cap. 11 - critério de nyquist

1/Cap.11

Cap.11 – Critério de Nyquist

M

. Isa

bel R

ibei

ro, A

ntón

io P

asco

al

CONTROLO1º semestre – 2011/2012

Mestrado Integrado em Engenharia Electrotécnica e de Computadores (LEEC)

Departamento de Engenharia Electrotécnica e de Computadores (DEEC)

Transparências de apoio às aulas teóricas

Critério de Nyquist

Maria Isabel RibeiroAntónio Pascoal

Todos os direitos reservadosEstas notas não podem ser usadas para fins distintos daqueles para que foram

elaboradas (leccionação no Instituto Superior Técnico) sem autorização dos autores

2/Cap.11


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Sumário

• Introdução ao Critério de Nyquist

• Teorema de Cauchy

• Desenho do diagrama de Nyquist

• Diagrama de Nyquist e estabilidade

• Margem de Fase e Margem de Ganho

• Diagrama de Nyquist de sistemas com atraso

Referências

• G. Franklin, J.david Powell, Abbas Naeini,

“Feedback Control of Dynamic Systems”, Prentice

Hall, 6th Edition (Sections 6.2 – 6.6)

3/Cap.11


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Introdução

• O que é o Critério de NyquistCritério de Nyquist ?– Estudo da estabilidade (absoluta e relativa) de

um sistema de controlo em cadeia fechada por análise da f.t.c.a.

• Que tipo de análise ?– Da resposta em frequência da f.t.c.a.

Resposta em frequência da f.t.c.a.

Estabilidade do sistema em cadeia fechada

Localização dos pólos da f.t.c.f. relativa/ eixo imaginário


Localização dos pólos da f.t.c.a.

Localização dos pólos da f.t.c.f.

Root-Locus

Resposta transitória

Erro em regime estacionário

Analogia com Root-Locus

4/Cap.11


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Introdução

• O que é o Critério de NyquistCritério de Nyquist ?– Estudo da estabilidade (absoluta e relativa) de

um sistema de controlo em cadeia fechada por análise da f.t.c.a.

• Método gráfico

• Calcula a estabilidade do sistema em cadeia fechada sem avaliar explicitamente os pólos da f.t.c.f.

• Dá indicações sobre estabilidade relativa

¤ Margem de ganho

¤ Margem de fase

• Parte do conhecimento da f.t.c.a.

• Usa resultados da teoria das funções complexas (Teorema de Cauchy) para estudar a existência de zeros de 1+KG(s)H(s) no semi-plano complexo direito ou sobre o eixo imaginário.

5/Cap.11


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Nomenclatura

)s(KGc )s(G

)s(H

+

_

)s(R )s(C

sistema de controlo em cadeia fechada

K )s(G

)s(H

+

_

)s(R )s(C

rcompensado do ciatransferên de função)s(Gc

situação que irá ser tratadapor redefinição de G(s) é sempre possível passar de um diagrama para outro

f.t.cadeia aberta (f.t.c.a.) = )s(H)s(KG

f.t.cadeia fechada (f.t.c.f.) = )s(H)s(KG1)s(KG

f.t.cadeia acção = )s(KG

f.t.cadeia retroacção = )s(H

Nomenclatura

equação característica 0)s(H)s(KG1

6/Cap.11


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al

Teorema de Cauchy

plano s plano F(s)

F(s)1s

2s

3s

)s(F 1

)s(F 2

)s(F 3

Contorno A Contorno B

vv

• F(s) - função racional, analítica numa dada região do plano s, excepto num número finito de pontos.

• A é um contorno qualquer definido no plano s, tal que F(s) é analítica sobre o contorno.

• O contorno B é a imagem do contorno A por meio de F(s).

)....ps)(ps()...zs)(zs()s(F

21

21

descrito num determinado

sentido

descrito no mesmo sentido ou em sentido

contrário ao contorno A

7/Cap.11


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Teorema de Cauchy: exemplos

clockwise

clockwise

counterclockwise

clockwise

counterclockwise

counterclockwise

1 zero

1 zero

1 pólo

1 pólo

1 pólo e 1 zero

no exterior do contorno A

no exterior do contorno A

no interior do contorno A



Contorno B não contém a origem


Contorno B contém a origem

Contorno B contém a origem


8/Cap.11


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Teorema de Cauchy: enunciado

• Contorno A descrito no sentido dos ponteiros do relógio.

