1

Especificações de Filtros

Especificação em tempo contínuo

Especificação em tempo discreto

Resposta em frequência de um filtro

210log20

atenuação

ARegião

irrelevante

2

FIR e IIR

FIR – Finite Impulse Response Filter

(Resposta ao Impulso Finita)

IIR – Infinite Impulse Response Filter

(Resposta ao Impulso Infinita)

N

k

kk

M

m

mmM

mm

N

kk

za

zbzHmnxbknya

0

0

00 .

.)(][.][.

M

m

mm

M

mm zbzHmnxbny

00

.)(][.][

Só tem zeros sempre sempre estáveisestáveis

Contêm zeros e pólos

M – ordem M – ordem do filtrodo filtro

N – ordem do filtroN – ordem do filtro

3

FIR vs IIR

FIR São sempre estáveis Permitem facilmente fase linear Podem necessitar de ordem elevada

IIR Menor peso computacional

4

Projecto de Filtros IIR

Conversão de Filtros Analógicos

•Aproveita os resultados dos sistemas analógicos

Transformação Bilínear

• Um mapa do plano-s para o plano-z

1

1

1

12

z

z

Ts

zesT

Mapa exacto seria (AD-DSP-DA):

)2/tan(2 T

Provoca uma transformação na frequência

)2/arctan(2 T

5

Transformação Bilínear

Transforma o semi-plano complexo esquerdo no circulo unitário!

Sistemas estáveis resultam em sistemas estáveis

Transformação na frequência:

Especificações devem ser ajustadas de forma a compensar a transformação

sT

sTz

)2/(1

)2/(1

1

1

1

12

z

z

Ts

6

Invariância ao Impulso

k

tsK

TL

k K

K tueAthss

AsH K ][)()(

1

k

nkK

TZ

k k

K nuzAnhzz

AzH ][

1)(

1

Tsk

kez

amostragem

7

Filtros Butterworth

São filtros que têm uma característica de amplitude maximamente plana na banda de passagem.

Têm a seguinte resposta em amplitude:

Nc

c jjjH

2

2

)/(1

1)(

A sua transformada de Laplace é constituída apenas por pólos nas posições:

N

kkss

sH

1

)/1(

1)(

)12)(2/( NkNjCk es

NCC jH 22

)//(1)(

8

Filtros Chebyshev

Permitem oscilações na banda de passagem de forma permitir a utilização de filtros de menor ordem relativamente ao Butterworth.

)/(1

1)(

22

2

cNc VjH

1)(0 xV xxV )(1

12)( 22 xxV

)()(2)( 11 xVxxVxV NNN NCN

C jH 2122)/(4/1)(

9

Filtros passa-banda

Projecto em tempo continuo Transformação passa-baixo passa banda Escolher o tal que,

Especificações ou mais apertadas

212

SSo

212

PPo

sB

sSBaixoPassaBandaPassa STsT 2

02)()(

12 PPB

2220 4

12

1PassLowPassLow

BB

BPassLow

20

2

12

PassLowP

11

PassLowP

12

12

1/2PP

SS

PassLowS

10

Filtros passa-banda

1P 2P2S

1P

1S

12

12

PP

SS

S

212

SSo 12 PPB

Deve-se escolher P1 e P2 de forma que:

212

PPo

Mas garantindo que P1< P1real e

P2> P2real

11

Projecto de Filtros FIR

deeHnh jjdd )(

2

1][

Método da Janela

Especificação de uma resposta ideal na frequência e determinação da resposta impulsiva correspondente:

)( jd eH

Multiplicação por janela:Pode ser infinita e não causal

truncagem

][][][ nwdnhnh d

cc ,0

0,1][

Mnnw

janela

Janela rectangular:

Atraso da janela

2/Md

12

Janela Rectangular

]2/sin[

]2/)1(sin[)( 2/

MeeW Mjj

13

Outras Janelas

cc ,0

0,1][

Mnnw

cc ,0

2/0,/22

2/0,/2][ MnMn

MnMnnw

RectangularBartlett (triangular)

cc ,0

0),/2cos(5.05.0][

MnMnnw

Hanning

Hamming

cc ,0

0),/2cos(46.054.0][

MnMnnw

Blackman

cc ,0

0),/4cos(08.0)/2cos(5.042.0][

MnMnMnnw

14

JanelasRectangular

(o riple ou a atenuação nunca baixam de 20dB

por maior que seja a ordem! Fenómeno de

Gibbs)

triangular

Hanning

Hamming

Blackman

15

Janelas

16

Janela de Hanning

)(.2

2

2

2)()(

]'[))/'2cos(5.05.0(]'[

][))/2cos(5.05.0(][

jR

j

R

R

eWMM

eW

nwMnnw

nwMnnw

)( jR eW

)( jeW

2/' Mnn

]2/sin[

]2/)1(sin[)(

M

eW jR

WR – Janela Rectangular

W – Janela Hanning

17

Janela Kaiser

cc ,0

0,)(

])]/)[(1([][

0

2/120 Mn

I

nInw

ps

10log20A

21,0.0

5021),21(07886.0)21(5842.0

50),7.8(1102.04.0

A

AAA

AA

285.2

8AM

Funções de Bessel

modificadas de ordem zero

É simples obter e M dadas as especificações

Permite trocar largura do lobo principal por amplitude do

lobo secundário

21

Ordem do filtro

(dB)

18

Projecto Equiriple de FIR

Janela rectangular minimiza

deHeH jjd

22 )()(

2

1

Outro critério é o do erro máximo)()(max jj

d eHeH

Parks-McClellan algorithm

324.2

13)log(10 21M

Filtros de oscilação constante (equiriple)

Resulta em filtros de menor ordem do que pelo método das janelas

19

Projecto Equiriple

Erro quadrático mínimo (janela rectangular) Óptimo sinais de banda larga, ex: ruído branco

Equiriple (erro máximo mínimo) Garante que qualquer sinal fora da banda é atenuado

pelo menos A dB Projecto para o pior caso, ie, sinais de banda estreita

junto à banda de transição