apostila controle - 17 - análise de estabilidade (critério de nyquist)

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Anlise de estabilidade

Princpio do argumento de Cauchy Critrio de Nyquist

Controle de Sistemas Mecnicos

Ganho de malha abertaLembrando que a FT de malha aberta definida N (s) malha aberta G ( s) = P( s) K ( s)= D( s )T ( s) =R(s)

Y (s) G ( s) N ( s) = = R( s) 1 + G ( s) D( s) + N ( s)E(s)K(s)

malha fechada

U(s)P(s)

Y(s)

-

Controle de Sistemas Mecnicos

Condio de estabilidade de T(s)Dado a FT de malha aberta e fechada N (s) N ( s) T ( s) = G(s) = D( s) + N ( s) D( s ) A equao caracterstica da malha fechada :N ( s) D( s) + N ( s) = =0 D( s) D( s)

1 + G(s) = 0Deve-se notar que:

1 + G (s) = 1 +

Um zero de 1+G(s) um plo de malha fechada T(s) Um plo de 1+G(s) tambm plo de G(s) (malha aberta)

Portanto para condio de estabilidade deseja-se que o nmero de zeros da funo F(s)=1+G(s) no SPD seja nulo

Controle de Sistemas Mecnicos

Princpio do argumento de CauchyTeorema: N (s) F (s) = F = 1+ G(s) seja F(s) a razo de dois polinmios em s DF (s) p: nmero de plos de F(s) dentro de um contorno fechado z: nmero de zeros de F(s) dentro de um contorno fechado n: nmero de envolvimentos da origem no mapeamento medida que o contorno percorrido no sentido horrio

n= z p

Prova: C. R. Wylie Jr., Advanced Engineering Mathematics, McGraw Hill, 1951.Controle de Sistemas Mecnicos

Contorno Fechado no plano SSeja o vetor s um vetor que percorre um contorno fechado qualquer em um sentido definidoIm

Im

Im

Re

Re

Re

Controle de Sistemas Mecnicos

Mapeamento de uma funo (zero)Funo mapeamento: F1 ( s ) = s s0 ( s0 complexo)

Seja o vetor s um vetor que percorre um caminho fechado, por exemplo um crculo em torno de s0 sentido horrioIm

Plano

Im

Plano

F1 ( s ) = s s01

Re

Im F1 ( s) = tan ( ) Re Re F1 ( s ) = s s0 = 0

A funo F(s) tambm percorrer um crculo fechado em torno de 0, sentido horrio, indicando que possui um zero em s0Controle de Sistemas Mecnicos

Mapeamento de uma funo (duplo zero)SejaIm Re

F2 ( s ) = ( s s0 )( s s1 )Im

Re

=> Quando s percorre a curva C: ngulo da s s0 variam ngulo dos s s1 => em -3600 => funo F2(s) 0 vetores varia em -720 amplitude dos vetores limitada (contorno fechado) dois zeros => dois envolvimentos do ponto zeroControle de Sistemas Mecnicos

Mapeamento de uma funo (plo)

Seja

1 1 F3 ( s ) = = F1 ( s ) => s s0

amplitude inversa ngulo opostoIm

continua sendo um crculo, => mas com sentido inverso um plo => um envolvimento do ponto zero dois plos => dois envolvimentos do ponto zero

Re

Controle de Sistemas Mecnicos

Caminho de Nyquist

R(s)

E(s)K(s)

U(s)P(s)

Y(s)

L(s)=P(s)K(s)

T ( s) =

G(s) 1 + G( s)

Im

Im

1 + G( s)

Seja F(s)=1+G(s), a funo caracterstica em malha fechada

1 + G(s)

s = j

Re

Re

(contorno fechado)

Controle de Sistemas Mecnicos

Caminho de Nyquist deslocadoSe ao invs de representar 1+G(s), representar-se G(s), ocorrer um deslocamento unitrio para esquerda (origem em -1+0j)Im

Im

1 + G( s)

Im

Im

G (s)

1 + G(s)Re Re

G (s )Re Re

Controle de Sistemas Mecnicos

Critrio de NyquistUm sistema de malha fechada estvel se e s se o nmero de voltas no sentido anti-horrio do diagrama de Nyquist do ganho de malha aberta G(s)=P(s)K(s) em torno do ponto 1+j0 for igual ao nmero de plos instveis de G(s).R(s) E(s)K(s)

U(s)P(s)

Y(s)

R(s)

U(s)P(s)

Y(s)

G ( s) = P( s) K ( s) L(s)=P(s)K(s)

L(s)=K(s)P(s) G(s) = P(s)K(s)K(s)

Controle de Sistemas Mecnicos

Lembrando do Princpio do Argumento de CauchyDefinindo como z: o nmero de zeros no SPD de 1+G(s) p: o nmero de plos no SPD de 1+G(s) n: o nmero de envolvimentos do ponto 0 onde: n>0 Envolvimento sentido horrio n sistema estvel

Controle de Sistemas Mecnicos

ExerccioAnalisar a estabilidade de acordo com o critrio de Nyquist do sistema ondeK ( s ) = 0,8 P( s) = 2 ( s + 1)( s + 2)( s 0,5)U(s)K(s) P(s)

R(s)

E(s)

Y(s)

-

Controle de Sistemas Mecnicos

ExerccioAnalisar a estabilidade de acordo com o critrio de Nyquist do sistema ondeK ( s ) = 20 P( s) = 10 ( s + 1)( s + 2)( s + 5)Y(s)P(s)

R(s)

E(s)K(s)

U(s)

-

Controle de Sistemas Mecnicos

ExerccioAnalisar a estabilidade de acordo com o critrio de Nyquist do sistema ondeK ( s ) = 20 P( s) = 1 ( s + 1)( s + 2)( s 0,5)Y(s)P(s)

R(s)

E(s)K(s)

U(s)

-

Controle de Sistemas Mecnicos

ExerccioAnalisar a estabilidade de acordo com o critrio de Nyquist do sistema ondeK ( s ) = 2000

P( s) =

2 s 6 + s 5 + 1,75s 4 + 8,5s 3-0,625s 2-3,125s + 4,25U(s)K(s) P(s)

R(s)

E(s)

Y(s)

-

Controle de Sistemas Mecnicos

Diagrama Nyquist

2i 2iImaginary Axis

N yquist D iagram 500 400 300 2002 Ima gina ry Axis 5 4 3

N yquist D iagram

Plos de G(s) 0.5+2i 0.5-2i 0.5+0.5i 0.5-0.5i -1 -2

100 0 -100 -200 -300 -400 -500 -200

1 0 -1 -2 -3 -4

.5i 5i

0

200

400 R A eal xis

600

800

1000

-12

-10

-8

-6 R A eal xis

-4

-2

0

2

Controle de Sistemas Mecnicos

RefernciaCritrio de Estabilidade de Nyquist Ogata pg 427-443

Controle de Sistemas Mecnicos