• P = número de pólos de F(s) no interior do contorno A

• Z = número de zeros de F(s) no interior do contorno A

• N = número de voltas, no sentido dos ponteiros do relógio, que o contorno B dá em torno da origem.

PZN

9/Cap.11


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Teorema de Cauchy: interpretação

)ps)(ps)(ps()zs)(zs()s(F

321

21

plano splano F(s)

F(s))s(F 1

Contorno A Contorno B

v

vx

x

oo x

s

Quando s dá uma volta completa sobre o contorno A, no sentido dos ponteiros do relógio

• o argumento dos vectores associados aos pólos e zeros no exterior de A têm uma variação líquida de 0º

• o argumento dos vectores associados aos zeros no interior de A têm uma variação de 360º.

• o argumento dos vectores associados aos pólos no interior de A têm uma variação de 360º.

1z 2z1p

2p

3p

)psarg()psarg()psarg( )zsarg()zsarg()s(F arg

321

21

O argF(s) tem uma variação de (1-2)*360º voltas em torno da origem no sentido dos ponteiros do relógio

s a percorrer o contorno A

10/Cap.11


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Teorema de Cauchy: interpretação

)ps)...(ps)(ps()zs)...(zs)(zs()s(F

n21

m21

Quando s dá uma volta completa sobre o contorno A, no sentido dos ponteiros do relógio

O argF(s) tem uma variação de (Z-P)*360º em torno da

origem no sentido dos ponteiros do relógio

Z = zeros de F(s) no interior do contorno A

P = pólos de F(s) no interior do contorno A

PZN

N = nº de voltas de F(s) em torno da origem, no sentido dos ponteiros do relógio

11/Cap.11


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al


• Como aplicar o Teorema de Cauchy no estudo da estabilidade da f.t.c.f. ?

avaliar da existência de pólos da f.t.c.f. no s.p.c.d.

avaliar da existência de raízes de 1+KG(s)H(s)=0 no s.p.c.d.

)s(H)s(KG1)s(KG

avaliar da existência de zeros de 1+KG(s)H(s) no s.p.c.d.

v v

v

plano s

)s(H)s(KG1)s(F

plano F(s)

P N

inspecçãoinspecção

N = Z - PZ = P + NTeorema de Cauchy

estabilidade em c.f.

j

j

raio contorno de Nyquist

nº de voltas em torno da origem(contadas como positivas no sentido dos ponteiros do relógio)

12/Cap.11


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• Contorno de Nyquist – abarca todo o s.p.c.d.)s(H)s(KG1)s(F

N = Z - P

nº de voltas de 1+KG(s)H(s)

em torno da origem

nº de pólos de 1+KG(s)H(s) no interior do

contorno de Nyquist

nº de zeros de 1+KG(s)H(s) no interior do

contorno de Nyquist

nº de pólos de Y(s)/R(s) (f.t.c.f.)

no interior do contorno de Nyquist

=

v v

v

)s(H)s(KG

P N

inspecçãoinspecção

j

j

raio contorno de Nyquist

diagrama de Nyquist

-1

nº de voltas em torno de -1

Z = N + P

nº de voltas de KG(s)H(s)

em torno de -1

=

nº de pólos de KG(s)H(s)

no interior do contorno de Nyquist

=

13/Cap.11


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Critério de Nyquist: enunciado

• Estabilidade em cadeia fechada– Z=0– - N = P

Enunciado do critério de Nyquist

Um sistema causal com f.t.c.a. KG(s)H(s) é

estável em cadeia fechada sse,

quando o afixo de s percorre o contorno de

Nyquist num determinado sentido,

o número de voltas que o afixo de KG(s)H(s)

percorre em torno do ponto –1 em sentido

contrário é igual ao número de pólos da

KG(s)H(s) no interior do contorno de Nyquist.

