‖[n] = 0 . (3.15)

Conforme a subsecao 3.1.1, a lei classica de conservacao de∫Ptψ dv e um conjunto de

condicoes suficiente para que Φψ = σψ = 0, na eq. 3.1. Evidentemente, em termos das

eqs. 3.13 e 3.15 esta lei pode ser descrita de igual modo. Se S for uma superfıcie material

ter-se-a x± = x. Alem disto, conforme ja afirmado logo apos a eq. 3.3, neste caso

un = x · n. Portanto, de acordo com a eq. 3.14, neste caso U± = 0 e, considerando a eq.

3.15, ‖Φψ‖[n] = 0 (no caso de Φψ ser um tensor, ele nao pode ser descontınuo e, no caso

de Φψ ser um vetor, ou ele e contınuo, ou a sua descontinuidade e perpendicular a n).

117

3.1.2 Equacoes de Balanceamento na Configuracao Referencial

Para qualquer grandeza material ψ, sua forma integral para balanceamento classicona configuracao referencial deve ser uma expressao com o mesmo formato matematicoda equacao 3.1, porque tal formato reflete um significado fısico que nao pode ser alte-

rado ao se passar de uma configuracao corrente para a configuracao referencial. Tem-se,portanto,

d

dt

∫Pκ

ψκ dvκ =∫∂Pκ

Φψκ [nκ] daκ +

∫Pκ

σψκ dvκ , (3.16)

onde Pκ e a imagem da configuracao referencial de P ⊂ B, sendo Pκ regular (o significado

de regular e apresentado na definicao de classe Ck 1.3.7). Evidentemente, a imagemda configuracao referencial, Pκ , de uma regiao material, e uma funcao constante de t,

o mesmo ocorrendo com a imagem da configuracao referencial, ∂Pκ , de uma superfıciematerial, ao contrario do que acontece com as correspondentes imagens das configuracoes

correntes, respectivamente Pt e ∂Pt (subsecao 3.1.1).

Note que, ate este ponto do texto, o ındice κ apareceu em B, χ, F , nas descricoesmaterial e espacial (subsecao 2.4.2) da derivada temporal de F e, somente na subsecao2.1.2, tambem em e, da e dv. Exclusivamente na subsecao 2.1.3 encontra-se o ındice κ,em F e χ. Em todos estes casos, o significado do uso do ındice κ, ou κ, foi claramenteexplicitado. Para que isto tambem ocorra em relacao a eq. 3.16, deve-se inicialmente

lembrar que, de acordo com o colocado na subsecao 2.4.2, a eq. 2.30, a saberQ = f(x, t) =

f(χκ(X, t), t) = f(X, t), em mecanica dos meios contınuos e escrita f = f(X, t) = f(x, t),

embora a eq. 2.30 explicite que f 6= f .Assim como Pκ e ∂Pκ respectivamente diferem de Pt e ∂Pt , as eqs. 2.9 mostram

que dvκ e daκ respectivamente diferem de dv e da. Por isto, de acordo com a convencaolembrada no paragrafo anterior e com a exigencia de que as eqs. 3.1 e 3.16 sejam ambassatisfeitas, tem-se

ψκ(X, t) 6= ψ(X, t) = ψ(x, t) ,

Φψκ (X, t) 6= Φψ(X, t) = Φψ(x, t) e

σψκ (X, t) 6= σψ(X, t) = σψ(x, t) . (3.17)

Como a imagem da configuracao referencial, Pκ , de uma regiao material, matematica-mente identifica tal regiao, a eq. 3.16 matematicamente identifica o que ocorre na regiaomaterial. Por isto,

ψκ(X, t) = ψ(X, t) ,

Φψκ (X, t) = Φψ(X, t) e

σψκ (X, t) = σψ(X, t) , (3.18)

o que indica que e a descricao material das funcoes indexadas por κ, nao a descricao

material das funcoes nao indexadas, que pode ser igualada as correspondentes grandezas

materiais. Para prosseguir, deve-se utilizar as eqs. 2.9, a saber n da = JF−Tnκ daκ edv = | J | dvκ . Considere que:

1. Como da e um escalar, aplicar um tensor ou um vetor a n e, depois, multiplicar oresultado por da e o mesmo que aplicar um tensor ou um vetor a nda. Analogamenteem relacao a daκ e nκ .

118

2. Para impor que nκ aponte sempre para fora da regiao Pκ , analogamente ao que

foi imposto para n, ao inves de, em termos da igualdade n da = JF−Tnκ daκ , o

vetor nκ corresponder ao vetor n, deve-se substituir, nesta igualdade, J por |J |.De fato, enquanto que o vetor axial nκ daκ transforma-se em concordancia com

esta ultima igualdade, o vetor diferenca infinitesimal entre dois pontos do espaco

euclideano de pontos, dX, transforma-se de acordo com a expressao dx = FdX(eq. 2.8). Conforme a subsecao 2.1.2, a transformacao de nκ daκ pode ser escrita

FdX1×FdX2 = (detF )F−T (dX1×dX2). Se, ao inves de F , tivessemos um tensor

ortogonal Q, como Q = Q−T e detQ = ±1 terıamos QdX1 × QdX2 = ±Q(dX1 ×dX2), expressao esta coerente com a utilizacao da definicao de produto vetorial

1.2.38 na notacao para vetor associado a tensor antissimetrico 1.2.9. De acordocom o comentario 1.2.33, sobre propriedades do tensor ortogonal, a transformacaoortogonal preserva as normas dos vetores e os angulos entre eles.

Adicionalmente, a transformacao ortogonal propria (detQ > 0) preserva tambemo sentido de rotacao (p.e., de 1 para 2 nos dois casos), enquanto que a impropria(detQ < 0) reverte o sentido de rotacao (de 1 para 2 em um caso e de 2 para 1no outro). Analogamente, embora a aplicacao do gradiente de deformacao F nao

preserve as normas dos vetores e os angulos entre eles, se o sentido de rotacao for dedX1 para dX2 e de FdX1 para FdX2 (ou de dX2 para dX1 e de FdX2 para FdX1),ter-se-a detF > 0 e os vetores axiais n e nκ apontarao, ambos, ou para fora, oupara dentro das respectivas regioes materiais (de acordo com as definicoes de nκ en, ambos apontarao para fora). Caso contrario, ter-se-a detF < 0 e, enquanto umvetor apontara para dentro, o outro apontara para fora (ou a definicao de nκ , ou

a definicao de n sera violada). Por isto, deve-se impor que n da = |J |F−Tnκ daκ .

3. No caso especıfico de Φψ ser um vetor, para o primeiro termo do segundo membroda equacao 3.1 tem-se∫

∂Pt

Φψ[n]da =∫∂Pt

Φψ · n da =∫∂Pκ

Φψ · |J |F−Tnκ daκ =∫∂Pκ

|J |F−1Φψ · nκ daκ =∫∂Pκ

|J |F−1Φψ[nκ]daκ .

Usando os tres itens anteriores, a comparacao entre as eqs. 3.16 e 3.1 indica que

ψκ = | J |ψ onde ψκ e um tensor de ordem m,

Φψκ = | J |Φψ F

−T se Φψκ for um tensor de ordem m+ 1 > 1,

Φψκ = | J |F−1 Φψ se Φψ

κ for um vetor e

σψκ = | J |σψ onde σψκ e um tensor de ordem m. (3.19)

Como o teorema de transporte se refere a qualquer regiao regular, V (t), pertencentea um espaco euclideano de pontos e a qualquer campo tensorial suave em todo pontointerior a V (t), este teorema e valido tanto para a descricao espacial, quanto para adescricao material do campo tensorial. Portanto, usando na eq. 3.2 o tensor ψκ(X, t), aoinves do tensor ψ(x, t), pode-se escrever

d

dt

∫Vψκ dvκ =

∫Vψκ dvκ +

∫∂Vψκ Uκ daκ ,

119

onde X nao mais simboliza a representacao referencial do ponto X do corpo B, mas apenas

um ponto pertencente ao subconjunto V (t) do espaco euclideano de pontos, enquanto queo escalar Uκ(X, t) e a norma do componente, perpendicular a superfıcie ∂V (t), do vetorvelocidade de um ponto X ∈ ∂V (t). Tal norma sera afetada por sinal positivo quandoo componente for dirigido para fora de V (t) e por sinal negativo em caso contrario.Analogamente ao que foi feito apos a eq. 3.2 pode-se, agora, impor que V (t) seja aimagem Pκ de uma regiao material ou, desde ja, impor que V (t) seja a imagem Vκ deuma regiao material.

Isto implica em que X volte a simbolizar a imagem, na configuracao referencial,do ponto X do corpo B. Neste caso, como Vκ e ∂Vκ sao funcoes constantes de t, tem-se

Uκ = X·n = 0, ja que X = 0. Logo, a ultima equacao destacada produzira, analogamentea eq. 3.4 mas para a descricao material (subsecao 2.4.2) da grandeza ψ, o que exige o

uso da imagem Vκ da configuracao referencial da regiao material, imagem esta na qual o

campo ψκ seja suave, a igualdade

d

dt

∫Vκ

ψκ dvκ =∫Vκ

ψκ dvκ . (3.20)

Se existir uma superfıcie singular Sκ(t) movendo-se dentro da regiao Vκ , analogamentea eq. 3.8 obtem-se

d

dt

∫Vκ

ψκ dvκ =∫Vκ

ψκ dvκ −∫Sκ(t)

‖ψκ‖Uκ daκ , (3.21)

onde ‖ψκ‖ = ψ+κ − ψ−κ . O escalar Uκ tera sinal positivo quando o correspondente vetor

velocidade for dirigido para a regiao que apresentar ψ+κ como valor limite de ψκ , quando

X se aproximar de Sκ(t) e, caso contrario, tera sinal negativo. Igualando o segundomembro da eq. 3.21 ao segundo membro da eq. 3.16, mas para Pκ = Vκ e ∂Pκ = ∂Vκnesta ultima equacao, tem-se∫

Vκ

ψκ dvκ −∫Sκ(t)

‖ψκ‖Uκ daκ =∫∂Vκ

Φψκ [nκ] daκ +

∫Vκ

σψκ dvκ , (3.22)

que e a igualdade analoga a eq. 3.9.Restrinja-se, apenas neste paragrafo, a ordemm de ψκ , impondo-sem ≤ 1. Aplicando

o item 2 ou o item 3 do teorema 1.3.3 (teorema da divergencia),respectivamente quando

Φψκ e um vetor (ψκ e σψκ sao escalares) ou Φψ

κ e um tensor de segunda ordem (ψκ e σψκsao vetores), obtem-se∫

Vκ

(ψκ −DivΦψκ − σψκ ) dvκ =

∫Sκ(t)

‖ψκ‖Uκ daκ .

Lembrando que todo ponto regular e um ponto interno de uma regiao constituıda apenas

por pontos regulares, seja VRκ ⊂ Vκ uma regiao formada exclusivamente por pontos

regulares e seja X ∈ VRκ qualquer um dos pontos regulares pertencentes a Vκ . Entao,

para VRκ a ultima equacao destacada indica, analogamente a eq. 3.10, que∫VR

κ

(ψκ −DivΦψκ − σψκ ) dvκ = 0 . (3.23)

120

Como o integrando e contınuo, usando o teorema 1.3.4 (funcao identicamente nula emE) obtem-se

ψκ −DivΦψκ − σψκ = 0 , (3.24)

que e analoga a equacao de campo 3.11. Duas igualdades uteis sao

ψκ = J(∂ψ

∂t+ div(ψ ⊗ x)) e DivΦψ

κ = JdivΦψ . (3.25)

Multiplicando a eq. 3.11 por J e usando as eqs. 3.25, a eq. 3.24 pode ser obtida direta-mente da eq. 3.11.

Retire a restricao imposta, no paragrafo anterior, ao valor da ordem m de ψκ e

considere que, no instante t, ψκ , Φψκ e σψκ possam apresentar descontinuidades finitas

num ponto XS ∈ Sκ(t). Seja, no instante t, XS ∈ VSκ ⊂ Vκ e seja sκ(t) = VSκ ∩ Sκ(t).Mantenha a area sκ(t) inalterada enquanto que o volume de VSκ tende para zero, ou

seja, faca (∂VSκ )+ e (∂VSκ )− tenderem para sκ(t). Deseja-se encontrar a forma para a

qual tendera a eq. 3.22, quando VSκ tender para este limite. Para isto, deve-se lembrar

que o escalar Uκ e positivo quando o correspondente vetor velocidade for dirigido para

(∂VSκ )+ e deve-se impor que, no limite considerado, nκ tambem seja dirigido para (∂VSκ )+

(ao contrario de ser sempre dirigido para fora de VSκ , o que seria coerente com a segunda

consideracao apos a eq. 3.16 mas, no limite considerado, deixaria indeterminado o sentidode nκ). Para encontrar a desejada forma da eq. 3.22, ela deve ser discutida termo a termo:

1. Lembrando que ψκ e σψκ sao finitos em VSκ , tem-se

limVS

κ→0

∫VS

κ

ψκ dvκ = limVS

κ→0

∫VS

κ

σψκ dvκ = 0.

2. Por outro lado,

limVS

κ→0

∫∂VS

κ

Φψκ [nκ] daκ =

∫sκ

‖Φψκ ‖[nκ] daκ , onde ‖Φψ

κ ‖ = (Φψκ )+ − (Φψ

κ )− .

Portanto, neste limite a eq. 3.22 pode ser escrita∫sκ

( ‖ψκ‖Uκ + ‖Φψκ ‖[nκ] ) daκ = 0.

Como o integrando e contınuo, usando o teorema 1.3.4 (funcao identicamente nulaem E) chega-se a

‖ψκ‖Uκ + ‖Φψκ ‖[nκ] = 0. (3.26)

A eq. 3.26 e analoga a eq. 3.15. Note que, tanto na descricao espacial como na descricaomaterial, a descontinuidade finita no campo, respectivamente ‖ψ‖ e ‖ψκ‖, gera desconti-nuidade finita no respectivo fluxo, mas a descontinuidade finita na velocidade x, tambemgerada na descricao espacial, nao e gerada na descricao material.

121

3.1.3 Compatibilidade Cinematica da Superfıcie Singular

Usando a eq. 2.33 e o fato, comentado logo apos a eq. 2.34, de que v = x, tem-se que

F = Grad x. (3.27)

A eq. 3.27 e uma condicao de integrabilidade, ou seja, e a condicao de existencia de umafuncao χκ tal que x = χκ(X, t), conforme colocado pela eq. 2.26. De fato, a eq. 3.27 igualaas derivadas segundas mistas, com ordem reversa de derivacao, da funcao χκ , porqueF = Gradχκ(X, t) e x = ∂χκ(X, t)/∂t (respectivamente eqs. 2.29 e 2.27, mas trocando

sımbolos por aqueles apresentados na subsecao 2.4.2). A eq. 3.27 evidencia uma necessariarelacao entre F e x. Como consequencia desta relacao, efetuando uma manipulacaomatematica da eq. 3.27 obtem-se uma necessaria relacao entre as descontinuidades finitasde F e x, sobre a superfıcie singular.

Para isto, deve-se inicialmente considerar a quarta expressao do teorema da di-vergencia 1.3.3, a seguir transcrita,∫

∂Rh⊗ n da =

∫R∇h dv . (3.28)

Lembrando que Vκ e a imagem de uma configuracao referencial de P ⊂ B, imagem estapor hipotese regular e que contem, no maximo, uma descontinuidade finita de campostensoriais sobre uma unica superfıcie singular movel, Sκ(t), usa-se a eq. 3.28 para integrara eq. 3.27 sobre Vκ , obtendo-se∫

Vκ

F dvκ =∫∂Vκ

x⊗ nκ daκ . (3.29)

Entretanto, como a eq. 3.28 exige que o campo v seja suave, a eq. 3.29 exige que F nao

apresente descontinuidade em Vκ. Nestas condicoes, e valida a eq. 3.20, o que permiteque a eq. 3.29 seja escrita

d

dt

∫Vκ

F dvκ =∫∂Vκ

x⊗ nκ daκ . (3.30)

Considere a eq. 3.30 como um caso particular da eq. 3.16 (a qual e valida para tensorψκ de qualquer ordem m), para

ψκ = F , o que implica em m = 2,

Φψκ [nκ] = x⊗ nκ e

σψκ = 0.

Supondo, agora, que F apresente descontinuidade finita na superfıcie singular movel,Sκ(t), por comparacao com a eq. 3.26 obtem-se

Uκ‖F‖+ ‖x‖ ⊗ nκ = 0 , (3.31)

chamada condicao de compatibilidade cinematica da superfıcie singular. A

eq. 3.31 mostra que (‖x‖ ⊗ nκ)(nκ) = −(Uκ‖F‖)(nκ), ou ‖x‖ = −Uκ~a, onde o vetor

~a = ‖Fnκ‖ e a descontinuidade finita de F , na direcao normal a Sκ(t) (note que ~a nao

precisa ser normal a Sκ(t)). Usando novamente a eq. 3.31 tem-se, entao, que Uκ‖F‖ =

−‖x‖⊗nκ = Uκ~a⊗nκ , logo ‖F‖ = ~a⊗nκ . Portanto, a eq. 3.31 e equivalente a qualquer

uma das duas igualdades

‖x‖ = −Uκ~a e ‖F‖ = ~a⊗ nκ . (3.32)

122

Tanto a eq. 3.31 como a primeira entre as eqs. 3.32 mostram que as descontinuidadesfinitas ‖F‖ e ‖x‖ estao relacionadas entre si. Isto e de se esperar, porque a deformacaoχκ(X, t) evidentemente nao e descontınua na superfıcie Sκ(t), mas nela apresenta umangulo que se reflete em descontinuidades finitas em suas derivadas, descontinuidadesestas cuja interrelacao depende de nκ e de Uκ (ou seja, depende da direcao perpendiculara superfıcie Sκ(t) e da velocidade de deslocamento da superfıcie nesta direcao, no pontode Sκ(t) e no instante considerados). Tal angulo aparece porque a superfıcie singularmovel afeta, de modo diferenciado, a deformacao a sua frente, em relacao a deformacaoatras dela.

