Sistemas e Sinais (LEIC) – Capítulo 11 – Sistemas e Sinais (LEIC) – Capítulo 11 – Amostragem e ReconstruçãoAmostragem e ReconstruçãoCarlos CardeiraCarlos CardeiraDiapositivos para acompanhamento da bibliografia de base Diapositivos para acompanhamento da bibliografia de base ((Structure and Interpretation of Signals and Systems, Edward A. Structure and Interpretation of Signals and Systems, Edward A. Lee and Pravin Varaiya), maioritariamente baseados na Lee and Pravin Varaiya), maioritariamente baseados na informação pública disponível em informação pública disponível em http://ptolemy.eecs.berkeley.edu/eecs20/index.htmlhttp://ptolemy.eecs.berkeley.edu/eecs20/index.html

Codificação e Codificação e DescodificaçãoDescodificação

ImagemAudio

TVFax

Telefone…

ImagemAudio

TVFax

Telefone…

Canal Descod.Codific.

{0,1} {0,1}

O Codificador transforma qualquer sinal em 0s e 1s, e o descodificador realiza a operação inversa. Entre o sinal original e o sinal reconstituído deve ser preservada alguma medida de qualidade

Canal de ComunicaçãoCanal de Comunicação CaracterísticasCaracterísticas

BitRate – 56Kbps, 4Mbps, 1GbpsBitRate – 56Kbps, 4Mbps, 1Gbps Taxa de Erro - 10Taxa de Erro - 10-12-12(Fibra óptica) 10(Fibra óptica) 10-3-3

(GSM)(GSM)

OriginalOriginal CaracterísticasCaracterísticas

N elementos do AlfabetoN elementos do Alfabeto 2^(número de bits)<N2^(número de bits)<N

AmostragemAmostragem

SamplerTx:Reais→Complexos y:Inteiros→Complexos

Y=SamplerT(x) n, y(n)=x(nT)

Unidades:T: segundos por amostran: amostrasnT: segundos

Amostragem de uma Amostragem de uma sinusoidesinusoide

, ( ) cos(2 )_ _ _ :

, ( ) cos(2 ):, ( ) cos(2 ( ) )

1, ( ) cos 2 ( )

s

t x t ftAmostrando com período Tt x nT fnTset u t f f t

n u nT f nT x nTT

““Aliasing”Aliasing” Sinusóides com frequência f e f+kfSinusóides com frequência f e f+kfss

têm as mesmas amostras. têm as mesmas amostras. Por isso não se poderão reconstituir Por isso não se poderão reconstituir

sinais de frequências superiores a sinais de frequências superiores a ffss/2./2.

A este fenómeno chama-seA este fenómeno chama-se“aliasing”“aliasing”

ExemploExemplo Se a Frequência de Amostragem for de Se a Frequência de Amostragem for de

8khz, os seguintes sinais terão as 8khz, os seguintes sinais terão as mesmas amostras:mesmas amostras: Sinusóide de 500 Hz; 8500Hz;-7500HzSinusóide de 500 Hz; 8500Hz;-7500Hz Sinusóide de 1000 Hz; 9000Hz;-7000HzSinusóide de 1000 Hz; 9000Hz;-7000Hz Sinusóide de 3500 Hz; 11500Hz;-5500HzSinusóide de 3500 Hz; 11500Hz;-5500Hz

Ver as demos:Ver as demos: http://ptolemy.eecs.berkeley.edu/eecs20/week13/aliasing.htmlhttp://ptolemy.eecs.berkeley.edu/eecs20/week13/aliasing.html http://ptolemy.eecs.berkeley.edu/eecs20/week13/images.htmlhttp://ptolemy.eecs.berkeley.edu/eecs20/week13/images.html http://ptolemy.eecs.berkeley.edu/eecs20/week13/moire.htmlhttp://ptolemy.eecs.berkeley.edu/eecs20/week13/moire.html http://ptolemy.eecs.berkeley.edu/eecs20/week13/fonts.html http://ptolemy.eecs.berkeley.edu/eecs20/week13/fonts.html

http://ptolemy.eecs.berkeley.edu/http://ptolemy.eecs.berkeley.edu/eecs20/week13/aliasing.htmleecs20/week13/aliasing.html

A sinusoide é amostrada a uma dada A sinusoide é amostrada a uma dada frequência. Ouve-se o sinal frequência. Ouve-se o sinal amostrado.amostrado.

À medida que a frequência do sinal À medida que a frequência do sinal aumenta a frequência do sinal aumenta a frequência do sinal amostrado aumenta também.amostrado aumenta também.

Mas quando se passa metade da Mas quando se passa metade da frequência de amostragem, a frequência de amostragem, a frequência do sinal amostrado começa frequência do sinal amostrado começa a baixar por efeito de “aliasing”a baixar por efeito de “aliasing”

http://ptolemy.eecs.berkeley.edu/http://ptolemy.eecs.berkeley.edu/eecs20/week13/images.htmleecs20/week13/images.html

A imagem mostra uma sinusóide.A imagem mostra uma sinusóide. À medida que a frequência da À medida que a frequência da

sinusóide aumenta a frequência do sinusóide aumenta a frequência do sinal amostrado aumenta também.sinal amostrado aumenta também.

