RESPOSTA EM FREQUÊNCIA: CONTROLADOR AVANÇO

E ATRASO DE FASE (LEAD-LAG) – OGATA

CCL

Profa. Mariana Cavalca

Retirado de OGATA, Katsuhiko. Engenharia de controle moderno. 1. ed. Rio

de Janeiro: Prentice Hall, c1982.

Compensação Avanço-Atraso

• Compensação Avanço – Melhora o transitório.

• Compensação Atraso – Melhora o regime permanente.

Compensação Avanço-Atraso – União das duas

características.

• Questão: Como projetar????

Compensação Avanço-Atraso

• Duas principais formas:

1. Quebrar em dois problemas separados: projetar uma

malha primeiro e depois projetar a segunda malha;

2. Projetar uma estrutura conjunta (método proposto no

Ogata) – mais econômico!

Redes Avanço-Atraso

𝐸𝑜(𝑠)

𝐸𝑖(𝑠)=

𝑍2

𝑍1 + 𝑍2=

(𝑅1𝐶1𝑠 + 1)(𝑅2𝐶2𝑠 + 1)

𝑅1𝐶1𝑠 + 1 𝑅2𝐶2𝑠 + 1 + 𝑅1𝐶2𝑠

𝐸𝑜(𝑠)

𝐸𝑖(𝑠)=

(𝑇1𝑠 + 1)(𝑇2𝑠 + 1)

(𝑇1𝛽

𝑠 + 1)(𝑇2𝛽𝑠 + 1)=

(𝑠 +1𝑇1

)(𝑠 +1𝑇2

)

(𝑠 +𝛽𝑇1

)(𝑠 +1

𝛽𝑇2)

(𝛽 > 1)

Redes Avanço-Atraso • Exemplo com 𝛽 = 10, 𝑇2 = 10𝑇1

• 0 < 𝜔 < 𝜔1 – Rede Atraso

• 𝜔1 < 𝜔 – Rede Avanço

• 𝜔1 =1

𝑇1𝑇2

Projeto baseado em resposta em frequência

• A parte do avanço de fase altera a curva de resposta em

frequência, adicionando um ângulo de fase e

aumentando a margem de fase na frequência de

cruzamento do ganho;

• A parte do atraso de fase acarreta atenuação, próximo e

acima da frequência de cruzamento do ganho, além de

permitir um aumento do ganho na faixa de baixas

frequências e, consequentemente, melhorar o

desempenho em regime estacionário.

Exemplo 10.7 (Ogata, 1982, página 585)

Considere o sistema com realimentação unitária negativa,

cuja função de transferência em malha aberta é:

𝐺 𝑠 =𝐾

𝑠(𝑠 + 1)(𝑠 + 2)

Deseja-se que o coeficiente de erro de velocidade estático

seja 10, margem de fase de 50º e a margem de ganho de

10 db ou mais.

Resolução • Primeiro calculamos o ganho 𝐾 necessário para atender o

requisito de 𝐾𝑣 = 10:

𝐾𝑣 = lim𝑠→0

𝑠𝐾

𝑠(𝑠 + 1)(𝑠 + 2)=

𝐾

2= 10 ∴ 𝐾 = 20

• Em seguida, traçamos o diagrama de Bode de Malha

aberta para tal ganho.

-100

-50

0

50

100

Magnitu

de (

dB

)

10-2

10-1

100

101

102

-270

-225

-180

-135

-90

Phase (

deg)

Bode Diagram

Gm = -10.5 dB (at 1.41 rad/sec) , Pm = -28.1 deg (at 2.43 rad/sec)

Frequency (rad/sec)

Resolução • Nota-se que as margens são negativas, logo o sistema é

instável sem compensação.

• O próximo passo é escolher uma nova frequência para

cruzamento de ganho (ou seja, a nova frequência na qual

determinaremos a margem de fase, ou seja, a frequência

que cruza o 0 𝑑𝑏). Segundo Ogata (1982), é razoável

verificar um ponto em que o avanço necessário seja

cerca de 50°.

Resolução • Neste caso, é sugerido fazer com que a nova frequência de

cruzamento de ganho seja em 1,4 𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑐, ou seja, no ponto

onde a FT sem compensação cruza o −180°. Neste caso será

necessário avançar 50º para atender o requisito de projeto.

-100

-50

0

50

100

Magnitu

de (

dB

)

10-2

10-1

100

101

102

-270

-225

-180

-135

-90

System: untitled1

Frequency (rad/sec): 1.41

Phase (deg): -180

Phase (

deg)

Bode Diagram

Gm = -10.5 dB (at 1.41 rad/sec) , Pm = -28.1 deg (at 2.43 rad/sec)

Frequency (rad/sec)

Resolução

• Logo desejamos mover a frequência onde cruza o 0𝑑𝑏

para a esquerda (diminuir o valor). Logo iremos

primeiramente projetar o controlador atraso de fase.