14/Cap.11


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Diagrama de Nyquist

• Como esboçar o diagrama de Nyquist ?

v v

v

j

j

raio

contorno de Nyquist

v

)s(H)s(KG

O contorno de Nyquist deve ser tal que:• Abarque todo o s.p.c.d.• A função KG(s)H(s) tem que ser analítica sobre o contorno

[,0[w ,jws

)jw(H)jw(KG• função resposta em frequência da

f.t.c.a. com representação polar• pode obter-se por análise do

diagrama de Bode e sua representação na forma polar

]0,]w ,jws )jw(H)jw(KG[,0[w ,jws )jw(H)jw(KG

par função |)jw(H)jw(KG|

ímpar função ))jw(H)jw(KGarg(

Simétrico, relativamente ao eixo real, da componente do diagrama de Nyquist que é imagem do eixo imaginário positivo

15/Cap.11


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Diagrama de Nyquist

• Como esboçar o diagrama de Nyquist ?

v v

v

j

j

raio

contorno de Nyquist

v

)s(H)s(KG

O contorno de Nyquist deve ser tal que:• Abarque todo o s.p.c.d.• A função KG(s)H(s) tem que ser analítica sobre o contorno

r ]2 ,2[

res j ?)s(H)s(KG

)ps)...(ps)(ps()zs)...(zs)(zs(K)s(H)s(KG

n21

m21

0KG(s)H(s) mn A imagem da semi-circunferência de raio infinito é a origem

finito alorvKG(s)H(s) mn

16/Cap.11


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Diagrama de Nyquist: Exemplo 1

K asa

+

_

)s(R )s(C

asKa.a.c.t.f

v v

v

j

j

contorno de Nyquist

x

0a

a

P=0

A f.t.c.a. não tem pólos no interior do contorno de Nyquist

K>0

KdB

K

v

v

-1

N=0

Z=N+P=0

0are

Kalim jr

O sistema em c.f. é estável para qualquer valor de K>0

-1

17/Cap.11


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K asa

+

_

)s(R )s(C

asKa.a.c.t.f

v v

v

j

j

contorno de Nyquist

x

0a

a

P=0

A f.t.c.a. não tem pólos no interior do contorno de Nyquist

K<0

Se K>-1 N=0 Z=0 sistema em c.f. estável

Se K<-1 N=1 Z=P+N=1 sistema em c.f. instável

0are

Kalim jr

v

-1K

v

18/Cap.11


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x xx

)cs)(bs)(as(K)s(H)s(KG

0c ,0b ,0a

0w ,jws

w

0jeabcK)s(H)s(KG

0|)s(H)s(KG|

23))s(H)s(KGarg(

r ,res j0)s(H)s(KG

0w

ww

0wabcK

vw

zoom

19/Cap.11


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)3)(2)(1()()(

sssKsHsKG

K=10;num1=[0 0 0 K];den1=[1 6 11 6];sys1=tf(num1,den1);nyquist(sys1)

Código Matlab

20/Cap.11


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x xx


0c ,0b ,0a

0w

0wabcK1

P=0

abcK2

12 KK

-1

N=0Z=P+N=0Para K=K1

sistema em c.f. é estável

N=2Z=P+N=2Para K=K2 o sistema em c.f. tem dois pólos no s.p.c.d. É instável

ww

-1

21/Cap.11


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x xx


0c ,0b ,0a

P=0

-1

• Qual o valor de K para o qual este ponto se torna igual a –1?

• Que ponto é este ?• É o ponto com fase de –180º

• Desempenha um papel fundamental no estudo da estabilidade

22/Cap.11


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K 1s1

+

_

)s(R )s(CK>0

x1

P=1

K=3

N=-1

Z=P+N=0 Sistema em cadeia fechada estável para este valor de K

-1

23/Cap.11


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Critério de Nyquist:Exemplo 4

K 2)1s(s1

+

_

)s(R )s(C

K>0

2)1s(sK)s(H)s(KG

O contorno de Nyquist deve ser tal que:• Abarque todo o s.p.c.d.• A função KG(s)H(s) tem que ser

analítica sobre o contorno

raio0

semi-circunferênciaContorno de Nyquist – duas hipóteses

x0

A

B

C

xx0

rx

A

B

C0w

0w

<<

<<

P=0 P=1

sistema tipo 1

xx

0w

0w

r

24/Cap.11


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Critério de Nyquist: Exemplo 4

