diagramas de nyquist e nichols considere o sistema dado por: É possível determinar um valor de k...

Diagramas de Nyquist e Nichols• Considere o sistema dado por:

• É possível determinar um valor de K para o qual o sistema é estável, sem o conhecimento exato de G(s)?

Sim, se for possível medir a resposta no domínio da freqüência do sistema de malha aberta.

• Em sistemas lineares:

FONTE: http://www.ame.arizona.edu/courses/ame455/L16.pdf

Diagramas de Nyquist• Magnitude M() de malha fechada e fase :

• Dentre as representações no domínio da freqüência, há os gráficos de Bode e o diagrama de Nyquist:

Diagramas de Nyquist – Caso 1• Como no estudo de projeto de compensadores no

domínio da freqüência, estamos interessados no estudo da função de transferência de malha aberta G(s)H(s) para tirar conclusões a respeito do sistema em malha fechada:

Caso 1:

Diagramas de Nyquist – Caso 2

Caso 2:

Exemplo Matlab:

f2=tf(1,[1

2]);%GH=1/(s+2)

figure;nyquist(f2);

Diagramas de Nyquist – Caso 3 Caso 3:

Exemplo Matlab:

f3=tf([1 2],1); %GH=s+2

figure;nyquist(f2);


Exemplo Matlab:

f4=tf(1,[1 0]); figure;nyquist(f4);

(Eixo imaginário negativo)

90

Caso 5:

Exemplo Matlab:

f5=tf(1,[1 0 0 0]); %n=3 figure;nyquist(f5);


Caso 5-b:

Exemplo Matlab:

f5b=tf([1 0],1); %n=-1 figure;nyquist(f5b);

Diagramas de Nyquist – Caso 5n = – 1 G(s)H(s) = s

Eixo imaginário positivo

Caso 6:


Caso 6:

Exemplo Matlab:

wn2=2; wn=sqrt(2);

zeta = 0.5;

nf6=wn2;

df6=[1 2*zeta*wn wn2]; f6=tf(nf6,df6);

figure;nyquist(f6);


Exemplo Matlab:

wn2=2; wn=sqrt(2);

zeta1 = 0.1; zeta2 = 0.3;zeta3 = 0.5; zeta4 = 0.7;zeta5 = 0.9; zeta6 = 1.0;zeta7 = 1.2;

nf6b=wn2;

df61=[1 2*zeta1*wn wn2];df62=[1 2*zeta2*wn wn2];df63=[1 2*zeta3*wn wn2];df64=[1 2*zeta4*wn wn2];df65=[1 2*zeta5*wn wn2];df66=[1 2*zeta6*wn wn2];df67=[1 2*zeta7*wn wn2];f61=tf(nf6b,df61);f62=tf(nf6b,df62);f63=tf(nf6b,df63);f64=tf(nf6b,df64);f65=tf(nf6b,df65);f66=tf(nf6b,df66);f67=tf(nf6b,df67);figure;nyquist(f61,f62,f63,f64,f65,f66,f67);


Sistemas de segunda ordem - revisão• Função de transferência senoidal (de malha fechada):

FONTE: http://www.ame.arizona.edu/courses/ame455/L6.pdf

Diagramas de Bode de malha fechada

Diagramas de Bode de malha fechada

• Em que freqüência ocorre o pico de ressonância, no diagrama de Bode de malha fechada? Naquela em que o denominador é mínimo.


