crit©rio de estabilidade estabilidade de nyquist introdu§£o

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    Sistemas e SinaisUniversidade Federal do Rio Grande do Sul

    Departamento de Engenharia Eltrica

    Sistemas de Controle Realimentados

    CritCritriorio de de EstabilidadeEstabilidade de de NyquistNyquist

    IntroduIntroduoo Princpio do ArgumentoPrincpio do Argumento Contorno de NyquistContorno de Nyquist ExemplosExemplos Problemas PropostosProblemas Propostos

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    Sistemas e SinaisUniversidade Federal do Rio Grande do Sul

    Departamento de Engenharia Eltrica

    Sistemas de Controle Realimentados

    CritrioCritrio de de EstabilidadeEstabilidade de de NyquistNyquist

    Estudo de Estabilidade {{Critrio de Routh-Hurwitz Lugar Geomtrico das Razes LGR Critrio de Nyquist

    Estabilidade absolutaEstabilidade relativa

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    Sistemas e SinaisUniversidade Federal do Rio Grande do Sul

    Departamento de Engenharia Eltrica

    Sistemas de Controle Realimentados

    CritrioCritrio de de EstabilidadeEstabilidade de de NyquistNyquist

    Desenvolvido por Harry Nyquist (1932) noslaboratrios Bell.

    Estudos de instabilidade de amplificadoresrealimentados.

    Teoria de variveis complexas.Princpio do argumento

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    Departamento de Engenharia Eltrica

    Sistemas de Controle Realimentados

    CritrioCritrio de de EstabilidadeEstabilidade de de NyquistNyquist

    Utilizado para estabelecer relaes fundamentais entre a resposta emfreqncia do sistema em malhaaberta com a estabilidade do siste-ma em malha fechada.

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    Departamento de Engenharia Eltrica

    Sistemas de Controle Realimentados

    CritrioCritrio de de EstabilidadeEstabilidade de de NyquistNyquist

    No necessita do conhecimento explcitoda funo de transferncia do sistemaem malha aberta.

    Estabilidade absoluta e relativado sistema operando em malha fechada..

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    Departamento de Engenharia Eltrica

    Sistemas de Controle Realimentados

    CritrioCritrio de de EstabilidadeEstabilidade de de NyquistNyquist

    Princpio do Argumento - Exemplo:

    1)(s)2(sG(s)

    -2 -1

    Plano sj

    s0

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    Sistemas de Controle Realimentados

    CritrioCritrio de de EstabilidadeEstabilidade de de NyquistNyquist

    22

    22

    )Im()Re(1

    )Im()Re(2)(

    oo

    ooo

    ss

    sssG

    pzso

    )Re(1

    )Im(s tan )Re(2

    )Im(s tan oooo

    s sarc

    sarc

    o

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    Departamento de Engenharia Eltrica

    Sistemas de Controle Realimentados

    CritrioCritrio de de EstabilidadeEstabilidade de de NyquistNyquist

    Caso 1: O caminho fechado no envolve nenhum dos plos ou zeros da funo de transferncia.

    Para uma volta completa partindo do pontoso, a contribuio angular total nula.

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    Departamento de Engenharia Eltrica

    Sistemas de Controle Realimentados

    CritrioCritrio de de EstabilidadeEstabilidade de de NyquistNyquist

    -2 -1 2

    Plano sj

    s0

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    Sistemas e SinaisUniversidade Federal do Rio Grande do Sul

    Departamento de Engenharia Eltrica

    Valores de s Valores de G(s)

    1.0+j0.0 1.5+j0.0

    1.2+j0.6 1.423-j0.115

    1.4+j0.8 1.375-j0.125

    1.6+j0.916 1.342-j0.120

    1.8+j0.979 1.318-j0.111

    2.0+j1.0 1.3-j0.1

    2.2+j0.979 1.285-j0.087

    2.4+j0.916 1.274-j0.074

    2.6+j0.8 1.264-j0.058

    2.8+j0.6 1.256-j0.040

    3.0+j0.0 1.25+j0.0

    Valores do caminho a ser percorrido no Plano se do mapeamento no plano G(s).

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    Departamento de Engenharia Eltrica

    Sistemas de Controle Realimentados

    CritrioCritrio de de EstabilidadeEstabilidade de de NyquistNyquist

    Caso 2: O caminho fechado envolve um plo da funo de transferncia.

    Para uma volta completa partindo do pontoso, a origem do Plano G(s) envolvida umavez no sentido oposto contrrio ao sentidopercorrido no Plano s.

