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RESPOSTA EM FREQUÊNCIA: DIAGRAMA DE BODE CCL Profa. Mariana Cavalca Baseado em: MAYA, Paulo Álvaro; LEONARDI, Fabrizio. Controle essencial. São Paulo: Pearson, 2011. OGATA, Katsuhiko. Engenharia de controle moderno. 3. ed. Rio de Janeiro: Prentice Hall, c1998. Apostila de Análise de Sistemas Lineares – ASL do Prof. Dr. André Bittencourt Leal Material do Prof. Eduardo Bonci Cavalca

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RESPOSTA EM FREQUÊNCIA: DIAGRAMA DE BODE

CCL

Profa. Mariana Cavalca

Baseado em: MAYA, Paulo Álvaro; LEONARDI, Fabrizio. Controle essencial. São Paulo: Pearson, 2011.

OGATA, Katsuhiko. Engenharia de controle moderno. 3. ed. Rio de Janeiro: Prentice Hall, c1998.

Apostila de Análise de Sistemas Lineares – ASL do Prof. Dr. André Bittencourt Leal

Material do Prof. Eduardo Bonci Cavalca

Definições

Considerando no plano 𝑠 um número complexo com parte

real nula e parte imaginária 𝜔, tal como:

𝑠 = 0 + 𝑗𝜔 = 𝑗𝜔

obtemos a Transformada de Fourier a partir da

Transformada de Laplace. Portanto, neste caso:

𝐺 𝑠 =𝑌(𝑠)

𝑈(𝑠)= 𝐺(0 + 𝑗𝜔)= G 𝑗𝜔 =

𝑌(𝑗𝜔)

𝑈(𝑗𝜔)

Definições

• A resposta em frequência é a resposta em regime

estacionário de um sistema para uma entrada do tipo

senoidal. Desse modo, variamos a frequência do sinal de

entrada em uma faixa de interesse e estudamos a

resposta em frequência resultante.

• A partir da resposta em frequência é possível analisar o

comportamento de um processo bem como projetar um

controlador de modo que a malha atenda determinados

requisitos de desempenho.

Diagrama de Bode

• Os diagramas de Bode (de módulo e de fase) são uma

das formas de caracterizar sinais no domínio da

frequência.

Hendrik Wade Bode (1905-1982)

Sistema estável, linear e invariante no tempo

• Sendo 𝐺(𝑠) a função de transferência de um sistema

qualquer, pela transformada de Laplace temos:

𝑥 𝑡 = Xsen ω𝑡 → ℒ(𝑥 𝑡 ) → 𝑋 𝑠 =𝜔𝑋

𝑠2 +𝜔2

𝐺 𝑠 = 𝑌(𝑠)

𝑋(𝑠)→ 𝑌 𝑠 = 𝐺 𝑠 𝑋 𝑠 = 𝐺 𝑠

𝜔𝑋

𝑠2 +𝜔2

𝑌 𝑠 = 𝐺 𝑠𝜔𝑋

𝑠 − 𝑗𝜔 𝑠 + 𝑗𝜔

𝑌(𝑠) =𝐴

𝑠 + 𝑎+

𝐵

𝑠 + 𝑏+⋯ +

𝐶1𝑠 − 𝑗𝜔

+𝐶2

𝑠 + 𝑗𝜔

𝑌 𝑠 = 𝑌𝐿 𝑠 + 𝑌𝐹 𝑠 → ℒ−1(𝑌 𝑠 ) → 𝑦 𝑡 = 𝑦𝐿 𝑡 + 𝑦𝐹 𝑡

Função Senoidal de Transferência

• Como estamos interessados apenas na resposta em regime

permanente, ou seja, apenas na resposta forçada, temos:

𝑌𝐹 𝑠 =𝐶1

𝑠 − 𝑗𝜔+

𝐶2𝑠 + 𝑗𝜔

𝐶1 = 𝑌(𝑠)(𝑠 − 𝑗𝜔) 𝑠=𝑗𝜔 = 𝐺(𝑠)𝜔𝑋

𝑠 + 𝑗𝜔𝑠=𝑗𝜔

=𝑋

2𝑗𝐺(𝑗𝜔)

𝐶2 = 𝑌(𝑠)(𝑠 + 𝑗𝜔) 𝑠=−𝑗𝜔 = 𝐺(𝑠)𝜔𝑋

𝑠 − 𝑗𝜔𝑠=−𝑗𝜔

=𝑋

2𝑗𝐺(−𝑗𝜔)

Função Senoidal de Transferência

• Visto que 𝐺(𝑗𝜔) é um elemento complexo, podemos escrever:

𝐶1 =𝑋

2𝑗𝐺(𝑗𝜔) 𝑒𝑗𝜙 𝐶2 =

𝑋

2𝑗𝐺(𝑗𝜔) 𝑒−𝑗𝜙

𝑌𝐹 𝑠 =𝑋

2𝑗𝐺(𝑗𝜔)