Exemplo Matlab:

wn2=2; wn=sqrt(2);

zeta1 =0.1; zeta2 =0.3; zeta3 =0.5; zeta4 =0.7; zeta5 =0.9; zeta6 =1.0;zeta7 = 1.2;

nf71=[1/wn2 2*zeta1/wn 1];nf72=[1/wn2 2*zeta2/wn 1];nf73=[1/wn2 2*zeta3/wn 1];nf74=[1/wn2 2*zeta4/wn 1]; nf75=[1/wn2 2*zeta5/wn 1]; nf76=[1/wn2 2*zeta6/wn 1]; nf77=[1/wn2 2*zeta7/wn 1];

Diagramas de Nyquist – Caso 7Exemplo Matlab (continuação):

f71=tf(nf71,1);f72=tf(nf72,1); f73=tf(nf73,1);f74=tf(nf74,1); f75=tf(nf75,1);f76=tf(nf76,1); f77=tf(nf77,1); figure;nyquist(f71,f72,f73,f74,f75,f76,f77);

• Exemplo 1: Trace o diagrama de Nyquist da função:

Diagramas de Nyquist – Exemplo 1

Sistema do tipo 0

• Exemplo 1: No Matlab, para K = 20:

Exemplo Matlab:

K=20;

numex1=K; denex1=[2 1];

fex1=tf(numex1,denex1);

figure;nyquist(fex1);


• Exemplo 2: Trace o diagrama de Nyquist para:


Sistema do tipo 1

• Exemplo 2: (continuação)


Sistema do tipo 1

• Exemplo 2: (continuação)

Exemplo Matlab:numex2=10;

denex2=conv([1 0],[4 1]);

fex2=tf(numex2,denex2);

figure;nyquist(fex2);


• Exemplo 3: Trace o diagrama de Nyquist para:


Sistema do tipo 1

Diagramas de Nyquist – Exemplo 3• Exemplo 3: (continuação)

Diagramas de Nyquist – Mapeamento F(s)• Mapeamento conforme (Teorema de Cauchy) e estabilidade:

- Para analisar a estabilidade, deve-ser responder à pergunta: o sistema em malha fechada possui pólos no SPD do plano-s ?

- Em outras palavras, existem soluções de 1 + G(s)H(s) = 0 no SPD?

- Problema a ser resolvido: determinar o número de soluções (ou zeros) de 1 + G(s)H(s) = 0 no SPD, usando apenas as informações presentes em G(j), para – < < .

- Para tanto, precisamos recapitular o conceito de mapeamento conforme da análise de números complexos.

- A variável complexa s define um plano (que temos chamado de plano complexo s), onde s = + j.

- Vamos definir um outro plano complexo, = + j.

Diagramas de Nyquist - Mapeamento• Mapeamento conforme :

- Estamos interessados em mapear os contornos no plano-s por uma função F(s) = 1 + G(s)H(s) = 0 (i.e., a equação característica).

- Um mapeamento de contornos é um contorno ou uma trajetória em um plano mapeado em outro plano por uma relação F(s).

-Um mapeamento que preserva o tamanho e a orientação dos ângulos (em um ponto z0) entre duas curvas que se interceptam em um dado ponto z0 é dito conforme em z0. Um mapeamento que é conforme em qualquer ponto do domínio D é dito conforme em D.

- Em um mapeamento conforme, cada par de linhas ortogonais em um domínio é transformado em um par de curvas ortogonais no outro domínio.

CCf :

plano-s plano-F(s)F(s)

• Seja G(s) qualquer função racional em s:

)( )(

)( )( )(

1

1

n

mpsps

zszsKsG

• Especificando-se = G(s), então G torna-se um mapeamento do plano-s para o plano .

Mapeamento conforme G(s)FONTE: http://www.enel.ucalgary.ca/People/Westwick/Courses/ENEL441/index.html - Lectures 27 a 29.

• Se G(s), a função de mapeamento, é contínua, então pequenas mudanças em s levam a pequenas mudanças em . Assim, linhas/curvas contínuas no plano s serão mapeadas em trajetórias/curvas contínuas no plano .

• Suponha, por exemplo, que G(s) = s + a.

• Trace um círculo (no sentido horário) em torno do zero s = – a.

Qual será a imagem deste círculo no plano ?

• O círculo será deslocado para a direita de a unidades, de modo a

envolver a origem (também no sentido horário).

• Assim, se o contorno envolve um zero em s = – 1, sua imagem irá

envolver a origem (na mesma direção).

