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Introdução Critério de Estabilidade de Nyquist Análise da estabilidade Relativa Margem de Fase e Margem de Ganho Aula 15 Carlos Amaral Fonte: Cristiano Quevedo Andrea UTFPR - Universidade Tecnológica Federal do Paraná DAELT - Departamento Acadêmico de Eletrotécnica Curitiba, Maio de 2012. Cristiano, Curitiba Sistema de Controle

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IntroduçãoCritério de Estabilidade de Nyquist

Análise da estabilidade RelativaMargem de Fase e Margem de Ganho

Aula 15

Carlos AmaralFonte: Cristiano Quevedo Andrea

UTFPR - Universidade Tecnológica Federal do ParanáDAELT - Departamento Acadêmico de Eletrotécnica

Curitiba, Maio de 2012.

Cristiano, Curitiba Sistema de Controle

IntroduçãoCritério de Estabilidade de Nyquist

Análise da estabilidade RelativaMargem de Fase e Margem de Ganho

Resumo

1

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4

Introdução

Critério de Estabilidade de Nyquist

Análise da estabilidade Relativa

Margem de Fase e Margem de Ganho

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IntroduçãoCritério de Estabilidade de Nyquist

Análise da estabilidade RelativaMargem de Fase e Margem de Ganho

Estabilidade Relativa

Em um sistema de controle exige-se que o sistema seja estável, e adicionalmente o sistema de controle em malha fechada deve possui uma adequada estabilidade relativa.

Neste contexto, geralmente é um problema determinar todos os pólos de malha fechada e ainda aquelas mais próximos do eixo jω (os pólos dominantes).

Ainda, pode-se determinar o diagrama de Nyquist do sistema de forma experimental, objetivando-se analisar a estabilidade em malha fechada.

A análise de estabilidade descrita nesta aula abordarásistemas com realimentação unitária.

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Análise da estabilidade RelativaMargem de Fase e Margem de Ganho

considere o seguinte sistema em malha fechada:

C(s) R(s) =

G(s) (1)

1+G(s)H(s)

Para a estabilidade todas as raízes do polinômio característico,

1+G(s)H(s) = 0 (2)

devem ter parte real negativa.

A estabilidade de Nyquist relaciona a resposta em frequência a malha aberta G(jω)H(jω) ao número de zeros e pólos de 1 + G(s)H(s) que estão no semiplano direito do semiplano s.

Este critério é muito útil em engenharia de controle, pois podemos analisar a estabilidade absoluta de sistemas de controle apenas analisando a resposta em frequência do sistema de malha aberta. E neste caso, não é necessário calcular os pólos de malha fechada.

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ESTUDO PRELIMINAR

Considere a equação característica do sistema descrito anteriormente,

F (s) = 1 + G(s)H(s) = 0 (3)

queremos mostrar que um dado percurso fechado e contínuo no plano s que não passe em quaisquer ponto de singularidade corresponde a uma curva fechada no plano F (s). Considere o seguinte sistema em malha aberta:

G(s)H(s) = 6

(s + 1)(s + 2) (4)

assim a equação característica pode ser escrita como:F (s) = (s + 1, 5 + j2, 4)(s + 1, 5 − j2, 4)

(s + 1)(s + 2)

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= 0 (5)

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A função F (s) é analítica em todos os pontos do plano s, exceto nos pontos de singularidade. Neste contexto, cada ponto do plano s émapeado no plano F (s).

Considere s = 1 + j2, então F (s) torna-se:

F (s) = 1, 115 − j0, 577 (6)

Portanto, um dado percurso fechado contínuo no plano s, que não passe por pontos de singularidades, corresponderá a uma curva fechada no plano F (s). Exemplos de Mapeamento de percursos fechado no plano s em F (s).

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Na Figura (c) ilustrado anteriormente podemos verificar a seguinte característica: quando o contorno no plano s envolve dois pólos de F (s), o lugar geométrico de F (s) envolve a origem do plano F (s) duas vezes no sentido anti-horário.

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Entretanto se for envolvido dois pólos e dois zeros, conforme ilustrado na Figura (b), o contorno em F (s) não engloba a origem no plano F (s).