Demonstra-se que, para uma superfıcie singular movel que seja caracterizada pelacondicao f(X, t) = 0, usando tanto a descricao espacial da grandeza e a configuracaocorrente da parte P do corpo, quanto a descricao material da grandeza e a configuracaoreferencial da mesma parte do corpo, tem-se as igualdades

nκ =Grad f

|Grad f |, n =

grad f

|grad f |,

Uκ = − f

|Grad f |, un = − ∂f/∂t

|grad f |, (3.33)

nκ =(F T )± n

|(F T )± n|e Uκ =

U±

|(F T )± n|. (3.34)

As quatro eqs. 3.33 fornecem vetores e escalares previamente definidos, usando-se nacoluna da esquerda a descricao material da grandeza e a configuracao referencial de P ,enquanto que na coluna da direita tem-se respectivamente o mesmo vetor e escalar, masna descricao espacial da grandeza e na configuracao corrente de P . Ja as duas eqs. 3.34,envolvendo os valores limites do gradiente de deformacao transposto (F T )±, relacionamentre si escalares e vetores referentes as descricoes referencial (Uκ e nκ) e corrente [asvelocidades locais de propagacao de S em relacao ao corpo em movimento, U± (eq. 3.14)e o vetor n].

3.2 Massa

Seja representada por β : B → E toda configuracao do corpo B e seja β : B 7→ Bβ .

Imponha a existencia de uma funcao integravel (toda funcao contınua e integravel, mas

o oposto nao e verdade) e positiva ρβ : Bβ → <+, chamada densidade volumetrica

de massa correspondente a configuracao β, tal que, para toda regiao material (subsecao3.1.1) P ⊂ B, tenha-se

M(P) =∫Pβ

ρβ dvβ , (3.35)

onde β : P 7→ Pβ ⊂ Bβ , enquanto que M e a distribuicao de massa de B, que ao ser

aplicada a cada uma de suas regioes materiais P produz o correspondente escalar massaM(P) daquela regiao material. Logo, a eq. 3.35 mostra que o escalar massa associadoas imagens de todas todas as configuracoes de determinada regiao material P ⊂ B e o

mesmo, ou seja, alterar este escalar implica em alterar a propria regiao material P (nao,

apenas, em alterar a configuracao de P). Porisso, a massa e uma medida da regiaomaterial P .

123

Tem-se a segunda entre as eqs. 2.9, a saber dv = | J | dvκ , onde J = detFκ (eq. 2.5),

sendo, de acordo com a eq. 2.29, Fκ(X, t) = ∇Xχκ(·, t). Logo, de modo mais explıcito a

segunda entre as eqs. 2.9 pode ser escrita

dv = | det∇Xχκ(·, t)| dvκ .

Definindo β1 : B → Bβ1 , β2 : B → Bβ2 e λ = β2 β−11 : Bβ1 → Bβ2 , analogamente a

ultima equacao destacada pode-se escrever, se β1 : X 7→ xβ1 ,

dvβ2 = | det∇xβ1λ| dvβ1 ,

a qual, junto com a eq. 3.35, mostra que

M(P) =∫Pβ1

ρβ1 dvβ1 =∫Pβ2

ρβ2 dvβ2 =∫Pβ1

ρβ2 | det∇λ| dvβ1 , ou

∫Pβ1

( ρβ1 − ρβ2 | det∇λ| ) dvβ1 = 0 , portanto

ρβ2 =ρβ1

| det∇xβ1λ|

, (3.36)

porque o integrando e contınuo, logo pode ser aplicado o teorema 1.3.4 (funcao identi-camente nula em E). Como β1 e β2 sao duas configuracoes quaisquer, eq. 3.36 indicaque a densidade volumetrica de massa de uma configuracao determina as densidades vo-lumetricas de massa de todas as outras possıveis configuracoes do corpo. Quando β1 = κ,logo xβ1 = X, a eq. 3.36 podera ser escrita

ρ =ρκ

| detFκ(X, t)|, (3.37)

onde ρκ(X, t) na verdade deve ser escrito ρκ(X), conforme sera mostrado pela primeiraentre as eqs. 3.94 e ρ(x, t) = ρ(X, t), de acordo com a simbologia apresentada imediata-mente apos a eq. 2.30.

Para cada configuracao corrente χ(·, t) ∈ χ(·, ·), onde χ(·, ·) e o movimento do corpo

B (subsecao 2.4.1), seja a descricao espacial ρ(x, t) da densidade volumetrica de massa,

onde x ∈ Pt e Pt ⊂ Bt , sendo Bt a imagem de B por meio da configuracao correnteconsiderada. Qualquer que seja o movimento χ, tem-se

d

dt

∫Pt

ρ dv = 0 , (3.38)

porque a eq. 3.35 indica que a alteracao temporal da configuracao corrente de uma mesma

regiao material P nao modifica a massa da configuracao corrente. A garantia de que a eq.3.38 seja satisfeita para qualquer movimento χ so pode ser obtida mediante a imposicao

de que, na eq. 3.1 (descricao espacial), se

ψ = ρ , entao Φψ = 0 e σψ = 0 .

Logo, a satisfacao da eq. 3.38 e suficiente para a satisfacao das ultimas duas igualdades

destacadas. Lembrando que a lei classica de conservacao de∫Ptψ dv e o conjunto de

condicoes suficientes para que Φψ = σψ = 0 na eq. 3.1 (subsecao 3.1.1), percebe-se que a

eq. 3.38 e a lei classica de conservacao da massa.

124

Logo, para que o movimento provoque uma alteracao temporal da configuracao cor-rente de uma mesma regiao material P , mas esta alteracao nao modifique a massa daconfiguracao corrente, ou seja, para garantir que, no enfoque classico, a eq. 3.38 sejaobedecida, o conceito fısico de regiao material de um corpo deve ser imaginado de modotal que, obrigatoriamente, Φψ e σψ sejam nulos na eq. 3.1. Mas suponha, por exemplo,

que por causa de difusao ocorresse uma alteracao nas concentracoes das especies quımicaspresentes em P , mesmo sem que houvesse reacao quımica em P .

Neste caso, o movimento incluiria as mudancas produzidas pela difusao (talvez de-vesse, entao, ser chamado de processo) e um conceito fısico de P , imaginado de modoa garantir que Φψ = σψ = 0 na eq. 3.1, em geral permitiria que a difusao modificasse o

escalar M(P). Logo, para tal conceito de P a eq. 3.38 nao seria obedecida, embora a lei

classica de conservacao da massa continuasse satisfeita. Isto seria inaceitavel, porque a

obediencia a eq. 3.38 e, conforme ja afirmado, uma consequencia da eq. 3.35, sendo estaultima um postulado basico da presente teoria.

Logo, em tal situacao obrigatoriamente o conceito fısico de P teria que ser alterado,

o que exigiria que a eq. 3.1 fosse modificada. De fato, se a eq. 3.1 incluısse fluxos ousuprimentos estatısticos, a obediencia a eq. 3.38 exigiria anulacao de outras grandezas,alem de Φψ e σψ , logo eq. 3.38 nao seria apenas a lei classica de conservacao da massa.

Como a difusao nao e explicada por meio de algum modelo classico do comportamento da

materia, ela nao e englobada pela eq. 3.1. Entretanto, se ao segundo membro da eq. 3.1

fossem adicionadas parcelas referentes ao efeito da difusao, a definicao dada pela eq. 3.38seria a lei classica e difusiva de conservacao da massa. Neste caso, o conceito fısico de Pseria imaginado de modo a que, adicionalmente a Φψ e σψ , fossem tambem anuladas

as parcelas do segundo membro da eq. 3.1 referentes ao efeito de difusao.Em resumo, na teoria apresentada impoe-se que a massa de toda parte material

de qualquer corpo nao se altere durante o movimento (ou processo), o que pode serrepresentado pela eq. 3.38. De acordo com o que aconteca ao corpo, a obediencia aeq. 3.38 pode corresponder apenas a lei classica de conservacao da massa, ou exigir leisde convervacao mais restritivas, como no exemplo dado, onde a lei de conservacao eclassica e difusiva. Leis de conservacao mais restritivas exigem a adicao de termos aosegundo membro da eq. 3.1 e, tambem, exigem a reformulacao do conceito fısico de P ea ampliacao do conceito de movimento. Cabe, ainda, ressaltar que:

1. Neste texto, apenas o enfoque classico e considerado (difusao, reacao quımica etc.nao sao consideradas).

2. A massa e um conceito primitivo. Por isto, impoe-se que a distribuicao de massa,logo tambem a densidade volumetrica de massa, sejam objetivas sob transformacaoeuclideana (subsecao 2.6.1).

3. Toda teoria na qual exista a funcao ρβ : Bβ → <+, sendo β qualquer configuracao,

e uma teoria para meio contınuo em B.

Por exemplo, a funcao ρβ nao existiria numa teoria que supusesse pontos massicos(locais com volume nulo e massa nao nula) imersos num ambiente de massa nula, ouseja, que admitisse uma distribuicao discreta de massas. Logo, tal teoria nao poderia serclassificada como uma teoria para meios contınuos. Para obter um conceito fısico realista

125

da parte P ⊂ B, que seja coerente com as parcelas incluıdas no membro direito da eq.3.1 (generalizada, ou nao, por meio da inclusao de fluxos ou suprimentos estatısticos),pode ser mais conveniente visualizar uma distribuicao discreta de massas do que umadistribuicao contınua. Mas, embora tal visualizacao discreta possa ser util a compreensaodo problema, e necessario lembrar que ela e absolutamente inconsistente com qualquerteoria de meio contınuo.

Considerando (descricao espacial) ψ = ρ e σψ = 0 , alem de divΦψ = 0 na eq. 3.11 eΦψ = 0 na eq. 3.13, as eqs. 3.11 e 3.13 indicam respectivamente que

∂ρ

∂t+ div(ρx) = 0 e ‖ρ(x · n− un)‖ = 0 . (3.39)

As eqs. 3.39 estao na descricao espacial. A segunda, entre elas, indica que so existiradescontinuidade em x se houver descontinuidade em ρ e vice-versa. Mas, como o va-lor ρ e necessariamente real, apenas descontinuidades finitas podem ocorrer. Pode sermais conveniente escrever esta igualdade em termos das velocidades locais de propagacaodefinidas pela eq. 3.14, obtendo-se imediatamente

‖ρU‖ = 0 . (3.40)

Por outro lado, para a primeira entre as eqs. 3.39 pode ser mais util utilizar a descricaomaterial da derivada temporal da densidade volumetrica de massa. Para efetuar estatransformacao pode-se lembrar que, de acordo com o primeiro item do comentario 1.3.20

(expressoes para divergencia e laplaciano), tem-se div(ρx) = x · gradρ+ρ divx, enquanto

que, de acordo com a primeira entre as eqs. 2.31, tem-se ρ = (∂ρ/∂t) + x · gradρ.Portanto, a primeira entre as eqs. 3.39 pode ser escrita

ρ+ ρ divx = 0, (3.41)

ainda na descricao espacial (lembrar a equacao f = f(X, t) = f(x, t) da subsecao 2.4.2).A eq. 3.41 costuma ser chamada equacao da continuidade. A eq. 3.6 indica quedivx = 0 quando um fluido for incompressıvel. Substituindo esta indicacao na eq. 3.41tem-se, entao, que

ρ = 0 (3.42)

quando um fluido for incompressıvel, resultado este que e esperado. A partir da eq. 3.41obtem-se duas expressoes muito uteis, que serao apresentadas sem demonstracao. Tem-seque, para qualquer quantidade tensorial ψ,

ρψ =∂(ρψ)

∂t+ div(ρψ ⊗ v) (3.43)

mas, se ψ(x, t) for uma funcao arbitraria, para a imagem Pt de qualquer regiao materialter-se-a

d

dt

∫Pt

ψρ dv =∫Pt

ψρ dv . (3.44)

3.3 Dinamica

3.3.1 Momentos Linear Angular

Seja χ(·, t) uma configuracao corrente pertencente ao movimento χ(·, ·) do corpo B(subsecao 2.4.1) e seja uma regiao material P ⊂ B. Define-se o vetor momento li-

126

near de P , em χ(·, t), pela expressao

P(P , t) =∫Pt

ρ x dv , (3.45)

sendo Pt ⊂ Bt a imagem da configuracao corrente, no instante t, da regiao material(subsecao 3.1.1) P ⊂ B. Define-se, tambem, o tensor antissimetrico momento angularde P em relacao a x ∈ E , em χ(·, t), pela expressao

Hx(P , t) =∫Pt

ρ (x− x) ∧ x dv . (3.46)

Os primeiros membros das definicoes dadas pelas eqs. 3.45 e 3.46 claramente indicamque, ao contrario da massa, os momentos linear e angular nao sao medidas da regiao

material P (secao 3.2), uma vez que dependem de P mas, tambem, de t.Como Hx(P , t) e um tensor antissimetrico (definicao de tensores simetrico e antis-

simetrico 1.2.18), de acordo com a notacao 1.2.9 (vetor associado a tensor antissimetrico)ele geralmente e representado como um vetor axial. Portanto, na eq. 3.46 o sımbolo ∧pode ser interpretado tanto com indicando um produto externo (definicao de produto ex-terno de vetores 1.2.36) como um produto vetorial (definicao de produto vetorial 1.2.38).Como a velocidade nao e objetiva sob transformacao euclideana (subsecao 2.6.2), as eqs.3.45 e 3.46 mostram que P e H tambem nao sao objetivos.

As leis da dinamica serao a seguir postuladas, em conformidade com o enfoque classicode Newton e Euler, de acordo com o qual os movimentos sao produzidos pela acao deforcas e torques sobre o corpo considerado. Seja f(P , t) o vetor forca total agindo sobreP ⊂ B no instante t e seja mx(P , t) o tensor antissimetrico, ou vetor axial, torque totalagindo sobre P ⊂ B no instante t, em relacao a x ∈ E . Na mecanica, forcas e torquessao conceitos primitivos e, por isto, impoe-se que f(P , t) e mx(P , t) sejam objetivos sob

transformacao euclideana. Dados estes conceitos, pode-se agora enunciar as duas leisfundamentais da dinamica:

1. Existe uma estrutura referencial φ, chamada inercial, em relacao a qual, se f(P , t)= 0, entao P(P , t) = 0, para qualquer movimento χ de qualquer regiao materialP ⊂ B. De fato, como a primeira igualdade e indiferente a transformacao eucli-deana, mas a segunda nao e, ocorrendo esta relacao causa-efeito em determinadaestrutura referencial, ela nao pode ocorrer em todas as outras estruturas referen-

ciais obtenıveis, a partir da primeira, por transformacao euclideana. Postula-se,portanto, a existencia de alguma estrutura referencial em que tal relacao de causa-efeito ocorra.

2. Para qualquer movimento em relacao a estrutura inercial, sao validas a primeira ea segunda lei de Euler, respectivamente fornecidas pelas duas equacoes a seguirapresentadas:

P(P , t) = f(P , t) e (3.47)

Hx(P , t) = mx(P , t) . (3.48)

Evidentemente, as duas leis de Euler nao sao objetivas sob transformacao euclide-ana.

127

Utilizando as eqs. 3.45 e 3.46, com relacao a esta ultima lembrando que as definicoesde produto externo e de produto vetorial implicam em que sejam nulos tais produtospara dois vetores iguais e usando a eq. 3.44, tem-se

P(P , t) =∫Pt

ρ x dv e Hx(P , t) =∫Pt

ρ (x− x) ∧ x dv . (3.49)

Como a aceleracao e indiferente a transformacao galileiana, quando as eqs. 3.49 forem obe-decidas P e H tambem serao indiferentes a tal transformacao. Como f(P , t) e mx(P , t)sao objetivos sob transformacao euclideana, as leis de Euler sao objetivas sob trans-formacao galileiana, ou seja, se φ for uma estrutura de referencia inercial, φ∗ tambemsera uma estrutura de referencia inercial se e somente se tais estruturas estiverem entre

si relacionadas por meio de uma transformacao galileiana. Logo,

as leis da dinamica se apresentarao conforme as mesmas expressoes matema-ticas, em todas as estruturas de referencia entre si relacionadas por meio detransformacoes galileianas.

3.3.2 Forca e Torque

No enfoque classico, a forca total f(P , t), que age sobre P ⊂ B no instante t, pode ser

decomposta em duas parcelas aditivas:

a forca corporal f b(P , t) que, embora seja produzida por fonte externa a B, age di-

retamente no interior de P , portanto nao e transmitida a P pela superfıcie desta

parte do corpo (p.e., forca da gravidade),

f b(P , t) =∫Pt

ρb dv , onde (3.50)

b e o vetor densidade massica de suprimento de forca corporal e

a forca de contato f c(P , t), transmitida a P por meio da mencionada superfıcie,

f c(P , t) =∫∂Pt

t da , onde (3.51)

t e o vetor densidade de tracao superficial por unidade de area.

Portanto, foi considerado que a interacao entre as diferentes partes do corpo se manifestasomente por meio das forcas de contato, logo b = b(x, t), ou seja, a densidade massica

de suprimento de forca corporal nao depende do que ocorra em outros pontos do corpo.

Por outro lado, para x ∈ ∂Pt tem-se t = t(x, t, ∂Pt), porque f c(P , t) e a forca exercida,pelo restante do corpo B, sobre sua parte P no instante t, por meio da superfıcie ∂Pt ,sendo t a densidade desta forca, por unidade de area, no ponto x ∈ ∂Pt . Tem-se, entao,a decomposicao da forca total que age sobre P ⊂ B no instante t,

f(P , t) =∫Pt

ρb(x, t) dv +∫∂Pt

t(x, t, ∂Pt) da . (3.52)

Analogamente, tem-se a decomposicao do torque total mx(P , t), que age sobre P ⊂ Bno instante t, em relacao a x ∈ E ,

mx(P , t) =∫Pt

(x− x) ∧ ρb dv +∫∂Pt

(x− x) ∧ t da . (3.53)

128

Convem novamente destacar que o enfoque classico nao permite que uma parte ma-

terial ou ponto do corpo exerca qualquer influencia sobre outra parte material ou ponto

do mesmo corpo, a nao ser que tal influencia seja transmitida por meio da superfıcie quedelimita cada parte material considerada. Por exemplo, nao sao considerados os efeitosproduzidos por estruturas moleculares polarizadas.