0)( assGas

Mapeamento conforme G(s)

• E o que ocorre se G(s) = 1/ (s + a) ?

• Trace um círculo (no sentido horário) de raio r em torno do pólo s = – a. Qual será a imagem deste círculo no plano ?

j

j

reas

reas

20: ,

jer

as

sG

1

)(1

)(

Assim, ao envolver um pólo na direção horária, a imagem envolve a origem, mas na direção contrária (anti-horário).

Mapeamento conforme G(s)FONTE: http://www.enel.ucalgary.ca/People/Westwick/Courses/ENEL441/index.html - Lectures 27 a 29.

Considere agora G(s) = 2s + 1 e o mapeamento de um quadrado unitário do plano s para o plano .• plano-s: A = 1 + j1 plano-: G(s) = 2sA + 1 = 3 + j2 Aplano- = 3 + j2.

• plano-s: De A = 1 + j2 para B = 1 – j1 G(s) = 2sA+1 = 3+j2 para G(s) = 2sB+1 =

3– j2.

Mapeamento conforme G(s)FONTE: http://oldeee.see.ed.ac.uk/public/courses/control/Nyqusit.ppt

Mapeamento conforme G(s)

A, B, C, Dplano-s A, B, C, Dplano-

• Observe que um contorno fechado no plano-s resulta em um contorno fechado no plano-. • E se G(s) = s/(s+2), como fica o mapeamento do mesmo quadrado unitário?

plano G(s)

plano-s

j

G(s)

A, B, C, Dplano-s A, B, C, Dplano- Observe que o contorno no plano-s envolve a origem, um zero de G(s) o contorno resultante no plano-G(s) envolve a origem do plano-G(s) uma vez no sentido horário.

plano G(s)plano-sj


Para obter os valores de A,B,C,D no plano G(s), consulte o link relativo ao capítulo 9 do livro do Dorf: http://ssami.gwu.ac.kr/lecture/Control/control-9.doc

2)(

ss

sG

G(s) = s/(s + 1/2) a, b, c, d, e, f, g, h plano-s a, b, c, d, e, f, g, h plano-

O contorno no plano-s envolve um zero e um pólo de G(s) O contorno resultante no plano-G(s) não envolve a origem.


plano G(s)plano-s

j

Considere uma função complexa G

Mapeamento conforme G(s)FONTE: http://www.ame.arizona.edu/courses/ame455/L17.pdf

)3)(2()1(

exemplopor ; )(

)()(

sss

ps

zssG

j

i

21132

1 )( ; )( tt sGll

lsGM

Mapeamento conforme G(s)FONTE: http://www.ame.arizona.edu/courses/ame455/L17.pdf

21132

1 )( ; )( tt sGll

lsGM

A imagem do caminho envolvendo o zero envolve a origem uma vez no sentido horário. A imagem do caminho envolvendo o pólo envolve a origem uma vez no sentido anti-horário. A imagem do caminho que não envolve nem pólos nem zeros não envolve a origem.

Teorema de CauchyFONTE: http://oldeee.see.ed.ac.uk/public/courses/control/Nyqusit.ppt

• Se um contorno TS no plano-s envolve Z zeros e P pólos de G(s) e não passa por nenhum pólo ou zero de G(s) e se o trajeto for na direção horária ao longo do contorno, o correspondente contorno TG no plano-G(s) envolve a origem do plano-G(s) N = Z – P vezes na direção horária.

• Assim, nos dois exemplos anteriores (G(s) = 2s + 1 e G(s) = s/(s+2) ) a origem do plano-G(s) foi envolvida N = Z – P = 1 vez no sentido horário. Por outro lado, no exemplo G(s) = s/(s + 1/2) , a origem do plano-G(s) não foi envolvida, uma vez que N = Z – P = 0.

• Para melhor entender o teorema, considere G(s) em termos dos ângulos devidos a cada pólo e zero à medida que o contorno TS é percorrido na direção horária.

