resposta em frequência

IntroduçãoGráficos de resposta

Resposta em frequência

Guilherme Luiz Moritz1

1 DAELT - Universidade Tecnológica Federal do Paraná

04 de 2013

Moritz, G.L. Resposta em frequência


Introdução

Objetivos

Entender o conceito de resposta em frequênciaSaber interpretar alguns tipos de gráficos de resposta emfrequênciaSaber traçar o Diagrama de Bode



Introdução

Introdução

Resposta em frequência

Resposta em regime estacionário de um sistemasubmetido a um sinal senoidal. (Nyquist, 1932. Bode,1945. Evans, 1953)

Figura : Harry Nyquist Figura : Hendrik Wade BodeMoritz, G.L. Resposta em frequência


Introdução

Metodologia

Varia-se a frequência de um sinal senoidal de entrada eestuda-se os efeitos resultantes.O sinal variará em amplitude e fase.Vantagens:

Análise de estabilidade através do critério de NyquistDeterminação experimental de funções de transferência viaanálise da resposta em frequênciaProjetos de sistemas de controle robusto a presença deruído



Introdução

Resposta em regime permanente

Considere o seguinte sistema:

A função de transferência é:

G(s) =Y (s)X (s)

(1)



Introdução


Num sistema estável, se a entrada for:

x(t) = Xsen(ωt) (2)

a saída será:y(t) = Ysen(ωt + φ) (3)

comY = X |G(jω)| (4)



Introdução


Neste caso, o ângulo da função de transferência é:

φ = ∠G(jω) = arctg[

Imag(G(jω))Real(G(jω))

](5)



Introdução

Resumindo

|G(jω)| = |Y (jω)||X (jω)|

(6)

e∠G(jω) = ∠

Y (jω)X (jω)

(7)

Desta maneira, para determinar-se a resposta em frequência,deve-se calcular:

G(jω) =Y (jω)X (jω)

(8)

(fazer s = jω na função de transferência)



Introdução

Definições

Atraso de fase: valor negativo de faseAvanço de fase: valor positivo de fase



Diagrama de BodeParâmetros do sistema utilizando diagrama de bode

Tipos de gráficos

Podemos traçar um gráfico representando a resposta emfrequência. Três diagramas são comumente utilizados:

Diagrama de BodeDiagrama de NyquistDiagrama de resposta logaritmica vs ângulo de fase(Nichols)




Diagrama de Bode

Apresenta dois gráficos (em função de log(ω)):Primeiro gráfico: Magnitude (logarítmica)→MdB(ω) = 20log|G(jω)|Segundo gráfico: Fase→ φ(ω) = ∠G(jω)




Exemplo

Determinar as expressões analíticas de magnitude e fase daresposta de frequencia de:

G(S) =1

(s + 2)(s + 4)(9)




Exemplo

M(ω) =1√

(8− ω2) + (6ω)2(10)

φ =

−arctg(

6ω8−ω2

)se ω <

√8

−[π + arctg

(6ω

8−ω2

)]se ω >

√8

(11)




Exemplo

−80

−60

−40

−20

Mag

nitu

de (

dB)

10−2

10−1

100

101

102

−180

−135

−90

−45

0

Pha

se (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/s)




Vantagens de utilizar-se a escala logarítmica

O gráfico de magnitude tem uma contribuição para cadapólo e zero, no caso de utilizarmos logaritmos, elas sesomam.

G(s) =K (s + z1)(s + z2) · · · (s + zk )

sm(s + p1)(s + p2) · · · (s + pk )(12)

|G(jω)| = K |(s + z1)| |(s + z2)| · · · |(s + zk )||sm| |(s + p1)| |(s + p2)| · · · |(s + pk )|

∣∣∣∣∣s=jω

(13)

Basta estudar o efeito de cada termo na contribuição totalde magnitude e fase




Ganho K

Magnitudes maiores que 1 possuem valores positivos emdBMagnitudes menores que 1 possuem valores negativos emdBG(jω) = 20log(K )

∠G(jω) = 0




Fatores integrativos

20log| 1jω |= −20log(ω) dB;

∠(

1jω

)= −90o

Uma oitava é o intervalo de frequência entre ω1 e 2ω1,sendo qualquer ω1

Uma década é o intervalo de frequência entre ω1 e 10ω1

A inclinação da reta é −20dB por década com ganho 0 emω = 1




Fatores derivativos

20log|jω|= 20log(ω) dB;∠ (jω) = 90o

A inclinação da reta é 20dB por década.E se houver mais de um termo?

