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RESPOSTA EM FREQUÊNCIA

Mestrado Integrado em Engenharia Electrotécnica e de Computadores (LEEC)

CONTROLO

Computadores (LEEC)

Departamento de Engenharia Electrotécnica e de Computadores (DEEC)

CONTROLO1º semestre – 2007/2008

Transparências de apoio às aulas teóricas

Capítulo 10 – Diagrama de Bode e Relação Tempo-Frequência

A definição de Função Resposta em Frequência e o traçado do diagrama de Bode consideram-se conhecimentos já adquiridos pelos alunos. As respectivas

transparências incluem-se neste conjunto para o manter self-contained embora não tenham sido apresentadas nas aulas teóricas.

Maria Isabel RibeiroAntónio Pascoal

o, A

ntón

ioPa

scoa

lRevisão: Março de 2007

1/Cap.10Março.2007

©M

. Isa

bel R

ibei

ro

INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo – 2007/2008

Todos os direitos reservadosEstas notas não podem ser usadas para fins distintos daqueles para que foram

elaboradas (leccionação no Instituto Superior Técnico) sem autorização dos autores


Resposta em Frequência

• O que é o estudo da Resposta em Frequência de um SLIT?– Análise da resposta a uma entrada sinusoidal

Figura retirada de Análise de Sistemas Lineares M Isabel

Resultados de um teste com um 2CV numa estrada de perfil sinusoidal, com velocidades crescentes:

Até 30Km/h as oscilações de posição do condutor e da via são

Sistemas Lineares, M. Isabel Ribeiro, IST Press, 2001

Reprodução proibida

• Até 30Km/h as oscilações de posição do condutor e da via são semelhantes, i.e., quando o piso sobe o condutor sobe e vice-versa,

• Por volta dos 70Km/h a amplitude das oscilações ao nível do condutor é muito maior do que a amplitude do perfil da via,

o, A

ntón

ioPa

scoa

l• A 80/85Km a amplitude das oscilações é semelhante à observada a 70Km/h; no entanto, a diferença de fase é da ordem dos 180º, i.e., quando a estrada se eleva o condutor vai assento abaixo, quando a estrada vai abaixo o condutor bate com a cabeça no tejadilho

2/Cap.10Março.2007

©M

. Isa

bel R

ibei

rocom a cabeça no tejadilho,

• A 150Km/h as oscilações ao nível do condutor são quase imperceptíveis, pelo que a condução se torna bastante agradável !


Resposta em Frequênciaconceito (revisão)

G(s)r(t)=A sinw1t y(t)

221A)s(R ω

= )s(GA)s(Y 221ω=

entrada sinusoidalcomo é a componente forçada da resposta ?

21

2s)s(R

ω+)(

s)( 2

12 ω+

)ps()ps)(ps()s(N)s(G

n21 +++=

L

Assumem-se pólos simples sem

perda de generalidade

∑++=n

i21 Rcc)s(Y ∑= +

+ω−

+ω+

=1i i11 ssjsjs

)s(Y

)j(Gj2

A)s(Gjs

Ac 1js1

11

1ω−−=

ω−ω

=ω−= j2js 1ω

11js1

12 c)j(G

j2A)s(G

jsAc

1=ω=

ω+ω

=ω=

tsn

tjtj i11 eRe)j(GAe)j(GA)t(y −ωω− ∑+ω+ω−−=

o, A

ntón

ioPa

scoa

l1ii11 eRe)j(G

j2e)j(G

j2)t(y

=∑+ω+ω−−=

resposta forçada resposta natural

)t()t()t(

3/Cap.10Março.2007

©M

. Isa

bel R

ibei

ro)t(y)t(y)t(y nf += A resposta em frequência de um SLIT analisa a evolução da

componente forçada da resposta a uma entrada sinusoidal.



