apostila controle - 15 - desempenho de sistemas (domínio da frequência) - nyquist e nichols

29
Controle de Sistemas Mecânicos Desempenho no domínio da freqüência Desempenho no domínio da freqüência Representaçã o de FRF Diagrama Linear Diagramas de Bode Diagrama de Nyquist Diagrama de Nichols Desempenho em Freqüência Parâmetros de Desempenho em Freqüência

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Controle de Sistemas Mecânicos

Desempenho no domínio da freqüênciaDesempenho no domínio da freqüência

Representação de FRF • Diagrama Linear 

• Diagramas de Bode

• Diagrama de Nyquist • Diagrama de Nichols

Desempenho em Freqüência

Parâmetros de Desempenho em Freqüência

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Controle de Sistemas Mecânicos

Diagrama deDiagrama de Nyquist Nyquist 

Re

Im 0>ω 

0<ω 

Elimina-se a freqüência nos diagramas de Bode

Diagrama polar do módulo de P(j ω ) pelo ângulo de fasede P(j ω ) em coordenadas polares quando ω varia ( por exemplo de 0 a ∞ )

0>ω 

0<ω 

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Controle de Sistemas Mecânicos

Diagrama deDiagrama de Nyquist Nyquist 

O gráfico polar é conhecido como diagrama de Nyquist, e seu uso principal é para a avaliação da estabilidade (critério de Nyquist)

w=logspace(-1,1,200);

w2=linspace(0,2*pi,200);

ejw=exp((j*w2));

r2=real(ejw);

i2=imag(ejw);

[r1,i1]=nyquist(sys,w);

re(:,:)=r1(1,:,:);

im(:,:)=i1(1,:,:);

figure(2)

plot(r2,i2,re,im,’r*’), grid 

title( 'Diagrama de Nyquist');

  

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Controle de Sistemas Mecânicos

 Alternativamente Alternativamente

Diagrama vetorial de Nyquist 

 para freqüências{0 1 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 3 4}

w3=[0 1 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 3 4];

[r3,i3]=nyquist(sys,w3); nyq2=r3+j*i3;

figure(3), compass(nyq2)

0.5

1

1.5

2

2.5

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

 

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Controle de Sistemas Mecânicos

Diagrama deDiagrama de Nyquist Nyquist SPOSPO

Para o SPO 

O Modulo e Fase podem ser escritas

1

1)( +=  s s P  τ 

221

1)(

τ ω ω 

+= j P  )(1 ωτ φ  −−= tg 

 

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Controle de Sistemas Mecânicos

Diagrama deDiagrama de Nyquist Nyquist resultanteresultante

0)( =∞⇒+∞→ P ω 

Im

a

 b

c

450

1/2 1

Pode-se calcular alguns pontos do diagrama

1)0(0 =⇒= P ω  0)0(1 =−= −tg φ 

2

1

11

1)

1(

1=

+

=⇒=

τ τ 

ω  P  01 45)1( −=−= −tg φ 

a) e

 b) e

c) e 01 90)( −=∞−= −tg φ 

Re

é um círculo de raio ½

e centro (½,0)

 

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Controle de Sistemas Mecânicos

Diagrama deDiagrama de Nyquist Nyquist S S S S OO

Para o SSO 

Ou ainda na forma

)()(2

)(22

2

0 ω ω ω ζω ω ω 

ω ω  Φ⊥=

+−= M 

 j

 K  j P 

nn

n

ω  j s =

22

2

0

2)(

nn

n

 s s

 K  s P 

ω ζω 

ω 

++=

)()(

21

)(

2

2

0 ω ω 

ω ω ζ 

ω ω 

ω  Φ⊥=

+−

= M 

 j

 K  j P 

nn

 

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Controle de Sistemas Mecânicos

Diagrama deDiagrama de Nyquist Nyquist S S S S OO

Para o SSO 

Pode-se calcular alguns pontos do diagrama

a)0

00

0)(lim0 ∠=⇒→→

 K  j P  ω ω ω 

 b)  j

 K  j P  nn

ζ ω ω ω 

2)( 0=⇒=

c) 01800)(lim −∠=⇒+∞→∞→

ω ω ω 

 j P 

)()(21

)(

2

2 0 ω ω 

ω 

ω ζ 

ω 

ω ω  Φ⊥=+−

= M  j

 K  j P 

nn

ω  j s =

22

2

0

2)(

nn

n

 s s

 K  s P 

ω ζω 

ω 

++=

 

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Controle de Sistemas Mecânicos

Diagrama deDiagrama de Nyquist Nyquist resultanteresultante

Obtem-se

 

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Controle de Sistemas Mecânicos

Conclusões do Diagrama deConclusões do Diagrama de Nyquist Nyquist 

Para ω = ωn, permite determinar o valor do fator 

de amortecimento  A situação de ressonância corresponde ao

 ponto onde ocorre o Maximo valor de |P(j ω )|,ou seja máxima amplitude, e é o ponto cujadistancia ate a origem é máxima no diagramade Nyquist.

