resposta em freqÜÊncia diagrama polar criterio de estabilidade de nyquist aula teorica 9

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RESPOSTA EM FREQÜÊNCIA Diagrama Polar Criterio de Estabilidade de Nyquist Aula Teorica 9

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RESPOSTA EM FREQÜÊNCIADiagrama PolarCriterio de Estabilidade de Nyquist

Aula Teorica 9

Conceito de resposta de freqüência:

É a resposta em estado estacionário de um sistema quando se estimula com uma entrada sinusoidal cuja freqüência varia de zero até infinito.

y(t)Sistemalinear

x(t)

Se tXsentx )( Então: )()( tYsenty

PODE-SE DEMONSTRAR QUE:

SUBSTITUINDO jwS NA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA

(PODE CONSULTÁ-LO EM LIVROS DE TEXTO)

OBTÉM-SE A RESPOSTA DE FREQÜÊNCIA

EXEMPLO

)2)(5(

5

)(

)()(

SSsX

sYsG

)2)(5(

5

)(

)()(

jwjwjwX

jwYjwG

Si

Então

OBSERVE QUE )( jwG

)()( jwGjwG

22 ))((Im))((Re)( jwGjwGjwG

É UM NUMERO COMPLEXO

SE FOR ASSIM ENTÃO SE PODE REPRESENTAR

)(Re

)(Imtan)( 1

jwG

jwGjwG

EXEMPLO

wjwG

wjwG

jwjwG

SsG

20tan)(

4001

5)(

120

5)(

120

5)(

1

2

Geralmente

Diagramas de bode Diagramas polares

UMA VEZ QUE SE TEM A EXPRESSÃO MATEMÁTICA QUE REPRESENTA A RESPOSTA DE FREQÜÊNCIA

DESENHA-HE

MAGNITUDE(db) VS LOG(W)

FASE VS LOG(W)

MAGNITUDE E FASECOM A FREQÜÊNCIAVARIANDO ENTRE ZEROE INFINITO

DOISUM

A resposta de freqüência se apresenta em um solo gráfico; fica implícita.

Exemplos

-270G(jw) 0G(jw)

-90G(jw) G(jw) 0

w

w

2)12.0(

5)(

SSsGH

ESTE É O DIAGRAMA POLAR

Exercícios propostos

)1)(5(

50)(

)10)(2()(

)1(

)2(10)(

)1(

10)(

)1(

10)(

)1)(2(

10)(

3

2

SSSSGH

SSS

KsGH

SS

SsGH

SSsGH

SSsGH

SSsGH

Critério de estabilidade do Nyquist

Primeiro achamos algumas considerações matemática

•O critério do Nyquist se apóia no Teorema de transformação de trajetórias no plano complexo:

Suponha que temos três planos

Suponha que temos uma função de tranferencia

1

1)(

S

sG

e que S=j

A(0;j1)

B

j

2

1

2

1

j

2

1

2

3C

Observar que um ponto no plano S, significa um ponto no plano GH e também no plano 1+GH

Da mesma forma que um contorno fechado no plano S que não passa por nenhum ponto singular do GH ou de 1+GH, este dará um contorno fechado nestes.

Com um contorno em S haverá um só contorno no GH ou em 1+GH ?

NÃO

pode-se demonstrar (Não é objetivo fazê-lo aqui)

O número de voltas à origem no plano 1+GH é igual à diferença de zeros e pólos da função de transferência de laço fechado dentro do contorno que achamos feito no plano S

SE FORMOS ANALISAR A ESTABILIDADE DOS SISTEMAS .

Que contorno vocês acreditam que tenha estabelecido nyquist sobre o plano s?

Onde nos interessa saber se houver raizes da equação caracteristica (1+GH=0) para dizer se o sistema é instável?

uma trajetória no Plano s, que abrange todo o semiplano direito.

j

A trajetória do Nyquist abrange todos os pólos e zeros de 1+GH no semiplano direito.

Nyquist definiu

Seção I

Seção II

Seção III

w0

0 w

R

js Relim

22

O critério do Nyquist estabelece

O número de voltas à origem no Plano 1+GH é igual à diferença de zeros e pólos que se encontram dentro do contorno no Plano S

N = Z - P

N: # de voltas à origem no Plano 1+GHZ: # de zeros de 1+GH dentro do contorno do plano SP: # de pólos de 1+GH dentro do contorno do plano S

Para que o sistema seja estável que valor deve tomar Z?

Então

0Z

Se o 1+GH tiver K pólos edentro do contorno

Se o 1+GH não tiver pólos edentro do contorno

KN 0N

Isto quer dizer que ao percorrer o contorno do Nyquist no plano S , deve encerrar-se K vezes a origem no plano 1+GH no sentido antihorario

Isto quer dizer que ao percorrer o contorno do Nyquist no plano S , NÃO deve encerrar a origem no plano 1+GH

Para que o sistema seja estável

Agora bem

Trabalhar no plano 1+GH é muito difícil

Pergunto então

Como deslocar todo este critério do Nyquist ao plano GH que se trabalha muito mais fácil e que nos permitirá, conhecendo a função de transferência de laço aberto, determinar a estabilidade do sistema em laço fechado?

Observem

Tudo o que se disse com respeito à origem quando trabalhamos com 1+GH agora é válido para o GH mas com respeito ao ponto

)0;1(Agora

O critério do Nyquist estabelece

O número de voltas ao ponto no Plano GH é igual à diferença de zeros e pólos que se encontram dentro do contorno no Plano S

)0;1(

N: # de voltas ao ponto no Plano GHZ: # de zeros de 1+GH dentro do contorno do plano SP: # de pólos de GH dentro do contorno do plano S

Mas

)0;1(

No caso que G(s)H(s) tenha pólos ou zeros sobre o eixo j, então terá que modificar a trajetória do Nyquist.

Geralmente se deixam fora da trajetória os pólos e zeros que estão sobre o eixo imaginário.

modifica-se a trajetória na origem e além das três anteriores aparece a secció IVsecció IV

0Relim

R

js

22

Todo o resto é igual

)1()()(

Tss

KsHsG

EXEMPLOS

Re=

0+

0-

Im

X-1+j0

N=0P=0Z=0

Sistema estável

sT

KsHsG

1)()(

=0= K

N=0P=1Z=1

Sistemainestável

sssG

1

5)(

=

=0+

=0-

Re

Im

N=0P=1Z=1

Sistemainestável

Exercicios