AA

resposta natural

)t(ye)j(Gj2

Ae)j(Gj2

A)t(y ntj

1tj

111 +ω+ω−−= ωω−

resposta forçada natural

G(s) – função complexa de variável complexa

)s(Gargje)s(G)s(G =)j(Gargj

11

)j(Gargj11

1

1

e)j(G )j(G

e)j(G)j(Gω

ω−

ω=ω

ω−=ω−

ímpar função )j(Gargparfunção )j(G

ω

ω

)j(Gargj

)j(Gargj11

1

1

e)j(G)j(G

e)j(G)j(Gω

ω−

ωω

ω=ω−)j(gj

111e)j(G )j(G ω=ω

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛ −

ω=ω−ω−ωω e.ee.e)j(GA)t(y

)j(Gargjtj)j(Gargjtj

1f

1111

componente forçada da saídao,

Ant

ónio

Pasc

oal

⎟⎠

⎜⎝ j2

)j()(y 1f

))j(Gargtsin()j(GA)t(y 111f ω+ωω=

4/Cap.10Março.2007

©M

. Isa

bel R

ibei

ro

))j(g()j()(y 111f



SLIT tí

G(s)r(t)=A sinw1t yf(t)=A|G(jw1)|sin(w1t+argG(jw1))

• SLIT contínuo• Excitado por um sinal sinusoidal• A componente forçada da saída é ainda:

– Um sinal sinusoidal com a mesma frequência– Amplitude e fase do sinal de saída relacionadas

com a amplitude e fase do sinal de entrada

componente forçada do sinal de saída

desfasagem

sinal de entrada

sinal de saída

o, A

ntón

ioPa

scoa

l

5/Cap.10Março.2007

©M

. Isa

bel R

ibei

ro

• |G(jw1)| - ganho de amplitude para a frequência w1

• arg G(jw1) – desfasagem para a frequência w1


Função Resposta em Frequência

F ã R t F ê i G(j )

ω==ω

js)s(G)j(G

• Função Resposta em Frequência G(jw)– Função de transferência calculada ao longo do

eixo imaginário

• Para sistemas causais e estáveis• A Função Resposta em Frequência é a

Transformada de Fourier da Resposta Impulsional

)]t(h[TF)j(G =ω )]t(h[TF)j(G =ω

Representação gráfica da Função Resposta em Frequência

• Que funções é preciso representar ?• |G(jw)|• Arg G(jw)

• Que tipo de representação

o, A

ntón

ioPa

scoa

l

• Que tipo de representação• Diagrama de Bode• Diagrama de Nyquist• Diagrama de Nichols

Estudo daestabilidade deSLITs em cadeiafechada

6/Cap.10Março.2007

©M

. Isa

bel R

ibei

ro

RESPOSTA EM FREQUÊNCIADiagrama de BodeAproximação assimptótica

Representação gráfica da Função Resposta em FrequênciaRepresentação gráfica da Função Resposta em Frequência• 20 log|G(jw)| como função de w (escala logaritmica)• Arg G(jw) como função de w (escala logaritmica)

exemplo

2nn21

2nn11

)w/s(w/s21)(s1(s)w/s(w/s21)(sT1(K

)s(G22

11

+ξ+τ+

+ξ++=

2)w/jw(w/w2j1)(jwT1(K +ξ++

função de transferência

2nn21

nn11

)w/jw(w/w2j1)(s1(jw)w/jw(w/w2j1)(jwT1(K

)jw(G22

11

+ξ+τ+

+ξ++= função resposta em

frequência

Característica de amplitude

))w/jw(w/w2j1()s1(jw

))w/jw(w/w2j1()jwT1(K)jw(G

2nn21

2nn11

22

11

+ξ+τ+

+ξ++=

quociente de produtos de termos

O di d B d ( lit d ) tO diagrama de Bode (amplitude) representa

)jw(Glog20)jw(GdB=

2 ))w/jw(w/w2j1()jwT1(K)jw(G +ξ++++=

o, A

ntón

ioPa

scoa

l

dB

2nn2dB1dB

dBnn1dB1dB

))w/jw(w/w2j1()s1(jw

))w/jw(w/w2j1()jwT1(K)jw(G

22

11

+ξ+−τ+−−

+ξ++++=

soma algébrica de termosCaracterística de fase

7/Cap.10Março.2007

©M

. Isa

bel R

ibei

rotermosCaracterística de fase

))w/jw(w/w2j1arg()s1arg()jwarg(

))w/jw(w/w2j1arg()jwT1arg(K arg)jw(Garg2

nn21

2nn11

22

11

+ξ+−τ+−−

+ξ++++=


Diagrama de BodeAproximação assimptótica (exemplos)

K)s(G =dBdB

K)jw(G =

⎪⎧ > 0Kseº0função de transferência

K)jw(G =⎪⎩

⎪⎨⎧

<

>=

0K se º180

0K se º0)jw(Garg

função de transferência

função resposta em frequência

o, A

ntón

ioPa

scoa

l

180º

8/Cap.10Março.2007

©M

. Isa

bel R

ibei

ro



s10)s(G =

jw10)jw(G =

( ) wlog20dB20jw10)jw(GdBdBdB

−=−=

Recta com declive –20dB/década

passando em 0dB para w=1

º900)jwarg()10arg()jw(Garg −=−=

o, A

ntón

ioPa

scoa

l

• Qual é o ganho estático deste sistema ?