• Considere G(s)=(s+z1) (s+z2)/ [(s+p1) (s+p2)] |G(s)|=|s+z1| |s+z2|/ [|s+p1| |s+p2|] e G(s) = (s+z1) + (s+z2) – (s+p1) – (s+p2)


• Considerando os vetores para um contorno específico, pode-se determinar os ângulos à medida que s percorre o contorno.

• A contribuição líquida dos ângulos varia à medida que s percorre o contorno em uma rotação completa de 360o.

plano G(s)

plano-s

j

contorno TG

contorno T S

Fz1+ z2

– p1 –

p2


• A variação angular líquida para p1, p2

e z2 , à medida que s

percorre o contorno TS completo de 360o, é nula.

• No entanto, o ângulo z1 varia 360o na direção horária à medida que s percorre o contorno em uma rotação completa de 360o.

• Assim, à medida que s percorre o contorno em uma rotação completa de 360o no sentido horário, a variação líquida de F é de +360o. (isto porque um zero de G(s) é envolvido por TS ).

plano G(s)plano

s

j

contorno TGcontorno

T S

Fz1+ z2

– p1 – p2

Teorema de CauchyFONTE: DORF, capítulo 9.

• Se Z zeros forem envolvidos pelo contorno TS , a variação líquida dos ângulos seria igual a 2Z, em radianos.

• Seguindo o raciocínio, se Z zeros e P pólos forem envolvidos pelo contorno TS , a variação líquida do ângulo F será igual a 2Z – P), em radianos.

• Assim, o número de envolvimentos da origem pelo contorno TG no plano G(s) é dado por:

PZPZ

N

2

)(2

Teorema de CauchyFONTE: DORF, capítulo 9.

N = Z – P = 3 – 1 = 2

Teorema de NyquistFONTE: http://oldeee.see.ed.ac.uk/public/courses/control/Nyqusit.ppt

Para a estabilidade, todas as raízes (zeros) de F(s) = 1 + G(s)H(s) = 0 devem estar no SPE do plano-s.

Para tanto, escolhe-se no plano-s um contorno que envolve todo o SPD do plano-s (Contorno de Nyquist) e determina-se se algum zero de F(s) encontra-se envolvido pelo contorno usando o Teorema de Cauchy. Isto é, plota-se um contorno no plano-F(s) correspondendo ao contorno especificado no plano-s e observa-se se há envolvimento da origem por este contorno em F(s). O contorno de Nyquist passa pelo eixo j, de – j a +j. Esta parte do contorno fornece F(j). O contorno é completado adicionando-se uma trajetória semi-circular de raio r, onde r .

0

)(

)(

)()(1)(

1

1

P

ik

Z

jk

ps

zsK

sHsGsF

Contorno de Nyquist O critério de Nyquist basea-se nas raízes (zeros) de F(s) = 1 + G(s)H(s) e no número N de envolvimentos no sentido horário da origem no plano-F(s). TF(s): Z (número de zeros envolvidos pelo contorno no plano-F(s)) = N + P.

Assim, para mapear a imagem de 1 + G(s)H(s), basta transladar o contorno de G(s)H(s) para a direita de 1 unidade (e então contar o número de envolvimentos da origem).

Alternativamente, podemos reescrever esta equação como: F*(s) = F(s) – 1 = G(s)H(s) e contar o número de envolvimentos na direção horária do ponto – 1.

Diagrama polar de G(s)H(s) = Diagrama de Nyquist para G(s)H(s).

Critério de estabilidade de NyquistFONTE: http://oldeee.see.ed.ac.uk/public/courses/control/Nyqusit.ppt

Critério de Estabilidade de Nyquist: Z = N + P, onde:

• Z é o número de pólos de malha fechada do sistema (= zeros de 1 + G(s)H(s) ) no SPD;

• N é o número de envolvimentos do ponto –1+j0 no sentido horário;

• P é o número de pólos de G(s)H(s) no SPD do plano-s.

• Pólos de G(s)H(s) = Pólos de 1+G(s)H(s) !

