sinais e sistemas andré luis lapolli – 1. definição 2. classificação de sinais 3....
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Sinais e Sistemas
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Sinais e SistemasINTRODUÇÃO
1. Definição2. Classificação de Sinais3. Operações Básicas em Sinais4. Sinais Elementares5. Propriedades dos Sistemas
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1. Definição
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2. Classificação de Sinais
Sinais unidimensionais de valor único, ou seja há apenas um único valor da função para um único valor de tempo.
O valor poderá ser real ou complexo.
O tempo possui valor real.
Pode-se identificar cinco métodos de classificação de sinais baseados em diferentes recursos.
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a) Sinais de Tempo Contínuo e Discreto
a1 Sinal de Tempo ContínuoÉ o sinal x(t) cujo a variável independente (t) faz parte do conjunto R.
a2Sinal de Tempo DiscretoÉ o sinal x[n] cujo a variável independente (n)
faz parte do conjunto Z.n= ..-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,....t=nT portanto x[n]=x(nT )
2. Classificação de Sinais
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2. Classificação de Sinais
Contínuo
Discreto
a) Sinais de Tempo Contínuo e Discreto
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b) Sinais Pares e Impares
b1 Sinal ParSendo x(t) um sinal contínuo no tempo, pode-se dizer que x(t) é par quando:
x(-t)=x(t)
Ou seja, quando x(t) é simétrico em relação à ordenada (eixo vertical).
2. Classificação de Sinais
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b2 Sinal ImparSendo x(t) um sinal contínuo no tempo, pode-se dizer que x(t) é impar quando:
x(-t)=-x(t)
Ou seja, quando x(t) é antissimétrico em relação à ordenada (eixo vertical).
2. Classificação de Sinaisb) Sinais Pares e Impares
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Um sinal x(t) pode ser descrito pela soma de duas componentes:
xp(t) – par e xi(t) impar
Lembrando: xp(-t)=xp(t) e xi(-t)=-xi(t)
Portanto: x(t)=xp(t)+xi(t)
x(-t)=xp(t)-xi(t)
2. Classificação de Sinaisb) Sinais Pares e Impares
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A partir das duas expressões pode-se definir os sinais pares e impares com base em x(t) e x(-t).Fazendo-se: x(t)+x(-t)Obtém-se:
)()(2
1)( txtxtxp
Fazendo-se: x(t)-x(-t)Obtém-se:
)()(2
1)( txtxtxi
2. Classificação de Sinaisb) Sinais Pares e Impares
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Exercício:
Considere xp(t)=cos(x) e xi(t)=sen(x).
Monte as equações x(t) e x(-t) correspondente às componentes par e impar do sinal e prove que xp(t)=cos(x) e xi(t)=sen(x) utilizando o procedimento do parágrafo anterior.
2. Classificação de Sinaisb) Sinais Pares e Impares
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b) Sinais Pares e Impares
No caso em que x(t) seja complexo, ou seja:
x(t)=a(t)+jb(t)
Rea l
Imaginário
Se: x(-t)=x*(t) então x(t) é conjugado simétrico.
1j
x*(t)=a(t)-jb(t)
Comparando-se, verifica-se que x(t) é conjugado simétrico se:
a(t) é par
b(t) é impar
2. Classificação de Sinais
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2. Classificação de Sinais
c) Sinais Periódicos e não periódicos
São sinais que se repetem de tempos em tempos.
t
T
0 1 2
x(t)
Período: duração de um ciclo completox(t)=x(t+T) para todo t
O valor do sinal se repete para múltiplos de T0
T=T0, 2T0, 3T0 .......
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2. Classificação de Sinaisc) Sinais Periódicos e não periódicos
[f]=s-1=HzT
f1
O recíproco do período é a frequência que corresponde à número de ciclos da onda em um determinado ponto do espaço em um segundo:
Há também a frequência angular:
T
2 [w]=rad/s
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2. Classificação de Sinaisc) Sinais Periódicos e não periódicos
Para o caso dos sinais discretos:
x[n]=x[n+N] para todos os números inteiros n
É inteiro positivo
N=25
N
2 [W]=rad
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2. Classificação de Sinaisc) Sinais Periódicos e não periódicos
O sinal não periódico não se repete em períodos pré determinados. (aperiódicos)
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c) Sinais Determinísticos e Sinais Aleatórios2. Classificação de Sinais
Determinísticos: Podem ser modelados como função do tempo completamente especificados.
Aleatórios: Há incerteza da ocorrência real.Exemplo: Ruído, Eletroencefalograma, etc.
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c) Sinais de Energia e Sinais de Potência2. Classificação de Sinais
São sinais relacionados à sistemas elétricos.
Considerando-se a corrente e a tensão em um resistor R.
Tensão v(t)
Corrente i(t)A potência pode ser definida como:
)()()(
)( 22
tRitPR
tvtP
A potência é proporcional à amplitude elevada ao quadrado.