9/Cap.10Março.2007

©M

. Isa

bel R

ibei

ro• Qual é o ganho de baixa frequência ?• Declive da assímptota ? E se o sistema tivesse dois pólos na origem ?• Qual é a componente forçada da resposta deste sistema à entrada

r(t)=2sin(100t) ?



sT11)s(G+

=jwT11)jw(G

+=

( )2característica de amplitude

( )2dB

wT1log20)jw(G +−=

1wTT1w <<⇒<<Baixa frequência

dB01log20)jw(GdB

=−≅ assímptota de baixa

1wTT1w >>⇒>>Alta frequência

dB

Tlog20wlog20wTlog20)jw(GdB

−−=−≅

Recta com declive

frequência

assímptota de alta frequência

Recta com declive –20dB/década passando em 0dB para w=1/T

característica de fase

)wT(arctg)jwT1arg()jw(Garg −=+−=

1wTT1w <<⇒<<Baixa frequência º0)jw(Garg ≅

π

o, A

ntón

ioPa

scoa

l

1wTT1w >>⇒>>Alta frequência2

)jw(Garg π−≅

T1w =4

)jw(Garg π−=

10/Cap.10Março.2007

©M

. Isa

bel R

ibei

ro



sT11)s(G+

=jwT11)jw(G

+=

T=0.5Pólo = - 2

0 dB/dec

assimptota de baixa frequênciaassimptota de alta frequência

- 20dB/dec0 dB/dec

0º

- 45º

- 90º

o, A

ntón

ioPa

scoa

l

w=2rad/s – frequência de corte do pólo


©M

. Isa

bel R

ibei

ro



T 0

sT11)s(G+

=jwT11)jw(G

+=

T=0.5Pólo = - 2

3dB

2 200.2

5.71º

2 200.2

5.71º

T1w =

dB32log20)wT(1log20)jw(G 2dB

−=−=+−=

º45)j1arg()jw(Garg −=+−=

T101w = º71.510

j1arg)jw(Garg −=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +−=

o, A

ntón

ioPa

scoa

l

Um pólo de multiplicidade 1 contribui para a fase

T10 10g)j(g ⎟⎠

⎜⎝

T10w = ( ) º71.5º90j101arg)jw(Garg +−=+−=


©M

. Isa

bel R

ibei

roUm pólo de multiplicidade 1 contribui para a fase total com um ângulo que varia, de uma década

antes a uma década depois, de 0º a –90º passando a –45º na frequência de corte.


Diagrama de BodeLargura de Banda – Relação Tempo-Frequência

Largura de Banda (a 3dB)

• Banda de frequência na qual o módulo da função resposta em frequência não cai mais de 3dB emresposta em frequência não cai mais de 3dB em relação ao ganho de baixa frequência.

Ko

Ko-3dB

• A Largura de Banda traduz a capacidade de um

wwBW

sistema reproduzir mais ou menos perfeitamente os sinais aplicados à sua entrada

Num SLIT de 1ªordem, sem zeros,

Largura de Banda =frequência de corte do pólo

o, A

ntón

ioPa

scoa

l

corte do pólo


©M

. Isa

bel R

ibei

ro

LB=2rad/s


Diagrama de BodeLargura de Banda – Relação Tempo-Frequência

1

11 ws

w)s(G+

=2

22 ws

w)s(G+

=12 ww >

ganho estático unitário

w1 w2

o, A

ntón

ioPa

scoa

l

1/w11/w2

Largura de banda maior


©M

. Isa

bel R

ibei

ro

Resposta mais rápida


Diagrama de BodeAproximação assimptótica (exemplos) – pólo duplo

2)5s(250)s(G+

=

PERGUNTAS

• Ganho estático ?• Declive da

• Assimptota de baixa frequência• Assimptota de alta frequência

• Fase para B i f ê i• Baixas frequências

• Altas frequências

RESPOSTAS

• Ganho estático = G(s)|s=0 = 10 = 20dB• Declive da

• Assimptota de baixa frequência• O sistema não tem pólos nem zeros na origem• declive = 0db/dec

