apostila controle - 15 - desempenho de sistemas (domínio da frequência) - nyquist e nichols
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Controle de Sistemas Mecânicos
Desempenho no domínio da freqüênciaDesempenho no domínio da freqüência
Representação de FRF • Diagrama Linear
• Diagramas de Bode
• Diagrama de Nyquist • Diagrama de Nichols
Desempenho em Freqüência
Parâmetros de Desempenho em Freqüência
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Controle de Sistemas Mecânicos
Diagrama deDiagrama de Nyquist Nyquist
Re
Im 0>ω
0<ω
Elimina-se a freqüência nos diagramas de Bode
Diagrama polar do módulo de P(j ω ) pelo ângulo de fasede P(j ω ) em coordenadas polares quando ω varia ( por exemplo de 0 a ∞ )
0>ω
0<ω
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Controle de Sistemas Mecânicos
Diagrama deDiagrama de Nyquist Nyquist
O gráfico polar é conhecido como diagrama de Nyquist, e seu uso principal é para a avaliação da estabilidade (critério de Nyquist)
w=logspace(-1,1,200);
w2=linspace(0,2*pi,200);
ejw=exp((j*w2));
r2=real(ejw);
i2=imag(ejw);
[r1,i1]=nyquist(sys,w);
re(:,:)=r1(1,:,:);
im(:,:)=i1(1,:,:);
figure(2)
plot(r2,i2,re,im,’r*’), grid
title( 'Diagrama de Nyquist');
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Controle de Sistemas Mecânicos
Alternativamente Alternativamente
Diagrama vetorial de Nyquist
para freqüências{0 1 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 3 4}
w3=[0 1 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 3 4];
[r3,i3]=nyquist(sys,w3); nyq2=r3+j*i3;
figure(3), compass(nyq2)
0.5
1
1.5
2
2.5
30
210
60
240
90
270
120
300
150
330
180 0
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Controle de Sistemas Mecânicos
Diagrama deDiagrama de Nyquist Nyquist SPOSPO
Para o SPO
O Modulo e Fase podem ser escritas
1
1)( += s s P τ
221
1)(
τ ω ω
+= j P )(1 ωτ φ −−= tg
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Controle de Sistemas Mecânicos
Diagrama deDiagrama de Nyquist Nyquist resultanteresultante
0)( =∞⇒+∞→ P ω
Im
a
b
c
450
1/2 1
Pode-se calcular alguns pontos do diagrama
1)0(0 =⇒= P ω 0)0(1 =−= −tg φ
2
1
11
1)
1(
1=
+
=⇒=
τ τ
ω P 01 45)1( −=−= −tg φ
a) e
b) e
c) e 01 90)( −=∞−= −tg φ
Re
é um círculo de raio ½
e centro (½,0)
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Controle de Sistemas Mecânicos
Diagrama deDiagrama de Nyquist Nyquist S S S S OO
Para o SSO
Ou ainda na forma
)()(2
)(22
2
0 ω ω ω ζω ω ω
ω ω Φ⊥=
+−= M
j
K j P
nn
n
ω j s =
22
2
0
2)(
nn
n
s s
K s P
ω ζω
ω
++=
)()(
21
)(
2
2
0 ω ω
ω ω ζ
ω ω
ω Φ⊥=
+−
= M
j
K j P
nn
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Controle de Sistemas Mecânicos
Diagrama deDiagrama de Nyquist Nyquist S S S S OO
Para o SSO
Pode-se calcular alguns pontos do diagrama
a)0
00
0)(lim0 ∠=⇒→→
K j P ω ω ω
b) j
K j P nn
ζ ω ω ω
2)( 0=⇒=
c) 01800)(lim −∠=⇒+∞→∞→
ω ω ω
j P
)()(21
)(
2
2 0 ω ω
ω
ω ζ
ω
ω ω Φ⊥=+−
= M j
K j P
nn
ω j s =
22
2
0
2)(
nn
n
s s
K s P
ω ζω
ω
++=
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Controle de Sistemas Mecânicos
Diagrama deDiagrama de Nyquist Nyquist resultanteresultante
Obtem-se
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Controle de Sistemas Mecânicos
Conclusões do Diagrama deConclusões do Diagrama de Nyquist Nyquist
Para ω = ωn, permite determinar o valor do fator
de amortecimento A situação de ressonância corresponde ao
ponto onde ocorre o Maximo valor de |P(j ω )|,ou seja máxima amplitude, e é o ponto cujadistancia ate a origem é máxima no diagramade Nyquist.