• Z ( 0) indica o número de pólos de malha fechada instáveis (raízes ou zeros da equação característica 1 + G(s)H(s) ).

• P ( 0) indica o número de pólos de malha aberta instáveis (determinado pelos pólos de G(s)H(s) = pólos de 1 + G(s)H(s) ).

Critério de estabilidade de NyquistFONTE: http://oldeee.see.ed.ac.uk/public/courses/control/Nyqusit.ppt

N indica o número de envolvimentos no sentido horário da origem pelo contorno TF no plano-F(s) (ou o número de envolvimentos no sentido horário do ponto –1+j0 pelo contorno TG no plano-G(s)H(s) ).

• Se N < 0: indica o número de envolvimentos no sentido anti-horário.

• Se P > 0: há pelo menos um pólo de malha aberta instável, e o sistema será estável N for negativo com magnitude = P.

• Se P = 0: não há pólos de malha aberta instáveis. O número Z de raízes instáveis do sistema é igual a N.

Diagramas de Nyquist – MapeamentoFONTE: http://www.enel.ucalgary.ca/People/Westwick/Courses/ENEL441/index.html - Lectures 27 a 29.

Contornos infinitos

• Considere o contorno da figura ao lado no plano-s. Seja R o raio da circunferência maior, R , e o raio da circunferência menor (em torno do pólo), 0. = G(s) = 1/(s + a)

• Vamos começar em s0 = – a + j = 1/(s0 + a)

= – j/. Assim: 0 – j .

• Movendo-se ao longo da linha entre s0 e s1 :

- Linha entre s0 = – a + j e s1 = – a + jR

move-se de – j a – j/R, onde –j/R 0 à medida que R

Diagramas de Nyquist - Mapeamento

• Movendo-se em torno do pequeno círculo: s4 s5 s0 : | s | = em torno do pólo em s = – a . 0 5 4 : | | = 1/ em torno da origem; : +90o 180o – 90o

• Movendo-se em torno do contorno maior: s1 s2 s3 : | s | = R. 1 2 3 : | | = 1/R 0 em torno da origem; : – 90o 0o + 90o

Observe que a origem está envolvida na direção anti-horário, como no caso anterior do envolvimento de um pólo.

Diagramas de Nyquist - Mapeamento


• O resultado principal que queremos extrair deste mapeamento é o número de vezes em que a origem do plano F(s) é envolvida. • Suponha, por exemplo, que a função de transferência é dada por:

22

1)(

2

ss

ssG

• Considere um contorno que envolve o zero (s = – 1) e os dois pólos (s = – 1 j ).• Acompanhe o que ocorre com o argumento de = G(s) à medida que s se move em torno do contorno circular no sentido horário.

)1arg()1arg()1arg()arg( jsjss


• Se s traçar um círculo no sentido horário de raio suficientemente grande, arg(s+1) : 0o – 180o – 360o.

• De modo similar, os argumentos devidos aos dois pólos serão decrescidos de 360o, à medida que o círculo no sentido horário for traçado.

• No entanto, como arg() = arg(s+1) – arg(pólos) = –360o – (–360o –360o) = + 360o arg() irá aumentar em 360o à medida que o círculo for traçado.


• Assim, ao percorrermos um percurso fechado no sentido horário, sua imagem irá envolver a origem N vezes na direção horária, onde:

N = Z – P

• P : número de pólos no interior do contorno;• Z : número de zeros no interior do contorno.

• Contorno infinito contorno infinito envolvendo o semi-plano direito.

Diagramas de Nyquist – EstabilidadeFONTE: http://www.enel.ucalgary.ca/People/Westwick/Courses/ENEL441/index.html - Lectures 27 a 29.

• Exemplo 1: Analise a estabilidade do sistema G(s) = 1/(s+2) pelo critério da estabilidade de Nyquist.