• Assimptota de alta frequência• # pólos - # zeros = 2• declive = -40dB/dec = 2 * (-20dB/dec)

• Fase para • Baixas frequências

• Sistema é de fase mínima• Sistema não tem pólos e zeros na origem• Fase para é igual a 0ºs/rad0w →

o, A

ntón

ioPa

scoa

l

• Fase para é igual a 0• Altas frequências

• Sistema é de fase mínima• # pólos - # zeros = 2• Fase para é igual a –180º

s/rad0w →

∞→w


©M

. Isa

bel R

ibei

ro

A contribuição para a amplitude e para a fase de um pólo duplo é a soma das contribuições

de dois pólos reais simples.


Diagrama de BodeAproximação assimptótica (exemplos) – pólo duplo

2)5s(250)s(G+

=

2)5s(250)s(G+

=2

10)s(G⎞⎛

=

forma das constantes de

tempo

)5s( + 2

5s1 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

Deste modo a assimptota de baixa frequência correspondente ao pólo duplo passa em 0dB

6dB6d

2*5.71ºo,

Ant

ónio

Pasc

oal-90º

2*5 71º

-180º


©M

. Isa

bel R

ibei

ro2*5.71º


Diagrama de BodeRelação Tempo Frequência

Sistema 1 Sistema 2

22 )5s(250)s(G+

=)5s(

50)s(G1 +=

Sistema de 1ª ordemPól l i l 5

Sistema de 2ª ordemPólo real duplo em 5

Sistema 1 Sistema 2

Pólo real simples em –5Ganho estático = 10

Pólo real duplo em –5Ganho estático = 10

• Qual dos dois sistemas tem a maior largura de banda?• Qual dos dois sistemas é mais rápido ?

s/rad 5LB1 =

s/rad 15.3LB2 ≅

Resposta a uma entrada escalãoCaracterística de amplitude junto da frequência de corte

o, A

ntón

ioPa

scoa

l


©M

. Isa

bel R

ibei

ro


Diagrama de BodeAproximação assimptótica (exemplos) – pólo na origem e pólos reais não nulos

)100s)(10s(s100)s(G

++=

• Ganho estático ?

3 pólos Assimptota de alta frequência com declive de 3*(-20) = - 60dB/dec

0 zeros3 (-20) = - 60dB/dec

)100/s1)(10/s1(s1.0)s(G++

=

0.1 1 10 100 1000

- 20

- 40

- 60

- 80

- 100o,

Ant

ónio

Pasc

oal

- 90º

- 180º

0º


©M

. Isa

bel R

ibei

ro


- 270º


Diagrama de BodeAproximação assimptótica (exemplos) - – pólo na origem e pólos reais não nulos

)100s)(10s(s100)s(G

++=

• Ganho estático ?

3 pólos Assimptota de alta frequência com declive de 3*(-20) = - 60dB/dec

0 zeros3 (-20) = - 60dB/dec

)100/s1)(10/s1(s1.0)s(G++

=

0.1 1 10 100 1000

- 20

- 40

- 60

- 80

- 100o,

Ant

ónio

Pasc

oal

- 90º

- 180º

0º


©M

. Isa

bel R

ibei

ro


- 270º



Q l é t ib i ã d f t d ti (1+j T) ?• Qual é a contribuição de um factor do tipo (1+jwT) ?Características assimptóticas de amplitude e fase simétricas

relativamente às obtidas para um pólo real com a mesma frequência de corte

2)wT(1log20jwT1log20 +=+ )(gjg

1wT >> Tlog20wlog20)wTlog(20)wT(1log20 2 +=≅+

+ 20dB/dec

T=0.1

20

90º

3dB20

45ºo,

Ant

ónio

Pasc

oal

Um zero de multiplicidade 1 contribui para a fase

frequência de corte do zero


©M

. Isa

bel R

ibei

ro


Um zero de multiplicidade 1 contribui para a fase total com um ângulo que varia, de uma década

antes a uma década depois, de 0º a 90º passando a +45º na frequência de corte.