Para ζ >> 1, o diagrama aproxima-se de uma
circunferência pois o sistema tende a umsistema de primeira ordem, e uma das raízesreais predomina sobre a outra.
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ExercícioExercício
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-3
-2
-1
0
1
2
3
Sys tem: P
Real: 1.86e-007
Imag: -2.5
Frequency (rad/sec ): 1
Sys tem: P
Real: 1
Imag: 0
Frequency (rad/s ec ): 2e-014
Nyquis t Diagra m
Real Axis
I m a g i n a r y A x
i s
Determinar o fator de amortecimentodo diagrama ao
lado obtidoexperimentalmente
de um sistema.Descreva como
você determinaria afreqüência deressonância
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Controle de Sistemas Mecânicos
Solução: Solução:
Do gráfico temos que para ω = ωn
A freqüência de ressonância pode ser determinada pela freqüência que originou omáximo valor em módulo de |P(j ω )|.
2.05
1
)(2
0
=== ω ζ j P
K j
K j P nn
ζ ω ω ω
2)( 0=⇒=
5.2)( =ω j P
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ExercícioExercício
Determinar o diagrama de Nyquist para a
planta abaixo
Dica: calcular para ω
)1(
1)(
+
=
s s
s P
τ
0→
+∞→ω
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Solução: Solução:
τ −
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SoluçãoSolução
ω ω τ ω τ
τ ω
)1(
1
)1()(
2222 +−
+
−= j j P
Calcula-se a FT pra s=j ω
)1(
)(
)(
1)(
22 +
−−=
+−=
ω τ ω
ω τ
ω τ ω ω
j
j j P
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Visualização do DiagramaVisualização do Diagrama dede Nyquist Nyquist
ω ω τ ω τ
τ ω )1(
1
)1()(
2222 +−
+
−= j j P
0
090)(lim0 −∞∠=⇒→
→ω ω
ω j P
01800)(lim −∠=⇒+∞→∞→
ω ω ω
j P
∞−−= j j P τ )0(
00)( j j P −=∞
τ −
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Controle de Sistemas Mecânicos
Diagrama deDiagrama de NicholsNichols
Gráfico retangular, eliminando-se a freqüência a partir dodiagrama de Bode e mantendo-se as unidadesrespectivas
w=logspace(-1,1,200);
[mod fas]=bode(sys,w);
modb(:,:)=20*log10(mod(1,:,:));
fase(:,:)=fas(1,:,:);
plot(fase,modb)
hold on
nichols(sys,w,'* ')
hold off
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Controle de Sistemas Mecânicos
Desempenho em freqüênciaDesempenho em freqüência
Deseja-se atingir um desempenho que deve
ser especificado tecnicamente em termos daresposta ao sinal padronizado de entradaharmônica
A análise do desempenho no domínio dafreqüência consiste basicamente na análise dediagramas de respostas de amplitude e de fase
que representam o comportamento do sistemana resposta a excitações harmônicas
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Controle de Sistemas Mecânicos
Ferramentas de análise no DF Ferramentas de análise no DF
Há vários tipos de diagramas que podem ser
usados para expor as diversas característicasdessas respostas
• Diagramas de Bode (principal ferramenta)• Diagramas de Nyquist
• Diagramas de Nichols
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Controle de Sistemas Mecânicos
Observações imediatasObservações imediatas
O ganho estático ( ω=0)é unitário (0 dB)
A resposta para
é nula
A curva da amplitude
passa por um pico A fase inicia em zero, e
tende a –180 graus,com a transição
principal em ωn
10-1
100
101
-30
-20
-10
0
10
Diagramas de Bode
A m p l i t u d e ( d B )
10-1
100
101
-200
-150
-100
-50
0
Freqüência angular (rad/s)
F a s e ( g r a u )
∞→ω
