resposta em frequência - chasqueweb.ufrgs.brvalner.brusamarello/dsp/aula2.pdf · transformada de...
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Resposta em frequênciaNomenclatura H(ejω) – a resposta em frequência é útil na caracterização de um sistema LSI. Define de quanto a amplitude (complexa) de uma exponencial complexa é alterada ao ser filtrada pelo sistema. Exponenciais complexas são autofunções de sistemas LSI. Considerando a entrada:
Se pudermos decompor a entrada em uma soma de exponenciais complexas:
Resposta em frequênciaConsidere a entrada x[n]=cos(nωo) de um sistema invariante ao deslocamento com um valor real da resposta a amostra unitária h[n].
Decompondo a entrada em uma soma de exponenciais complexas:
Resposta em frequênciaA resposta em frequência é uma função de valor complexo de ω com periodicidade 2π .Esta é uma diferença da resposta de sinais contínuos no tempo, quenão é periódica. Isso ocorre porque uma exponencial de tempo discreto de frequênciaωo é a mesma que uma exponencial complexa de frequência 2π+ ωo .
Simetria:Se h[n] for real a resposta em frequência é uma função conjugadasimétrica da frequência:
A simetria conjugada de H(ejω) implica que a parte real é uma função par e a parte imaginária é impar:
Filtros Digitais“... Um processo computacional ou um algoritmo pelo qual um sinal amostrado é transformado em um sinal de saída...”Classificações:
FASE LINEAR:α É um número real e A(ejω) é uma função de valor real de ω. A
Fase de A(ejω) :
De modo geral:
Filtros DigitaisPASSA TUDO: Quando o módulo da resposta em frequênciafor constante:
Ex.:
α é qualquer número real com |α|<1. A resposta a amostra unitária fica:FILTROS SELETIVOS DE FREQUÊNCIA
Interconexão de sistemascascata
paralelo
Transformada de Fourier de Tempo discretoA resposta em frequência de um LSI é encontrada multiplicando h[n] por uma exponencial complexa e-jωn e somando em relação a n. Assim a TFTD é definida:
Para que exista, a TFTD deve convergir:
Uma sequência x[n] pode ser recuperada a partir da TFTD inversa:
A TFTD pode ser vista como uma decomposição de x[n] em uma combinação linear de todas as exponenciais complexas com frequências pertencentes ao intervalo -π<ω≤π
TabelaTransformada de Fourier de Tempo discreto
Observe que a origem está na TF de um sinal contínuo:Transformada de Fourier de Tempo discreto
Propriedades:Periodicidade: a TFTD é periódica em ω com período 2π. Assim, precisamos apenas de um período de X(ejω) ω∈[-π, π] para a análise de todo o domínio -∞<ω≤∞
Simetria: Utilizada para simplificar o cálculo da TFTD ou TFTD inversa.
Linearidade:Transformada de Fourier de Tempo discreto
Deslocamento:Modulação: Multiplicação do sinal por uma exponencial resulta em um deslocamento em frequência. Veja que a modulação de uma sequência por um coseno(ωo) resulta em um deslocamento para cima e para baixo de na freq. De espectro:
Inversão no tempo:Convolução:Teorema da multiplicação (convolução periódica):
Propriedades
Teorema de Parseval: O operador de TFTD conserva energia ao passar do domínio de tempo para frequência.
Transformada de Fourier de Tempo discreto
Aplicações: Equações de diferenças com coeficientes constantes:
Exemplo:Considere o LSI caracterizado pela equação de diferenças:
Aplicações: Como a convolução é uma multiplicaçào no domínio frequência, a TFDT é uma opção de realizar a convolução no tempo. Considere a resposta a amostra de um LSI e calcule a resposta do sistema a entrada onde |α|<1 |β|<1.
Exemplo:Resolvendo equação de diferenças: no exemplo seguinte, vamos supor condições iniciais iguais a zero. Para x[n]=δ[n], calculando a TFTD para cada termo:
Sabemos que a TFTD de x[n] é X(ejω) =1:
A TFTD inversa pode ser encontrada utilizando as propriedades de linearidade e deslocamento:
Sistemas inversosO inverso de um sistema com resposta a amostra unitária h[n] é um sistema cuja resposta g[n] a amostra unitária étal que:
Nem todos os sistemas são inversíveis, ou se existir a inversa, ela pode ser não causal. É o caso do filtro passa baixas ideal:
TRANSFORMADA DE FOURIER DE TEMPO DISCRETO
( ) ( ) [ ]
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( ) radianos. em medida e digital freqüência denominada , real
variávelda complexa e contínua função uma é onde
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IMPLEMENTAÇÃO DA TFTD NO MATLAB
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exp :escrever podemos
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:ediretament TFTD a rimplementa pode MATLAB :finita duração de )( b)
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…
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PROPRIEDADES DA TFTD
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ímpar) (simetria ImIm par) (simetria ReRe
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simétrica. conjugada é real,for )( Se :Simetria .2
.2 período com em periódica é TFTDA :adePeriodicid 1.
*
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PROPRIEDADES DA TFTD
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2121
**
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2121
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PROPRIEDADES DA TFTD
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20
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2121
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reais seqüências para
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REPRESENTAÇÃO DE SISTEMAS LIT NO DOMÍNIO DA FREQÜÊNCIA
[ ][ ] nj
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k
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:complexa lexponencia uma a LIT sistema um de Resposta
ωωω
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RESPOSTA EM FREQÜÊNCIA DE SISTEMAS LIT
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k
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:LIT sistema um de cia)Transferên de Função(ou Freqüência em Resposta
chamada é impulsiva resposta da TFTDA
000
RESPOSTA A SEQÜÊNCIAS SENOIDAIS
( ) ( )( )
( ) ( )( )∑
∑∠++=→
+=
∠++=→
+=
k
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nAnx
eHneHAny
nAnx
ωω
ωω
θω
θω
θω
θω
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cos)(
)cos()(00
00
00
RESPOSTA A SEQÜÊNCIAS ARBITRÁRIAS
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( ) ( ) ( ) ( ) ( )ωωωωω
ωωω
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jjjjj
jjj
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eXeHeYeHeX
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: teremosconvolução da epropriedad a usando então , e
somáveis,enteabsoltutamforeme Se)()(
)()(
RESPOSTA EM FREQÜÊNCIA A PARTIR DE EQUAÇÕES DE DIFERENÇAS
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∑
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IMPLEMENTAÇÃO DA RESPOSTA EM FREQÜÊNCIA NO MATLAB
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∑
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e
,...,0 , ,...,0, , , Seja
11
0
ω
ω
ω
ω
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