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Se o contorno no plano s envolver apenas um zero, no plano F (s) a origem é envolvida uma vez no sentido horário, vide Figura (e).

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Análise da estabilidade Relativa

Por fim, se o contorno no plano s não envolver pólos e zeros então o contorno no plano F (s) não envolve a origem.

O número N de envolvimentos na origem do plano F (s) no sentido horário corresponde ao número Z − P.

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Análise da estabilidade Relativa

http://www.youtube.com/watch?v=gUjGvQbESps&feature=related .

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No processo de análise de estabilidade consideraremos todos os contornos no semiplano s direito, conforme a figura abaixo:

Este contorno é denominado percurso de Nyquist (sentido horário). O percurso de Nyquist envolve todo o semiplano se todos os pólos e zeros de 1 + G(s)H(s) que possuam parte real positiva.

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Se não houver zeros no semiplano s direito, então látambém não haverá pólos a malha fechada, e o sistema éestável.

Portanto, se o contorno envolver o semiplano s direito, então o número de zeros da função F (s) = 1 + G(s)H(s) no semiplano direito é igual ao número de pólos da função F (s) no semiplano direito do plano s mais o número de envolvimentos na origem de 1 + G(s)H(s) no sentido horário para a curva fechada.

Vamos considerar a seguinte condição,

lim [1 + G(s)H(s)] = constante (7)s→∞

assim, não existe zero quando s → ∞.

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A relação de mapeamento entre 1 + G(s)H(s) e G(s)H(s) é ilustrado na figura abaixo:

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CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE NYQUIST

O critério de estabilidade de Nyquist (para sistema sem pólos ou zeros no eixo jω) afirma que se a função de transferência G(s)H(s) possuir k pólos no semiplano direito do plano s e

lim G(s)H(s) = constante (8)s→0

então, para se ter estabilidade, o lugar G(jω)H(jω), a medida que ω varia de −∞ a ∞ deve envolver o ponto −1 + j0 k vezes no sentido anti-horário.

Este critério pode ser expresso como:

Z = N − P (9)

sendo, - Z: o número de zeros de 1 + G(s)H(s) no semiplano direito do plano s - N: o número de envolvimentos do ponto −1 + j0 no sentido horário

- P: o número de zeros de G(s)H(s) no semiplano direito do plano s

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Se P for diferente de zero, para um sistema de controle estável, deve-se ter Z = 0 e N = −P, o que significa que deve-se ter P envolvimentos em −1 + j0 no sentido horário.

Se P for igual a zero, temos Z=N. Neste caso não pode existir nenhuma envolvimento em torno de −1 + j0.

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No caso de pólo e/ou zeros no eixo jω utiliza-se o seguinte contorno no plano s.

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N. de polósinstavés da malha fechda

N. de contornos em -1 (horário)

N. de polósinstavés da malha ABERTA

Exemplo 1 http://www.youtube.com/watch?v=gUjGvQbESps&feature=related .

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No caso de pólo e/ou zeros no eixo jω utiliza-se o seguinte contorno no plano s.

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N. de polósinstavés da malha fechda

N. de contornos em -1 (horário)

N. de polósinstavés da malha ABERTA

Tenho 1 Pólo Instável na malha fechada!

Exemplo 2 http://www.youtube.com/watch?v=gUjGvQbESps&feature=related .

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N. de polósinstavés da malha fechda

N. de contornos em -1 (horário)

N. de polósinstavés da malha ABERTA

http://www.youtube.com/watch?v=gUjGvQbESps&feature=related . Exemplo 3

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Aumentando o ganho... http://www.youtube.com/watch?v=gUjGvQbESps&feature=related .

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ANÁLISE DE ESTABILIDADE

Se o percurso de Nyquist no plano s envolver Z zeros e P pólos de 1+G(s)H(s) e não passar por nenhum pólo ou zero e 1+G(s)H(s) no sentido horário, então o contorno correspondente no plano G(s)H(s) envolve o ponto −1 + j0 N = Z − P vezes no sentido horário.

Valores negativos de N implica no sentido anti-horário.