Para ζ >> 1, o diagrama aproxima-se de uma

circunferência pois o sistema tende a umsistema de primeira ordem, e uma das raízesreais predomina sobre a outra.

 

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Controle de Sistemas Mecânicos

ExercícioExercício

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-3

-2

-1

0

1

2

3

Sys tem: P

Real: 1.86e-007

Imag: -2.5

Frequency (rad/sec ): 1

Sys tem: P

Real: 1

Imag: 0

Frequency (rad/s ec ): 2e-014

 Nyquis t Diagra m

Real Axis

   I  m  a  g   i  n  a  r  y   A  x

   i  s

Determinar o fator de amortecimentodo diagrama ao

lado obtidoexperimentalmente

de um sistema.Descreva como

você determinaria afreqüência deressonância

 

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Controle de Sistemas Mecânicos

Solução: Solução: 

Do gráfico temos que para ω = ωn

 A freqüência de ressonância pode ser determinada pela freqüência que originou omáximo valor em módulo de |P(j ω )|.

2.05

1

)(2

0

=== ω ζ   j P 

 K  j

 K  j P  nn

ζ ω ω ω 

2)( 0=⇒=

5.2)( =ω  j P 

 

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Controle de Sistemas Mecânicos

ExercícioExercício

Determinar o diagrama de Nyquist para a

 planta abaixo

Dica: calcular para ω 

)1(

1)(

+

=

 s s

 s P 

τ 

0→

+∞→ω 

 

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Controle de Sistemas Mecânicos

Solução: Solução: 

τ −

 

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Controle de Sistemas Mecânicos

SoluçãoSolução

ω ω τ ω τ 

τ ω 

)1(

1

)1()(

2222 +−

+

−= j j P 

Calcula-se a FT pra s=j ω

)1(

)(

)(

1)(

22 +

−−=

+−=

ω τ ω 

ω τ 

ω τ ω ω 

j

 j j P 

 

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Controle de Sistemas Mecânicos

Visualização do DiagramaVisualização do Diagrama dede Nyquist Nyquist 

ω ω τ ω τ 

τ ω )1(

1

)1()(

2222 +−

+

−= j j P 

0

090)(lim0 −∞∠=⇒→

→ω ω 

ω  j P 

01800)(lim −∠=⇒+∞→∞→

ω ω ω 

 j P 

∞−−= j j P  τ )0(

00)( j j P  −=∞

τ −

 

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Controle de Sistemas Mecânicos

Diagrama deDiagrama de NicholsNichols

Gráfico retangular, eliminando-se a freqüência a partir dodiagrama de Bode e mantendo-se as unidadesrespectivas

w=logspace(-1,1,200);

[mod fas]=bode(sys,w);

modb(:,:)=20*log10(mod(1,:,:));

fase(:,:)=fas(1,:,:);

plot(fase,modb)

hold on 

nichols(sys,w,'* ')

hold off 

 

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Controle de Sistemas Mecânicos

Desempenho em freqüênciaDesempenho em freqüência

Deseja-se atingir um desempenho que deve

ser especificado tecnicamente em termos daresposta ao sinal padronizado de entradaharmônica

 A análise do desempenho no domínio dafreqüência consiste basicamente na análise dediagramas de respostas de amplitude e de fase

que representam o comportamento do sistemana resposta a excitações harmônicas

 

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Controle de Sistemas Mecânicos

Ferramentas de análise no DF Ferramentas de análise no DF 

Há vários tipos de diagramas que podem ser 

usados para expor as diversas característicasdessas respostas

• Diagramas de Bode (principal ferramenta)• Diagramas de Nyquist 

• Diagramas de Nichols

 

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Controle de Sistemas Mecânicos

Observações imediatasObservações imediatas

O ganho estático ( ω=0)é unitário (0 dB)