3.3.3 Tensor de Tracao de Cauchy

Seja n um vetor de norma unitaria, dirigido para fora de Pt e perpendicular a ∂Ptno ponto x ∈ ∂Pt . Seja n um vetor de norma unitaria, dirigido para fora de Pt e

perpendicular a ∂Pt no ponto x ∈ ∂Pt . O postulado de Cauchy impoe que, se ∂Pt e ∂Ptapresentarem, num ponto x ∈ ∂Pt ∩ ∂Pt , um mesmo vetor n = n, entao t(x, t, ∂Pt) =

t(x, t, ∂Pt) . Portanto, o postulado de Cauchy impoe que

t(x, t, ∂Pt) = t(x, t,n) . (3.54)

Tomando a eq. 3.54 como base, impondo que t(·, t,n) seja uma funcao integravel (con-forme ja colocado na secao 3.2, toda funcao contınua e integravel, mas o oposto nao everdade) de x e que tanto x quanto b sejam finitos em Bt , demonstra-se que a primeiralei de Euler (eq. 3.47) implica em

t(x, t,−n) = −t(x, t,n) , (3.55)

que por sua vez implica em

t(x, t,n) = T (x, t)n(x, t) . (3.56)

A eq. 3.55 reflete o princıpio de Cauchy, enquanto que a eq. 3.56 representa oteorema de Cauchy. A eq. 3.56 define o tensor de tracao de Cauchy, T (x, t), que

e um campo tensorial de segunda ordem que, aplicado ao campo vetorial n(x, t), produzo vetor tracao superficial t(x, t,n). A tracao superficial t pode ser decomposta numcomponente perpendicular a superfıcie, a tracao normal

(n · t)n = (n · Tn)n = (n⊗ n)Tn , (3.57)

onde usou-se a eq. 3.56 e a definicao de produto tensorial de vetores ou tensor simples1.2.12 e uma tracao de cisalhamento

t− (n · t)n = (1 − n⊗ n)Tn , (3.58)

onde usou-se a eq. 3.57. Se Ti j forem os componentes de T , em relacao ao sistemacartesiano de coordenadas, entao e eq. 3.56 mostra que

Ti j e o componente, na direcao do i-esimo eixo coordenado, do vetor tracaosuperficial t referente a uma superfıcie perpendicular a direcao do j-esimoeixo coordenado.

Por este motivo, os componentes T1 1, T2 2 e T3 3 sao, respectivamente, os compo-nentes normais as superfıcies perpendiculares as direcoes 1, 2 e 3, enquanto que T2 1

e T3 1 sao os componentes de cisalhamento da superfıcie perpendicular a direcao 1,

129

T1 2 = T2 1 e T3 2 sao os componentes de cisalhamento da superfıcie perpendicular a direcao2, T1 3 = T3 1 e T2 3 = T3 2 sao os componentes de cisalhamento da superfıcie perpendiculara direcao 3 (a razao da simetria sera explicada posteriormente). De um modo geral, oscomponentes diagonais sao chamados componentes normais e os componentes fora dadiagonal sao chamados componentes de cisalhamento.

Alguns especıficos tensores de tracao serao a seguir apresentados:

Tensor de Pressao Hidrostatica T = −p1 : A eq. 3.56 mostra que, para este tensor,a tracao t sobre qualquer superfıcie e o vetor tracao normal −pn, onde o escalar

−p recebe o nome pressao hidrostatica.

Tensor de Tensao ou Compressao Pura, ou Uniaxial T = σ(e⊗ e): Para umasuperfıcie perpendicular ao vetor e, cuja norma e igual a unidade, a eq. 3.56 mostra,usando a definicao de produto tensorial de vetores ou tensor simples 1.2.12, quet = σ(e⊗e)e = σ e, ou seja, mostra que a tracao sobre esta especıfica superfıcie e o

vetor tracao normal σ e, onde σ e um escalar positivo no caso de tensao e negativono caso de pressao.

Tensor de Cisalhamento Puro T = τ(c⊗ d + d⊗ c), nao sendo colineares c e d: Se(c∗, d∗) for a base dual de (c, d) (definicao de base dual 1.2.4), usando a eq. 3.56tem-se

t1 = Td∗

|d∗|=

τ

|d∗|c e t2 = T

c∗

|c∗|=

τ

|c∗|d ,

onde t1 e um vetor tracao de cisalhamento em relacao a superfıcie normal ao vetorde norma unitaria d∗/|d∗|, enquanto que t2 e um vetor tracao de cisalhamentoem relacao a superfıcie normal ao vetor de norma unitaria c∗/|c∗|. Por construcaogeometrica planar constata-se que o angulo entre os vetores d e d∗ e igual ao anguloentre os vetores c e c∗, porque os dois angulos apresentam direcoes perpendicularesentre si, sendo ambos agudos. Isto causa a igualdade

c · c∗

|c||c∗|=

d · d∗

|d||d∗|,

onde c · c∗ = d · d∗ = 1, logo |c| / |d∗| = |d| / |c∗| = a . Substituindo, nas primeirasduas expressoes destacadas, respectivamente c = |c| (c/|c|) e d = |d| (d/|d|)tem-se, entao,

t1 = aτc

|c|e t2 = aτ

d

|d|, logo |t1| = |t2| = aτ .

Tensor de Tracao Planar: Se, para um determinado j fixo, acontecer que T1 j = Tj 1 =0, T2 j = Tj 2 = 0 e T3 j = Tj 3 = 0, ter-se-a um tensor de tracao planar, porque ovetor t pertencera ao plano dos outros dois vetores de base. Tensores de tensao oucompressao pura, bem como tensores de cisalhamento puro, sao casos especiais detensores de tracao planar.

130

3.3.4 Balanceamento de Momentos Linear e Angular

Usando as eqs. 3.45 (definicao de momento linear) e 3.52 (decomposicao da forca total),numa estrutura inercial (subsecao 3.3.1) a eq. 3.47 (primeira lei de Euler) pode ser escrita

d

dt

∫Pt

ρ x dv =∫Pt

ρb dv +∫∂Pt

t da . (3.59)

A eq. 3.59, usando a eq. 3.56 (definicao do tensor de tracao de Cauchy), por sua vez podeser escrita

d

dt

∫Pt

ρ x dv =∫Pt

ρb dv +∫∂Pt

T n da , (3.60)

chamada primeira lei de Cauchy. Comparando a eq. 3.60 com a eq. 3.1 tem-se que,no enfoque classico, na configuracao corrente e utilizando a descricao espacial,

ψ = ρ x , Φψ = T e σψ = ρb .

Portanto, T = b = 0 e uma condicao suficiente para que Φψ = σψ = 0 na eq. 3.1, logoT = b = 0 e a lei de classica conservacao do momento linear (subsecao 3.1.1).

Porem, para o momento linear, tambem poderia ser deduzida uma lei de conservacaonao apenas classica, analogamente ao que foi indicado para o caso da massa. De fato,se a eq. 3.1 fosse generalizada por meio da adicao, ao seu segundo membro, de parcelasreferentes a fluxos ou suprimentos estatısticos, a comparacao dela com a eq. 3.60 mos-traria que a conservacao do momento linear ocorreria se T = b = 0 e se, alem disto, na

eq. 3.1 fossem anuladas todas as parcelas referentes a fluxos ou suprimentos estatısticos.Deve-se adicionalmente lembrar que, conforme ressaltado na subsecao 3.3.2, o enfoqueclassico nao permite que uma parte material ou ponto do corpo exerca qualquer influencia

sobre outra parte material ou ponto do mesmo corpo, a nao ser que tal influencia sejatransmitida por meio da superfıcie que delimita cada parte material considerada. Paraincluir tais influencias, a eq. 3.60 deveria ser alterada.

Retornando ao enfoque classico e considerando ψ = ρ x, Φψ = T e σψ = ρb, as eqs.3.11 e 3.13 indicam respectivamente que

∂

∂t(ρ x) + div(ρ x⊗ x− T )− ρb = 0 e ‖ρ x(x · n− un)‖ − ‖T‖n = 0 . (3.61)

A primeira entre as eqs. 3.61, que e a forma local da primeira lei de Cauchy para pontosregulares, costuma ser chamada equacao do movimento. Assim como ocorre com aprimeira entre as eqs. 3.39, ela contem a descricao espacial da derivada temporal, maspode ser mais util a descricao material desta derivada. Para se efetuar esta transformacao,basta perceber que a eq. 3.43 indica que ∂(ρ x) / ∂t + div(ρ x⊗ x) = ρx . Por isto, umaexpressao mais usual da equacao de movimento e

ρx− divT = ρb , (3.62)

a qual mostra que a conservacao do momento linear, para um ponto regular, implica emx = 0. Por outro lado, assim como ocorre com a segunda entre as eqs. 3.39, as vezes emais conveniente escrever a segunda entre as eqs. 3.61 em termos das velocidades locaisde propagacao definidas pela eq. 3.14, obtendo-se imediatamente

‖ρU x‖+ ‖T‖n = 0 . (3.63)

131

Usando as eqs. 3.46 (definicao do momento angular) e 3.53 (decomposicao do torquetotal em materiais apolares), numa estrutura inercial a eq. 3.48 (segunda lei de Euler)pode ser escrita

d

dt

∫Pt

ρ (x− x) ∧ x dv =∫Pt

(x− x) ∧ ρb dv +∫∂Pt

(x− x) ∧ t da . (3.64)

A eq. 3.64, usando a eq. 3.56 (definicao do tensor de tracao de Cauchy), por sua vez podeser escrita

d

dt

∫Pt

ρ (x− x) ∧ x dv =∫Pt

(x− x) ∧ ρb dv +∫∂Pt

(x− x) ∧ Tn da , (3.65)

denominada segunda lei de Cauchy. Comparando a eq. 3.65 com a eq. 3.1 tem-se que,no enfoque classico, na configuracao corrente e utilizando a descricao espacial,

ψ = (x− x) ∧ ρ x , Φψ = (x− x) ∧ T e σψ = (x− x) ∧ ρb .

Como o ponto x e completamente arbitrario, T = b = 0 e uma condicao suficientepara que Φψ = σψ = 0 na eq. 3.1, logo T = b = 0 e a lei classica de conservacaodo momento angular. Note que os momentos linear e angular apresentam a mesmalei classica de conservacao, cabendo consideracoes analogas sobre a sua generalizacao.Logo, impor T = b = 0 na eq. 3.1 e suficiente para que ambos os dois momentos seconservem, embora, sem a imposicao desta condicao, cada um deles ainda possa serindividualmente conservado, mediante a criacao de vınculos especıficos nao permitidospelas leis de conservacao (subsecao 3.1.1).

A substituicao de ψ = (x − x) ∧ ρ x , Φψ = (x − x) ∧ T e σψ = (x − x) ∧ ρbna eq. 3.13 leva, novamente, a segunda entre as eqs. 3.61. Por outro lado, efetuandoesta mesma substituicao na eq. 3.11, apos varias transformacoes algebricas obtem-se, pormeio do uso da eq. 3.62,

T = T T , (3.66)

que e a forma local da segunda lei de Cauchy para pontos regulares. O fato de T sersimetrico apresenta importante consequencia. De fato, de acordo com o teorema 1.2.6(espectral: autovalores de tensor simetrico), a simetria de T garante que existam trescampos vetoriais ortonormais n(x, t) tais que, para cada um deles,

T (x, t)n(x, t) = σ(x, t)n(x, t) , (3.67)

onde o escalar real σ(x, t) (autovalor) e chamado tracao principal, enquanto que ovetor n(x, t) (autovetor) e denominado direcao principal. de T (x, t). Embora ha-jam tres direcoes principais, existem no maximo tres diferentes tracoes principais a elas

correspondentes.Por exemplo, para o tensor de pressao hidrostatica T = −p1 (subsecao 3.3.3), toda

direcao e uma direcao principal e o escalar −p e a tracao principal. Alias, uma situacaocomum e a de um escoamento com pressao hidrostatica T = −p1 e densidade massicasuprimento de forca corporal b = −gradφ. Para esta situacao, o teorema de Bernouillidemonstra que

se ∂v/∂t = 0 , entao v · grad(v2

2+ φ) +

1

ρv · grad p = 0 e (3.68)

se ∂v/∂t = 0 e rotv = 0 , entao grad(v2

2+ φ) +

1

ρgrad p = 0 . (3.69)

132

3.3.5 Balanceamento de Energia Cinetica

Pode-se efetuar o produto interno dos termos da eq. 3.62 pelo vetor velocidade x. Con-siderando que

x · ρx = ρ ddt

(12x · x) ,

x · divT = div(T T x) − tr(T T∇x) , de acordo com o item 2 do comentario 1.3.20 (ex-pressoes para divergencia e laplaciano),

div(T T x) = div(T x) , de acordo com a eq. 3.66 e

tr(T T∇x) = T · grad x , de acordo com a definicao de produto interno tensorial 1.2.27,obtem-se

ρd

dt(1

2x · x) = div(T x) + ρx · b− T · grad x . (3.70)

Tanto a primeira entre as eqs. 3.61, quanto a equacao de movimento 3.62, sao equacoesvetoriais que expressam a forma local, para pontos regulares, da primeira lei de Cauchy, aqual e o balanceamento classico de momento linear, na configuracao corrente e utilizandoa descricao espacial, referente a uma estrutura inercial. Ja a eq. 3.70 e escalar, porqueinterrelaciona as projecoes dos vetores, presentes na eq. 3.62, sobre a direcao do vetorvelocidade x (nesta igualdade, todas as projecoes aparecem multiplicadas |x|), enquantoque a eq. 3.66, tambem envolvida na deducao da eq. 3.70, e tensorial e se refere a segundalei de Cauchy, que e o balanceamento classico de momento angular. Porem, no mais aseqs. 3.61, 3.62, 3.66 e 3.70 tem exatamente as mesmas caracterısticas.

Seja χ(·, t) uma configuracao corrente pertencente ao movimento χ(·, ·) do corpo B(subsecao 2.4.1) e seja uma regiao material (subsecao 3.1.1) P ⊂ B. Define-se a energiacinetica da regiao material P , em χ(·, t), pela expressao

K(P , t) =1

2

∫Pt

ρ x · x dv , (3.71)

sendo Pt ⊂ Bt a imagem da regiao material P ⊂ B, por meio da configuracao corrente

χ(·, t). Se ja tivessem sido definidas as grandezas Φψ e σψ referentes a energia cinetica,

considerando ψ = ρ x · x/2 na eq. 3.11 ter-se-ia a forma local, para pontos regulares,do balanceamento classico de energia cinetica, na configuracao corrente e utilizando a

descricao espacial. Tal forma local, portanto, envolve a derivada ∂∂t

(ρ2x · x). Como a

eq. 3.70, que resulta da aplicacao da eq. 3.11 aos momentos linear e angular, envolve a

derivada ρ ddt

(12x · x), convem relacionar entre si estas duas derivadas. Tem-se, entao,

∂

∂t(ρ

2x · x) =

=d

dt(ρ

2x · x)− x · grad(

ρ

2x · x) (primeira entre as eqs. 2.31)

= ρd

dt(1

2x · x) +

dρ

dt(1

2x · x)− x · grad(

ρ

2x · x)

= ρd

dt(1

2x · x)− [(

ρ

2x · x) divx + x · grad(

ρ

2x · x)] (eq. 3.41)

= ρd

dt(1

2x · x)− div[(

ρ

2x · x)x] (item 1 do comentario 1.3.20). (3.72)

133

Como x e completamente arbitrario, a eq. 3.72 mostra que os balanceamentos de mo-mentos linear e angular implicam no balanceamento de energia cinetica.

De fato, subtraındo div[(ρx · x)x/2] aos dois membros da eq. 3.70 tem-se

∂

∂t(ρ

2x · x) = div[T x− (

ρ

2x · x)x] + ρx · b− T · grad x , (3.73)

que e a forma local do balanceamento classico de energia cinetica em ponto regular.Comparando a eq. 3.73 com a eq. 3.11 percebe-se que

ψ =ρ

2x · x , Φψ = T x e σψ = ρx · b− T · grad x .

Aplicando as ultimas tres equacoes destacadas a eq. 3.1 obtem-se a forma integral de ba-lanceamento classico da energia cinetica, na configuracao corrente e utilizando a descricaoespacial, referente a uma estrutura inercial,

d

dt

∫Pt

ρ

2x · x dv =

∫∂Pt

T x · n da+∫Pt

(ρx · b− T · grad x) dv , onde (3.74)

T x ·n = n ·T T x = x ·Tn = x ·t, sendo a primeira igualdade devida a eq. 3.66, a segundaa definicao de transformacao linear transposta 1.2.17 e a terceira a eq. 3.56 (definicao de

tensor de tracao de Cauchy). Como a potencia cinetica K(P , t) = ddt

∫Pt

ρ2x · x dv, a

eq. 3.74 pode, entao, ser escrita

K(P , t) =∫∂Pt

x · t da+∫Pt

ρx · b dv −∫Pt

T · grad x dv , (3.75)

onde os termos∫∂Pt

x · t da e∫Ptρ x · b dv sao absolutamente coerentes com os termos

que definem as respectivas forcas mecanicas f c(P , t) =∫∂Pt

t da (eq. 3.51) e f b(P , t) =∫Ptρb dv (eq. 3.50), constituindo a potencia mecanica transmitida a regiao material

P , em χ(·, t),P (P , t) =

∫∂Pt

x · t da+∫Pt

ρx · b dv . (3.76)

Quanto a eq. 3.13, a descontinuidade de x sobre a superfıcie singular faz grad xdivergir sobre tal superfıcie. Portanto, nao existe, para a energia cinetica, uma expressao

com a forma da eq. 3.13. O aparecimento do produto interno tensorial T · grad x, porem,produz mais consequencias, cujas caracterısticas ate a este ponto do texto ainda naotinham ocorrido, do que somente impedir a existencia de uma equacao de Rankine-Hugoniot para a energia cinetica. De fato, trata-se de um suprimento produzido porfonte necessariamente interna a regiao material P , o que indica que a energia cinetica

nao e uma grandeza conservativa, portanto indica que nao existe uma lei de conservacao

da energia cinetica, fosse ela classica ou nao (subsecao 3.1.1), embora o balanceamentode energia cinetica tenha sido obtido a partir dos balanceamentos de momentos linear eangular, os quais apresentam uma mesma lei de conservacao.