x0

r

A

B

C0w

0w

<<

x0

r

A

B

C0w

0w

<<

diagrama de Nyquist não desenhados à escala

contorno de Nyquist contorno de Nyquist

v v

2)1s(sK)s(H)s(KG

xx xx

25/Cap.11


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x0

r

A

B

C0w

0w

<<

x0

r

A

B

C0w

0w

<<


2)1s(sK)s(H)s(KG

xx xx

0

2 0, ,

2

2 , ,

2

A B C

j

j2jjeseK

eK

)1e(eK)s(H)s(KG j

semi-circunferência de raio infinitesimal

Uma semi-circunferência de raio a tender para infinito

argumento -


diagrama de Nyquist diagrama de Nyquist

A B C

2- 0, ,

2

2

,2

- ,

26/Cap.11


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K 2)1s(s1

+

_

)s(R )s(C

sistema tipo 1

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

K=1

K=3

diagramas de Nyquist desenhados à escala

2)1s(sK)s(H)s(KG

27/Cap.11


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Critério de Nyquist: Exemplo 4 análise de estabilidade

v v

2)1s(sK)s(H)s(KG

ponto de intersecção com o eixo real ?

2)1jw(jwK)jw(H)jw(KG

º180))jw(H)jw(KGarg(

º180)1jwarg()jwarg()Karg())jw(H)jw(KGarg( 2

º180)w(arctg2º90 º45)w(arctg s/rad1)º45(tgw

2|K|)jw(H)jw(KG

1w

28/Cap.11


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Critério de Nyquist: Exemplo 4análise de estabilidade

diagrama de Nyquist não desenhados à escala

v v

2)1s(sK)s(H)s(KG

x

<<

xx x<

<xx

-K/2 -K/2

P=0 P=1

2K1 N=0 N=-1Z=P+N=0 Z=P+N=1-1=0

sistema estável

12K

N=2 Z=P+N=2 N=1 Z=P+N=1+1=2sistema instável

29/Cap.11


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al


x

<<

x x

P=0qual é a imagem desta semi-circunferência ?

A

BC

je0

j2

2jj eK)e(H)e(KG

duas semi-circunferências com raio a tender para infinito

Dois pólos excluídos pela semi-circunferência de raio a tender para zero

0 - 22

0 2

-

C B A

Só esta análise não chega para desambiguar

Qual é o correcto?

)1s(sK)s(H)s(KG 2

30/Cap.11


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al


)1s(sK)s(H)s(KG 2

x

<<

x x

P=0

qual é a imagem desta semi-circunferência ?

AB

C je

0

j2

2jj eK)e(H)e(KG

0 2

- 22

0 4

- 2

-

C B D A

D

<

v

v

N=2

Z=P+N=2-1

O sistema em cadeia fechada é instável para qualquer valor de K

Confirme com o Root-Locus

A’

D’

B’C’

A’ = imagem de A

31/Cap.11


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al

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

Nyquist Diagrams

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5From: U(1)

To: Y

(1)


K1)1s(

)2s)(1s(2 +

_

)s(R )s(C

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Real Axis

Imag

Axi

s

P=0N=?

Diagrama de Nyquist tal como obido pelo Matlab

• Chegou a Z=1?

• Veja pelo Root-Locus que não pode ser e conclua sobre o diagrama de Nyquist

• Trace o diagrama de Bode da f.t.c.a.

32/Cap.11


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asco

al

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

Nyquist Diagrams

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5From: U(1)

To: Y

(1)


K1)1s(

)2s)(1s(2 +

_

)s(R )s(C

P=0

N=?

Diagrama de Nyquist tal como obido pelo Matlab

Frequency (rad/sec)

Pha

se (d

eg);

Mag

nitu

de (d

B)

Bode Diagrams

0

1

2

3

4From: U(1)

10-1 100 101-360

-270

-180

-90

0

To: Y

(1)

K=1

K=1P = 0N = 2Z = 2

>

<

Use o critério de Routh-Hurwitz para mostrar que o sistema é instável para K>2/3

33/Cap.11


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asco

al

Critério de NyquistMargem de Ganho e Margem de Fase

K )4s)(2s)(1s(16

+

_

)s(R )s(C

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

Nyquist Diagrams

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5From: U(1)

To: Y

(1)

K=1

P=0, N=0, Z=0 Para K=1 o sistema em cadeia fechada é estável

Pergunta:De quanto é possível aumentar o ganho K sem que o sistema se torne instável ?

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

Real Axis

Imag

Axi

s

Roo

t-loc

us

Pergunta:O sistema torna-se instável com o aumento do ganho ?

