Sistemas e Sinais (LEIC) – Resposta em Sistemas e Sinais (LEIC) – Resposta em FrequênciaFrequência

Carlos CardeiraCarlos CardeiraDiapositivos para acompanhamento da bibliografia de base Diapositivos para acompanhamento da bibliografia de base ((Structure and Interpretation of Signals and Systems, Edward A. Structure and Interpretation of Signals and Systems, Edward A. Lee and Pravin Varaiya)Lee and Pravin Varaiya)

SumárioSumário

DefiniçõesDefinições Sistemas sem memóriaSistemas sem memória Sistemas causaisSistemas causais Sistemas Invariantes no TempoSistemas Invariantes no Tempo Sistemas LinearesSistemas Lineares Resposta em FrequênciaResposta em Frequência

DefiniçõesDefinições

x x Entradas = [tempo Entradas = [tempo → → Reais ou Reais ou ComplexosComplexos]]

y y Entradas = [tempo Entradas = [tempo → → Reais ou Reais ou ComplexosComplexos]]

Tempo = Inteiros ou ReaisTempo = Inteiros ou Reais

Sx y

Exemplos (contínuos)Exemplos (contínuos)

Ganho KGanho K

Delay TDelay T

Média MóvelMédia Móvel

)())((,, tkxtxGRtx k

)())((,, TtxtxDRtx T

dxM

txMA

RtCRRxt

Mt

)(1

))((

,],,[

Exemplos (contínuos)Exemplos (contínuos)

ReverseReverse

Fast ForwardFast Forward

Câmara LentaCâmara Lenta

EnergiaEnergia

)())((,, txtxRvtx

)5.1())((,, txtxFFtx

)5.0())((,, txtxCLtx

t

dxtxEtx )())((,, 2

Definições: Resposta Definições: Resposta ImpulsivaImpulsiva

A saída do sistema pode-se calcular A saída do sistema pode-se calcular através da convolução da resposta através da convolução da resposta impulsiva com a entradaimpulsiva com a entrada

s

dssxsthtxHtx )()())((,,

Exemplos (discretos)Exemplos (discretos)

Ganho KGanho K

Delay T (T inteiro)Delay T (T inteiro)

Média MóvelMédia Móvel

)())((,, nkxnxGInteirosnx k

)())((,, TnxnxDInteirosnx T

1

0

)(1

))((

,],,[M

k

knxM

nxMA

InteirosnCRRx

Exemplos (discretos)Exemplos (discretos)

ReverseReverse

Down Sample (subamostrar)Down Sample (subamostrar)

Up Sample (sobreamostrar, introduzindo zero Up Sample (sobreamostrar, introduzindo zero ou outro valor, nos pontos não definidos)ou outro valor, nos pontos não definidos)

)())((,, nxnxRvnx

)2())((,, nxnxDownnx

ímparn

parnnxnxUpnx

02))((,,

Resposta Impulsiva Resposta Impulsiva (discretos)(discretos)

A saída do sistema pode-se calcular A saída do sistema pode-se calcular através da convolução da resposta através da convolução da resposta impulsiva com a entradaimpulsiva com a entrada

m

mxmnhnxHnx )()())((,,

Sistema sem memóriaSistema sem memória

Um sistema S não tem memória se existir Um sistema S não tem memória se existir uma função tal que:uma função tal que:

Exemplos:Exemplos:))(())((,, txftxSxt

)2()1())((,,

)(2))((,,

)())((,, 2

txtxtxSxt

txtxSxt

txtxSxt Sem memóriaSem memória

Sem memóriaSem memória

Com memóriaCom memória

Definições: Sistema causalDefinições: Sistema causal

Um sistema S é causal se a saída não Um sistema S é causal se a saída não depender de entradas futuras:depender de entradas futuras:

Se duas entradas forem iguais até um Se duas entradas forem iguais até um determinado instante t, a saída, até esse determinado instante t, a saída, até esse instante, é igual para ambasinstante, é igual para ambas

))(())((),()(

,,,

twStxStsswsx

xwt

CausalidadeCausalidade

O sistema é causal porque para entradas x e w, iguais até ao instante t, produz a mesma saída S(x) e S(w).