• Diagrama de Nyquist:

90900 ,0)(

000)( ,2/1)(0

jG

jGjG

20)( e

2

1)(

21

)( 122

tgjGjGj

jG

2222 2

)(Im e 2

2)( Re

22

21

)(

jjGjG

jj

jjG

Diagramas de Nyquist – EstabilidadeFONTE: http://www.enel.ucalgary.ca/People/Westwick/Courses/ENEL441/index.html - Lectures 27 a 29.

• Exemplo 1: (continuação – análise da a estabilidade do sistema G(s) = 1/(s+2) pelo critério da estabilidade de Nyquist).

• Diagrama de Nyquist: Exemplo Matlab:numex1=1; denex1=[1 2]; fex1=tf(numex1,denex1); figure;nyquist(fex1);

Diagramas de Nyquist – Estabilidade

• O ponto – 1 + j0 não é envolvido pelo diagrama de Nyquist.• Z = N + P = 0 + 0 = 0.• K G(s) : estável para qualquer valor de K (root locus)

• K G(s) : modifica a magnitude de G(s), mas não sua fase um aumento de K aumenta o tamanho do círculo do diagrama de Nyquist, mas este continuará passando por 0 + j0 (quando )

• Portanto, o ponto –1+j0 nunca será envolvido, e o sistema é estável K.

Diagramas de Nyquist – EstabilidadeFONTE: Ogata, exemplo 8.14, 4a edição.

• Exemplo 2: Considere um sistema em malha fechada cuja função de transferência de malha aberta é dada por G(s)H(s) a seguir. Examine a estabilidade do sistema.

18090900 ,0)(

0000)( ,)(0

jG

jGKjG

11)()(

11)()(

2121

jTjTK

jHjGsTsT

KsHsG

1 11 1)()(

22

2121

TT

KjTjT

KjHjG

0)()( 21

11 TtgTtgjHjG

Diagramas de Nyquist – Estabilidade• Exemplo 2: (continuação) 11

)()(21

sTsT

KsHsG

Exemplo Matlab:K=10; T1=2; T2=5; numex2=K; denex2=conv([T1 1],[T2 1]); fex2=tf(numex2,denex2); figure;nyquist(fex2);

• O ponto – 1 + j0 não é envolvido pelo diagrama de Nyquist (N = 0).

• G(s)H(s) não tem nenhum pólo no SPD do plano-s (P = 0).

• Z = N + P = 0 + 0 = 0.

Este sistema é estável para quaisquer valores positivos de K, T1 e T2 .


• Exemplo 3: Considere um sistema em malha fechada cuja função de transferência de malha aberta é dada por G(s)H(s) a seguir. Examine a estabilidade do sistema para dois casos: (1) o ganho K é pequeno; (2) o ganho K é grande.

2709090900 ,0)(

9000900)( ,)(0

jG

jGjG

11 )()(

11 )()(

2121

jTjTjK

jHjGsTsTs

KsHsG

1 1 1 1 )()(

22

2121

TT

KjTjTj

KjHjG

0/0)()( 21

111 TtgTtgtgjHjG


Exemplo Matlab: (K pequeno)K=0.1; T1=2; T2=5; numex3=K; denex3=conv([1 0],conv([T1 1],[T2 1])); fex3=tf(numex3,denex3); figure;nyquist(fex3);

• O ponto – 1 + j0 não é envolvido pelo diagrama de Nyquist (N = 0).


• Z = N + P = 0 + 0 = 0 sistema estável para pequenos valores de K.


Exemplo Matlab: (K grande)K=100; T1=2; T2=5; numex3d=K; denex3d=conv([1 0],conv([T1 1],[T2 1])); fex3d=tf(numex3d,denex3d); figure;nyquist(fex3d);

• O ponto – 1 + j0 é envolvido 2 vezes no sentido horário pelo diagrama de Nyquist (N = 2).


Z = N + P = 2 + 0 = 2.

Este sistema possui 2 pólos de malha fechada no SPD do plano-s, e o sistema é instável para valores grandes de K.

figure;nyquist1b(numex3d,denex3d);

diagramas de nyquist e nichols considere o sistema dado por: É possível determinar um valor de k...

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