Como a lei classica de conservacao dos momentos linear e angular e T = b = 0 naeq. 3.1, ou seja, e T (x, t) = t(x, t) = 0 |x ∈ ∂P e b(x, t) = 0 |x ∈ P, sempre que forimposta esta lei as eqs. 3.76 e 3.75 tornar-se-ao, respectivamente, P (P , t) = 0 e

KP=0(P , t) = −∫Pt

T · grad x dv , (3.77)

134

onde KP=0(P , t) e a potencia cinetica sem potencia mecanica. Substituindo as eqs.3.76 e 3.77 na eq. 3.75 obtem-se

K(P , t) = P (P , t) + KP=0(P , t) . (3.78)

Deve-se, porem, lembrar que vınculos especiais podem permitir a conservacao dos mo-mentos linear e angular sem que seja imposta a lei classica de conservacao de tais momen-

tos. Em outras palavras, e possıvel conservar estes momentos tendo-se, simultaneamente,

P (P , t) 6= 0, logo K(P , t) 6= −∫PtT · grad x dv .

Qualifica-se como homogeneo ao processo durante o qual, para todo t, qualquer

propriedade intensiva (por exemplo densidade, pressao, temperatura, concentracao etc.)apresente o mesmo valor em todos os pontos de Pt , embora tal valor possa variar comt. Impondo que, num processo homogeneo, a velocidade tambem apresente igual valorem todos os pontos, entao, por definicao, a homogeneidade exige que grad x = 0 (nao

confundir com o conceito de material homogeneo, a ser apresentado no final da secao

4.3). Portanto, num processo homogeneo:

1. KP=0(P , t) = 0, de acordo com a eq. 3.77.

2. K(P , t) = P (P , t), de acordo com as eqs. 3.78 e com o primeiro item.

3. Existe a lei classica de conservacao da energia cinetica e esta coincide com a leiclassica de conservacao dos momentos linear e angular.

3.3.6 Balanceamento de Energias Total e Interna

Conforme um dos conceitos centrais da mecanica, a energia e conservativa. Isto gera aideia de existencia de uma conservativa energia total, divisıvel em parcelas aditivas, asquais nao precisariam ser conservativas. Uma parcela nao conservativa seria a energia

cinetica, ja definida pela eq. 3.71. A energia cinetica e um conceito fundamental dadinamica, intimamente relacionado aos conceitos de momento linear e angular, conformemostrado na subsecao 3.3.5. Por diferenca, a parte restante da energia total e denomi-nada energia interna. Evidentemente, a energia interna deve ser nao conservativa, sua

alteracao compensando a alteracao de energia cinetica, ou seja, numa regiao materialisolada (subsecao 3.1.1) a potencia que altera a energia cinetica deve ser, a cada instante,igual e de sinal contrario a potencia que modifica a energia interna. Em outras palavras,tal potencia deve, apenas, transformar energia cinetica em interna e vice-versa.

Seja χ(·, t) uma configuracao corrente pertencente ao movimento (subsecao 2.4.1)χ(·, ·) do corpo B e seja uma regiao material (subsecao 3.1.1) P ⊂ B. Define-se a energiainterna de P , em χ(·, t), pela expressao

E(P , t) =∫Pt

ρ ε dv , (3.79)

sendo Pt ⊂ Bt a imagem de P na configuracao corrente e ε(x, t) a densidade massicade energia interna. Define-se, tambem, a potencia total trocada por Pt ⊂ Bt ,∫

∂Pt

x · t da+∫∂Pt

h da+∫Pt

ρ x · b dv +∫Pt

ρ r dv , (3.80)

135

onde os termos∫∂Pt

x · t da e∫Ptρ x · b dv ja foram comentados logo apos a eq. 3.75.

O escalar densidade massica de suprimento de calor r = r(x, t), assim como ocorrecom o vetor b, e produzido por fonte externa a B (por exemplo, e uma radiacao prove-niente de fonte externa ao corpo). Este escalar e o analogo, para a energia interna, doque e o escalar x · b, para a energia cinetica. O escalar densidade de calor condutivosuperficial, h = h(x, t, ∂Pt), e o analogo, para a energia interna, do que e o escalarx · t para a energia cinetica. Impoe-se que tanto ε quanto r e h sejam objetivos sob

transformacao euclideana, porque trata-se de conceitos primitivos. Semelhantemente aopostulado (eq. 3.54), princıpio (eq. 3.55) e teorema de Cauchy (eq. 3.56), o princıpiode fluxo termico de Fourier-Stokes afirma que

h(x, t, ∂Pt) = h(x, t,n) = −q(x, t) · n(x, t) , (3.81)

onde q(x, t) e o vetor fluxo termico. A eq. 3.81 e a definicao de q(x, t).Usando as eqs. 3.71 (definicao de energia cinetica), 3.79 (definicao de energia interna),

3.80 (definicao de potencia total trocada, nela fazendo a substituicao x · t = T x · n, deacordo com a subsecao 3.3.5, imediatamente apos a eq. 3.74) e 3.81 (definicao do vetor defluxo termico q), para uma estrutura inercial obtem-se a expressao para o balanceamentoclassico de energia total, na configuracao corrente e utilizando a descricao espacial,

d

dt

∫Pt

(ρ

2x · x + ρ ε) dv =

∫∂Pt

(T x− q) · nda+∫Pt

ρ (x · b + r) dv . (3.82)

Ao se comparar a eq. 3.82 com a eq. 3.1 obtem-se

ψ =ρ

2x · x + ρ ε , Φψ = T x− q e σψ = ρ (x · b + r) .

Portanto, a lei classica de conservacao da energia total (subsecao 3.1.1) e obedecidase e somente se T = q = b = r = 0 na eq. 3.82, ou seja, T e q sao nulos na superfıcie,enquanto que b e r sao nulos em todo ponto da regiao material.

Convem, ainda, lembrar que, desde a subsecao 3.3.2, considera-se que densidadesmassicas de suprimento nao dependam do que ocorra em outros pontos do corpo, ouseja, que a interacao entre as diversas partes do corpo se manifeste somente por meio decontato superficial. Ate ao fim da subsecao anterior, isto se referia apenas ao suprimentode forca corporal b e a tracao superficial t = Tn. Mas, a partir da presente subsecao,este conceito envolve tambem o suprimento de calor r e o calor condutivo superficialh = q · n.

As eqs. 3.11 e 3.13 indicam respectivamente que

∂

∂t(ρ

2x · x + ρ ε) + div((

ρ

2x · x + ρ ε)x− T x + q)− ρ (x · b + r) = 0 e (3.83)

‖(ρ2

x · x + ρ ε)(x · n− un)‖+ ‖q− T x‖ · n = 0 . (3.84)

A eq. 3.83 (equacao de campo) e a forma local, em pontos regulares, da eq. 3.82, en-quanto que a eq. 3.84 (equacao de Rankine-Hugoniot) e a forma local da mesma equacao,mas para pontos sobre uma superfıcie singular. Pode ser mais util escrever a eq. 3.84 emtermos das velocidades locais de propagacao definidas pela eq. 3.14, obtendo-se imedia-tamente

‖ρU(ε+1

2x · x)‖+ ‖T x− q‖ · n = 0 . (3.85)

136

A partir da eq. 3.85 demonstra-se que, supondo que a componente tangencial da veloci-dade seja contınua na superfıcie singular, tem-se

‖q‖ · n = (ρU)−‖ε− 1

ρ(n · Tn) +

1

2U2‖ . (3.86)

Subtraindo a eq. 3.73 da eq. 3.83 obtem-se

∂(ρ ε)

∂t+ div(ρ ε x + q)− T · grad x− ρ r = 0. (3.87)

Como foi subtraıda a equacao de campo para a energia cinetica da equacao de campo daenergia total, a eq. 3.87 e a equacao de campo para a energia interna. Comparando aseqs. 3.87 e 3.11 obtem-se que

ψ = ρ ε , Φψ = −q e σψ = T · grad x + ρ r ,

resultado este absolutamente coerente com os resultados analogos, obtidos para a ener-gia cinetica e para a energia total. Portanto, assim como a energia cinetica, a energiainterna tambem nao e conservativa. A eq. 3.87 contem a descricao espacial da derivada

temporal, mas pode ser mais util a descricao material desta derivada. Para se efetuaresta transformacao, nota-se que

∂(ρ ε)

∂t= ε

∂ρ

∂t+ ρ

∂ε

∂t= −ε div(ρ x) + ρ ε− ρ (grad ε) · x = ρ ε− div(ρ ε x) ,

onde foram usadas a primeira entre as eqs. 3.39, a primeira entre as eqs. 2.31 e o item 1do comentario 1.3.20 (expressoes para divergencia e laplaciano). Substituindo a ultimaexpressao destacada na eq. 3.87, obtem-se

ρ ε+ divq = T · grad x + ρ r . (3.88)

Tambem em analogia ao que acontece para a energia cinetica, nao existe uma equacaode Rankine-Hugoniot para a energia interna. Ou seja, ao contrario do que ocorre parapontos regulares, nao e possıvel decompor a eq. 3.84 numa expressao para energia cineticae outra para energia interna. A medida que o ponto regular se aproximar da superfıciesingular, as divergencias das energias cinetica e interna se anularao entre si, de modoa tender para uma descontinuidade finita para a energia total (eq. 3.84). Conformedestacado logo apos a eq. 3.87, para a energia interna deve-se considerar ψ = ρ ε , Φψ =−q e σψ = T · grad x + ρ r . Entao, para a energia interna a eq. 3.1 deve ser escrita

d

dt

∫Pt

ρ ε dv = −∫∂Pt

q · n da+∫Pt

T · grad x dv +∫Pt

ρ r dv , (3.89)

que e o balanceamento classico de energia interna, na configuracao corrente e utilizandoa descricao espacial, para uma estrutura inercial. Note que, conforme esperado, somandoas eqs. 3.74 (balanceamento classico de energia cinetica) e 3.89 obtem-se a eq. 3.82 (ba-lanceamento classico de energia total).

Em analogia a definicao de potencia mecanica dada pela eq. 3.76, define-se a potenciatermica

Q(P , t) = −∫∂Pt

q · n da+∫Pt

ρ r dv . (3.90)

137

Usando as eqs. 3.77 e 3.90, a eq. 3.89 pode ser re-escrita sob a forma

E(P , t) = Q(P , t)− KP=0(P , t) , (3.91)

que e analoga a eq. 3.78. Somando a eq. 3.78 a eq. 3.91 tem-se

E(P , t) + K(P , t) = Q(P , t) + P (P , t) , (3.92)

conforme esperado. De acordo com o primeiro item do ultimo paragrafo da subsecao 3.3.5,

para um processo homogeneo tem-se KP=0(P , t) = 0. Isto indica que, neste processo:

1. As energias cinetica e interna nao se transformam diretamente uma na outra,

porque e anulada a potencia transferıvel, KP=0(P , t). Por isto, tanto a energiacinetica como a energia interna sao conservativas, apresentado respecticamente asleis classicas de conservacao T (x, t) = 0 |x ∈ ∂P , b(x, t) = 0 |x ∈ P e q(x, t)= 0 |x ∈ ∂P , r(x, t) = 0 |x ∈ P. O fato de ser possıvel conservar, separada-mente, cada uma das duas energias, confirma que elas nao se transformam, di-retamente, uma na outra.

2. Para a energia interna tem-se E(P , t) = Q(P , t), de acordo com a eq. 3.91, enquanto

que, considerando a eq. 3.78, para a energia cinetica tem-se K(P , t) = P (P , t). Naose altera, portanto, a eq. 3.92, valida para qualquer processo em meio contınuo.

Grafando P ′(P , t) a potencia mecanica correspondente a conservacao dos momentos li-near e angular sem que seja imposta a lei classica de conservacao de tais momentos (ver

texto imediatamente apos a eq. 3.78), nos processos homogeneos costuma-se subtrair

P ′(P , t) de ambos os membros da igualdade K(P , t) = P (P , t), que passa a ser escrita

K ′(P , t) = P (P , t) − P ′(P , t), sendo P (P , t) − P ′(P , t) a potencia mecanica correspon-

dente ao movimento de corpo rıgido, logo K ′(P , t) e a potencia cinetica do movimentode corpo rıgido.

Por outro lado, nos processos homogeneos costuma-se adicionar P ′(P , t) a ambos

os membros da igualdade E(P , t) = Q(P , t), obtendo-se E ′(P , t) = Q(P , t) + P ′(P , t),chamada primeira lei da termodinamica dos processos homogeneos. Logo, a

potencia interna E ′(P , t), a que se refere a primeira lei da termodinamica dos processoshomogeneos, nao e a mesma a que se refere a eq. 3.91. De fato, a diferenca entre E ′(P , t)e a potencia total e a potencia cinetica de corpo rıgido K ′(P , t), nao e a potencia cinetica

total definida pela eq. 3.75. Convem, ainda, lembrar que, a rigor, e irrealizavel um

processo em meio contınuo que mantenha, ao longo de todo o seu tempo de existencia, ahomogeneidade de todas as suas propriedades intensivas, inclusive da velocidade pontual,mesmo supondo-se que os valores de tais grandezas possam variar no tempo.

Porem, quando as velocidades de homogeneizacao das propriedades intensivas e davelocidade pontual forem suficientemente maiores do que a velocidade de avanco doprocesso, dentro da precisao desejada o processo pode ser considerado homogeneo. Mas,para processos em meio contınuo de um modo geral, a primeira lei da termodinamica

deve ser fornecida em termos da energia total, ou seja, por meio das eqs. desde 3.82 ate

3.86, ou de expressoes obtidas a partir destas igualdades.

138

3.4 Equacoes Complementares

3.4.1 Equacoes de Campo e de Rankine-Hugoniot na DescricaoMaterial

Serao apresentadas as equacoes de campo e de Rankine-Hugoniot, na descricao material,para a massa, os momentos linear e angular, a energia interna, a energia total e a energiacinetica, quando existirem tais equacoes.

Massa

Como, para a massa, ψ = ρ , Φψ = 0 e σψ = 0 (secao 3.2), de acordo com as eqs. 3.19tem-se

ψκ = |J | ρ = ρκ , Φψκ = 0 e σψκ = 0. (3.93)

Logo, usando as eqs. 3.24 e 3.26 tem-se, respectivamente,

ρκ = 0 e ‖ρκ‖Uκ = 0. (3.94)

Como considerar Uκ = 0 seria uma particularizacao que, conforme a condicao de com-patibilidade cinematica na superfıcie singular expressa pela primeira entre as eqs. 3.32,implicaria em impor ‖x‖ = 0, a segunda entre as eqs. 3.94 pode ser escrita

‖ρκ‖ = 0. (3.95)

Note que a primeira entre as eqs. 3.93 e a eq. 3.37.

Momento Linear

Como, para o momento linear, ψ = ρx , Φψ = T e σψ = ρb (subsecao 3.3.4, logo aposa eq. 3.60), de acordo com as eqs. 3.19 tem-se

ψκ = |J | ρx = ρκx , Φψκ = |J |TF−T = Tκ e σψκ = |J | ρb = ρκb , (3.96)

onde na primeira e terceira equacao foi utilizada a primeira entre as eqs. 3.93 e o tensorTκ e denominado tensor de tracao de Piola-Kirchoff . Logo, usando as eqs. 3.24 e3.26 tem-se, respectivamente,

ρκx−DivTκ − ρκb = 0 e ‖ρκx‖Uκ + ‖Tκ‖nκ = 0, (3.97)

onde na primeira equacao foi usada a primeira entre as eqs. 3.94. Por meio da primeiraentre as eqs. 3.32 e da eq. 3.95, a segunda entre as eqs. 3.97 pode ser escrita

‖Tκnκ‖ = ρκU2κ ‖Fnκ‖ . (3.98)

Usando a primeira entre as eqs. 2.9, que relaciona eκdaκ com eda e, tambem, o que foi

colocado na subsecao 3.1.2, sobre a substituicao de J por |J |, mostra-se que∫∂Pt

T n da =∫∂Pκ

Tκ nκ daκ . (3.99)

139

Momento Angular

De acordo com a subsecao 3.3.4, a equacao de Rankine-Hugoniot para os momentos lineare angular e a mesma na descricao espacial, logo tambem e a mesma na descricao material.Quanto a equacao de campo, ela e, na descricao espacial, a eq. 3.66, a saber, T = T T .Considerando esta igualdade e a segunda entre as eqs. 3.96, tem-se que

T Tκ = |J |F−1T , (3.100)

logo T Tκ = F−1|J |TF−TF T = F−1TκFT , onde, na ultima igualdade, usou-se novamente

a segunda entre as eqs. 3.96. Tem-se, portanto, F T Tκ = TκFT , que indica que, embora

tenha sido usada a igualdade T = T T , nao foi obtida igualdade analoga para o tensorTκ . Logo, o tensor de tracao de Piola-Kirchoff nao e simetrico.