Definições: Sistema Definições: Sistema Invariante no tempoInvariante no tempo

Considere-se a função Delay Considere-se a função Delay

Um sistema é invariante no tempo se, Um sistema é invariante no tempo se, para qualquer delay T, tivermos:para qualquer delay T, tivermos:

Ou seja:Ou seja:

)())((,, TtxtxDtx T

TT DSSD

)))((()))(((,, txDStxSDtx TT

Exemplo: Sistema Invariante Exemplo: Sistema Invariante no tempono tempo

Atrasar uma entrada produz um atraso Atrasar uma entrada produz um atraso equivalente na saída. As funções atraso e S equivalente na saída. As funções atraso e S podem ser aplicadas na ordem que podem ser aplicadas na ordem que quisermos. quisermos.

ExemplosExemplos

S(x)(t)=x(t+3)S(x)(t)=x(t+3)

DDT T o S = x(t+3-T)o S = x(t+3-T)

S o DS o DTT = x(t-T+3) = x(t-T+3)

O sistema é invariante no tempoO sistema é invariante no tempo

ExemplosExemplos

S(x)(t)=x(-t)S(x)(t)=x(-t)

DDT T o S = Do S = DT T (S(x)(t))(t)= D(S(x)(t))(t)= DT T (x(-t))(t) =x(-t-(x(-t))(t) =x(-t-T) T)

S o DS o DTT = S(D = S(DTT(x)(t))(t)=S(x(t-T))(t)=x(-(x)(t))(t)=S(x(t-T))(t)=x(-t+T)t+T)

Não é Invariante no TempoNão é Invariante no Tempo

ExemplosExemplos

S(x)(t)=(x(t-1))S(x)(t)=(x(t-1))22

DDT T o S = Do S = DT T (S(x)(t))(t)= D(S(x)(t))(t)= DT T ((x(t-1))((x(t-1))22)(t) =(x(t-T-)(t) =(x(t-T-1))1))22

S o DS o DTT = S(D = S(DTT(x)(t))(t)=S(x(t-T))(t)=(x(t-T-1))(x)(t))(t)=S(x(t-T))(t)=(x(t-T-1))22

É causalÉ causal

ExemplosExemplos

É invariante no tempoÉ invariante no tempo

Não é invariante no tempo. Só o seria se a função x fosse Não é invariante no tempo. Só o seria se a função x fosse nula para t<anula para t<a

t

dssxtxE )())(( 2

t

a

dssxtxE )())(( 2

Exemplos - ConvoluçãoExemplos - Convolução

É invariante no tempoÉ invariante no tempo

dssthtx )()(

LinearidadeLinearidade

S(x+w)=S(x)+S(w)S(x+w)=S(x)+S(w) S(ax)=aS(x)S(ax)=aS(x) S(ax+bw)=aS(x)+bS(w)S(ax+bw)=aS(x)+bS(w)

S(0) tem que ser 0 porque senão S(0) tem que ser 0 porque senão não seria possível garantir não seria possível garantir S(ax)=aS(x) para qualquer ‘a’S(ax)=aS(x) para qualquer ‘a’

LinearidadeLinearidade

ExemplosExemplos Média MóvelMédia Móvel

LinearLinear Invariante no TempoInvariante no Tempo

DelayDelay LinearLinear Invariante no TempoInvariante no Tempo

GanhoGanho LinearLinear Invariante no TempoInvariante no Tempo

ReverseReverse LinearLinear Não Invariante no TempoNão Invariante no Tempo

ExemplosExemplos Fast ForwardFast Forward

LinearLinear Não Invariante no TempoNão Invariante no Tempo

Câmara LentaCâmara Lenta LinearLinear Não Invariante no TempoNão Invariante no Tempo

EnergiaEnergia Não LinearNão Linear Invariante no TempoInvariante no Tempo

ConvoluçãoConvolução LinearLinear Invariante no TempoInvariante no Tempo

Resposta em FrequênciaResposta em Frequência

Teorema:Teorema: Se a entrada for uma exponencial complexa Se a entrada for uma exponencial complexa