Diagrama de BodeAproximação assimptótica (exemplos) – um pólo e um zero reais

)1.0s()10s(1.0)s(G

++

=

contribuição do zero

ganho estático

20dB

40dB

-20dB/dec

ganho estático

0.01 0.1 1 10 100 w (rad/s)

-20dB

-40dB Excesso pólos-zeros = 0

Assimptota de alta frequência com declive nulo

90º

p q

90

45º

0º0.01 0.1 1 10 100 w (rad/s)

o, A

ntón

ioPa

scoa

l

- 90º

- 45º

Não há pólos nem zeros na origem Excesso pólos zeros = 0


©M

. Isa

bel R

ibei

ro


p g

A fase para muito baixa freq. é nulaExcesso pólos-zeros = 0

A fase para muito alta freq. é nula


Diagrama de BodeRelação Tempo-Frequência

• Ganho de Baixa Frequência

00wK)jw(Glim =

→ganho estático do sistema

y(t)lim)s(G limKt0s0 ∞→→

==Para uma entrada escalão unitárioGanho da

Resposta em Frequência à frequência w=0q

2)1s(s)s(G+

=2)1s(

1)s(G+

=

1 100.1 0.1 1 100dB0dB

-20dB -20dB

-40dB-40dB

+20dB/dec-20dB/dec

-40dB/deco,

Ant

ónio

Pasc

oal


©M

. Isa

bel R

ibei

ro



Diagrama de BodeAproximação assimptótica (exemplos) – pólos complexos

10 <ζ≤

2nn

2

2n

wsw2sw)s(G

+ζ+= ganho estático

unitário2

1)jw(G⎞⎛

=

10 <ζ≤

2

nn ww

ww2j1

)j(

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−ζ+

2

Característica de amplitude

2

nndB w

www2j1 log20)jw(G ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−ζ+−=

22

2

2

dB ww2

ww1log20)jw(G ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ζ+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=

nn ww ⎠⎝⎠⎝

nww << dB0)jw(GdB≅ Assimptota de baixa frequência

nww >>2

n

2

2n

2

dB ww2

wwlog20)jw(G ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ζ+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−≅

n

2

n wwlog40

wwlog20 −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−≅

Assimptota de alta

o, A

ntón

ioPa

scoa

l

nn ww ⎠⎝frequência

Declive de –40dB/dec

passando em 0dB para w=wn


©M

. Isa

bel R

ibei

ro


w=wn é a frequência de corte associada ao par de pólos complexos conjugados



10 <ζ≤

2nn

2

2n

wsw2sw)s(G

+ζ+=

10 <ζ≤

1.0=ζ

2.0=ζ

3.0=ζ

5.0=ζ

22707.0 ==ζ

o, A

ntón

ioPa

scoa

l707.00 <ζ<Para a característica real apresenta um pico de ressonânica

2nr 21ww ζ−= frequência de

ressonância


©M

. Isa

bel R

ibei

ro


nr ζ ressonância

nr w w 0 →⇒→ζnr ww <



10 <ζ≤

2nn

2

2n

wsw2sw)s(G

+ζ+=

10 <ζ≤1.0=ζ

2.0=ζ

3.0=ζ

5.0=ζ

22707.0 ==ζ1=ζ

dB6

707.00 <ζ<Para a característica real apresenta um pico de ressonânica

2nr 21ww ζ−=

2r121)jw(G

ζζ=

o, A

ntón

ioPa

scoa

l

212 ζ−ζ

ζ=

21)jw(G n

em unidades lineares, numa situação de ganho estático unitário


©M

. Isa

bel R

ibei

ro


Para embora haja sobreelevação na resposta no tempo não há ressonância na resposta em frequência

707.0>ζ



10 <ζ≤

2nn

2

2n

wsw2sw)s(G

+ζ+=

1)jw(G

10 <ζ≤

)jww2s)(jww2s(w)s(G

dndn

2n

−ζ++ζ+=

2

nn ww

ww2j1

)jw(G

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−ζ+

=

Característica de fasejw

212

n

n

ww1

ww2

arctg)jw(Garg θ−θ−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

ζ−=

njw

nww <<

σ1jw

θ1º0)jw(Garg ≅

nww >>

σθ2

º180)jw(Garg −≅

nww = º90)jw(Garg −=

o, A

ntón

ioPa

scoa

l


©M

. Isa

bel R

ibei

ro


w=wn é a frequência de corte associada ao par de pólos complexos conjugados



10 <ζ≤

2nn

2

2n

wsw2sw)s(G

+ζ+=

1)jw(G

10 <ζ≤

)jww2s)(jww2s(w)s(G

dndn

2n

−ζ++ζ+=

2

nn ww

ww2j1

)jw(G

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−ζ+

=

1.0=ζ

2.0=ζ

3.0=ζ

5.0=ζ

27070ζ 22707.0 ==ζ

1=ζ

o, A

ntón

ioPa

scoa

l

0=ζComo são os diagramas de amplitude e fase para ?