Energia Interna

Como, para a energia interna, ψ = ρ ε , Φψ = −q e σψ = T · gradx + ρ r (subsecao3.3.6, logo apos a eq. 3.87), de acordo com as eqs. 3.19 tem-se

ψκ = |J | ρ ε = ρκ ε , Φψκ = −|J |F−1q = −qκ e σψκ = Tκ · F + ρκ r , (3.101)

onde na primeira equacao foi utilizada a primeira entre as eqs. 3.93 e o vetor qκ edenominado vetor fluxo termico material. A aplicacao da terceira entre as eqs. 3.19

a σψ = T · gradx + ρ r inicialmente produz σψκ = |J |(T · gradx + ρ r). Mas tem-se que

|J |T · gradx = |J | tr(T (gradx)T ) = tr(|J |T (FF−1)T ) = tr(|J |TF−T F T ) = tr(TκFT ) =

Tκ · F , onde para a primeira e ultima igualdades utilizou-se a definicao de produtointerno de tensores de segunda ordem 1.2.27, na segunda igualdade usou-se a eq. 2.34e, na quarta, a segunda entre as eqs. 3.96. Usando, ainda, a primeira entre as eqs. 3.93no termo |J | ρ r , chega-se ao resultado apresentado na terceira entre as eqs 3.101. Logo,usando a eq. 3.24 (lembrar que a energia interna diverge numa superfıcie singular), tem-se

ρκ ε+ Divqκ − Tκ · F − ρκ r = 0, (3.102)

onde foi utilizada a primeira entre as eqs. 3.94. Usando a primeira entre as eqs. 2.9,que relaciona eκdaκ com eda e, tambem, o que foi colocado na subsecao 3.1.2, sobre asubstituicao de J por |J |, mostra-se que∫

∂Pt

q · n da =∫∂Pκ

qκ · nκ daκ . (3.103)

Energia Total

Como, para a energia total, ψ = ρ2x · x+ρ ε , Φψ = T x−q e σψ = ρ (x ·b+r) (subsecao

3.3.6 logo apos a eq. 3.82), de acordo com as eqs. 3.19 tem-se

ψκ = |J | (ρ2

x · x + ρ ε) =ρκ2

x · x + ρκ ε

Φψκ = |J |F−1(T x− q) = T Tκ x− qκ

σψκ = |J | ρ (x · b + r) = ρκ (x · b + r) , (3.104)

140

onde, na primeira e na terceira equacao, foi utilizada a primeira entre as eqs. 3.93. Usandoa eq. 3.100 conjuntamente com a segunda entre as eqs. 3.101, confirma-se a ultima igual-dade da segunda equacao. Logo, utilizando as eqs. 3.24 e 3.26 tem-se, respectivamente,

ρκ(x · x + ε) + Div(qκ − T Tκ x)− ρκ (x · b + r) = 0

e ‖ρκ(1

2x · x + ε)‖Uκ + ‖T Tκ x− qκ‖ · nκ = 0, (3.105)

onde, na primeira equacao, foi usada a primeira entre as eqs. 3.94. Por meio da condicaode compatibilidade cinematica na superfıcie singular expressa pelas eqs. 3.32, a segundaentre as eqs. 3.105 pode ser escrita

‖qκ‖ · nκ = Uκ( ‖ρκε‖− < Tκnκ > · ‖Fnκ‖) , (3.106)

onde usa-se o sımbolo < A >= (A+ + A−)/2 para o valor medio de A sobre a superfıciesingular.

Energia Cinetica

Subtraındo a eq. 3.102 da primeira entre as eqs. 3.105 (veja a secao 3.3.6), obtem-se

ρκ x · x−Div(T Tκ x) + Tκ · F − ρκ x · b = 0, (3.107)

que corresponde ao uso da eq. 3.24 para a energia cinetica (lembrar que a energia cineticadiverge numa superfıcie singular).

3.4.2 Condicoes de Fronteira do Corpo

A fronteira do corpo, em determinado instante t, sao os pontos da imagem ∂Bt desua superfıcie material (subsecao 3.1.1), sendo nulas as velocidades locais de propagacao

U± = un−x± ·n (eq. 3.14). Por isto, na fronteira a descricao espacial dos balanceamentoslocais em pontos singulares, para momento linear e angular (eq. 3.63) e energia total (eq.3.85), sao respectivamente

‖T‖n = 0 e ‖q‖ · n = ‖x · T n‖ ,

onde, para a segunda equacao, considerou-se T± x± ·n = x± ·T± n, por causa da definicaode transformacao linear transposta 1.2.17 e da equacao de campo para momento angular(eq. 3.66) T = T T . Mas, como a primeira entre as ultimas duas expressoes destacadasmostra que T e bem determinado na fronteira, tem-se T± = T , logo a segunda, entre taisexpressoes, pode ser escrita

‖q‖ · n = ‖x‖ · T n . (3.108)

A eq. 3.108 mostra que, se a fronteira for fixa (x = 0) ou livre (T n = 0), para todas as

configuracoes correntes e para a configuracao referencial, entao a componente normal do

vetor fluxo termico sera, sempre, bem definida na fronteira.

Se a componente normal do vetor fluxo termico for, sempre, bem definida na fron-teira, como, por exemplo, acontece nos dois casos citados no paragrafo anterior, entao ocorpo podera apresentar uma fronteira adiabatica, ou seja, termicamente isolante, o que

141

indica que a componente normal do vetor fluxo termico sera sempre nula na fronteira.

Optativamente, pode-se usar, para a fronteira, a descricao material dos balanceamentoslocais em pontos singulares, para momento linear (segunda entre as eqs. 3.97) e energiatotal (segunda entre as eqs. 3.105). Lembrando que Uκ = 0 sobre a fronteira do corpo,tem-se entao, respectivamente,

‖Tκ‖nκ = 0 e ‖T Tκ x− qκ‖ · nκ = 0 .

A primeira equacao mostra que Tκ e bem determinado na fronteira e, para a segunda

equacao, considera-se (T Tκ )± x± · nκ = x± · T±κ nκ . Mas, como Tκ e bem determinado na

fronteira, tem-se T±κ = Tκ , logo a segunda, entre as ultimas duas equacoes destacadas,pode ser escrita

‖x‖ · Tκ nκ = ‖qκ‖ · nκ . (3.109)

A eq. 3.109 confirma que, se a fronteira for fixa ou livre, entao a componente normal dovetor de fluxo termico material sera bem definida na fronteira. Evidentemente, semprea componente normal do vetor fluxo termico material for bem definida na fronteira, elapodera ser nula, o que ocorre no caso de fronteira adiabatica.

3.4.3 Equacoes de Campo em Estrutura Referencial Arbitraria

Grandezas Objetivas nas Equacoes de Campo

Ao longo deste capıtulo, foram definidas varias grandezas objetivas, em relacao a trans-formacao euclideana (subsecao 2.6.1). Entre elas, podem ser destacadas:

1. O escalar massa M(P), logo o escalar densidade volumetrica de massa ρ (secao3.2). Portanto (primeira entre as eqs. 2.69),

ρ∗(x∗, t∗) = ρ(x, t).

2. Os vetores forca f(P , t) e torque mx(P , t) (subsecao 3.3.1), logo os vetores den-sidade massica de suprimento de forca corporal b (eq. 3.50) e tracao superficialt (eq. 3.51), assim como o tensor de tracao de Cauchy T (eq. 3.56). Portanto(respectivamente segunda e terceira entre as eqs. 2.69),

b∗(x∗, t∗) = Q(t)b(x, t) e T ∗(x∗, t∗) = Q(t)T (x, t)QT (t)

3. Os escalares densidade massica de energia interna ε, densidade massica de supri-mento de calor r e densidade de calor condutivo superficial h (secao 3.3.6), logo ovetor de fluxo termico q (eq. 3.81). Portanto,

ε∗(x∗, t∗) = ε(x, t) , r∗(x∗, t∗) = r(x, t) e q∗(x∗, t∗) = Q(t)q(x, t) .

Na subsecao 2.6.3 foi indicado que o gradiente da velocidade L = grad x satisfaz a eq.2.82, a qual pode ser re-escrita sob a forma

(grad x)∗ = Q (grad x)QT + Ω , (3.110)

onde Ω = QQT e um tensor antissimetrico denominado tensor de velocidade angular deφ∗ em relacao a φ (eq. 2.72). Tem-se, entao, que:

142

A. Considerando que, de acordo com a definicao de divergencia de campo vetorial

1.3.11, tem-se divu(x) = tr(∇xu) e que trΩ = 0, porque Ω e antissimetrico,

a eq. 3.110 mostra que tr(grad x)∗ = tr(Q (grad x)QT ). Mas, de acordo com o

item 5 do comentario 1.2.29 (propriedades dos tracos), tem-se tr(Q (grad x)QT ) =

tr((grad x)QT Q) = tr(grad x), porque Q e ortogonal (subsecao 2.6.1). Logo,

(div x)∗ = div x .

B. Considerando que, de acordo com a definicao de produto interno de tensores de

segunda ordem 1.2.27, tem-se A ·B = tr(ABT ), a eq. 3.110 mostra que, lembrando

que T e objetivo (item 2), tr(T ∗(grad x)∗) = tr(QT QT Q (grad x)QT )+tr(T ∗ Ω) =

tr(T (grad x)), por causa do item 5 do comentario 1.2.29, porque Q e ortogonal e

porque T ∗ e simetrico (eq. 3.66) e Ω e antissimetrico, o que causa tr(T ∗ Ω) = 0.Logo,

(T · grad x)∗ = T · grad x .

Tem-se, ainda, que:

I. A eq. 2.85 mostra que o gradiente de um campo vetorial objetivo e objetivo. Comoq e objetivo (item 3), ∇xq e objetivo e, de acordo com a definicao de divergencia decampo vetorial 1.3.11, divq = tr(∇xq), logo divq e um escalar objetivo, ou seja,

(divq)∗ = divq .

II. De acordo com a definicao 1.3.13 de divergencia de campo tensorial S, tem-se

v · divS = div(STv) = tr(∇x(STv)), onde a ultima igualdade se deve a definicao

de divergencia de campo vetorial 1.3.11. Como v e um campo vetorial constante

qualquer, v e objetivo. Entao, o vetor STv sera objetivo se S for objetivo, porque,

neste caso, (STv)∗ = (ST )∗v∗ = QSTQTQv = QSTv. Logo, de acordo com a eq.

2.85, se S for objetivo sera objetivo o escalar v · divS = div(STv) = tr(∇x(STv)).

Mas (v · divS)∗ = v∗ · (divS)∗ = v · divS, sendo v∗ = Qv, implica em (divS)∗ =

Q divS, porque Qv · Qu = u · QTQv = u · v (definicao de transformacao lineartransposta 1.2.17). Logo, se S for objetivo entao o vetor divS e objetivo. Como Te objetivo sob transformacao euclideana (item 2), entao

(divT )∗ = Q divT .

III. E objetiva a derivada temporal material de um campo escalar objetivo, conformeindica a primeira entre as tres eqs. 2.87. Portanto, como ρ e ε sao objetivos,respectivamente de acordo com os itens 1 e 3,

(ρ)∗ = ρ e (ε)∗ = ε .

Equacoes de Campo

As observacoes apresentadas na primeira parte desta subsecao mostram que as equacoesde campo para massa (eq. 3.41),

ρ+ ρ divx = 0

143

e para energia interna (eq. 3.88),

ρ ε+ divq = T · grad x + ρ r ,

sao objetivas sob transformacao euclideana. Mas na subsecao 2.6.2 mostrou-se que a ve-locidade e a aceleracao nao sao vetores objetivos, em relacao a transformacao euclideana,porque elas respectivamente satisfazem a segunda entre as eqs. 2.71 e a equacao 2.74.Logo, a equacao de campo para o momento linear (eq. 3.62),

ρx− divT = ρb ,

nao e objetiva sob transformacao euclideana, porque contem a aceleracao x, embora, emrelacao a tranformacao galileiana, seja indiferente a estrutura de referencia.

De acordo com a eq. 2.74, tem-se

Qx = x∗ − i∗ , onde i∗ = c + 2Ω(x∗ − c) + (Ω − Ω2)(x∗ − c) .

Portanto, ao se aplicar a transformacao Q aos vetores da equacao de campo para omomento linear obtem-se ρQ x−Q divT = ρQb , ou, como ρ, divT e b sao objetivos,

ρ∗(x∗ − i∗)− (divT )∗ = ρ∗b∗ .

Demonstra-se que o vetor x∗ − i∗ e objetivo sob transformacao euclideana. Portanto,

as equacoes de campo objetivas sob transformacao euclideana sao, respectivamente paramassa, momento linear e energia interna,

ρ+ρ divx = 0 , ρx−divT = ρ(b+ i) e ρ ε+divq−T ·grad x = ρ r , (3.111)

onde o vetor i e nulo se φ∗ for uma estrutura de referencia inercial, porque neste casoρ∗x∗ − (divT )∗ = ρ∗b∗, logo Ω = c = 0 numa estrutura de referencia inercial. Por isto,i e denominado vetor densidade massica de suprimento de forca inercial, enquantoque b + i e o vetor densidade massica de suprimento de forca corporal aparente.Note que:

• A partir das tres eqs. 3.111 e da equacao de campo para o momento angular(simetria do tensor T ) tem-se equacoes de campo objetivas para as energias cineticae total.

• A partir das equacoes de campo objetivas para massa, momentos e energias, tem-se as correspondentes equacoes integrais objetivas de balanceamento, bem como ascorrespondentes equacoes objetivas de Rankine-Hugoniot.

• E usual se escrever b significando b + i, em qualquer estrutura de referencia, coma particularidade de se considerar i = 0 se a estrutura for inercial.

• A densidade massica de forca inercial i e formada pelas parcelas de Coriolis 2Ω(x−c), centrıfuga −Ω2(x− c), de Euler Ω(x− i) e inercial referente a translacao, c.

• As tres eqs. 3.111 apresentam as descricoes materiais das correspondentes deriva-das temporais. Evidentemente, elas podem ser escritas em termos das descricoesespaciais destas derivadas.

144

Capıtulo 4

Princıpios Basicos das TeoriasConstitutivas

4.1 Campos Basicos, Funcoes e Funcionais Constitu-

tivos

De acordo com o capıtulo anterior, as equacoes de balanceamento locais, para pontosregulares e singulares, dependem da:

1. funcao pontual movimento χ : B×< → E , fornecida pela eq. 2.25 e de todas as gran-dezas cinematicas dela decorrentes (posicao, velocidade, gradiente de deformacaoetc.);

2. funcao escalar densidade volumetrica de massa ρ : B × < → <+, cuja descricaoespacial, que pode ser escrita ρ : Bt ×< → <+, e definida pela eq. 3.35 (sendo β aconfiguracao corrente, ou seja, retirando-se os ındices β do integrando e, no ındicedo sinal de integracao, substituindo β por t);

3. funcao vetorial densidade massica de suprimento de forca corporal b : B×< → V ,cuja descricao espacial, que pode ser escrita b : Bt × < → V , e definida pela eq.3.50;

4. funcao escalar densidade massica de suprimento de calor r : B × < → <, cujadescricao espacial, que pode ser escrita r : Bt ×< → <, e definida pela eq. 3.80;

5. funcao tensorial de Cauchy T : B × < → V ⊗ V , cuja descricao espacial, que podeser escrita T : Bt ×< → V ⊗ V , e fornecida pela eq. 3.56;

6. funcao escalar densidade massica de energia interna ε : B × < → <, cuja descricaoespacial, que pode ser escrita ε : Bt ×< → <, e definida pela eq. 3.79 e

7. funcao vetorial de fluxo termico q : B × < → V , cuja descricao espacial, que podeser escrita q : Bt ×< → V , e definida pela eq. 3.81.

Alem destas sete funcoes, deve-se agora introduzir a funcao escalar temperatura, pordefinicao positiva, grafada θ : B × < → <+. A temperatura e suposta ser um primitivo,

logo e suposta ser objetiva sob transformacao euclideana (subsecao 2.6.1). Considera-seque:

145

A. cada um entre ρ(X, t), χ(X, t) e θ(X, t) seja um campo basico e que o conjunto

dos tres campos basicos caracterize as propriedades do material, enquanto que

B. T (X, t), q(X, t) e ε(X, t) sejam grandezas constitutivas, as quais dependem dostres campos basicos e, alem disto, tambem dependem do tipo de material que

constitui o corpo B ao qual pertence o ponto X (este e o significado do adjetivo

constitutivo). Note que, enquanto os campos basicos sao exatamente os tres indi-cados, existem infinitas outras grandezas constitutivas, alem das tres mencionadas,que nao aparecem nas ante-citadas equacoes de balanceamento.

C. b(X, t) e r(X, t) influenciem ρ(X, t), χ(X, t) e θ(X, t), portanto indiretamente in-

fluenciem as grandezas constitutivas, mas que nao influenciem diretamente taisgrandezas.

Note que nos anteriores itens de A a C escreveu-se, por exemplo, ρ(X, t), embora aausencia de ındice em ρ seja costumeiramente associada a ρ(x, t). Logo, para evitarconfusoes, quando a funcao sem ındice se referir a (X, t) este fato dever ser explicitado.

Para o estudo de como as grandezas constitutivas dependem dos campos basicos, faz-se inicialmente necessario definir o conceito de historia de uma funcao temporal ψ(·),dado por

ψt(s) = ψ(t− s) , sendo s ∈ [0,∞), (4.1)

onde o intervalo fechado abaixo [0,∞) (definicao 1.3.1 de subconjunto aberto) mostraque s e uma coordenada temporal apontada para o passado, a partir do instante presentet. Como s = 0 corresponde ao momento presente, tem-se ψt(0) = ψ(t). Sendo C(X, t) ovalor, no ponto X ∈ B e no instante t, de uma grandeza constitutiva qualquer, postula-se,

entao, o princıpio de determinismo

C(X, t) = F(ρt(Y, s), χt(Y, s), θt(Y, s),X, t) , ∀Y ∈ B e ∀s ∈ [0,∞), (4.2)

onde F e um funcional constitutivo (definicao de funcao e funcional 1.1.1). Logo, oprincıpio de determinismo impoe que as historias completas da densidade, do movimento

e da temperatura, em todos os pontos Y do corpo B, determinam os valores das gran-

dezas constitutivas, para todo instante t e ponto X pertencente a B. Portanto, o valor

C(X, t) sera anotado F(ρt(Y, s), χt(Y, s), θt(Y, s),X, t) sempre que se desejar ressaltar o

seu carater constitutivo. Por outro lado, C(·, ·) = F(ρt(Y, s), χt(Y, s), θt(Y, s), ·, ·) e umafuncao constitutiva espacial e temporal.