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    Sistemas e SinaisUniversidade Federal do Rio Grande do Sul

    Departamento de Engenharia Eltrica

    Sistemas de Controle Realimentados

    CritrioCritrio de de EstabilidadeEstabilidade de de NyquistNyquist

    -2 -1 2

    Plano sj

    s0

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    Sistemas e SinaisUniversidade Federal do Rio Grande do Sul

    Departamento de Engenharia Eltrica

    Valores de s Valores de G(s)

    -1.5+j0.0 -1.0+j0.0

    -1.2+j0.9 0.77-j1.06

    -0.9+j1.2 1.07-j0.83

    -0.6+j1.37 1.19-j0.67

    -0.3+j1.47 1.26-j0.55

    0.0+j1.5 1.30-j0.46

    0.3+j1.47 1.33-j0.38

    0.6+j1.37 1.36-j0.31

    0.9+j1.2 1.38-j0.24

    1.2+j0.9 1.39-j0.16

    1.5+j0.0 1.4+j0.0

    Valores do caminho a ser percorrido no Plano se do mapeamento no plano G(s).

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    Departamento de Engenharia Eltrica

    Sistemas de Controle Realimentados

    CritrioCritrio de de EstabilidadeEstabilidade de de NyquistNyquist

    Caso 3: O caminho fechado envolve um zero da funo de transferncia.

    Para uma volta completa partindo do pontoso, a origem do Plano G(s) envolvida umavez mantendo o sentido percorrido no Planos.

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    Departamento de Engenharia Eltrica

    Sistemas de Controle Realimentados

    CritrioCritrio de de EstabilidadeEstabilidade de de NyquistNyquist

    -2 -1

    Plano s j

    s0

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    Departamento de Engenharia Eltrica

    Valores de s Valores de G(s)

    -4.5+j0.0 0.714+j0.0

    -4.2+j0.9 0.710-j0.081

    -3.9+j1.2 0.705-j0.122

    -3.6+j1.37 0.699-j0.156

    -3.3+j1.47 0.691-j0.197

    -3.0+j1.5 0.680-j0.240

    -2.7+j1.47 0.663-j0.291

    -2.4+j1.37 0.636-j0.357

    -2.1+j1.2 0.584-j0.453

    -1.8+j0.9 0.448-j0.620

    -1.5+j0.0 -1.0+j0.0

    Valores do caminho a ser percorrido no Plano se do mapeamento no plano G(s).

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    Sistemas de Controle Realimentados

    Princpio do argumentoPrincpio do argumentoSe P representa o nmero de plos e Z o nmero

    de zeros de uma funo G(s) envolvidos por umcaminho fechado, percorrido a partir de um pontoarbitrrio so, localizado sobre o caminhofechado do Plano s, no sentido horrio, ento onmero lquido de vezes que o caminho fechadomapeado no plano G(s) envolver a origem doplano G(s) ser N = Z - P.

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    Sistemas de Controle Realimentados

    CritrioCritrio de de EstabilidadeEstabilidade de de NyquistNyquist

    Sistemas de controle de malha fechada.

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    Sistemas de Controle Realimentados

    CritrioCritrio de de EstabilidadeEstabilidade de de NyquistNyquist

    Malha aberta:

    Malha fechada:

    Equao caracterstica:

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    Sistemas de Controle Realimentados

    CritrioCritrio de de EstabilidadeEstabilidade de de NyquistNyquist

    A estabilidade do sistema de controle depender da localizao das razes da equao caracterstica no Plano s, ou seja da localizao dos plos de malha fechada.

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    CritrioCritrio de de EstabilidadeEstabilidade de de NyquistNyquist

    R

    Plano s

    j

    O critrio de estabilidadeoriginalmente proposto porNyquist utiliza o princpiodo argumento considerandocomo caminho fechado a serpercorrido, conforme aFigura ao lado, todo osemiplano direito do Plano s.

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    Sistemas de Controle Realimentados

    CritrioCritrio de de EstabilidadeEstabilidade de de NyquistNyquistPlano s Plano 1+G(s)H(s)

    O princpio do argumento pode ser empregado para determinar

    a diferena lquida entre o nmero de zeros e plos de 1+G(s)H(s)

    localizados nosemiplano direito do Plano s

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    CritrioCritrio de de EstabilidadeEstabilidade de de NyquistNyquist

    A origem (0,0) do Plano 1+G(s)H(s) coincide com o ponto 1.0 no eixo real do Plano G(s)H(s),

    podendo-se realizar a anlise de estabilidadeempregando o princpio do argumento,

    avaliando-se o nmero lquido e o sentido dos envolvimentos

    do ponto 1.0+j0.0 no plano G(s)H(s).

    Plano 1+G(s)H(s) Plano G(s)H(s)

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    Sistemas de Controle Realimentados

    CritrioCritrio de de EstabilidadeEstabilidade de de NyquistNyquist

    logo para K > 0 o sistema estvel.

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