(e(eiwtiwt) de determinada frequência, a saída ) de determinada frequência, a saída também terá a mesma frequênciatambém terá a mesma frequência

H(w) é a resposta em frequência do sistemaH(w) é a resposta em frequência do sistema

Exemplo:Exemplo:

1arctan

21

1)(

1

1)(

wj

ew

wH

jwwH

Exemplo:Exemplo:

|H(w)|21

1)(

wwH

Filtro passa baixo

Exemplo:Exemplo:

fase )arctan(w

Cálculo da Resposta em Cálculo da Resposta em FrequênciaFrequência

)()( txtydt

dy

O circuito RC (se normalizado de forma a O circuito RC (se normalizado de forma a R=C=1) tem a forma:R=C=1) tem a forma:

Qual será a resposta em frequência ?Qual será a resposta em frequência ?

Cálculo da Resposta em Cálculo da Resposta em Frequência do circuito R/CFrequência do circuito R/C

jwwH

eewHewjwH

ewHty

etx

jwtjwtjwt

jwt

jwt

1

1)(

)()(

)()(

)(

Filtro passa baixo

Exemplo: Resposta em Exemplo: Resposta em Frequência da Média MóvelFrequência da Média Móvel

Exemplo: Resposta em Exemplo: Resposta em Frequência da função DelayFrequência da função Delay

A amplitude mantém-se, apenas a fase do sinal varia

Exemplo: Resposta em Exemplo: Resposta em Frequência da função GanhoFrequência da função GanhoKK

A amplitude é multiplicada por K, a fase mantém-se

)(,, tkxGtx k

kwH

keewH jwtjwt

)(

)(

Resposta em FrequênciaResposta em Frequência

Linear e Invariante no Linear e Invariante no TempoTempo

•Linear porque as derivadas são operadores lineares•Invariante no tempo se ai e bi não dependerem de t

Causalidade e Resposta Causalidade e Resposta ImpulsivaImpulsiva

Considere-se um sistema definido pela Considere-se um sistema definido pela convolução:convolução:

0,0)(

)()()()(

)()())((

)(0

tth

dssxsthdssxsth

dssxsthtxS

t

ecausalidad

t

Resposta em Frequência Resposta em Frequência A resposta em frequência de um sistema A resposta em frequência de um sistema

definido pela convolução da entrada com a definido pela convolução da entrada com a resposta impulsiva é:resposta impulsiva é:

O que significa que a resposta em frequência de O que significa que a resposta em frequência de um sistema é a transformada de Fourier da um sistema é a transformada de Fourier da resposta impulsivaresposta impulsiva

)(

)(

)(

)()()(

)()())((

wH

s

jwujwt

s

stjw

s

jwtjwsjwt

s

dueuhe

dsesthedsesthewH

dssxsthtxS

Resposta em Frequência de Resposta em Frequência de Sistemas DiscretosSistemas Discretos

jwnjwn ewHnyenxn )()()(,

Analogamente:

Exemplo: média móvelExemplo: média móvel

)1(2

1)(

12

1

2

1)(

)1()(2

1))((,,

)1(

jw

jwjwnnjwjwnjwn

ewH

eeeeewH

nxnxnxMAxn

Exemplo: média móvel + Exemplo: média móvel + autoregressãoautoregressão

wj

wjjw

wjjwjwnjwnwj

e

eewH

eeeeewH

nxnxnxnyny

2

3

32

1

1)(

)1()1)((

)3()1()()2()(

De uma forma geral, a componente média móvel fica no numerador e a componente autoregressivano denominador. Consegue-se escrever a respostaem frequência sem ter que fazer as contas

Exemplo: equação às Exemplo: equação às diferenças genéricadiferenças genérica

Peridicidade da resposta em Peridicidade da resposta em frequência para sistemas frequência para sistemas

discretosdiscretos

)2()2(' )2()()(

)()()(

wjnwjn

jwnjwn

ewHnyenx

ewHnyenx

Mas como x(n)=x’(n) :

)2()( wHwHEm sistemas discretos, H(w) tem sempre período 2 E, por convenção, desenha-se apenas entre - e ou então apenas entre 0 e porque a função é par