Evidentemente, a forma correta do funcional F , que depende do tipo de material queconstitui o corpo B, deve ser confirmada experimentalmente. Por outro lado, experimen-tos podem sugerir formas matematicas para os funcionais. Mas, provavelmente, nao epossıvel determinar F usando apenas experimentos. Existem, porem, algumas exigencias

universais que devem ser satisfeitas por qualquer funcional constitutivo, como condicao

necessaria para a sua confirmacao experimental. As mais importantes exigencias deste

tipo sao:

I. o princıcio de objetividade material,

II. o princıpio de simetria material e

III. consideracoes termodinamicas.

146

4.2 Princıpio de Objetividade Material

4.2.1 Conceito Fundamental

Na eq. 4.2, evidentemente C(X, t) e o valor de uma grandeza constitutiva observavel,logo a igualdade corresponde a alguma estrutura referencial. Isto pode ser explicitadoescrevendo-se, ao inves da eq. 4.2,

C(X, t;φ) = Fφ(ρt(Y, s), χt(Y, s), θt(Y, s),X, t) , ∀Y ∈ B e ∀s ∈ [0,∞), (4.3)

onde C(X, t;φ) indica que (X, t) e argumento da estrutura referencial φ, estrutura esta pormeio da qual o valor C e determinado (ver o colocado imediatamente apos a eq. 2.70). Naeq. 4.3 o ındice φ de F indica que a forma do funcional depende desta estrutura referencial

e subentende-se que (Y, s) e argumento da estrutura referencial φ, estrutura esta por meioda qual as funcoes ρt, χt e θt sao determinadas. Mas, se C for uma grandeza constitutiva

objetiva em relacao a transformacao euclideana, postula-se que a forma do funcional nao

dependa da estrutura referencial, embora o seu argumento se altere de acordo com a

estrutura referencial considerada. Sendo C(X, t) o valor de uma grandeza constitutivaobjetiva em relacao a transformacao euclideana, postula-se, portanto, o princıpio de

objetividade materialFφ = Fφ∗ , (4.4)

para quaisquer estruturas referenciais φ e φ∗.De acordo com a eq. 2.68, supondo que C seja o valor de uma grandeza constitutiva

objetiva e que C ∈ Sn (n = 0, 1, 2 respectivamente para espaco escalar, vetorial e tensorial

de segunda ordem), tem-se

C(X, t∗;φ∗) = Q∗C(X, t;φ) ,

onde Q∗ e a transformacao linear induzida no espaco tensorial Sn pela transformacaoeuclideana. Substituindo a eq. 4.3 na ultima igualdade destacada e impondo F = Fφ =Fφ∗ (eq. 4.4), tem-se

F(ρ∗(Y, t∗ − s), χ∗(Y, t∗ − s), θ∗(Y, t∗ − s),X, t∗) =

Q∗F(ρ(Y, t− s), χ(Y, t− s), θ(Y, t− s),X, t) , ∀Y ∈ B e ∀s ∈ [0,∞).

Lembrando que as grandezas ρ (secao 3.2) e θ (secao 4.1) sao objetivas sob transformacaoeuclideana, a qual e fornecida pela eq. 2.61, a saber

x∗ = Q(τ)(x− x) + c(τ) e τ ∗ = τ + a

e considerando x∗ = χ∗(Y, τ ∗) e x = χ(Y, τ), sendo τ ∗ = t∗ − s e τ = t− s, tem-se

F(ρ(Y, t− s), χ∗(Y, t∗ − s), θ(Y, t− s),X, t∗) =

Q∗F(ρ(Y, t− s), χ(Y, t− s), θ(Y, t− s),X, t) , onde

χ∗(Y, t∗ − s) = Q(t− s)(χ(Y, t− s)− x) + c(t− s) , sendo

t∗ = t+ a , ∀Y ∈ B e ∀s ∈ [0,∞). (4.5)

147

A eq. 4.5 e a restricao imposta, pelo princıpio de objetividade material, ao funcionalconstitutivo correspondente a uma grandeza objetiva. Sublinhe-se que, se a grandeza a

que se refere o funcional nao for objetiva, esta restricao geralmente nao sera valida.

Entretanto, a restricao imposta ao funcional e bem maior do que explicitamente

mostra a eq. 4.5. De fato, convem lembrar que a transformacao euclideana e uma trans-formacao rıgida dependente do tempo (eq. 2.61), a transformacao galileiana e uma trans-formacao euclideana especıfica, em que Q independe de t e c e uma funcao linear de t(eq. 2.75), mas ainda existe uma transformacao galileiana especial, que e a transformacaorıgida independente do tempo (eq. 2.76). Uma especıfica transformacao rıgida indepen-dente do tempo considera Q(t) = 1 e c = x , o que reduz a transformacao euclideanaa

x∗ = x e t∗ = t+ a , logo Q∗ = 1 .

Como a eq. 4.5 e valida para qualquer transformacao euclideana, ela necessariamente evalida para esta especial transformacao rıgida independente do tempo. Mas, para o casodesta especial transformacao, tem-se, simplificando a simbologia da eq. 4.5,

F(ρt, χt, θt,X, t+ a) = F(ρt, χt, θt,X, t) ,

o que implica em F nao depender explicitamente de t, porque o valor a e totalmentearbitrario.

Portanto, enquanto que para o valor de uma grandeza constitutiva qualquer deve-se usar a eq. 4.3, para o valor de uma grandeza constitutiva objetiva o princıpio de

objetividade material implica em

C(X, t;φ) = F(ρt(Y, s), χt(Y, s), θt(Y, s),X) , ∀Y ∈ B e ∀s ∈ [0,∞), (4.6)

onde subentende-se que (Y, s) e argumento da estrutura referencial φ, estrutura esta pormeio da qual as funcoes ρt, χt e θt sao determinadas. Por outro lado, a forma correta daeq. 4.5 e dada pela igualdade

F(ρt(Y, s), (χt)∗(Y, s), θt(Y, s),X) = Q∗F(ρt(Y, s), χt(Y, s), θt(Y, s),X) ,

(χt)∗(Y, s) = Qt(s)(χt(Y, s)− x) + ct(s) , t∗ = t+ a, ∀Y ∈ B e ∀s ∈ [0,∞).(4.7)

Em resumo, para uma grandeza constitutiva objetiva devem ser usadas as eqs. 4.6 e

4.7, as quais provem da aplicacao do principio de objetividade material a eq. 4.3. Aeq. 4.5 deve ser considerada uma etapa intermediaria da deducao feita, porque ela nao

revela, explicitamente, uma importante restricao imposta, pelo princıpio de objetividadematerial, ao funcional constitutivo correspondente a uma grandeza objetiva.

4.2.2 Aplicacao a Configuracao Referencial

Tem-se

χκ(X, t) = χ(X, t) , ρκ(X, t) = ρ(X, t) , θκ(X, t) = θ(X, t) e Cκ(X, t) = C(X, t) , (4.8)

onde a primeira igualdade e devida as eqs. 2.25 e 2.26 e as ultimas tres podem ser obtidasa partir da primeira entre as eqs. 3.18. Logo, de acordo com a eq. 4.6, para o valor de

148

uma grandeza constitutiva objetiva C(X, t) tem-se

C(X, t) = F(ρt(Y, s), χt(Y, s), θt(Y, s),X) ,

F(ρt(Y, s), χt(Y, s), θt(Y, s),X) = F(ρtκ(Y, s), χtκ(Y, s), θ

tκ(Y, s), κ

−1(X)) e

Cκ(X, t) = F(ρtκ(Y, s), χtκ(Y, s), θ

tκ(Y, s), κ

−1(X)),

onde na segunda linha foram utilizadas as primeiras tres entre as eqs. 4.8 e a eq. 2.1 e,na terceira linha, foi usada a ultima das eqs. 4.8. Definindo

Fκ(ρtκ(Y, s), χtκ(Y, s), θtκ(Y, s),X) = F(ρtκ(Y, s), χtκ(Y, s), θ

tκ(Y, s), κ

−1(X)) , (4.9)

tem-se, entao,

Cκ(X, t) = Fκ(ρtκ(Y, s), χtκ(Y, s), θtκ(Y, s),X) , ∀Y ∈ Bκ e ∀s ∈ [0,∞). (4.10)

A eq. 2.1 pode ser escrita X = κ(X), na estrutura de referencia φ e X∗ = κ∗(X), naestrutura de referencia φ∗. Logo, de acordo com a ultima entre as eqs. 4.8 e com a eq.2.68, supondo que C seja uma grandeza constitutiva objetiva tem-se

C∗κ∗(X∗, t∗) = C(X, t∗;φ∗) = Q∗C(X, t;φ) = Q∗Cκ(X, t) .

Usando a eq. 4.10 pode-se, portanto, escrever

Fκ∗(ρ∗κ∗(Y∗, t∗ − s), χ∗κ∗(Y∗, t∗ − s), θ∗κ∗(Y

∗, t∗ − s),X∗) =

Q∗Fκ(ρκ(Y, t− s), χκ(Y, t− s), θκ(Y, t− s),X) . (4.11)

Mas, usando a eq. 4.9, tem-se tambem que

Fκ∗(ρ∗κ∗(Y∗, t∗ − s), χ∗κ∗(Y∗, t∗ − s), θ∗κ∗(Y

∗, t∗ − s),X∗) =

F(ρ∗κ∗(Y∗, t∗ − s), χ∗κ∗(Y

∗, t∗ − s), θ∗κ∗(Y∗, t∗ − s), (κ∗)−1(X∗)) =

F(ρκ(Y, t− s), χ∗κ∗(Y∗, t∗ − s), θκ(Y, t− s), (κ∗)−1(X∗)) , (4.12)

sendo a ultima igualdade devida ao fato de que as grandezas ρ (secao 3.2) e θ (secao 4.1)sao objetivas sob transformacao euclideana.

A expressao que mostra como se altera um ponto da configuracao referencial, quandoocorre uma transformacao euclideana da estrutura de referencia φ para a estrutura dereferencia φ∗, e dada pela eq. 2.78, a seguir transcrita,

X∗ = γ(X) = K(X− x) + c , sendo γ = κ∗ κ−1 : Bκ → Bκ∗ , (4.13)

onde K e um tensor ortogonal de segunda ordem e c e um ponto, ambos fixos (inde-pendentes de t). Para o funcional na terceira linha da eq. 4.12 pode-se, entao, escrever

F(ρκ(Y, t− s), χ∗κ∗(Y∗, t∗ − s), θκ(Y, t− s), (κ∗)−1(X∗)) =

F(ρκ(Y, t− s), χ∗κ∗(γ(Y), t∗ − s), θκ(Y, t− s), (κ∗)−1(γ(X))) =

F(ρκ(Y, t− s), χ∗κ∗(γ(Y), t∗ − s), θκ(Y, t− s), (κ)−1(X)) =

Fκ(ρκ(Y, t− s), χ∗κ∗(γ(Y), t∗ − s), θκ(Y, t− s),X) , (4.14)

149

onde a segunda linha e devida ao uso da primeira entre ae eqs. 4.13, a terceira linha aultima entre as eqs. 4.13 e a quarta linha, a eq. 4.9. Substituindo a eq. 4.14 na eq. 4.12tem-se

Fκ∗(ρ∗κ∗(Y∗, t∗ − s), χ∗κ∗(Y∗, t∗ − s), θ∗κ∗(Y

∗, t∗ − s),X∗) =

Fκ(ρκ(Y, t− s), χ∗κ∗(γ(Y), t∗ − s), θκ(Y, t− s),X) (4.15)

e, substituindo a eq. 4.15 na eq. 4.11 obtem-se

Fκ(ρκ(Y, t− s), χ∗κ∗(γ(Y), t∗ − s), θκ(Y, t− s),X) =

Q∗Fκ(ρκ(Y, t− s), χκ(Y, t− s), θκ(Y, t− s),X) , sendo

χ∗κ∗(γ(Y), t∗ − s) = Q(t− s)(χκ(Y, t− s)− x) + c(t− s) ,

t∗ = t+ a , ∀Y ∈ Bκ e ∀s ∈ [0,∞) , (4.16)

de acordo com a definicao de transformacao euclideana, dada pela eq. 2.61, a saberx∗ = Q(t)(x − x) + c(t) e t∗ = t + a. Note que, usando a igualdade que aparece nasua terceira linha, a eq. 4.16 envolve apenas a configuracao referencial κ da estrutura dereferencia φ. Utilizando a simbologia usual

χ∗κ∗(γ(Y), t∗ − s) = (χtκ)∗(γ(Y), s) = (χtκ)

∗ γ(Y, s) ,

a eq. 4.16 pode ser escrita

Fκ(ρtκ(Y, s), (χtκ)∗ γ(Y, s), θtκ(Y, s),X) =

Q∗Fκ(ρtκ(Y, s), χtκ(Y, s), θtκ(Y, s),X) , sendo

(χtκ)∗ γ(Y, s) = Qt(s)(χtκ(Y, s)− x) + ct(s) ,

t∗ = t+ a , ∀Y ∈ Bκ e ∀s ∈ [0,∞) . (4.17)

Note que tanto na eq. 4.7 como na eq. 4.17 a forma do funcional nao se altera e o seuargumento altera-se no que se refere a historia do movimento ou da deformacao respec-tivamente, mas nao se modifica em relacao as historias da densidade e da temperaturado corpo. Note tambem que, de acordo com a eq. 4.10, tem-se

Cκ(X, t) = Fκ(ρκ(Y), χtκ(Y, s), θtκ(Y, s),X) , ∀Y ∈ Bκ e ∀s ∈ [0,∞) , (4.18)

porque ρtκ(Y, s) deve ser substituıdo por ρκ(Y), conforme mostra a primeira igualdade

das eqs. 3.94. Esta mesma substituicao deve, evidentemente, ser tambem aplicada aos

dois termos das respectivas primeiras igualdades das eqs. 4.16 e 4.17.

4.2.3 Aplicacao a Classes Particulares de Materiais

O princıpio de objetividade material apresenta importantes aspectos gerais. Alem disto,ele causa efeitos especıficos em funcionais constitutivos referentes a classes particularesde materiais. Isto sera exemplificado usando a funcao constitutiva (de acordo com adefinicao de funcao e funcional 1.1.1, uma funcao constitutiva tambem e um funcionalconstitutivo), para o tensor de tracao de Cauchy,

T = T (ρ,v, L) , (4.19)

150

onde v e o vetor velocidade definido pela eq. 2.27 e L = gradv = FF−1, apresentadousando-se as eqs. 2.34 e 2.49, e o tensor gradiente espacial do vetor velocidade. ComoT e uma grandeza constitutiva (secao 4.1) objetiva (item 2 da secao 3.4.3) tensorial (eq.3.56), de acordo com a eq. 2.65 tem-se

T (ρ∗,v∗, L∗) = QT (ρ,v, L)QT , (4.20)

onde foi imposto que Tφ∗ = Tφ , por causa da eq. 4.4 (princıpio de objetividade mate-rial). De acordo com a definicao de transformacao euclideana dada pela eq. 2.61, Q(t) equalquer tensor ortogonal e c(t) e qualquer vetor. Como

1. ρ∗ = ρ, de acordo com o item 1 da secao 3.4.3,

2. v∗ = Qv + Q(x− x) + c, de acordo com a eq. 2.71 e

3. L∗ = QLQT + QQT , de acordo com as eqs. 2.82 e 2.72,

tem-seT (ρ, Qv + Q(x− x) + c, QLQT + QQT ) = QT (ρ,v, L)QT .

Evidentemente, a ultima igualdade destacada deve ser valida para Q(t) = 1 , situacaoesta na qual ela admite a forma especial T (ρ,v + c, L) = T (ρ,v, L). Como c(t) e umvetor arbitrario, esta forma especial indica que T nao pode depender de v. Portanto,

T = T (ρ, L). Alem disto, de acordo com as eqs. 2.51, 2.52 e 2.53, tem-se L(t) =

D(t) +W (t), sendo simetrico o tensor estirante, D(t) e antissimetrico o tensor rotativo,W (t). Demonstra-se que,

para todo tensor antissimetrico W , existe um tensor ortogonal Q(t) tal que,para t = t , tenha-se Q(t) = 1 e Q(t) = −W .

Certamente, a ultima igualdade destacada deve tambem ser valida para este especıfico

tensorQ = Q(t), situacao esta ultima na qualQLQT+QQT = QDQT+QWQT+QQT =

D, logo T (ρ, L) = T (ρ,D), o que exige que T nao dependa de W . Portanto, a aplicacaodo princıpio de objetividade material exige que a eq. 4.19 se reduza a

T = T (ρ,D) . (4.21)

Entao, usando a primeira entre as duas eqs. 2.83 a eq. 4.20 se reduz a

T (ρ,QDQT ) = QT (ρ,D)QT , (4.22)

valida para qualquer tensor ortogonal Q(t), quando for valida a eq. 4.19.

4.3 Material Simples

De acordo com o funcional existente na eq. 4.18, as historias termica e deformativa dequalquer parte do corpo podem afetar o comportamento presente de qualquer ponto docorpo. Entretanto, geralmente apenas as historias de uma vizinhanca, com dimensoesvariaveis, do ponto considerado afeta de modo significativo o comportamento presente detal ponto. Neste caso, considera-se que tais historias possam ser representadas por desen-volvimentos convergentes em serie de Taylor, em torno do ponto considerado, ocorrendo

151

o truncamento da serie numa ordem tal a manter a precisao desejada. Note que esteprocedimento mantem completas as historias de todas as partes do corpo, mas limitageometricamente a regiao considerada significativa. Se apenas os termos de primeiraordem forem mantidos nas series, ter-se-a

ρκ(Y) = ρκ(X) + Grad ρκ(X)(Y−X) + o(2),

χκ(Y, t) = χκ(X, t) + Grad χκ(X, t)(Y−X) + o(2),

θκ(Y, t) = θκ(X, t) + Grad θκ(X, t)(Y−X) + o(2).