-100

-50

0

50

100

Magnitu

de (

dB

)

10-2

10-1

100

101

102

-270

-225

-180

-135

-90

System: untitled1

Frequency (rad/sec): 1.41

Phase (deg): -180

Phase (

deg)

Bode Diagram

Gm = -10.5 dB (at 1.41 rad/sec) , Pm = -28.1 deg (at 2.43 rad/sec)

Frequency (rad/sec)

Resolução

• Podemos então ajustar o zero do atraso uma década

abaixo da frequência de cruzamento de ganho desejada,

ou seja em 𝜔𝑧 = 0,15 𝑟𝑎𝑑 = 1

𝑇2.

-100

-50

0

50

100

Magnitu

de (

dB

)

10-2

10-1

100

101

102

-270

-225

-180

-135

-90

System: untitled1

Frequency (rad/sec): 1.41

Phase (deg): -180

Phase (

deg)

Bode Diagram

Gm = -10.5 dB (at 1.41 rad/sec) , Pm = -28.1 deg (at 2.43 rad/sec)

Frequency (rad/sec)

Resolução

• O polo da rede atraso 𝜔𝑝 =1

𝛽𝑇2< 𝜔𝑧. Neste ponto,

devemos escolher o valor de 𝛽. Ogata (1982) sugere

𝛽 = 10 > 1. Tal variável está relacionada com a inclinação

da curva de módulo.

• Portanto, a parte atraso do compensador será dada por:

𝑠 + 0,14

𝑠 + 0,014= 10

7,143𝑠 + 1

71,429𝑠 + 1

Resolução

• Para o projeto do avanço, devemos verificar qual é a

atenuação necessária em 𝐺(𝑠) para que a nova frequência

de cruzamento de ganho seja 1,4 𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑐.

-100

-50

0

50

100

Magnitu

de (

dB

)

System: untitled1

Frequency (rad/sec): 1.41

Magnitude (dB): 10.5

10-2

10-1

100

101

102

-270

-225

-180

-135

-90

System: untitled1

Frequency (rad/sec): 1.41

Phase (deg): -180

Phase (

deg)

Bode Diagram

Gm = -10.5 dB (at 1.41 rad/sec) , Pm = -28.1 deg (at 2.43 rad/sec)

Frequency (rad/sec)

Resolução

• Nesta situação é necessário atenuar 10,5 𝑑𝑏 para que a

nova frequência de cruzamento seja atendida.

• Portanto, devemos adicionar um polo e zero ao redor de

1,4 𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑐 de maneira que a atenuação em 1,4 𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑐 seja de 10,5 𝑑𝑏. Lembrando ainda que 𝛽 = 10 > 1.

Resolução

Ogata (1982) sugere um

método para solução de tal

problema:

1. Marque o ponto

1,4 𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑐, −10,5 𝑑𝑏

2. Você deve forçar que

uma reta com

inclinação de 20db/𝑑é𝑐𝑎𝑑𝑎 passa nesse

ponto.

3. Neste caso, tal reta

cruza com a reta em

− 20 db e termina na

reta de 0 db.

Resolução

Os dois pontos de

cruzamento definem o zero

e o polo da parte avanço

do compensador.

Neste caso,

aproximadamente:

𝑠 + 0,7

𝑠 + 7=

1

10

1,43𝑠 + 1

0,143𝑠 + 1

Resolução

Combinando as duas

componentes, temos o

controlador Avanço-Atraso:

𝐶 𝑠 =𝑠 + 0,7

𝑠 + 7×

𝑠 + 0,14

𝑠 + 0,014

𝐶(𝑠) =7,143𝑠 + 1

71,429𝑠 + 1×

1,43𝑠 + 1

0,143𝑠 + 1

Resolução

Diagrama de Bode de Malha Aberta do Sistema Resultante: 20 ∗ 𝐶 𝑠 ∗ 𝐺(𝑠)

-150

-100

-50

0

50

100

150

Magnitu

de (

dB

)

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102

103

-270

-225

-180

-135

-90

Phase (

deg)

Bode Diagram

Gm = 17 dB (at 3.93 rad/sec) , Pm = 55.7 deg (at 1.09 rad/sec)

Frequency (rad/sec)

Resolução

• Resposta da malha fechada para uma entrada do tipo

rampa:

RESPOSTA EM FREQUÊNCIA: CONTROLADOR AVANÇO

E ATRASO DE FASE (LEAD-LAG) – OGATA

Bom estudo!

Profa. Mariana Cavalca

Retirado de OGATA, Katsuhiko. Engenharia de controle moderno. 1. ed. Rio

de Janeiro: Prentice Hall, c1982.