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Controle de Sistemas Mecânicos
Diagramas de BodeDiagramas de Bode
Domínio da freqüência Gráficos log-log Módulo em decibel Fase em graus w=logspace(-1,1,200);
[mod fas]=bode(sys,w);
modb(:,:)=20*log10(mod(1,:,:)); fase(:,:)=fas(1,:,:);
subplot(211)
semilogx(w,modb), grid
title( 'Diagramas de Bode');
ylabel( 'Amplitude (dB)') subplot(212)
semilogx(w,fase), grid
ylabel( 'Fase (grau)')
xlabel( 'Freqüência angular (rad/s)')
10-1
100
101
-30
-20
-10
0
10
Diagramas de Bode
A m p l i t u d e ( d B )
10-1
100
101
-200
-150
-100
-50
0
Freqüência angular (rad/s)
F a s e ( g r a u )
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Parâmetros de desempenho em FreqüênciaParâmetros de desempenho em Freqüência
Os seguintes parâmetros podem ser
especificados no domínio da freqüência• Pico da ressonância (Sobressinal)
• Freqüência de ressonância (tempo de subida)
•
Banda de passagem (tempo de subida)• Taxa de queda
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Controle de Sistemas Mecânicos
Pico de ressonânciaPico de ressonância
0,707 p/12
12
≤ζζ−ζ
= pM
Pode-se chegar à seguinterelação, derivando-se a
expressão da amplitude eigualando-a a zero.
Pico da ressonância
•Corresponde ao valor máximo do diagrama da amplitudedo sistema de segunda ordem•Está ligado ao fator de amortecimento, e portanto aosobressinal.
p
p
p
p
M
1-M*0.5-
M
1+M*0.5=ζ
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Freqüência de ressonânciaFreqüência de ressonância
Freqüência de ressonância•É a freqüência que leva o diagrama da amplitude ao seuvalor máximo do sistema de segunda ordem•Está relacionada com a freqüência natural e com o fator de amortecimento.
•Está ligada portanto aotempo de subida
Pode-se chegar à seguinte
relação entre eles
0,707 p/21 2 ≤ζζ−=ω
ω
n
r
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Banda de passagemBanda de passagem
3 dB
BW
Banda de passagem•É a freqüência em que a amplitude cai de 3dB em relaçãoao ganho estático (isto corresponde a 70,7% do ganhoestático em escala linear, ou 1/ √2)
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Controle de Sistemas Mecânicos
Relação da Banda de passagemRelação da Banda de passagem
Banda de passagem•Está relacionada com a freqüência natural e com o fator de amortecimento.•Está ligada portanto ao
tempo de subida
Pode-se chegar à seguinterelação entre eles
24421 242 +−+−= ζ ζ ζ ω ω nb
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Controle de Sistemas Mecânicos
Efeitos de pólos e zeros na BP Efeitos de pólos e zeros na BP
Pode-se genericamente afirmar que
• Acrescentando-se um pólo a banda de passagemdiminui, e portanto diminui a velocidade de resposta
•
Acrescentando-se um zero, a banda de passagemaumenta, portanto acelerando a resposta do sistema
• Ressalte-se porém que tais efeitos não sãoverificados necessariamente em todos os casos,
dependendo do valor dos pólos e zeros
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Controle de Sistemas Mecânicos
Taxa de quedaTaxa de queda
Taxa de queda
•a taxa com que a curva cai após passar pela ressonância(“roll-off”)
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Controle de Sistemas Mecânicos
ExercícioExercício
25
1)( s
s P =
Obter para o sistema abaixo um controlador
PD que garanta a banda de passagem de100Hz, um pico de ressonância máximo de10dB em relação ao ganho estático.