RespostaSim – ver Root-Locus ou Diagrama de Nyquist

K=1

34/Cap.11


M

. Isa

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io P

asco

al


K )4s)(2s)(1s(16

+

_

)s(R )s(C

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

Nyquist Diagrams

-10 -5 0 5 10 15 20 25 30-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25From: U(1)

To: Y

(1)

K=15

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

Nyquist Diagrams

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5From: U(1)

To: Y

(1)

K=1 P=0, N=0, Z=0c.f. estável

P=0, N=2, Z=2c.f. instável

K=1

K=15

35/Cap.11


M

. Isa

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ntón

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asco

al10-2

10-1

100

101

102

-80

-60

-40

-20

0

20

10-2

10-1

100

101

102

-270

-225

-180

-135

-90

-45

0

K=1

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

Nyquist Diagrams

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5From: U(1)

To: Y

(1)

K=1



qual é o ganho quando a frequência=180º ?

qual é a fase do ponto em que o ganho é unitário ?

-15dB

0.177

O ganho pode aumentar de

até que o sistema em c.f. se torne instável

63.5177.01

36/Cap.11


M

. Isa

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ibei

ro, A

ntón

io P

asco

al



-1

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

Nyquist Diagrams

-4 -2 0 2 4 6 8 10 12

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

From: U(1)

To: Y

(1) K=1

K=5.63

10-2

10-1

100

101

102

-80

-60

-40

-20

0

20

40

10-2

10-1

100

101

102

-270

-225

-180

-135

-90

-45

0

K=5.63

K=1

)jw(H)jw(KG

37/Cap.11


M

. Isa

bel R

ibei

ro, A

ntón

io P

asco

al

Margem de Ganho e Margem de Fase

• Até aqui o diagrama de Nyquist foi

usado para avaliar a estabilidade

absoluta

• Diagrama de Nyquist permite também

avaliar estabilidade relativaoproximidade do sistema relativamente à

situação de instabilidadeoquão próximos do eixo imaginário estão os

pólos do sistema em cadeia fechadaoProximidade do diagrama de Nyquist do

ponto -1

38/Cap.11


M

. Isa

bel R

ibei

ro, A

ntón

io P

asco

al


• Margem de ganho – (MG) - é a variação, expressa em dB, do ganho da f.t.c.a., para a fase de –180º, para que o sistema em cadeia fechada se torne instável

• Margem de fase – (M) – é a variação de fase do sistema em cadeia aberta, para ganho unitário, necessária para que o sistema em cadeia fechada se torne instável.

O uso da Margem de Ganho e da Margem de Fase para o estudo da estabilidade relativa só é válido para P=0, i.e., para sistemas em cadeia aberta estáveis.

MG1

39/Cap.11


M

. Isa

bel R

ibei

ro, A

ntón

io P

asco

al


• Margem de Ganho – é o inverso do módulo da f.t.c.a., KG(s)H(s), para a frequência w para a qual a f.t.c.a. introduz uma rotação de 180º

• Margem de Fase – é a diferença entre a fase de G(jw)H(jw) e –180º quando |KG(jw)H(jw)|=1

ww

)jw(H)jw(KG1MG

º180M

1)()(

)()(arg

jwHjwKG

jwHjwKG

• Determinação das margens de estabilidade• Diagrama de Nyquist

• Diagrama de Bode

40/Cap.11


M

. Isa

bel R

ibei

ro, A

ntón

io P

asco

al10-2

10-1

100

101

102

-80

-60

-40

-20

0

20

10-2

10-1

100

101

102

-270

-225

-180

-135

-90

-45

0

K=1


K )4s)(2s)(1s(16

+

_

)s(R )s(C

MGdB

M

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

Nyquist Diagrams

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5From: U(1)

To: Y

(1)

K=1

41/Cap.11


M

. Isa

bel R

ibei

ro, A

ntón

io P

asco

al


Valores convenientes para uma boa estabilidade relativa

30º<FM<60º

MG>6dB

42/Cap.11


M

. Isa

bel R

ibei

ro, A

ntón

io P

asco

al


)2s)(1s(sK2)s(H)s(KG

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

Nyquist Diagrams

-1 -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25From: U(1)

To: Y

(1)

P=0

1/MG

<

1/MGCondições de estabilidade:• Se MG>1 – sistema em c.f. estável• Se MG<1 – sistema em c.f. instável• Se MG=1 – sistema em c.f.

marginalmente estável

• Se M>0º – sistema em c.f. estável• Se M<0º – sistema em c.f. instável• Se M=0º – sistema em c.f.

marginalmente estável

43/Cap.11


M

. Isa

bel R

ibei

ro, A

ntón

io P

asco

al


Exemplo– Sistema com retroacção unitária.– Qual é o valor de K para o qual a margem de

fase é de 45º?

