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EM 621 - DMC - UNICAMP

AVALIAÇÃO DE DESEMPENHOAVALIAÇÃO DE DESEMPENHO

■ Introdução■ Análise no domínio do tempo

• Resposta ao degrau• Resposta à rampa• Resposta à parábola

■ Análise no domínio da freqüência• Diagramas de Bode• Diagrama de Nyquist• Diagrama de Nichols

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IntroduçãoIntrodução

■ Deseja-se atingir um desempenho que deve serespecificado tecnicamente em termos da resposta asinais padronizados:• no domínio do tempo (última aula)• no domínio da freqüência

– Diagramas de Bode– Diagramas de Nyquist– Diagramas de Nichols


No domínio do tempoNo domínio do tempo

■ Os parâmetros da resposta ao degrau são os maisusados

• Percentual de sobressinal (fator de amortecimento)• Tempo de estabilização (constante de tempo)• Erro estacionário (ganho estático)• Tempo de subida• Tempo de atraso

■ O erro estacionário da resposta à rampa é também umaespecificação muito comum


No domínio da freqüênciaNo domínio da freqüência

■ São utilizados os seguintes diagramas

• Diagramas de Bode (principal ferramenta)• Diagramas de Nyquist• Diagramas de Nichols

■ Basicamente, representando o comportamento dosistema na resposta a excitações harmônicas


Função de transferênciaFunção de transferência

■ A função de transferência é definida como a relação entre a transformadade Laplace da saída sobre a entrada de uma dada planta para condiçõesiniciais nulas.

■ Para um sistema linear, invariante no tempo, a saída para uma entradasenoidal de uma dada freqüência corresponde à

■ onde é mantida a freqüência e existe uma relação de amplitude e umarelação de fase

)(

)()(

sU

sYsP =

)sin()(

)sin()(

000

00

φωω

+==

tYty

tUtu


Módulo e fase da função de transferênciaMódulo e fase da função de transferência

■ Considerando a função de transferência tomada no eixoimaginário, pode-se escrever para a resposta a uma excitaçãosenoidal

■ A função de transferência pode ser escrita em termos de umafunção amplitude e uma função fase

■ Assim resulta para a saída

)()()( ωωω jUjPjY =

)()()(

)()()(

0000

0000

ωωφωωωω

jUjjY

jUjMYjY

∠+Φ==∠==

)()()( ωωω jjMjsP Φ∠==


Diagramas de BodeDiagramas de Bode

■ Método mais comum de representação docomportamento da resposta em freqüência

■ São usados o gráfico das amplitudes e o gráfico dasfases para cada freqüência da excitação harmônica

■ O gráfico das amplitudes é apresentado na unidade“deciBel” dB, AdB=10*log10(As/Ae)2 = 20*log10(As/Ae)

■ O gráfico das fases é apresentado na unidade “graus”■ Ambos têm no eixo horizontal o logaritmo da freqüência

angular (em rad/s)■ Corresponde à descrição da função de transferência

calculada no eixo imaginário do plano complexo ω= js


Exemplo de diagramas de BodeExemplo de diagramas de Bode

■ Os diagramas aolado correspondema uma função detransferênciade segunda ordem

wn=2;

zeta=0.2;

np=wn^2;

dp=[1 2*zeta*wn wn^2];

sys=tf(np,dp);

bode(sys)


Observações imediatasObservações imediatas

■ O ganho estático(ω=0) é unitário (0 dB)

■ A resposta para é nula

■ A curva da amplitudepassa por um pico

■ A fase inicia em zero,e tende a –180 graus,com a transiçãoprincipal na freqüênciado pico da amplitude

10-1

100

101

-30

-20

-10

0

10Diagramas de Bode

Am

plitu

de (

dB)

10-1

100

101

-200

-150

-100

-50

0

Freqüência angular (rad/s )

Fas

e (g

rau)

∞→ω


Efeito de um pólo em zeroEfeito de um pólo em zero

■ Considerandoa função detransferência

P(s)=1/s

np =[1];dp=[1 0];bode(np,dp);