Geralmente ocorre 3 possibilidades:

Não há envolvimento do ponto −1 + j0. Isto implica que o sistema é estável se não houver pólos de G(s)H(s) no semiplano direito do plano s, caso contrário o sistema éinstável. Há um ou mais envolvimento do ponto −1 + j0 no sentido anti-horário. Neste caso, o sistema é estável se N for igual ao número de pólos de G(s)H(s) no semiplano direito do plano s, caso contrário o sistema é instável. Há um ou mais envolvimento no sentido horário em −1 + j0, neste caso o sistema é instável.

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Considere o mapeamento de Nyquist para s = σ + jω em G(s). Neste contexto é ilustrado o mapeamento para σconstante e para ω constante. Assim, temos:

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A maneira da aproximação de G(jω) do ponto −1 + j0 éuma indicação da estabilidade relativa de um sistema estável. Em geral, pode-se esperar que quanto mais próximo o lugar geométrico estiver de G(jω) estiver de −1 + j0, maior será o overshoot e o tempo de estabelecimento para uma entrada do tipo degrau.

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Considere a figura seguinte com a ilustração do diagrama polar de G(jω) para três valores de ganho.

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Para o sistema anterior para grandes valores de K o sistema é instável, e para o valor intermediário de K o sistema é oscilante e posteriormente para pequenos valores de K o sistema é estável.

Em geral quanto mais próximos o lugar geométrico de G(jω) estiver de −1 + j0 mais oscilatório será a resposta. Deste modo podemos utilizar esta característica para medir a margem de estabilidade.

Constitui uma prática comum representar esta proximidade em termos de margem de fase e margem de ganho.

Margem de Fase

A margem de fase é o atraso de fase adicional na frequência de cruzamento do ganho, necessário para levar o sistema ao limiar de instabilidade.

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Característica da Margem de Fase

A frequência de cruzamento ocorre quando o |G(jω)| éunitário. A margem de fase é 180◦ mais o ângulo de fase φda função de G(jω), assim,

γ =180+φ (10)

Margem de Ganho

A margem de ganho é recíproca de |G(jω)| na frequência onde o ângulo de fase é −180◦. Considere a frequência de corte igual a ω1 no qual o ângulo de fase é −180◦ resulta em uma margem de ganho igual a:

Kg = 1

|G(jω1)| (11)

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A margem de fase e de ganho constituem uma medida da proximidadedo gráfico polar ao ponto −1 + j0. Portanto estas margens podem ser utilizadas com o critério de desempenho.

A margem de fase e de ganho não fornecem informação de desempenho se forem analisadas separadamente.

Para que um sistema de fase mínima seja estável, tanto margem de fase quando margem de ganho deve ser positivas. Neste contexto margem negativa indicam instabilidade.

Margem de fase e margem de ganho apropriado previnem contra variações de componentes no sistema e são especificados para valores definidos de frequência. Os dois fatores limitam o comportamento de malha fechada próximo a frequência de ressonância.

Para desempenho satisfatório, a margem de fase deve estar entre 30◦e 60◦, e a margem de ganho deve ser maior que 6 dB.

Com estes valores, o sistema de fase mínima tem estabilidade garantida.

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Exercício

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Exercício

>> s = tf('s');

>> gs = 1/(s+2)

Transfer function:

1

-----

s + 2

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Exercício >> hs = 1/((s+4)*(s+6))

Transfer function:

1

---------------

s^2 + 10 s + 24

>> gs*hs

Transfer function:

1

------------------------

s^3 + 12 s^2 + 44 s + 48

>> nyquist(gs*hs)

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Exercício

Zoom proximo ao eixo real em -1

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Exercício

O sistema sera estavel enquanto o nyquist não crusar o ponto “-1”, logo…

-1 <= k * 2.10-3 portanto:

k <= 500

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Exercício 2

Utilize o critério de Nyquist para verificar a faixa do ganho K que forneça a estabilidade.Resp:

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Exercíciohttp://www.youtube.com/watch?v=vzVU7TUY-EM&feature=relmfu

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Exercício (Petrobras 2012)

Resposta

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Exercício (Petrobras 2012)