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c) Sinais de Energia e Sinais de Potência2. Classificação de Sinais
Considerando: R= 1 ohm
x(t) pode expressar v(t) ou i(t))()( 2 txtP
A energia total, no tempo contínuo é definida como:
dttxdttxET
TT
)()(lim 22/
2/
2
A Potência média:
dttxTT
EP
T
TT
2/
2/
2 )(1
lim
Para um sinal periódico:
dttxT
PT
T
2/
2/
2 )(1
A raiz quadrada da potência é o valor quadrático médio do sinal x(t) (RMS – root-mean-square)
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c) Sinais de Energia e Sinais de Potência2. Classificação de Sinais
Para sinais discretos:x[n]
dttxdttxET
TT
)()(lim 22/
2/
2
][2
1lim 2 nx
NP
N
NnN
][1 1
0
2 nxN
PN
n
Energia:
Potência Média:
Um sinal é chamado de sinal de energia:
Potência Média do sinal periódico x[n] com período N :
E0Por outro lado, ele é chamado de sinal de potência: P0
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c) Sinais de Energia e Sinais de Potência2. Classificação de Sinais
A classificação dos sinais de energia e potência são mutuamente exclusivas;
•Um sinal de Energia tem potência média zero
• Sinais não periódicos
• Sinais determinísticos
•Um sinal de Potência tem energia infinita
• Sinais periódicos
• Sinais aleatórios
Exercícios
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3. Operações Básicas em Sinais
Constitui uma questão fundamental por se
tratar da manipulação do sinal pelo sistema.
Há duas classes de operações:• Operações realizadas na variável
dependente
• Operações realizadas na variável independente
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3. Operações Básicas em Sinais
• Operações realizadas na variável dependentea) Mudança de escala de amplitude:
x(t) – sinal de tempo contínuoy(t) – mudança de amplitude
y(t) = C x(t) y[n]=C y[n]
C é o fator de escalaExemplo: Amplificador. Para sinal de corrente RLC.
y(t) é a tensão de saída.
-1 1
1
t
x(t)
C=2
-1 1
2
t
y(t)
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3. Operações Básicas em Sinais•Operações realizadas na variável dependente
b) Adição
x1(t) e x2(t) – são sinais de tempo contínuo
y(t) = x1(t)+x2(t) y[n]=x1[n]+x2[n]
Exemplo: Misturador de Audio: Música + Voz.
Exemplo:
y(t) = x1(t)+x2(t)
-1
1
x1(t)
t -1 1
1 x2(t)
t
-1 1
y(t)
2
t
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c) Multiplicação
x1(t) e x2(t) – são sinais de tempo contínuo
y(t) = x1(t).x2(t) y[n]=x1[n].x2[n]
Exemplo: Sinal de rádio AMx1(t) sinal de corrente contínua (cc)x2(t) sinal senoidal. Onda portadora
-1
1
x1(t)
t -1 1
1 x2(t)
t
3. Operações Básicas em Sinais•Operações realizadas na variável dependente
Exemplo:
y(t) = x1(t).x2(t)
-1 1
y(t)
1
t
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3. Operações Básicas em Sinais•Operações realizadas na variável dependente
d) Diferenciaçãox(t) - sinal de tempo contínuo
Exemplo: O indutor realiza diferenciação:
)()( txdt
dty
)()( tidt
dLtv Indutor com v(t) nos seus terminais
induzindo corrente i(t)
e) integraçãox(t) - sinal de tempo contínuo
Exemplo: O capacitor realiza Integração:
dxtyt
)()(
Capacitor com corrente i(t) induzindo tensão v(t) em seus terminais.
diC
tvt
)(1
)(
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3. Operações Básicas em Sinais
• Operações realizadas na variável independente
a) Mudança de escala de tempox(t) - sinal de tempo contínuo
y(t)=x(at)
Compressão estençãoCaso discreto:
Y[n]=x[kn] k>0 e só inteiro
Neste caso alguns valores do sinal de tempo são perdidos
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3. Operações Básicas em Sinais•Operações realizadas na variável independente
b) Reflexãox(t) - sinal de tempo contínuo
y(t)=x(-t)
Reflexão de x em relação ao eixo da amplitude
Para sinais pares obviamente não há mudanças
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3. Operações Básicas em Sinais•Operações realizadas na variável independente
c) Deslocamento no tempox(t) - sinal de tempo contínuo
y(t)=x(t-t0)
-1 1
1
t
x(t)
-1 1
1
t
y(t)=x(t-1)t0=1
2 -1
1
t
y(t)=x(t+1)t0=-1
-2
Para o caso do sinal discreto:
Y[n]=x[n-m]
m é inteiro positivo ou negativo
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3. Operações Básicas em Sinais•Operações realizadas na variável independente
Obtenção de y(t) deve respeitar a ordem:1. Deslocamento no tempo: t→t-b2. Mudança da escala de tempo: t→at
)0(
)()0()()(
xa
by
bxybatxty
Regra de precedência para deslocamento no tempo e mudança de escala de tempo
y(t) – sinal de tempo contínuo derivado de outro sinal de tempo contínuo x(t)
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3. Operações Básicas em Sinais•Operações realizadas na variável independente
1. Deslocamento no tempo: t→t-bSinal intermediário: v(t)=x(t-b)
2. Mudança da escala de tempo: t→atSinal de saída: y(t)=v(at)=x(at-b)
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3. Operações Básicas em Sinais•Operações realizadas na variável independente
Exemplo: Considere o pulso retangular x(y) de amplitude unitária e duração 2 unidades de tempo descrito na figura abaixo. Encontre y(t)=(2t+3).
Ordem correta:
Ordem incorreta:
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