Note que:

1. Serao considerados desprezıveis os termos de ordem igual ou superior a dois, gra-fados o(2).

2. Y−X e o vetor posicao de cada um dos pontos pertencentes a Bκ , em relacao aoponto X considerado, tambem pertencente a Bκ . Em cada uma das tres equacoesdo conjunto destacado, as transformacoes lineares Grad ρκ(X), Grad χκ(X, t)e Grad θκ(X, t) sao respectivamente aplicadas ao vetor posicao de cada ponto deBκ , em relacao a X. Como a forma destas transformacoes lineares nao depende deY e como a informacao sobre a geometria do corpo considerado pode ser incluıdana definicao do funcional presente na eq. 4.18, Y pode ser omitido do argumentodo funcional.

3. De acordo com a eq. 2.29, tem-se Fκ(X, t) = ∇Xχκ(·, t) = Grad χκ(X, t).

4. Define-se gκ(X, t) = ∇Xθκ(X, t) = Grad θκ(X, t).

5. Como ρκ(X) e Grad ρκ(X) sao funcoes exclusivamente de X, a presenca delas noargumento do funcional que aparece na eq. 4.18 pode ser absorvida pela explıcitapresenca de X no citado argumento.

6. De acordo com a eq. 4.1, tem-se χtκ(Y, s) = χκ(Y, t−s) = χκ(X, t−s)+Grad χκ(X,

t − s)(Y − X) + o(2), onde a ultima igualdade e devida a segunda entre as tres

equacoes do conjunto destacado. Usando a mesma eq. 4.1 tem-se, entao, χtκ(Y, s) =

χtκ(X, s) + F tκ(X, s), onde F t

κ(X, s) = Fκ(X, t − s) = Grad χκ(X, t − s), sendo a

ultima igualdade devida ao anterior item 3. Analogamente, θtκ(Y, s) = θtκ(X, s) +

gtκ(X, s), onde gtκ(X, s) = gκ(X, t − s) = Grad θκ(X, t − s), sendo a segunda

igualdade devida ao anterior item 4.

Portanto, a aproximacao de primeira ordem a eq. 4.18 pode ser escrita

Cκ(X, t) = Fκ(χtκ(X, s), F tκ(X, s), θ

tκ(X, s), gtκ(X, s), X) , ∀s ∈ [0,∞) . (4.23)

De modo analogo, apos substituicao de ρtκ(Y, s) por ρκ(Y) (conforme colocado ime-

diatamente depois da eq. 4.18), a eq. 4.16 pode ser escrita

Fκ(χ∗κ∗(γ(X), t∗ − s),∇Xχ∗κ∗(γ(·), t∗ − s), θκ(X, t− s),∇

Xθκ(·, t− s),X) =

Q∗Fκ(χκ(X, t− s),∇Xχκ(·, t− s), θκ(X, t− s),∇

Xθκ(·, t− s),X) , (4.24)

152

onde foi usado o fato da temperatura (secao 4.1), logo tambem o seu gradiente na des-cricao material, serem objetivos. De acordo com a eq. 2.26 e sendo a funcao γ definidapela segunda entre as eqs. 4.13, tem-se

x = χκ(X, t− s) e x∗ = χ∗κ∗(γ(X), t∗ − s) = χ∗κ∗(X∗, t∗ − s) .

De acordo com a transformacao euclideana, a qual e fornecida pela eq. 2.61, a saberx∗ = Q(t)(x− x) + c(t) e t∗ = t+ a, tem-se entao

χ∗κ∗(γ(X), t∗ − s) = Q(t− s)(χκ(X, t− s)− x) + c(t− s) , logo (4.25)

∇Xχ∗κ∗(γ(·), t∗ − s) = Q(t− s)∇

Xχκ(·, t− s) , ou

∇Xχ∗κ∗(γ(·), t∗ − s) = Q(t− s)Fκ(X, t− s) (4.26)

[note que ∇X∗χ

∗κ∗(·, t∗ − s) = F ∗

κ∗(X∗, t∗ − s) 6= ∇

Xχ∗κ∗(γ(·), t∗ − s)]. Substituindo, na

eq. 4.24, a eq. 4.26, bem como ∇Xχκ(·, t− s) = Fκ(X, t− s), tem-se

Fκ(χ∗κ∗(γ(X), t∗ − s), Q(t− s)Fκ(X, t− s), θκ(X, t− s),∇Xθκ(·, t− s),X) =

Q∗Fκ(χκ(X, t− s), Fκ(X, t− s), θκ(X, t− s),∇Xθκ(·, t− s),X) . (4.27)

Por outro lado, considerando Q(t− s) = 1 , logo Q∗ = 1 , a eq. 4.25 sera escrita

χ∗κ∗(γ(X), t∗ − s) = χκ(X, t− s)− x + c(t− s) ,

que, substituıda na eq. 4.27, produz

Fκ(χκ(X, t− s)− x + c(t− s), Fκ(X, t− s), θκ(X, t− s),

∇Xθκ(·, t− s),X) =

Fκ(χκ(X, t− s), Fκ(X, t− s), θκ(X, t− s),∇Xθκ(·, t− s),X) .

Como a eq. 4.27 deve ser valida para qualquer transformacao euclideana e como x earbitrario, a ultima igualdade destacada mostra que o funcional Fκ nao depende doponto x = χκ(X, t− s).

Logo, a eq. 4.23, na verdade, deve ser escrita

Cκ(X, t) = Fκ(F tκ(X, s), θ

tκ(X, s), gtκ(X, s), X) , ∀s ∈ [0,∞), (4.28)

enquanto que a equacao 4.27 deve ser escrita

Fκ(Q(t− s)Fκ(X, t− s), θκ(X, t− s),∇Xθκ(·, t− s),X) =

Q∗Fκ(Fκ(X, t− s), θκ(X, t− s),∇Xθκ(·, t− s),X) .

Usando a eq. 4.1 e o anterior item 4, a ultima igualdade destacada pode ser escrita

Fκ(Qt(s)F tκ(X, s), θ

tκ(X, s),g

tκ(X, s),X) =

Q∗Fκ(F tκ(X, s), θ

tκ(X, s),g

tκ(X, s),X) , ∀s ∈ [0,∞). (4.29)

Note que o princıpio da objetividade material nao impos restricao alguma as historiastermicas, θtκ(X, s) e gtκ(X, s), mas relacionou as historias dos gradientes de deformacao

153

nas duas estruturas de referencia. Este fato e coerente com o comentado no inıcio doparagrafo logo apos a eq. 4.17. Um material cujas expressoes constitutivas dos valores dassuas grandezas objetivas apresentem a forma fornecida pela eq. 4.28 e denominado um

material simples. Um material simples e chamado homogeneo quando existir umaespecıfica configuracao de referencia κh , chamada configuracao homogenea, para a

qual o funcional Fκ , nas eqs. 4.28 e 4.29, nao dependa explicitamente de X, ou seja,

Cκh(X, t) = Fκh

(F tκh

(X, s), θtκh(X, s), gtκh

(X, s)) , ∀s ∈ [0,∞). (4.30)

Um material pode ser simples sem ser homogeneo e um material pode ser homogeneosem ser simples. Evidentemente, um material pode ser nem simples, nem homogeneo e oconceito de material homogeneo e totalmente distinto do conceito de processo homogeneo,

este ultimo apresentado no paragrafo final da subsecao 3.3.5, sobre balanceamento deenergia cinetica.

154

Bibliografia

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Continuum Mechanics, de I-Shih Liu, Springer, Berlim, 2002.

Rational Extended Thermodynamics, de Ingo Muller e Tommaso Ruggeri, Springer,Berlim,1998.

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The Non-Linear Field Theories of Mechanics, de Clifford Ambrose Truesdell e WalterNoll, Springer, Berlim, 1992.

Rational Thermodynamics, de Clifford Ambrose Truesdell, Springer, Berlim, 1984.

The Classical Field Theories, de Clifford A. Truesdell e R. Toupin, “Handbuch derPhysik” v. III, parte 1, p. 226 – 793, Springer, Berlim, 1960.

155

Indice Remissivo

aberto, intervalo, 51aberto, subconjunto, 51abrangencia, 8aceleracao a(X, t)

definicao, 95em funcao da velocidade, 98

area, relacao entre daκ e da, 86, 87autovalor

definicao, 45degeneracao, 47

autovetor, 45

balanceamento classicoforma integral

configuracao corrente, 112configuracao referencial, 118

basecampo de, 67com orientacao igual, 37com orientacao oposta, 37de espaco vetorial de trans. linear, 13definicao, 8dual

definicao, 11funcoes gi j e gi j, 11representacao, 12

matriz de transformacao de, 22natural

definicao, 67dual, 68

orientada positivamente, 37ortogonal, 12ortonormal

definicao, 12dual, 12representacao para vetor de, 12

principal, 46produto, 14produto interno gi j de vet. de, 10, 11produto interno gi j de vetores de, 11

representacao para vetor de, 8Bernouilli, teorema de, 132

calorcondutivo superficial h, 136suprimento de, r, 136

caminho, 95campo

basico, 146de bases, 67de pontos, 54definicao, 54escalar, 54gradiente de, 54tensorial de segunda ordem, 54vetorial, 54

Cauchyprimeira lei de, 131princıpio de, 129segunda lei de, 132tensor de tracao de

componentes de cisalhamento do, 129componentes normais do, 129definicao, 129direcao principal do, 132tracao principal do, 132

teorema de, 129Christoffel

sımbolo de segunda especie de, 72sımbolos de, 71

cisalhamentoquantidade de, 89simples, 89

classeCk, 64conceito, 36de orientacao oposta, 36de orientacao positiva, 36euclideana, 106

comentario

156

1.2.1 (espaco vetorial real com produtointerno), 9

1.2.2 (imposicao aos esp. vetoriais), 91.2.3 (igualdade entre vetores), 101.2.4 (decomposicao do produto interno

de vetores), 101.2.5 (obtencao de componente), 101.2.6 (funcoes gi j e gi j), 111.2.7 (base ortonormal dual), 121.2.8 (decomposicao de transformacao

linear), 131.2.9 (dimensao de espaco de transfor-

macao linear), 131.2.10 (calculo de componente assoc. de

tensor de segunda ordem), 141.2.11 (componente associado de tensor

simples), 151.2.12 (transformacao escalar bilinear e

tensor de segunda ordem), 161.2.13 (componente assoc. do tensor

identidade), 171.2.14 (gi j ou gi j aplicado a componen-

te de tensor), 181.2.15 (transpos. de tensor simples), 181.2.16 (transpos. de tensor de segunda

ordem), 181.2.17 (transpos. de tensores simetrico

e antissimetrico), 201.2.18 (compos. com tens. simples), 211.2.19 (transposicao de composicao), 211.2.20 (transformacao de componentes

de vetor), 241.2.21 (transformacao de componentes

de tensor), 251.2.22 (reducao no numero de permuta-

coes distinguıveis), 261.2.23 (funcao n-linear alternante e base

de esp. vet. - parte I), 261.2.24 (funcao n-linear alternante e base

de esp. vet. - parte II), 271.2.25 (funcao n-linear alternante e base

de esp. vet. - parte III), 281.2.26 (relacao entre determinante de

transf. linear e de matriz), 291.2.27 (propriedades de determinantes -

parte I), 291.2.28 (relacao entre traco de transfor-

macao linear e de matriz), 31

1.2.29 (propriedades de tracos), 311.2.30 (propriedades de determinantes -

parte II), 321.2.31 (propriedades do produto interno

tensorial), 331.2.32 (propried. do tensor inverso), 341.2.33 (propriedades de tensor ortogo-

nal), 351.2.34 (propriedades do sımbolo de per-

mutacao), 381.2.35 (propriedades dos componentes

do tensor e), 391.2.36 (produto externo como base para

Skw(V )), 411.2.37 (propriedades do vetor axial), 431.2.38 (propriedades do produto veto-

rial), 441.2.39 (determinante, traco e produto

triplo), 451.2.40 (equacoes caracterısticas de ten-

sores de dimensao 2 e 3), 461.2.41 (relacao entre A e 1 + A), 461.2.42 (diagonalizacao), 461.2.43 (componente vetorial em relacao

a tensor simetrico), 471.2.44 (comutacao de tensores simetrico

e ortogonal), 481.2.45 (determinante de tensor sim. de

definicao positiva ou negativa), 481.2.46 (decomposicao cartesiana), 501.3.1 (gradientes de φ, sendo φ(A,v) =

v · A(v)), 581.3.2 (gradiente de φ, sendo φ(A) = u ·

A(v)), 591.3.3 (gradiente de traco), 591.3.4 (gradiente de determinante), 601.3.5 (diferenciacao em cadeia), 611.3.6 (gradientes escalar e vetorial em

campo vetorial), 611.3.7 (diferenciacao de produto), 621.3.8 (diferenciacao de tensor ao qua-

drado), 631.3.9 (diferenc. de tensor inverso ), 631.3.10 (diferenciacao de traco de tensor

inverso ), 631.3.11 (formulas para diferenciacao de

produtos), 63

157

1.3.12 (derivada e gradiente de ordemsuperior), 64

1.3.13 (gradiente de gradiente de campoescalar), 65

1.3.14 (tensor metrico e base naturaldual), 67

1.3.15 (transformacao de sistema de co-ordenadas), 68

1.3.16 (deformacao em termos de coor-denadas), 69

1.3.17 (derivada covar. de 1 e de e), 741.3.18 (propriedades do s. de Christoffel

Γ ji k), 75

1.3.19 (rotacional e divergencia de cam-po vetorial), 76

1.3.20 (expressoes para divergencia e la-placiano), 78

compatibilidade cinematica da superfıciesingular, condicao de, 122

composicaode funcoes, 2de tensores de segunda ordem

com tensor simples, 21definicao, 20transposicao de, 21

configuracaocorrente, 83definicao, 82homogenea, 154referencial

definicao, 82mudanca de, 87

conservativa, grandeza, 113constitutiva, grandeza, 146constitutivo, funcional, 3, 146continuidade

em <, 8em espaco

euclideano de pontos, 50vetorial, 8

coordenadai-esima funcao, 66corrente, 83curva da i-esima, 66definicao, 66material, 83referencial, 83sistema de, 66

corpo B do espaco-tempo de Newton, 82correcao de argumento

escalar, 51, 53generico, 58vetorial ou tensorial, 56vetorial para ponto, 55

definicao1.1.1 (funcao e funcional), 11.1.2 (matriz), 41.1.3 (delta de Kronecker), 61.1.4 (matrizes transposta e inversa), 61.2.1 (espaco vetorial real), 81.2.2 (base), 81.2.3 (componente), 91.2.4 (dimensao de esp. vetorial real), 91.2.5 (produto interno de vetores), 91.2.6 (espaco vetorial euclideano), 91.2.7 (vetor projecao), 91.2.8 (base dual), 111.2.9 (base ortonormal), 121.2.10 (transformacao n-linear), 121.2.11 (espaco vetorial de transforma-

cao linear), 131.2.12 (produto tensorial de vetores ou

tensor simples), 131.2.13 (espaco de produto tensorial), 141.2.14 (tensor de segunda ordem), 141.2.15 (componente associado de tensor

de segunda ordem), 141.2.16 (transformacao tensorial identi-

dade), 171.2.17 (transformacao linear transpos-

ta), 171.2.18 (tensores simetrico e antissime-

trico), 191.2.19 (composicao de tensores de se-

gunda ordem), 201.2.20 (tensor de ordem k), 211.2.21 (matrizes de transformacao), 221.2.22 (permutacao), 251.2.23 (funcao n-linear alternante), 261.2.24 (determinante de transformacao

linear), 271.2.25 (determinante de matriz), 281.2.26 (traco de transform. linear), 301.2.27 (produto interno de tensores de

segunda ordem), 33

158

1.2.28 (norma de tensor de segunda or-dem), 33

1.2.29 (tensor inverso de segunda or-dem), 34

1.2.30 (tensor ortogonal de segunda or-dem), 34

1.2.31 (grupo de tensores de segunda or-dem), 35

1.2.32 (classe e base de orientacao posi-tiva), 36

1.2.33 (transformacao linear orientacaopreservante), 37

1.2.34 (funcao e tensor elemento de vo-lume), 37

1.2.35 (relacao entre tensor e e determi-nante), 41

1.2.36 (produto externo de vetores), 411.2.37 (funcao linear dualidade), 421.2.38 (produto vetorial), 431.2.39 (produto triplo), 441.2.40 (autovalor e autovetor), 451.2.41 (equacao caracterıstica), 451.2.42 (espaco caracterıstico), 471.2.43 (tensor de definicao positiva, ne-

gativa e semi-definicao), 481.2.44 (espaco euclideano de pontos), 501.2.45 (espaco tangente), 501.3.1 (subconjunto aberto), 511.3.2 (derivada escalar em escalar), 511.3.3 (derivada vetorial, tensorial ou de

pontos, em escalar), 521.3.4 (campo), 541.3.5 (gradiente de campo escalar, veto-

rial, tensorial ou de pontos), 541.3.6 (gradiente esc., vet., tens. ou de

pontos, em vetor ou tensor), 561.3.7 (classe Ck), 641.3.8 (sistema de coordenadas), 661.3.9 (campo de bases), 671.3.10 (componen. de gradiente de cam-

po), 701.3.11 (divergencia de campo vet.), 751.3.12 (rotacional de campo vet.), 761.3.13 (divergencia de campo tens.), 771.3.14 (laplaciano de campo escalar ou

vetorial), 78deformacao

definicao, 54, 83

funcao de, 83gradiente de, 69gradiente, F , de, 83, 95relativa

definicao, 99gradiente, Ft, de, 99

degeneracao, 47delta de Kronecker, 6derivada

covariantede campo escalar, 71de campo tensorial de seg. ordem, 73de campo vetorial, 73