10-1 100 101 102-60

-40

-20

0

20

40

|G(jw

)|dB

w(rad/s)

10-1 100 101 102-225

-180

-135

-90

arg(

G(jw

)) (g

raus

)

w(rad/s)

• Desenhe o diagrama de Nyquist• Calcule o valor da margem de ganho para

esse valor de K• Identifique o sistema em cadeia aberta

44/Cap.11


M

. Isa

bel R

ibei

ro, A

ntón

io P

asco

al

1w

2w

3w


• Nem sempre a estabilidade de um sistema em cadeia fechada é sinónimo de MG>1 e M>0º– É preciso tomar atenção ao diagrama de Nyquist e

avaliar a estabilidade com base no envolvimento do ponto –1+j0.

• Caso1 – Para sistemas de 1ª e 2ª ordem, em que não existe cruzamento do diagrama de Nyquist com o semi-eixo real negativo, a MG é sempre infinita.

• Caso 2 – Para sistemas de ordem superior pode haver mais do que um ponto de cruzamento do diagrama de Nyquist com o semi-eixo real negativo.

• Caso 3 – Sistemas em c.a. de fase não mínima

Há 3 valores de frequência para os quais a fase da f.t.c.a. é de

180º

45/Cap.11


M

. Isa

bel R

ibei

ro, A

ntón

io P

asco

al

Margem de Ganho e Coeficiente de Amortecimento

• Para sistema de 2ª ordem, sem zeros, que valor deve ter a margem de fase (especificação no domínio da frequência) para que o sistema em cadeia fechada apresente uma certa sobreelevação (especificação no domínio do tempo) na resposta ao escalão?

)w2s(sw

n

2n

+

_

)s(R )s(C

G(s)

2nn

2

2n

wsw2sw

)s(R)s(C

f.t.cadeia fechada

Margem de fase 1)jw(G

142ww 42n1

n

11 w2

warctgº90)jw(G arg

2

142arctgº90)jw(Gargº180

42

1M

46/Cap.11


M

. Isa

bel R

ibei

ro, A

ntón

io P

asco

al

Margem de Ganho e Coeficiente de Amortecimento

Retirado deG.Franklin, J. Powell, A. NaeiniFeedback Control of Dynamic Systems

47/Cap.11


M

. Isa

bel R

ibei

ro, A

ntón

io P

asco

al

Sistemas com um atraso

• Em qualquer dos casos surge um atraso– Condução do carro – atraso = tempo de reacção

do condutor– Produção fibra óptica – atraso de transporte – a

acção de controlo e a operação de medida efectuam-se em pontos diferentes da fibra óptica

• Atraso traduzido por

d

produção de fibra ópticaAjuste do diâmetro do

orifício da fieira

se

De que modo um atraso na cadeia de acção afecta a estabilidade (absoluta ou relativa) na cadeia fechada ?

Retirado deE. Morgado

Controlo – Texto de apoio

48/Cap.11


M

. Isa

bel R

ibei

ro, A

ntón

io P

asco

al

Sistemas com um atraso: Exemplo

)s(Ge s+

_

)s(R )s(C

)10s)(1s(sK5)s(G

)s(Ge)s(G s

)jw(Ge)jw(G jw função resposta em frequência

)jw(G)jw(G O atraso não modifica a amplitude da função resposta em frequência

))jw(Garg(w))jw(Garg( O atraso introduz na fase uma componente que varia linearmente com w

A margem de fase diminui

A margem ganho diminui

49/Cap.11


M

. Isa

bel R

ibei

ro, A

ntón

io P

asco

al


)s(Ge s+

_

)s(R )s(C

)10s)(1s(sK5)s(G

K=1, =1

• Para o mesmo valor de K, a margem de ganho é menor para o sistema com atraso

• O sistema com atraso apresenta uma menor estabilidade relativa, para o mesmo valor de K

50/Cap.11


M

. Isa

bel R

ibei

ro, A

ntón

io P

asco

al


)s(Ge s+

_

)s(R )s(C

)10s)(1s(sK5)s(G

K=1=1

K=1=0

cap. 11 - critério de nyquist

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