Efeito de um pólo genéricoEfeito de um pólo genérico


P(s)=1/(s+1)

np =[1];dp=[1 1];bode(np,dp);


Efeito de um pólo duplo em zeroEfeito de um pólo duplo em zero


P(s)=1/s2

np =[1];dp=[1 0 0];bode(np,dp);


Efeito de um pólo duplo genéricoEfeito de um pólo duplo genérico

■ Considerando afunção detransferência

P(s)=1/(s+1)2

np =[1];dp=[1 2 1];bode(np,dp);


Efeito devido a pólosEfeito devido a pólos

■ Pode-se concluir pela observação dos diagramasanteriores que um pólo simples acarreta uma quedaassintótica na amplitude de 20 dB/década (ou 6dB/oitava), a partir da freqüência respectiva do pólo e–90o na fase

■ Um pólo duplo acarreta o mesmo efeito porém comuma taxa de 40 dB/dec e –180 graus na fase

■ O mesmo ocorre para um pólo complexo devido ao parconjugado

■ Pode-se inferir 20*n dB/década de taxa para um pólode multiplicidade n e -90*n graus na fase


Efeito de um zero em zeroEfeito de um zero em zero


P(s)=s

np =[1 0];dp=[1];bode(np,dp);


Efeito de um zero genéricoEfeito de um zero genérico


P(s)=s+1

np =[1 1];dp=[1];bode(np,dp);


Efeito de um zero duplo em zeroEfeito de um zero duplo em zero


P(s)=s2

np =[1 0 0];dp=[1];bode(np,dp);


Efeito de um zero duplo genéricoEfeito de um zero duplo genérico

■ Considerando afunção detransferência

P(s)=(s+1)2

np =[1 2 1];dp=[1];bode(np,dp);


Efeito devido a zerosEfeito devido a zeros

■ Pode-se concluir de modo similar que um zero simplesacarreta uma subida assintótica na amplitude de20 dB/década (ou 6 dB/oitava), a partir da freqüênciarespectiva do pólo e 90 graus na fase

■ Um zero duplo acarreta o mesmo efeito porém comuma taxa de 40 dB/dec e 180 graus na fase

■ O mesmo ocorre para um zero complexo devido ao parconjugado

■ Pode-se inferir 20*n dB/dec de taxa para um zero demultiplicidade n e 90*n graus na fase


Considerando um passa-baixaConsiderando um passa-baixa

■ Para a função detransferência

P(s)=(s+10)/(s+1)

np =[1 10];dp=[1 1];bode(np,dp);


Ressaltando as Ressaltando as assíntotasassíntotas

■ Observa-se aexistência detrês assíntotas:- para baixasfreqüências- ao passarpelo pólo- ao passarpelo zero

-20 dB/dec

+20 dB/dec


Planta de segunda ordemPlanta de segunda ordem

■ Para os diagramas apresentados a seguir, será consideradasempre a seguinte planta de 2a. ordem, para a qual seráconsiderada uma freq. natural de 2 rad/s e um fator deamortecimento de 0,2.

• %planta de 2a ordem

• clear all

• wn=2;

• zeta=0.2;

• np=wn^2;

• dp=[1 2*zeta*wn wn^2];

• sys=tf(np,dp);

22

2

2)(

)(

n

n

sssU

sY

n ω+ζω+ω=


Diagramas de BodeDiagramas de Bode

■ Domínio da freqüência

■ Gráficos log-log■ Módulo em decibel

■ Fase em graus■ w=logspace(-1,1,200);

■ [mod fas]=bode(sys,w);

■ modb(:,:)=20*log10(mod(1,:,:));

■ fase(:,:)=fas(1,:,:);

■ subplot(211)

■ semilogx(w,modb), grid

■ title(’Diagramas de Bode’);

■ ylabel(’Amplitude (dB)’)

■ subplot(212)

■ semilogx(w,fase), grid

■ ylabel(’Fase (grau)’)

■ xlabel('Freqüência angular (rad/s)')

10-1

100

101

-30

-20

-10

0

10Diagramas de Bode

Am

plitu

de (

dB)