direcionalem escalar, 52, 53em ponto, 56em vetor ou tensor, 56generica, 58

escalar em escalar, 51vetorial, tensorial ou pontual em esca-

lar, 52descricao

espacial ou euleriana, 96material, referencial ou lagrangeana, 96

determinismo, princıpio de, 146diferenciacao em cadeia, regra de, 61diferenciais, equacao definidora, 84dimensao

de espaco de transformacao linear, 13de Skw(V ), 41de espaco vetorial real, 9representacao, 9

direcoes principais, 88divergencia

de campo tensorial, 77de campo vetorial, 75

Einstein, notacao de, 3energia

cinetica K, 133internaE, definicao, 135densidade massica ε, 135

total, 135equacao 2.1, 82equacao 2.2, 83equacao 2.3, 83equacao 2.4, 83

159

equacao 2.5, 83equacao 2.6, 83equacao 2.7, 84equacao 2.8, 84equacao 2.9, 87equacao 2.10, 87equacao 2.11, 87equacao 2.12, 88equacao 2.13, 88equacao 2.14, 89equacao 2.15, 89equacao 2.16, 89equacao 2.17, 89equacao 2.18, 90equacao 2.19, 90equacao 2.20, 90equacao 2.21, 90equacao 2.22, 91equacao 2.23, 91equacao 2.24, 93equacao 2.25, 94equacao 2.26, 95equacao 2.27, 95equacao 2.28, 95equacao 2.29, 95equacao 2.30, 96equacao 2.31, 97equacao 2.32, 97equacao 2.33, 98equacao 2.34, 98equacao 2.35, 98equacao 2.36, 98equacao 2.37, 98equacao 2.38, 99equacao 2.39, 99equacao 2.40, 99equacao 2.41, 99equacao 2.42, 99equacao 2.43, 99equacao 2.44, 100equacao 2.45, 100equacao 2.46, 101equacao 2.47, 101equacao 2.48, 101equacao 2.49, 102equacao 2.50, 102equacao 2.51, 102equacao 2.52, 103

equacao 2.53, 103equacao 2.54, 103equacao 2.55, 103equacao 2.56, 103equacao 2.57, 103equacao 2.58, 103equacao 2.59, 103equacao 2.60, 103equacao 2.61, 104equacao 2.62, 104equacao 2.63, 105equacao 2.64, 105equacao 2.65, 105equacao 2.66, 105equacao 2.67, 106equacao 2.68, 106equacao 2.69, 106equacao 2.70, 107equacao 2.71, 107equacao 2.72, 107equacao 2.73, 107equacao 2.74, 107equacao 2.75, 108equacao 2.76, 108equacao 2.77, 108equacao 2.78, 108equacao 2.79, 109equacao 2.80, 109equacao 2.81, 109equacao 2.82, 109equacao 2.83, 110equacao 2.84, 110equacao 2.85, 110equacao 2.86, 110equacao 2.87, 110equacao 2.88, 111equacao 2.89, 111equacao 2.90, 111equacao 3.1, 112equacao 3.2, 113equacao 3.3, 114equacao 3.4, 114equacao 3.5, 114equacao 3.6, 114equacao 3.7, 115equacao 3.8, 115equacao 3.9, 115equacao 3.10, 116

160

equacao 3.11, 116equacao 3.12, 117equacao 3.13, 117equacao 3.14, 117equacao 3.15, 117equacao 3.16, 118equacao 3.17, 118equacao 3.18, 118equacao 3.19, 119equacao 3.20, 120equacao 3.21, 120equacao 3.22, 120equacao 3.23, 120equacao 3.24, 121equacao 3.25, 121equacao 3.26, 121equacao 3.27, 122equacao 3.28, 122equacao 3.29, 122equacao 3.30, 122equacao 3.31, 122equacao 3.32, 122equacao 3.33, 123equacao 3.34, 123equacao 3.35, 123equacao 3.36, 124equacao 3.37, 124equacao 3.38, 124equacao 3.39, 126equacao 3.40, 126equacao 3.41, 126equacao 3.42, 126equacao 3.43, 126equacao 3.44, 126equacao 3.45, 127equacao 3.46, 127equacao 3.47, 127equacao 3.48, 127equacao 3.49, 128equacao 3.50, 128equacao 3.51, 128equacao 3.52, 128equacao 3.53, 128equacao 3.54, 129equacao 3.55, 129equacao 3.56, 129equacao 3.57, 129equacao 3.58, 129

equacao 3.59, 131equacao 3.60, 131equacao 3.61, 131equacao 3.62, 131equacao 3.63, 131equacao 3.64, 132equacao 3.65, 132equacao 3.66, 132equacao 3.67, 132equacao 3.68, 132equacao 3.69, 132equacao 3.70, 133equacao 3.71, 133equacao 3.72, 133equacao 3.73, 134equacao 3.74, 134equacao 3.75, 134equacao 3.76, 134equacao 3.77, 134equacao 3.78, 135equacao 3.79, 135equacao 3.80, 135equacao 3.81, 136equacao 3.82, 136equacao 3.83, 136equacao 3.84, 136equacao 3.85, 136equacao 3.86, 137equacao 3.87, 137equacao 3.88, 137equacao 3.89, 137equacao 3.90, 137equacao 3.91, 138equacao 3.92, 138equacao 3.93, 139equacao 3.94, 139equacao 3.95, 139equacao 3.96, 139equacao 3.97, 139equacao 3.98, 139equacao 3.99, 139equacao 3.100, 140equacao 3.101, 140equacao 3.102, 140equacao 3.103, 140equacao 3.104, 140equacao 3.105, 141equacao 3.106, 141

161

equacao 3.107, 141equacao 3.108, 141equacao 3.109, 142equacao 3.110, 142equacao 3.111, 144equacao 4.1, 146equacao 4.2, 146equacao 4.3, 147equacao 4.4, 147equacao 4.5, 147equacao 4.6, 148equacao 4.7, 148equacao 4.8, 148equacao 4.9, 149equacao 4.10, 149equacao 4.11, 149equacao 4.12, 149equacao 4.13, 149equacao 4.14, 149equacao 4.15, 150equacao 4.16, 150equacao 4.17, 150equacao 4.18, 150equacao 4.19, 150equacao 4.20, 151equacao 4.21, 151equacao 4.22, 151equacao 4.23, 152equacao 4.24, 152equacao 4.25, 153equacao 4.26, 153equacao 4.27, 153equacao 4.28, 153equacao 4.29, 153equacao 4.30, 154equacao

caracterıstica, 45da continuidade, 126de campo, 116de Rankine-Hugoniot, 117definidora de diferenciais, 84do movimento, 131

escoamento newtoniano, 101espaco-tempo de Newton W , 82espacial, descricao, 96espaco

de translacao, 50euclideano de pontos de dimensao n

definicao, 50ponto regular, 64ponto singular, 64regiao regular, 64superfıcie seccionalmente suave, 64

isomorfico, 51normatizado, 52tangente, 51vetorial real

caracterıstico, 47com produto interno, 9de dimensao finita, 9definicao, 8euclideano, definicao, 9euclideano, impos. subentend., 9

estiramentos principais, 88estrutura referencial

de Newton φ, 82indiferenca a, ou invariancia a mudanca

de, 106inercial, 127

Euler, leis de, 127euleriana, descricao, 96

fluxoconvectivo, 116mecanico-classico Φψ, 112mecanico-estatıstico, 112termico q, 136termico material qκ, 140

forcacorporal f b, 128corporal aparente, suprimento b+i, 144corporal, suprimento b, 128de contato f c, 128definicao, 127inercial, suprimento i, 144

Fourier-Stokes, princ. de fluxo termico, 136fronteira

adiabatica, 141definicao, 141fixa, 141livre, 141

funcaoargumento, 2bilinear, 9composicao de, 2coordenada, i-esima, 66

162

de funcao, 2de definicao positiva, 9de deformacao, 83de um para um em D, 2definicao, 2distancia, 50elemento de, 2imagem

definicao, 2representacao, 2

inversa em D, 2invertıvel em D, 2linear

dualidade, 42induzida, 105

n-linear alternantedefinicao, 26elemento de volume, definicao, 37elemento de volume, relacao com de-

terminante, 41nao trivial, definicao, 26nao trivial, equivalente, 36

paralelismo euclideano, 51representacao, 2simetrica, 9suave, 64temporal, historia de, 146translacao paralela, 51

funcionalconstitutivo, 3, 146definicao, 2universal, 3

gradientede campo escalar, vetorial, tensorial ou

de pontos, 54de deformacao F , 83, 95de deformacao relativa Ft, 99escalar, vetorial, tensorial ou de pontos,

em vetor ou tensor, 56espacial de velocidade, 98material de velocidade, 98

grandezaconservativa, 113constitutiva, 146

historia de funcao temporal, 146

incompressıvel, movimento, 114

independencia linear, 8intervalo

aberto, 51fechado

abaixo, 51abaixo e acima, 51acima, 51

invariantes principais, 45

lagrangeana, descricao, 96Laplace, formula de, 114laplaciano

de campo escalar, 78de campo vetorial, 78

lei(s)classica de conservacao

da energia total, 136da massa, 124definicao, 113do momento angular, 132do momento linear, 131

de Cauchyprimeira, 131segunda, 132

de Euler, 127fundamentais da dinamica, 127

local, 97

massadensidade volumetrica de, 123distribuicao de, 123escalar, 123

materialdescricao, 96regiao

definicao, 112isolada, 113medida de, 123

simplesdefinicao, 154homogeneo, 154

superfıcie, 112matriz

antissimetrica, 7de transformacao de base, 22definicao, 4determinante de, 28inversa, 7

163

inversa transposta, 7ortogonal, 7simetrica, 7singular, 7traco de, 31transposta, 6

meio contınuo, teoria para, 125momento

angular, 127linear, 127

movimentodefinicao, 94harmonico, 99incompressıvel, 114rıgido, 99representacao por deformacao, 95

n-upla, 1Newton

escoamento de, 101espaco-tempo, W , de

corpo, B, pertencente ao, 82definicao, 82

estrut. refer., ou observador, φ, de, 82notacao

1.1.1 (sımbolos), 11.1.2 (Einstein), 31.2.1 (produto interno de vetores de ba-

se gi j), 101.2.2 (base dual), 121.2.3 (espaco de transform. linear), 121.2.4 (tensor de segunda ordem como

uma matriz), 151.2.5 (subespacos simetrico e antissime-

trico), 191.2.6 (aplicacao de tensor a tensor), 331.2.7 (subespaco invertıvel), 341.2.8 (grupos especiais), 351.2.9 (vetor associado a tensor antissi-

metrico), 421.2.10 (tensor raiz quadrada), 491.3.1 (derivada e gradiente generaliza-

dos), 571.3.2 (derivada covariante), 74

objetividade material, princıp. de, 146, 147objetivo, 106observavel, 106

observador de Newton φ, 82

permutacaodefinicao, 25distinguıvel, 26ımpar, 25par, 25sımbolo de, 38sinal de, 25

Piola-Kirchoff, tensor de tracao de, 139ponto

regular, 64singular, 64

potenciacineticaK, definicao, 134sem potencia mecanica KP=0, 135

mecanica P , 134termica, 137total, 135

pressao hidrostatica, 130processo homogeneo

definicao, 135primeira lei da termodinamica, 138

produtoexterno de vetores

como base para Skw(V ), 41definicao, 41vetor associado a, 43

interno de tens. de segunda ordem, 33interno de vetores

de base em esp. vet. eucl., gi j, 10, 11de base em esp. vet. eucl., gi j, 11decomposicao em esp. vet. eucl., 10definicao, 9representacao em esp. vet. eucl., 9

ordinario de tensores de segunda ordem,veja composicao

tensorial de vetoresdefinicao, 13espaco de, 14

triplo, 44vetorial, 43

referencial, descricao, 96regiao material

definicao, 112isolada, 113

164

regularponto, 64regiao, 64

relacao de equivalencia, 36representacao de

campo dos numeros reais, 1escalar, 1matriz identidade, 1tensor, 1tensor identidade, 1vetor, 1

rotacional de campo vetorial, 76, 77

sımbolo de Christoffel de seg. especie, 72sımbolos

de Christoffel, 71matematicos

da mecanica dos meios contınuos, 97gerais, 1

simetria material, princıpio de, 146suave

funcao, 64superfıcie seccionalmente, 64

subconjunto aberto, 51superfıcie

material, 112singular, condicao de compatibilidade

cinematica da, 122suprimento

de calor r, 136de forca corporal b, 128de forca corporal aparente b + i, 144de forca inercial i, 144mecanico-classico σψ, 112mecanico-estatıstico, 112

temperatura, 145tensor

de cisalhamento puro, 130de ordem k

definicao, 21e transformacao escalar k-linear, 21

de pressao hidrostatica, 130de Rivlin-Ericksen, 103de rotacaoR, 87infinitesimal R, componentes, 93infinitesimal R, definicao, 91

relativa Rt, 102de segunda ordem

antissim., representacao espaco de, 19antissimetrico, vetor associado a, 42antissimetrico, definicao, 19antissimetrico, transposicao de, 20aplicacao gi j ou gi j a componente, 18autovalor de, 45autovetor de, 45calculo de componente associado, 14componente assoc. contravariante, 14componente assoc. covariante, 14componente assoc. misto, 14componente, transformacao de, 25composicao, 20de definicao negativa, 48de definicao positiva, 48de semi-definicao negativa, 48de semi-definicao positiva, 48definicao, 14definicao de componente assoc., 14e transformacao escalar bilinear, 17equacao caracterıstica de, 45espaco caracterıstico de, 47grupo linear especial SL(V ), 36grupo linear geral GL(V ), 36grupo ortogonal O, 36grupo ortogonal proprio O+, 36grupo rotacional O+, 36grupo unimodular U , 36grupo, definicao, 35invariantes principais de, 45inverso, 34inverso transposto, 34invertıvel ou nao singular, 34norma, 33orientacao preservante, 37ortogonal improprio, 35ortogonal proprio, 35ortogonal, definicao, 34produto interno de, 33raiz quadrada, 49representacao matricial, 15simetrico, definicao, 19simetrico, representacao espaco de, 19simetrico, transposicao de, 20singular, 34transposicao, 18

165

unimodular, 36de tensao ou compressao pura, ou uni-

axial, 130de tracao

corrente e, 90de Almansi - Hamel e, 90de Cauchy - Green direito C, 88de Cauchy - Green esquerdo B, 88de Cauchy, compon. normais do, 129de Cauchy, componentes de cisalha-

mento do, 129de Cauchy, definicao, 129de Cauchy, direcao principal do, 132de Cauchy, tracao principal do, 132de Green - St. Venant E, 89de Piola-Kirchoff, 139infinitesimal E, componentes, 93infinitesimal E, definicao, 90planar, 130referencial E, 89relativa Cauchy - Green direi. Ct, 102relativa Cauchy - Green esqu. Bt, 102

direito deestiramento U , 87estiramento relativo Ut, 102

elemento de volumedefinicao, 38relacao com determinante, 41

esquerdo deestiramento V , 87estiramento relativo Vt, 102

estirante, 103gradiente

de deformacao F , 83, 95de deformacao relativa Ft, 99espacial de deslocamento h, 90espacial de velocidade, 98material de velocidade, 98referencial de deslocamento H, 90

identidadecomponente associado, 17definicao, 17

metrico, 67momento angular, 127rotativo, 103simples

componentes associados, 16

componentes associados em base or-tonormal, 16

composicao, 21definicao, 13representacao matricial, 16transposicao, 18

torque, 127velocidade angular Ω , 107

teorema1.2.1 (base de espaco vetorial de trans-

formacao linear), 131.2.2 (unicidade da proporcao entre fun-

coes n-lineares alternantes), 261.2.3 (dependencia da proporcao entre

funcoes n-lineares alternantes), 271.2.4 (condicao necessaria e suficiente

de autovalor), 451.2.5 (Cayley-Hamilton: tensor satisfaz

sua equacao caracterıstica), 461.2.6 (espectral: autovalores de tensor

simetrico), 461.2.7 (comutacao de composicao de ten-

sores), 471.2.8 (tensor simetrico de definicao po-

sitiva ou negativa), 481.2.9 (quadrado de tensor simetrico de

definicao positiva ou negativa), 481.2.10 (decomposicao polar), 491.3.1 (funcao inversa), 661.3.2 (base de espaco tangente), 661.3.3 (divergencia), 811.3.4 (funcao identicam. nula em E), 81

torque, 127tracao

de cisalhamento, 129normal, 129superficial t, 128

trajetoria, 95transformacao

n-linearbase de espaco vetorial de, 13decomposicao, 13definicao, 12determinante de, 27dimensao de espaco de, 13escalar e tensor de ordem k, 21escalar e tensor de segunda ordem, 17espaco vetorial de, 13

166

orientacao preservante, 37representacao para espaco de, 12traco de, 30transposta, 17

euclideana, 104galileiana, 108rıgida independente do tempo, 108

transporte, teorema de, 113transposicao, 25

velocidade v(X, t)definicao, 95gradiente espacial de, 98gradiente material de, 98

velocidade angular Ω , 107velocidade local de propagacao U±, 117vetor

aceleracao a(X, t)definicao, 95em funcao da velocidade, 98

angulo, 9assoc. a produto externo de vetores, 43associado a tensor antissimetrico, 42axial, 42componente

contravariante, 11covariante, 11definicao, 9obtencao, 11transformacao de, 24

comprimento, 9deslocamento u, 90diferenca, 50direcao, 10fluxo termico q, 136fluxo termico material qκ, 140forca

corporal f b, 128corporal aparente, suprim. b + i, 144corporal, suprimento b, 128de contato f c, 128definicao, 127inercial, suprimento i, 144

igualdade de, 10momento

angular, 127linear, 127

norma, 9

ortogonal, 10produto vetorial, 43projecao, 10torque, 127tracao

de cisalhamento, 129normal, 129superficial t, 128

unidadedefinicao, 9numa direcao, 10⊥ superfıcie, eκ e e, 86representacao, 9

velocidade v(X, t), 95velocidade local de propagacao U±, 117vorticidade, 103

volumeelemento de

definicao, 37relacao com determinante, 41

relacao entre dvκ e dv, 87vorticidade, 103

167