RESPOSTA EM FREQUÊNCIA: DIAGRAMA DE NYQUIST

CCL

Profa. Mariana Cavalca

Retirado de: MAYA, Paulo Álvaro; LEONARDI, Fabrizio. Controle essencial. São Paulo: Pearson,

2011.

Definições

Definições • Seja o seguinte sistema em malha fechada com

realimentação negativa:

Definições

Definições

Análise de Estabilidade

Exemplos 1. Verifique pelo critério de

estabilidade de Nyquist, se a seguinte malha de controle é estável:

2. 𝑁 = −1 e 𝑃 = 1 𝑠1,2 = −1; 0,5

3. Portanto Z = 𝑁 + 𝑃 = 0 (Estável!)

-2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Nyquist Diagram

Real Axis

Imagin

ary

Axis

Exemplos 2. Verifique pelo critério de estabilidade

de Nyquist, se a seguinte malha de

controle é estável:

3. 𝑁 = 2 e 𝑃 = 0 𝑠1,2 = −0;−1;−0,5

4. Portanto Z = 𝑁 + 𝑃 = 2 (Instável !)

-5 -4 -3 -2 -1 0-5

0

5

Nyquist Diagram

Real Axis

Imagin

ary

Axis

Estabilidade Relativa

• Seja o seguinte sistema 𝐺 𝑠 =𝐾

𝑠 𝑠+1 (𝑠+5). O Diagrama de Nyquist e

a resposta ao degrau unitário da malha fechada com realimentação

unitária negativa para diversos valores de K são dados por:

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Nyquist Diagram

Real Axis

Imagin

ary

Axis

K=0.1

K=0.5

K=0.75

K=1

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Step Response

Time (sec)

Am

plit

ude

K=0.1

K=0.5

K=0.75

K=1

Estabilidade Relativa: Margem de Ganho

• Supondo a planta estável em malha aberta (P = 0), a

margem de ganho é dada por:

• O sistema é estável em malha fechada se 𝑀𝐺 > 1, ou

seja 𝐺 𝑗𝜔𝑐 𝐻(𝑗𝜔𝑐) < 1.

𝑀𝐺 =1

𝐺 𝑗𝜔𝑐 𝐻(𝑗𝜔𝑐)

Estabilidade Relativa: Margem de Fase

• Supondo a planta estável em malha aberta (P=0), a

margem de fase é dada por:

• O sistema é estável em malha fechada se 𝑀𝐹 > 1.

𝑀𝐹 = 180 − 𝐺 𝑗𝜔𝑐′ 𝐻(𝑗𝜔𝑐′)

Estabilidade Relativa: Diagrama de Bode Vale apenas para sistema de fase mínima. Obs. Verificamos as margens no

Bode de malha aberta! As margens nos mostram estabilidade de malha

fechada!

Robustez

• Se o sistema possui incertezas de modelo, devido ao

método de modelagem por exemplo, é possível utilizar as

margens de fase e ganho para avaliar a robustez da

malha de controle.

Nuvem de Incerteza

Exemplo

• Seja a seguinte malha de controle:

a) Obter os valores das margens de fase e de ganho para K=10 a partir

do diagrama de Bode. Tal sistema é estável em malha fechada?

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

Magnitu

de (

dB

)

10-2

10-1

100

101

102

-270

-180

-90

0

Phase (

deg)

Bode Diagram

Gm = 9.9 dB (at 2.5 rad/sec) , Pm = 36.7 deg (at 1.54 rad/sec)

Frequency (rad/sec)

RESPOSTA EM FREQUÊNCIA: DIAGRAMA DE NYQUIST

Bom estudo!!!

Profa. Mariana Cavalca