𝑒𝑗𝜙

𝑠 − 𝑗𝜔+

𝑒−𝑗𝜙

𝑠 + 𝑗𝜔

• Retornando ao domínio do tempo:

𝑦𝐹 𝑡 =𝑋

2𝑗𝐺(𝑗𝜔) 𝑒𝑗(𝜔𝑡+𝜙) + 𝑒−𝑗(𝜔𝑡+𝜙)

𝑦𝐹 𝑡 = 𝑋 𝐺(𝑗𝜔) sen(𝜔𝑡 + 𝜙) 𝑌 = 𝑋 𝐺(𝑗𝜔) 𝜃 = 𝜙

Função Senoidal de Transferência

Função Senoidal de Transferência

Diagrama de Bode de funções de transferências básicas

• Função de transferência constante:

Diagrama de Bode de funções de transferências básicas

• Função de transferência com um polo/zero na origem

• Função com um polo real fora da origem 𝐺 𝑠 =𝑎

𝑠+𝑎=

1

𝜏𝑠+1,

𝑎 > 0.

Diagrama de Bode de funções de transferências básicas

• Função com um zero real fora da origem 𝐺 𝑠 =𝑠+𝑏

𝑏, 𝑏 > 0.

Diagrama de Bode de funções de transferências básicas

• Função com um polo e um zero 𝐺 𝑠 =1+𝑠

𝑏

1+𝑠𝑎 =

1+𝑠40

1+𝑠10

,

𝑎, 𝑏 > 0. . .

Diagrama de Bode de funções de transferências básicas

Diagrama de Bode de funções de transferências básicas

• Regras de Esboço

Diagrama de Bode de funções de transferências básicas

• Regras de Esboço

Diagrama de Bode de funções de transferências básicas

• Sistemas com polos complexo conjugados

Diagrama de Bode de funções de transferências básicas

• Sistemas com polos complexo conjugados

Diagrama de Bode de funções de transferências básicas

• Sistemas de fase mínima e não-mínima: são sistemas de fase

mínima aqueles que não possuem singularidades (polos? e zeros) no

semi-plano direito (SPD) do plano s.

Zero no SPD

Polo no SPD* Não faz sentido – Instável!

Regra básica

• Para sistemas de fase mínima, o ângulo de fase para 𝜔 = ∞

se torna −90° 𝑞 − 𝑝 , onde p e q são os graus de liberdade

dos polinômios do numerador e do denominador da função de

transferência, respectivamente. Nesse estudo não

consideramos o diagrama de Bode de sistemas instáveis. Logo

é possível detectar se um sistema é ou não de fase mínima

examinando o gráfico de módulo e o ângulo de fase em

𝜔 = ∞ .

Tipo do sistema x curva de módulo e de fase

• Os coeficientes de erro estático de posição, velocidade e

aceleração descrevem o comportamento em baixa

frequência de sistemas tipo 0 (sem polos na origem), tipo

1 e tipo 2, respectivamente.

• O tipo do sistema determina a inclinação da curva de

módulo em baixas frequências. Portanto, a informação

relativa à existência e amplitude do erro em regime

estacionário de um sistema de controle, para uma dada

entrada, pode ser determinada a partir da observação da

região de baixa frequência na curva de módulo do

diagrama de Bode.

Constante de erro estático de posição

• Em um sistema do tipo 0:

Constante de erro estático de velocidade

• Em um sistema do tipo 1:

A intersecção do

seguimento inicial de -

20dB/dec com a reta de

0dB é igual a Kv.

Constante de erro estático de aceleração

• Em um sistema do tipo 2:

A intersecção do

seguimento inicial de -

40dB/dec com a reta de

0dB é igual a raiz quadrada

de Ka.

Análise de estabilidade pelo Diagrama de Bode

• O gráfico de Bode de uma função de transferência é uma ferramenta muito

útil para análise e projeto de sistemas de controle lineares.

• Vantagem: Na ausência de um computador, o diagrama de Bode pode ser

obtido, de forma aproximada, através de suas propriedades assintóticas.

• Desvantagem: Estabilidade absoluta e relativa podem ser determinadas

através do diagrama de Bode somente para sistemas de fase mínima*.

* Fase mínima – sem polos ou zeros no semi-plano direito.

Considerações Finais

• O gráfico de Bode de uma função de transferência é uma ferramenta

muito útil para análise e projeto de sistemas de controle lineares.

Vantagem: Na ausência de um computador, o diagrama de Bode pode

ser obtido, de forma aproximada, através de suas propriedades

assintóticas.

Desvantagem: Estabilidade absoluta e relativa podem ser determinadas

através do diagrama de Bode somente para sistemas de fase mínima.

Exercícios Propostos

1. 𝐺 𝑠 =200(𝑠+1)

𝑠(𝑠+5)

2. 𝐺 𝑠 =200(𝑠+2)

(𝑠+0,2)(𝑠+20)

3. Revise os conceitos das constantes de erro estacionário.

Bom estudo!

RESPOSTA EM FREQUÊNCIA: DIAGRAMA DE BODE

CCL

Profa. Mariana Cavalca

Bom estudo!