Resposta em frequência de Resposta em frequência de dois sistemas LTI em cascatadois sistemas LTI em cascata A resposta em frequência é o produto A resposta em frequência é o produto

das respostas em frequência de cada das respostas em frequência de cada sistemasistema

H(w) G(w)

ejwt H(w)ejwt H(w)G(W)ejwt

Resposta em Frequência de Resposta em Frequência de dois sistemas com feedbackdois sistemas com feedback

H

G

+1.ejwt

E(w)ejwtY(w)ejwt

R(w)ejwtY(w)=E(w).H(w)R(w)=Y(w).G(w)E(w)=1+R(w)

Resposta em Frequência de Resposta em Frequência de sistemas com feedbacksistemas com feedback

Y(w)=E(w).H(w) R(w)=Y(w).G(w) E(w)=1+R(w)

Y(w)=(1+R(w)).H(w)=Y(w)=(1+R(w)).H(w)= =(1+Y(w).G(w))H(w)=(1+Y(w).G(w))H(w)

Y(w)=H(w)/(1-G(w)H(w))Y(w)=H(w)/(1-G(w)H(w))

Amplitude e faseAmplitude e fase

H(w)=|H(w)|e H(w)=|H(w)|e H(w)H(w) , ,H(w) H(w) representa o angulo de H(w) com o representa o angulo de H(w) com o eixo realeixo real

|H(w)| é a amplitude da resposta |H(w)| é a amplitude da resposta em Freq.em Freq.

H(w)) é a fase da resposta em H(w)) é a fase da resposta em frequênciafrequência

Exemplo:Exemplo:

y(n)=1/2(x(n)+x(n-1))y(n)=1/2(x(n)+x(n-1)) H(w)=1/2(1+eH(w)=1/2(1+e-jw-jw))

|H(w)|=1/2 |1+cos(w)-jsin(w)|=|H(w)|=1/2 |1+cos(w)-jsin(w)|= =1/2 sqrt((1+cos(w)) =1/2 sqrt((1+cos(w)) 22+sin+sin22(w))(w))

H(w)=-atan(sin(w)/(1+cos(w))H(w)=-atan(sin(w)/(1+cos(w))

Exemplo:Exemplo:

>> w=-2*pi:pi/1000:2*pi;>> w=-2*pi:pi/1000:2*pi; %embora bastasse de 0 a pi%embora bastasse de 0 a pi >> H=(1+exp(-i*w))/2;>> H=(1+exp(-i*w))/2; >> subplot(2,1,1)>> subplot(2,1,1) >> plot(w,abs(H))>> plot(w,abs(H)) >> subplot(2,1,2)>> subplot(2,1,2) >> plot(w,angle(H))>> plot(w,angle(H))

ExemploExemplo

DecibelsDecibels

É vulgar medir a É vulgar medir a amplitude em dBamplitude em dB

)(log20 10 wHdB

Propriedades (sinais reais)Propriedades (sinais reais)

PropriedadesPropriedades

Se a entrada for periódica de Se a entrada for periódica de período p a saída é periodica com o período p a saída é periodica com o mesmo períodomesmo período

Como cos(wt)=cos(-wt) teremos Como cos(wt)=cos(-wt) teremos H(w)=H*(w)H(w)=H*(w)

|H(w)|=|H(-w)| |H(w)|=|H(-w)| → → amplitude é paramplitude é par H(w)=-H(w)=-H(-w) H(-w) → → fase é ímparfase é ímpar

Propriedades (Discretos)Propriedades (Discretos)

Exemplo de feedback para Exemplo de feedback para aumentar a largura de bandaaumentar a largura de banda

Exemplo de feedback para Exemplo de feedback para aumentar a largura de bandaaumentar a largura de banda

Feedback para melhorar a Feedback para melhorar a resposta em frequênciaresposta em frequência

Se se pretende que o sistema responda Se se pretende que o sistema responda mais rapidamente a resposta às altas mais rapidamente a resposta às altas frequências tem que melhorarfrequências tem que melhorar

À parte o problema das saturações À parte o problema das saturações este é um mecanismo usado em robôs.este é um mecanismo usado em robôs.

