O critério de Nyquist

Critério de análise de estabilidade de sistemas

dinâmicos lineares com realimentação negativa.

• Usa a função de transferência em malha aberta

(antes da realimentação).

• É uma aplicação do princípio do argumento.

O princípio do argumento

Conceito:

Um ponto será chamado um ponto circundado

por um caminho fechado no plano complexo se

e só se o ponto estiver contido na região

interior ao caminho.

Teorema (Princípio do Argumento):

Seja F(s) uma função complexa de variável

complexa (isto é F: C → C) analítica sobre um

caminho fechado no plano complexo e dentro

da região por ele circundada (isto é na região

interior ao caminho), exceto em um número finito

de pontos no interior de . Então mapeado por

F(s) circundará a origem N vezes,

N = Z – P,

onde:

Teorema (Princípio do Argumento):

N = Z – P,

Z é o número de zeros de F(s) no interior de .

P é o número de polos de F(s) no interior de .

N é positivo se o circundamento da origem for

no mesmo sentido de .

N é negativo se o circundamento da origem for

em sentido contrário ao de .

Ilustração

O mapeamento direto é único.

O mapeamento inverso pode não ser.

0

s1

s2 s3

0

F(s1)

F(s2)

F ( s 3)

F ( s )

Exemplo:

Fase de F(s):

( )( )

( )( )

K s zF s

s b s a

0

z

a

b

( )F s

( ), ( ), ( )s z s b s a

-

-

-

• Após uma volta completa pelo caminho fechado , o

ângulo terá variado de 360º, pois o ponto z está no

interior do caminho.

• O mesmo teria acontecido para qualquer contribuição

de fase de outros zeros ou polos no interior de .

• Para os polos e zeros fora da região circundada por

a contribuição de fase não terá variado de 360º.

• No caso deste exemplo teremos:

Z = 1, P = 0 e N = Z – P = 1.

• Numa demonstração do princípio do argumento esse

arrazoado é formalizado.

-0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Contando o número de circundamentos

O critério de Nyquist

Aplicação do princípio do argumento para um

caminho fechado particular chamado curva de

Nyquist.

A curva de Nyquist engloba todo o semi-plano

complexo direito, percorrendo também o eixo

imaginário. No eixo imaginário a curva de Nyquist

contorna as singularidades (polos) da função

analisada (pontos onde a função não é analítica).

2 2

( )( ) , 0, 0, 0

( )( )

s aA s a b c

s s b s c

G(s)

O diagrama de Nyquist

• O diagrama de Nyquist é a representação gráfica

do mapeamento da curva de Nyquist através da

função em análise.

• No caso do exemplo, este diagrama seria o

mapeamento G(), sendo o caminho fechado

mostrado na figura anterior.

• Para a construção do diagrama de Nyquist, o

esboço prévio do diagrama de Bode da função

G(s) pode ser proveitoso.

• Não é necessário que o diagrama de Nyquist seja

muito preciso; muitas vezes um esboço é o

suficiente para a análise e pontos de interesse

podem ser calculados quando necessário.

Propriedade de simetria do diagrama

de Nyquist

Como para funções de transferência racionais com

coeficientes reais valem as propriedades

o diagrama de Nyquist de uma função de transferência

será sempre simétrico em relação ao eixo real.

| ( ) | | ( ) | e ( ) ( )G j G j G j G j

O critério

Teorema:

Um sistema com função de transferência de um dos tipos

(ou com denominador da forma Δ(s) = 1+kG(s))

é estável se e somente se o diagrama de Nyquist de G(s)

circundar o ponto –1/k no sentido contrário ao da curva de

Nyquist um número de vezes igual ao número de polos de

G(s) no semiplano complexo direito.

T(s) = _______

1+kG(s)

G(s) T(s) =

_______

1+kG(s)

1 T(s) =

_______

1+kG(s)

kG(s)

O critério

Teorema (enunciado alternativo):

Seja P o número de polos de uma função de transferência

G(s) no semiplano complexo direito. Então uma função de

transferência de um dos tipos

terá Z = N + P polos no semiplano complexo direito, onde

N é o número de voltas que o diagrama de Nyquist de

G(s) dá em torno do ponto –1/k no mesmo sentido da

curva de Nyquist, e P, como dito anteriormente, é o

número de polos de G(s) no semiplano complexo direito.

T(s) = _______

1+kG(s)

G(s) T(s) =

_______

1+kG(s)

1 T(s) =

_______

1+kG(s)

kG(s)

Entendendo o critério

F(s) = Δ(s) = 1+kG(s) = 1+k

Os polos de F(s) são as raízes de D(s) que são

também os polos de G(s) (polos de malha aberta).

Os zeros de F(s) são as raízes de D(s)+kN(s), que

nada mais são que os polos em malha fechada do

sistema.

Podemos então reescrever N = Z – P como

N = PolosMF – PolosMA

Ou

PolosMF = PolosMA + N

____

D(s)

N(s) =

___________

D(s)

D(s) + kN(s)

Onde N é o número de voltas que F() dá em torno

da origem no mesmo sentido da curva .

Que é o número de voltas que 1+kG() dá em torno

da origem.

Que, por sua vez é igual ao número de voltas que

kG() dá em torno de -1. (F(s) nada mais é que

kG(s) transladado).

E o número de voltas que kG() dá em torno de -1 é

igual ao número de voltas que G() dá em torno de

-1/k (basta escalonar o gráfico usando k como fator

de escala).

Conclusão:

PolosMF = PolosMA + N

O número de polos de MF no semiplano da direita

é igual ao número de polos de MA no spd mais o

número de voltas que o diagrama de Nyquist de

G(s) dá em torno de -1/k no mesmo sentido da

curva de Nyquist.

Ou seja, para que o sistema em malha fechada seja

estável o diagrama de Nyquist deve dar um número

de voltas em torno de -1/k no sentido contrário,

igual ao número de polos de malha aberta de G(s)

no semiplano da direita.

O diagrama de Nyquist de G(s) nada mais é

do que o diagrama polar de G(jω) e G(-jω)

percorrido em um determinado sentido.

A parte com “raio ∞” do contorno é

mapeada em um único ponto, normalmente

na origem.