10-1

100

101

-200

-150

-100

-50

0

Freqüência angular (rad/s )

Fas

e (g

rau)


Especificações no domínio da freqüênciaEspecificações no domínio da freqüência

■ Os seguintes parâmetros podem ser especificados• Pico da ressonância: corresponde ao valor máximo do

diagrama da amplitude do sistema de segunda ordem• Freqüência de ressonância: a freqüência que leva o

diagrama da amplitude ao seu valor máximo• Banda de passagem: é a freqüência em que a amplitude

cai de 3dB em relação ao ganho estático (isto correspondea 70,7% do ganho estático em escala linear, ou 1/√2)

• Taxa de queda: a taxa com que a curva cai após passarpela ressonância (“roll-off”)

3 dB

BW


Pico de ressonânciaPico de ressonância

■ O pico de ressonânciaestá ligado ao fator deamortecimento, e portantoao sobressinal. Pode-sechegar à seguinte relação,derivando-se a expressãoda amplitude e igualando-a a zero.

0,707p/ 12

12

≤ζζ−ζ

=pM


Freqüência de ressonânciaFreqüência de ressonância

■ A freqüência deressonância estárelacionada com afreqüência natural e com ofator de amortecimento.Pode-se chegar à seguinterelação entre eles

0,707p/ 21 2 ≤ζζ−=ωω

n

r


Banda de passagemBanda de passagem

■ A banda de passagemestá relacionada com afreqüência natural e com ofator de amortecimento.Pode-se chegar à seguinterelação entre eles

24421 242 +−+−= ζζζωω nb


Funções de transferência de fase mínimaFunções de transferência de fase mínima

■ Uma FT é chamada de função de transferência de fasemínima se todos os seus zeros estiverem no ladoesquerdo do plano complexo

■ É chamada de fase não-mínima se existir algum zerodo lado direito do plano complexo

■ Para duas FT’s com zeros iguais em módulo e sinaisopostos, o diagrama de amplitude é o mesmo


Efeitos de pólos e zerosEfeitos de pólos e zeros

■ Pode-se genericamente afirmar que

• Acrescentando-se um pólo a banda de passagem diminui,e portanto diminui a velocidade de resposta

• Acrescentando-se um zero, a banda de passagemaumenta, portanto acelerando a resposta do sistema

• Ressalte-se porém que tais efeitos não são verificadosnecessariamente em todos os casos, dependendo do valordos pólos e zeros


Diagrama polarDiagrama polar

■ Eliminando-se a freqüência nos diagramas de Bode, pode-setraçar um diagrama polar para cada par M(jω), Φ(jω)


Diagrama de Diagrama de NyquistNyquist

O gráfico polar é também conhecido como diagrama de Nyquist, e seuuso principal é para a avaliação da estabilidade (critério de Nyquist)

■ w=logspace(-1,1,200);

■ w2=linspace(0,2*pi,200);

■ ejw=exp((j*w2));

■ r2=real(ejw);

■ i2=imag(ejw);

■ [r1,i1]=nyquist(sys,w);

■ re(:,:)=r1(1,:,:);

■ im(:,:)=i1(1,:,:);

■ figure(2)

■ plot(r2,i2,re,im,’r*’), grid

■ title('Diagrama de Nyquist');


AlternativamenteAlternativamente

Diagrama vetorial de Nyquistpara freqüências{0 1 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 3 4}

■ w3=[0 1 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 3 4];

■ [r3,i3]=nyquist(sys,w3);

■ nyq2=r3+j*i3;

■ figure(3), compass(nyq2)

0.5

1

1.5

2

2.5

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0


Diagrama de Diagrama de NicholsNichols

Gráfico retangular, eliminando-se a freqüência a partir do diagramade Bode e mantendo-se as unidades respectivas

■ w=logspace(-1,1,200);

■ [mod fas]=bode(sys,w);

■ modb(:,:)=20*log10(mod(1,:,:));

■ fase(:,:)=fas(1,:,:);

■ plot(fase,modb)

■ hold on

■ nichols(sys,w,’*’)

■ hold off

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