Propriedades (Discretos)Propriedades (Discretos) Se a entrada for periódica de período p a Se a entrada for periódica de período p a

saída é periodica com o mesmo períodosaída é periodica com o mesmo período Como cos(wn)=cos(-wn) teremos Como cos(wn)=cos(-wn) teremos

H(w)=H*(w)H(w)=H*(w) |H(w)|=|H(-w)| |H(w)|=|H(-w)| → → amplitude é paramplitude é par H(w)=-H(w)=-H(-w) H(-w) → → fase é ímparfase é ímpar

E porque eE porque ejwnjwn=e=ej(w+2j(w+2)n)n

Temos: H(w)=H(w+2Temos: H(w)=H(w+2) (em sistemas ) (em sistemas discretos a resposta em frequência é discretos a resposta em frequência é periódica)periódica)

Coeficientes da Série de Coeficientes da Série de FourierFourier

)cos()(

sec/2

,,:

01

0

0

kk

k twkAAtx

radP

wpRRX

Série de FourierSérie de Fourier

AA00 é a componente DC (valor médio é a componente DC (valor médio do sinal)do sinal)

Permite representar qualquer sinal Permite representar qualquer sinal periódicoperiódico

Se o sinal não for periódico mas for Se o sinal não for periódico mas for finito (no tempo), pode também ser finito (no tempo), pode também ser representado por uma série se o representado por uma série se o replicarmos ao longo do tempo. replicarmos ao longo do tempo.

A forma exponencial é mais A forma exponencial é mais práticaprática

*

)(

kk

tjkwk

XX

eXtx o

Equivalência entre as formas Equivalência entre as formas exponencial e cosenoexponencial e coseno

)1(21

)1(21

)0(

)(

21

21

)cos()(

0

1

)(

1

)(0

01

0

0

00

keAX

keAX

kAX

eXtx

eAeAA

twkAAtx

k

k

kk

jkk

jkk

k

k

tjkwk

k

tkwjk

k

tkwjk

kk

k

Xk e X-k são Complexos Conjugados

Obtenção dos coeficientes Ak Obtenção dos coeficientes Ak e partir de Xke partir de Xk

kk

kk

kok

tjkwk

tjkwk

tjkwk

tjkwk

tjkwkkok

X

XA

XtwX

eXeXeX

eXeXtwA

XA

ooo

oo

2

)cos(2

Re2

)cos(*

00

Cálculo dos coeficientes XnCálculo dos coeficientes Xn

)(0

)(

)(

)(

0

2)(

0

)(

0

)(

0

)(

00

0

00

000

0

nk

nkpdtedte

dteXdteX

dteXedtetx

eXtx

p tp

nkjptwnkj

k

ptwnkj

k

p

k

twnkjk

p

k

tjkwk

tjnwp

tjnw

k

tjkwk

Cálculo dos CoeficientesCálculo dos Coeficientes

ptjnw

n

n

ptjnw

k

tjkwk

dtetxp

X

pXdtetx

eXtx

0

0

0

0

0

)(1

)(

)(

BaseBase

As funções que compõem a série de As funções que compõem a série de Fourier constituem uma base.Fourier constituem uma base.

Qualquer função pode ser Qualquer função pode ser representada por uma combinação representada por uma combinação linear delas.linear delas.

Cálculo dos Coeficientes Cálculo dos Coeficientes (tempo discreto)(tempo discreto)

CXeXnxn

ou

nwkAAnxn

amostraradp

wIntsIntsX

l

p

l

njlwl

k

p

kk

,)(,

)cos()(,

/2

,:

1

0

0

2/

10

0

0

Cálculo de X (discreto)Cálculo de X (discreto)

1

0

1

0

1

0

)(

1

0

1

0

)(1

0

0

0

00

)(1

)(

p

n

njkwk

k

p

l

p

n

nwkljl

p

n

p

l

nwkljl

p

n

njkw

enxp

X

pXeX

eXenx

Multiplicando ambos os lados por exp(-jkwon)

Cálculo dos Coeficientes Cálculo dos Coeficientes (tempo discreto)(tempo discreto)

klseep

l

nwklj

01

0

)( 0