Mas quando se passa metade da Mas quando se passa metade da frequência de amostragem, a frequência de amostragem, a frequência do sinal amostrado frequência do sinal amostrado começa a baixar por efeito de começa a baixar por efeito de “aliasing”“aliasing”

http://ptolemy.eecs.berkeley.edu/http://ptolemy.eecs.berkeley.edu/eecs20/week13/moire.htmleecs20/week13/moire.html

A imagem mostra um conjunto de A imagem mostra um conjunto de linhas que têm origem no mesmo linhas que têm origem no mesmo vértice.vértice.

À medida que se aumenta o número À medida que se aumenta o número de linhas, junto ao vértice a de linhas, junto ao vértice a frequência aumenta.frequência aumenta.

A partir de certa frequência começam A partir de certa frequência começam a aparecer componentes de mais a aparecer componentes de mais baixa frequência junto ao vértice baixa frequência junto ao vértice devido ao fenómeno de aliasing.devido ao fenómeno de aliasing.

http://ptolemy.eecs.berkeley.edu/http://ptolemy.eecs.berkeley.edu/eecs20/week13/fonts.html eecs20/week13/fonts.html

A imagem mostra um “A imagem mostra um “” ideal e a sua ” ideal e a sua amostragem.amostragem.

Como o “Como o “” ideal tinha muitas ” ideal tinha muitas frequências, parte delas perde-se na frequências, parte delas perde-se na amostragem.amostragem.

Se antes de amostrarmos o “Se antes de amostrarmos o “” ” retirarmos as componentes de alta retirarmos as componentes de alta frequência, o sinal amostrado já se frequência, o sinal amostrado já se parece mais com o original, pois parece mais com o original, pois evitamos o fenómeno de aliasing.evitamos o fenómeno de aliasing.

““Anti-aliasing”Anti-aliasing” Para evitar fenómenos de “aliasing” Para evitar fenómenos de “aliasing”

indesejáveis é necessário filtar o indesejáveis é necessário filtar o sinal antes de o amostrar.sinal antes de o amostrar.

Este procedimento é muito usado Este procedimento é muito usado em aquisição de sinais, pois se o em aquisição de sinais, pois se o sinal tivesse ruído com frequência sinal tivesse ruído com frequência superior a metade da frequência de superior a metade da frequência de amostragem, esse ruído viria a amostragem, esse ruído viria a perturbar o sinal efectivamente lido.perturbar o sinal efectivamente lido.

ReconstruçãoReconstrução Temos um conjunto de sinais amostrados.Temos um conjunto de sinais amostrados. Queremos reconstruir o sinal contínuo em Queremos reconstruir o sinal contínuo em

função das amostrasfunção das amostras

Varios sinais originais poderiam Varios sinais originais poderiam corresponder ao mesmo sinal amostrado.corresponder ao mesmo sinal amostrado.

ReconstruçãoReconstrução A reconstrução de y(n) em y(t) faz-se em A reconstrução de y(n) em y(t) faz-se em

várias fases:várias fases: São atribuídos instantes de tempo nT São atribuídos instantes de tempo nT

para cada amostra.para cada amostra. Cria-se um sinal w(t) que em cada Cria-se um sinal w(t) que em cada

instante nT tem um delta de Dirac com a instante nT tem um delta de Dirac com a amplitude igual ao valor de y(n)amplitude igual ao valor de y(n)

, ( ) ( ) ( )k

t w t y k t kT

ReconstruçãoReconstrução

, ( ) ( ) ( )k

t w t y k t kT

y(n)

w(t)

ReconstruçãoReconstrução A esta série de impulsos é aplicado A esta série de impulsos é aplicado

um sistema linear (por exemplo, um sistema linear (por exemplo, um filtro passa baixo) que um filtro passa baixo) que “reconstituirá” o sinal.“reconstituirá” o sinal.

ReconstruçãoReconstrução

Caracteristicas necessárias à Caracteristicas necessárias à Resposta Impulsiva do LTI Resposta Impulsiva do LTI

Exemplos de LTI usados para Exemplos de LTI usados para reconstruçãoreconstrução

Exemplos de LTI usados para Exemplos de LTI usados para reconstrução (cont.)reconstrução (cont.)

Exemplos de LTI usados para Exemplos de LTI usados para reconstrução (cont.)reconstrução (cont.)

Exemplos de LTI usados para Exemplos de LTI usados para reconstrução (cont.)reconstrução (cont.)

A interpolação ideal faz com que o A interpolação ideal faz com que o sinal final não tenha componentes sinal final não tenha componentes de frequência fora do intervalo –de frequência fora do intervalo –/T /T e e /T./T.

Neste sentido pode ser considerada Neste sentido pode ser considerada “ideal” porque não gera “ideal” porque não gera frequências que o sinal não tinha.frequências que o sinal não tinha.