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Sistemas Realimentados Resposta em Frequência Projeto de Controladores

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Page 1: Sistemas Realimentados Resposta em Frequência Projeto de Controladores

Sistemas Realimentados

Resposta em Frequência

Projeto de Controladores

Page 2: Sistemas Realimentados Resposta em Frequência Projeto de Controladores

Estabilidade Relativa

Limiar de Instabilidade

Instável

Estável

Page 3: Sistemas Realimentados Resposta em Frequência Projeto de Controladores

Estabilidade Relativa

O Sistema a é mais estável que o sistema b!

Page 4: Sistemas Realimentados Resposta em Frequência Projeto de Controladores

Estabilidade Relativa

• MARGEM DE GANHO = é o ganho que falta para que o sistema atinja 0dB, quando a fase está em -180.

• MARGEM DE FASE = é a fase que falta para que o sistema atinja -180, quando o ganho é 0dB.

Page 5: Sistemas Realimentados Resposta em Frequência Projeto de Controladores

Estabilidade Relativa

Page 6: Sistemas Realimentados Resposta em Frequência Projeto de Controladores

Estabilidade Relativa

Page 7: Sistemas Realimentados Resposta em Frequência Projeto de Controladores

Compensação por Avanço de Fase

Onde α é o fator de atenuação do compensador.

Observe que:•O compensador possui um pólo em s=-1/αT e um zero em s=-1/T;•O zero fica sempre à direita do pólo no plano complexo;•O pólo fica localizado cada vez mais distante à esquerda para valores cada vez menores de α.

Page 8: Sistemas Realimentados Resposta em Frequência Projeto de Controladores

Compensação por Avanço de Fase

• Diagrama polar com Kc=1;• Φm é o ângulo máximo de

avanço de fase.

Page 9: Sistemas Realimentados Resposta em Frequência Projeto de Controladores

Compensação por Avanço de Fase

• Diagrama de Bode para Kc=1 e α=0,1;

• Frequências de canto ω=1/T e ω=1/ α T=1/(10T);

• Observa-se que ωm é a média geométrica das frequencias de canto. Logo:

Implicando em

Este compensador se comporta como um filtro passa-altas!

Page 10: Sistemas Realimentados Resposta em Frequência Projeto de Controladores

Compensação por Avanço de Fase

A principal função do compensador por avanço de fase é reconfigurar a curva de resposta em frequência de um sistema para se alcançar um ângulo de avanço de fase suficiente a fim de compensar o atraso de fase excessivo do sistema.

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Compensação por Avanço de Fase

Suponha que as especificações de desempenho para o sistema acima sejam dadas em termo de:•Margem de fase;•Margem de ganho;•Constante de erro estático de velocidade, etc.

Page 12: Sistemas Realimentados Resposta em Frequência Projeto de Controladores

Compensação por Avanço de Fase

FTMA do sistema compensado:

1) Determinar o ganho K para satisfazer o requisito de erro estático;2) Construir o diagrama de Bode de G1 e avaliar a margem de fase;3) Determinar o ângulo de avanço de fase necessário (adicione de 5º a 12º

ao ângulo determinado, pois o compensador desloca a frequência de cruzamento de ganho para a direita e diminui a margem de fase);

4) Determine o fator de atenuação α usando5) Defina a frequência em que o módulo doSistema não compensado G1 seja igual a e selecione essa

frequência como sendo a nova frequência de cruzamento de ganho, que corresponde a e defazagem máxima Фm.

Page 13: Sistemas Realimentados Resposta em Frequência Projeto de Controladores

Compensação por Avanço de Fase6) Determine as frequências de canto como:

7) Calcule Kc=K/α.8) Verifique a margem de ganho para se certificar se ela é satisfatória. Se

não for, repita o processo modificando a localização do pólo e do zero do compensador até que o resultado seja satisfatório.

Page 14: Sistemas Realimentados Resposta em Frequência Projeto de Controladores

Compensação por Avanço de Fase

Page 15: Sistemas Realimentados Resposta em Frequência Projeto de Controladores

Compensação por Avanço de Fase

Margem de fase 17º e margem de ganho infinito.

Margem de fase 17º implica em sistema bastante oscilatório. Vamos aumentar para 50º, provocando um avanço de 33º acrescidos de 5º. Portanto, Φm=38º. Como

então α=0,24.