 A resposta para

é nula

 A curva da amplitude

 passa por um pico  A fase inicia em zero, e

tende a –180 graus,com a transição

 principal em ωn

10-1

100

101

-30

-20

-10

0

10

Diagramas de Bode

   A  m  p   l   i   t  u   d  e   (   d   B   )

10-1

100

101

-200

-150

-100

-50

0

Freqüência angular (rad/s)

   F  a  s  e   (  g  r  a  u   )

∞→ω 

  

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Controle de Sistemas Mecânicos

Diagramas de BodeDiagramas de Bode

Domínio da freqüência Gráficos log-log  Módulo em decibel  Fase em graus w=logspace(-1,1,200);

[mod fas]=bode(sys,w);

modb(:,:)=20*log10(mod(1,:,:)); fase(:,:)=fas(1,:,:);

subplot(211)

semilogx(w,modb), grid 

title( 'Diagramas de Bode');

ylabel( 'Amplitude (dB)') subplot(212)

semilogx(w,fase), grid 

ylabel( 'Fase (grau)')

xlabel( 'Freqüência angular (rad/s)')

10-1

100

101

-30

-20

-10

0

10

Diagramas de Bode

   A  m  p   l   i   t  u   d  e   (   d   B   )

10-1

100

101

-200

-150

-100

-50

0

Freqüência angular (rad/s)

   F  a  s  e   (  g  r  a  u   )

 

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Controle de Sistemas Mecânicos

Parâmetros de desempenho em FreqüênciaParâmetros de desempenho em Freqüência

Os seguintes parâmetros podem ser 

especificados no domínio da freqüência• Pico da ressonância (Sobressinal)

• Freqüência de ressonância (tempo de subida)

Banda de passagem (tempo de subida)• Taxa de queda

 

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Controle de Sistemas Mecânicos

Pico de ressonânciaPico de ressonância

0,707 p/12

12

≤ζζ−ζ

= pM 

Pode-se chegar à seguinterelação, derivando-se a

expressão da amplitude eigualando-a a zero.

Pico da ressonância

•Corresponde ao valor máximo do diagrama da amplitudedo sistema de segunda ordem•Está ligado ao fator de amortecimento, e portanto aosobressinal.

 p

 p

 p

 p

M

1-M*0.5-

M

1+M*0.5=ζ 

 

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Controle de Sistemas Mecânicos

Freqüência de ressonânciaFreqüência de ressonância

Freqüência de ressonância•É a freqüência que leva o diagrama da amplitude ao seuvalor máximo do sistema de segunda ordem•Está relacionada com a freqüência natural e com o fator de amortecimento.

•Está ligada portanto aotempo de subida

Pode-se chegar à seguinte

relação entre eles

0,707 p/21 2 ≤ζζ−=ω

ω

n

 

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Controle de Sistemas Mecânicos

Banda de passagemBanda de passagem

3 dB

BW

Banda de passagem•É a freqüência em que a amplitude cai de 3dB em relaçãoao ganho estático (isto corresponde a 70,7% do ganhoestático em escala linear, ou 1/ √2)

 

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Controle de Sistemas Mecânicos

Relação da Banda de passagemRelação da Banda de passagem

Banda de passagem•Está relacionada com a freqüência natural e com o fator de amortecimento.•Está ligada portanto ao

tempo de subida

Pode-se chegar à seguinterelação entre eles

24421 242 +−+−= ζ ζ ζ ω ω  nb

 

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Controle de Sistemas Mecânicos

Efeitos de pólos e zeros na BP Efeitos de pólos e zeros na BP 

Pode-se genericamente afirmar que

•  Acrescentando-se um pólo a banda de passagemdiminui, e portanto diminui a velocidade de resposta

 Acrescentando-se um zero, a banda de passagemaumenta, portanto acelerando a resposta do sistema

• Ressalte-se porém que tais efeitos não sãoverificados necessariamente em todos os casos,

dependendo do valor dos pólos e zeros

 

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Controle de Sistemas Mecânicos

Taxa de quedaTaxa de queda

Taxa de queda

•a taxa com que a curva cai após passar pela ressonância(“roll-off”)

 

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Controle de Sistemas Mecânicos

ExercícioExercício

25

1)( s

 s P  =

Obter para o sistema abaixo um controlador 

PD que garanta a banda de passagem de100Hz, um pico de ressonância máximo de10dB em relação ao ganho estático.