©M

. Isa

bel R

ibei

ro


ζg p p

Como é o diagrama de Bode (amplitude e fase) para um par de zeros compexos conjugados?


Diagrama de BodeSistema com pólos complexos – Tacoma Narrows Bridge

Tacoma Narrows• em Puget Sound, junta da localidade de Tacoma, Washington

• Ponte suspensa aberta ao tráfego só alguns meses• Em 7.Nov.1940 a ponte caiu pelo efeito de forças que nela

t ti l d tactuavam, em particular do vento

O f f

o, A

ntón

ioPa

scoa

l• O efeito do vento induziu uma excitação na frequência natural do sistema

• O sistema tinha um comportamento (macro) como o de um sistema de 2ª ordem com pólos complexos conjugados


©M

. Isa

bel R

ibei

ro


http://cee.carleton.ca/Exhibits/Tacoma_Narrows/http://maclab.alfred.edu/students/harttm/default.htmlhttp://www.urbanlegends.com/science/bridge_resonance.html


Diagrama de BodeSistemas de Fase Não Mínima

10s)s(G += 10s)s(G −

1s)s(G1 +=

1s)s(G2 +=

sistema de fase mínima sistema de fase não mínima

10wj1

10)jw(G+

10wj1

10)j(G−

jw110.10)jw(G1 +

=jw110.10)jw(G2 +

−=

2

2

211

10w1

.10)jw(G)jw(G⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

==

a mesma característica de

amplitude2w1+

)w(arctg10warctg)jw(Garg 1 −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= )w(arctg

10warctgº180)jw(Garg 2 −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+=

zθθ pθpθ pθzθ

pz1 )jw(Garg θ−θ=pz2 )jw(Garg θ−θ=

180º

-10 -1 -1 10o,

Ant

ónio

Pasc

oal

0º

90º0.1 1 10 100

0º

90º0.1 1 10 100

180º


©M

. Isa

bel R

ibei

ro


- 90º - 90º


Diagrama de BodeSistemas de Fase Não Mínima

10s)s(G += 10s)s(G −

1s)s(G1 +=

1s)s(G2 +=

sistema de fase mínima sistema de fase não mínima

o, A

ntón

ioPa

scoa

l


©M

. Isa

bel R

ibei

ro



Diagrama de BodeIdentificação de Sistemas

3 S• 3 SLITs• Todos com a mesma característica de amplitude• Características de fase distintas

Sistema 1

Sistema 2o,

Ant

ónio

Pasc

oal

Sistema 3


©M

. Isa

bel R

ibei

ro



Diagrama de BodeIdentificação de Sistemas

• 3 SLITs3 SLITs• Todos com a mesma característica de amplitude• Características de fase distintas

( )10s1s10)s(G

±±

±=

Sistema 1

Sistema 2

Sistema 3

o, A

ntón

ioPa

scoa

l


©M

. Isa

bel R

ibei

ro


10s1s10)s(G1 +

−=

10s1s10)s(G2 −

+−=

10s1s10)s(G3 +

+=


Diagrama de BodePólos dominantes e não dominantes

*25 25)25s4s)(as(

a*25)s(G 2 +++=

)25s4s(25)s(G 2 ++

=

a=1a=3

a=8

a=8

o, A

ntón

ioPa

scoa

l

a=1

a=3


©M

. Isa

bel R

ibei

ro


a 1


Diagrama de BodePólos dominantes e não dominantes

ww ζζ2nnp

2

2nnz

2

2n

2n

pp

zz

z

p

wsw2swsw2s

ww

)s(G+ζ+

+ζ+= Sistema 1 1 0.2 1 0.5

Sistema 2 1 0.7 1 0.5Sistema 3 1 0.5 1.2 0.5Sistema 4 1.2 0.5 1 0.5

pnzn w wpz

ζζ

identifique os sistemasidentifique os sistemas

o, A

ntón

ioPa

scoa

l


©M

. Isa

bel R

ibei

ro


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