Page 16: Sistemas Realimentados Resposta em Frequência Projeto de Controladores

Compensação por Avanço de Fase

Observe que em decorrência da inclusão do compensador, a curva de módulo na frequência de máxima defasagem passa a ser como segue:

Page 17: Sistemas Realimentados Resposta em Frequência Projeto de Controladores

Compensação por Avanço de Fase

De modo que

com

Isto é,

Page 18: Sistemas Realimentados Resposta em Frequência Projeto de Controladores

Compensação por Avanço de FaseNote que

Page 19: Sistemas Realimentados Resposta em Frequência Projeto de Controladores

Compensação por Avanço de FaseDiagramas polares do sistema não compensado e compensado

Page 20: Sistemas Realimentados Resposta em Frequência Projeto de Controladores

Compensação por Avanço de FaseResposta transitória dos sistemas:

-não compensado

-compensado

Page 21: Sistemas Realimentados Resposta em Frequência Projeto de Controladores

Compensação por Avanço de FaseResposta transitória dos sistemas:

-não compensado

-compensado

Page 22: Sistemas Realimentados Resposta em Frequência Projeto de Controladores

Compensação por Atraso de FaseConsidere um compensador com atraso de fase que tenha a seguinte função de transferência:

-Possui um zero em -1/T e um pólo em -1/(βT);-O pólo fica à direita do zero;-Diagramas com Kc=1 e β=10.

Page 23: Sistemas Realimentados Resposta em Frequência Projeto de Controladores

Compensação por Atraso de FaseA principal função de um compensador por atraso de fase é produzir atenuação em altas frequências, aumentando assim a margem de fase.

Defina

De modo que

Considerando a função de transferência G(s) de um sistema não compensado.

Então

Page 24: Sistemas Realimentados Resposta em Frequência Projeto de Controladores

Compensação por Atraso de FaseExemplo: Dada a função de transferência de malha aberta

Deseja-se compensar o sistema , de modo que a constante de erro estática de velocidade Kv seja de 5s-1, a margem de fase de pelo menos 40º e a margem de ganho de pelo menos 10dB. Para isso, vamos utilizar um compensador de atraso de fase

Primeiro, vamos ajustar K para atender o requisito de erro estático de velocidade.

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Compensação por Atraso de Fase

Na sequência, constroi-se o diagrama de Bode de

G1 é a FTMA com ganho ajustado, mas não compensado.

Para evitar constantes de tempo muito altas, selecionamos a frequência de canto 1/T como 0,1rad/s.

Adicionamos 12º à margem de fase a ser alcançada, resultando em 40º+12º=52º.

Page 26: Sistemas Realimentados Resposta em Frequência Projeto de Controladores

Compensação por Atraso de Fase

Na sequência, constroi-se o diagrama de Bode de

G1 é a FTMA com ganho ajustado, mas não compensado.

Para evitar constantes de tempo muito altas, selecionamos a frequência de canto 1/T como 0,1rad/s.

Adicionamos 12º à margem de fase a ser alcançada, resultando em 40º+12º=52º.

Page 27: Sistemas Realimentados Resposta em Frequência Projeto de Controladores

Compensação por Atraso de Fase

Na sequência, constroi-se o diagrama de Bode de

O ângulo de fase de G1 é -128º em aproximadamente 0,5rad/s, que é para onde traremos a nova frequência de cruzamento de ganho.

Para isso, isso o compensador deve fornecer uma atenuação de -20dB. Então

Page 28: Sistemas Realimentados Resposta em Frequência Projeto de Controladores

Compensação por Atraso de Fase

Na sequência, constroi-se o diagrama de Bode de

O ângulo de fase de G1 é -128º em aproximadamente 0,5rad/s, que é para onde traremos a nova frequência de cruzamento de ganho.

Para isso, isso o compensador deve fornecer uma atenuação de -20dB. Então

Page 29: Sistemas Realimentados Resposta em Frequência Projeto de Controladores

Compensação por Atraso de FaseA outra frequência de canto em ω=1/(βT) é então determinada como

Portanto

Page 30: Sistemas Realimentados Resposta em Frequência Projeto de Controladores

Compensação por Atraso de Fase

A Margem de Fase do sistema compensado é de aproximadamente 40º;

A Margem de Ganho do sistema compensado é de 11dB.