20log|(jω)n|= n20log(ω) (14)




Resumo gráfico




Termos de primeira ordem

20log| 11+jωT |= −20log(

√1 + ω2T 2) dB;

ω << 1T :

−20log(√

1 + ω2T 2) = −20log(1) = 0 (15)

ω >> 1T :

−20log(√

1 + ω2T 2) = −20log(ωT ) = 0 (16)

Duas retas:0dB → 0 < ω < 1

T

−20dB/dec → 1T < ω <∞





Magnitude de 11+jωT

20log| 11+jωT |= −20log(

√1 + ω2T 2) dB;

ω << 1T :

−20log(√

1 + ω2T 2) = −20log(1) = 0 (17)

ω >> 1T :

−20log(√

1 + ω2T 2) = −20log(ωT ) = 0 (18)

Duas retas:0dB → 0 < ω < 1

T

−20dB/dec → 1T < ω <∞





Fase de 11+jωT

ω = 0o → φ = 0ω = 1

T → φ = arctan(1) = −45o

ω =∞→ φ = −90o

Três retas:0o → 0 < ω < 1

T

−45o/dec → 110T < ω < 10T

−90o → 10T < ω <∞




Resumo gráfico




Termos de primeira ordem - erros

Fizemos aproximações assintóticas para ω << 1T e 1

T << ω.E quando a aproximação não valer?

O valor máximo do erro é aproximadamente 3dB




Termos de primeira ordem - zeros

Mesma análise para os pólos, mas com sinal trocado:




Termos quadráticos

Termo na forma:

11 + 2ζ(j ω

ωn) + (j ω

ωn)2 (19)

Cuja resposta em frequência é:

−20log

∣∣∣∣∣ 11 + 2ζ(j ω

ωn) + (j ω

ωn)2

∣∣∣∣∣ = −20log

√(1− ω2

ω2n

)2

+

(2ζ

ω

ωn

)2

(20)ω << ωn:

−20log(1) = 0 (21)

A assíntota de baixa frequência é uma reta em 0dB




Termos quadráticos

Resposta em frequência (novamente):

−20log

∣∣∣∣∣ 11 + 2ζ(j ω

ωn) + (j ω

ωn)2

∣∣∣∣∣ = −20log

√(1− ω2

ω2n

)2

+

(2ζ

ω

ωn

)2

(22)ω >> ωn:

−20log(ω2

ω2n) = −40log(

ω

ωn) (23)

A assíntota de alta frequência é uma reta com inclinaçãode 40dB/decada




Termos quadráticos

A fase é:

φ = ∠1

1 + 2ζ(j ωωn) + (j ω

ωn)2 = −arctg

2ζ ωωn

1−(

ωωn

)2

(24)




Resposta de termos quadráticos




Termos quadráticos - Erro

Observa-se que o erro assintótico torna-se elevadoquando o coeficiente de amortecimento é baixo.Soluções:

Utilizar tabelas de correçãoUtilizar computador para traçar o diagrama




Sumário das assíntotas




Exemplo 1

Esboce o diagrama de bode para a seguinte função detransferência:

G(s) = 100(s + 1)(s + 10)

= 10s + 1

( s10 + 1)

(25)




Exemplo




Exemplo

20

25

30

35

40

Mag

nitu

de (

dB)

10−2

10−1

100

101

102

103

0

30

60

Pha

se (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/s)




Exemplo 2

Esboce o diagrama de bode para a seguinte função detransferência:

G(s) = 200(s + 1)

(s + 10)2 (26)




Exemplo 2




Exemplo 2

−10

0

10

20

Mag

nitu

de (

dB)

10−2

10−1

100

101

102

103

−90

−45

0

45

Pha

se (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/s)




Análise de estabilidade

K G(S)+-

U(S) Y(S)

H(S)

A análise de estabilidade deve avaliar o ganho quando afase é −180o (inversão de fase)Ganhos maiores que 1 indicam instabilidade!




Margens do sistema

Margem de Ganho:Quanto de ganho quepode ser adicionado aosistema para que elecontinue estável.Margem de Fase:Quanto de fase faltapara levar um ganhopositivo a 180o




Exemplo 3

Determine as margens de fase e ganho para o sistema

G(s) =1000k

(s + 1)(s + 10)(s + 100)(27)




Exemplo 3

−150

−100

−50

0

Mag

nitu

de (

dB)

10−2

10−1

100

101

102

103

104

−270

−225

−180

−135

−90

−45

0

Pha

se (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/s)




Margens do sistema

Margem de Ganho:Quanto de ganho quepode ser adicionado aosistema para que elecontinue estável.Margem de Fase:Quanto de fase faltapara levar um ganhopositivo a 180o




Coeficiente de amortecimento e Kp

O coeficiente de amortecimento está relacionado àmargem de fase (consequentemente o sobresinal):

ζ ≈ MF100

(28)

A constante de erro de posição pode ser deduzida do valorde partida do diagrama já que Kp = limjω→0 G(S)




Outros diagramas

A interpretação dos diagramas de Nyquist e Nichols seráobservada no Matlab.


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