A constante de erro estático de velocidade é de 5s-1.

Logo, o sistema compensado atende aos requisitos de regime permanente como de estabilidade relativa.

Em contrapartida, a frequência de cruzamento de ganho decresceu, o que implica em uma redução da banda passante.

Page 31: Sistemas Realimentados Resposta em Frequência Projeto de Controladores

Compensação por Atraso de Fase

-585 -540 -495 -450 -405 -360 -315 -270 -225 -180 -135 -90-250

-200

-150

-100

-50

0

50

100

Nichols Chart

Open-Loop Phase (deg)

Ope

n-Lo

op G

ain

(dB

)

G

G1

GcG1

Estabilidade absoluta

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Compensação por Atraso de Fase

Resposta ao Degrau

Sistema Compensado:

Sistema Não Compensado:

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Compensação por Atraso de Fase

Resposta à Rampa

Sistema Compensado:

Sistema Não Compensado:

Page 34: Sistemas Realimentados Resposta em Frequência Projeto de Controladores

Compensação por Atraso e Avanço de Fase

FT do compensador:

O termo produz o efeito de avanço de fase.

O termo produz o efeito de atraso de fase.

Page 35: Sistemas Realimentados Resposta em Frequência Projeto de Controladores

Compensação por Atraso e Avanço de Fase

Frequentemente selecionamos γ=β, embora γ possa ser diferente de β.

Considerando o caso em que γ=β e Kc=1

Fazendo o ângulo de fase igual a zero, encontramos

Avanço de fase

Atraso de fase

Page 36: Sistemas Realimentados Resposta em Frequência Projeto de Controladores

Compensação por Atraso e Avanço de Fase

Considerando o caso em que γ=β=10, Kc=1 e T2=10T1

Page 37: Sistemas Realimentados Resposta em Frequência Projeto de Controladores

Compensação por Atraso e Avanço de Fase

Exemplo: Considere o sistema com realimentação unitária cuja função de transferência é:

Deseja-se que a constante de erro estático de velocidade seja 10s-1, a margem de fase seja de 50º e a margem de ganho de 10dB ou mais. Para isso, vamosusar o compensador de atraso e avanço de fase.

Supondo Kc=1, então

Logo, K=20.

Page 38: Sistemas Realimentados Resposta em Frequência Projeto de Controladores

Compensação por Atraso e Avanço de Fase

Observe que a Margem de fasedo sistema com ganho ajustado,mas não compensado, é de 32º,isto é, INSTÁVEL!

Observe que

Logo, por conveniencia, escolhemosa nova frequência de cruzamento de ganho como 1,5rad/s, de modo que oângulo de avanço de fase seja de aproximadamente 50º.

Page 39: Sistemas Realimentados Resposta em Frequência Projeto de Controladores

Compensação por Atraso e Avanço de Fase

Agora, escolhemos a frequênciade canto da porção de atraso de fase do compensador uma décadaabaixo da nova frequência de cruzamento de ganho, isto é,0,15rad/s.

O ângulo de avanço de fase máximoé dado por

Testando β=10, encontramos Φm=54,9º .

Logo, a frequência de canto 1/(βT2)=0,015rad/s.

Page 40: Sistemas Realimentados Resposta em Frequência Projeto de Controladores

Compensação por Atraso e Avanço de Fase

A FT da porção de atraso de fase do compensador torna-se:

Para a porção de avanço de fase, considerando que na nova frequênciade cruzamento de ganho (ω=1,5rad/s)G(jω)=13dB, então, o compensador contribui com -13dB em 1,5rad/s. Daí,Trançando uma reta 20dB/década quePassa pelo ponto 1,5rad/s; -13dB, e Tomando a intersecção com as retas0dB e -20dB, encontramos as frequênciasDe canto da porção de avanço de faseDo compensador, isto é, 0,7rad/s e7rad/s.

Page 41: Sistemas Realimentados Resposta em Frequência Projeto de Controladores

Compensação por Atraso e Avanço de Fase

A FT da porção de avanço de fase do compensador torna-se:

De modo que a FT do compensador é

A FTMA do sistema compensado é

Page 42: Sistemas Realimentados Resposta em Frequência Projeto de Controladores

Compensação por Atraso e Avanço de Fase

A FTMF do sistema compensado é: