� Prof. Rafael Mesquita

� rgm@cin.ufpe.br

Aula 21 – Integração Numérica

2014.1 – 14/07/2014

Cálculo Numérico

Integração Numérica

� Problemas resolvidos pelo cálculo de integral definida

� Determinação de áreas

� Determinação de volumes

� ...

� Mas, mem sempre o cálculo de integrais pode ser feito analiticamente...� Buscamos uma solução numérica

� Duas situações possíveis:� Função a ser integrada é desconhecida

� Temos apenas uma tabela de pontos

� Função é conhecida, mas a determinação de sua integral não é trivial (ou é impossível)

Integração Numérica

� Fórmulas de Newton-Cotes

� Integra o polinômio interpolador que substitui a função �� Aproximação

� Intervalo de integração [�; �] é dividido em partes iguais

� �� = � + � , � = 1,2, … , �

� Podemos então construir a tabela (��; �(��))� A partir da tabela a função � é interpolada para calcular o

valor aproximado de � � � ���

�

Fórmulas de Newton-Cotes

� Ideia Geral� Integrar o polinômio interpolador da função �

�

�(�)

� = � �� ��… � = ��

� Intervalo [a;b] é dividido em

partes iguais

– �� = � + � , � = 1,…�

� �(�) interpola � em [a;b]

� Calculamos a area...

� � � ! ="

# � � ! = $ %

� = � & + ' ! $ %

Fórmulas de Newton-Cotes

� � � � �� = � � � ��()(*

= � [� � + +(�)]��()(*

�

�

� � � = ∑ -�� � �(��)

��. => polinômio lagrange

� -�� = ∏

0 1

20 1

$1.%132

Fórmulas de Newton-Cotes

� Assim,

� � � � ��()(*

= � [� � + +(�)]��()(*

� = � ∑ -�� � �(��)

��. + + � ��

()(*

� = � ∑ -�� � �(��)

��. �� + � + � ��

()(*

()(*

� = ∑ [� -�� � �� × �(��)] + � + � ��

()(*

()(*

��.

Fórmulas de Newton-Cotes

� = ∑ [� -�� � �� × �(��)] + � + � ��

()(*

()(*

��.

� Definindo que

� 5�� = � -�

� � ��()(*

, � = 0,1, … , � e

� 7 = � + � ��()(*

,

� temos o método de Newton-Cotes generalizado:

� � � � �� = ∑ 5���

�. � �� + 7()(*

Fórmulas de Newton-Cotes

� Para obter 5��

, faremos uma mudança de variável,

onde � = � + 8 e teremos novos limites de integração:

� Para � = � ⇒ 8 = 0

� � = �� ⇒ 8 = � , pois z =(0(*<

� Como

� 5�� = � -�

� � ��()(*

= � ∏ 0 1

20 1

$1.%132

��()(*

� = �(0(*(=0(*

(0(>(=0(>

…(0(=?>(=0(=?>

(0(=@>(=0(=@>

…(0()(=0()

��()(*

Fórmulas de Newton-Cotes

� 5�� = �

(0(*(=0(*

(0(>(=0(>

…(0(=?>(=0(=?>

(0(=@>(=0(=@>

…(0()(=0()

��()(*

� Como 8 =(0(*<

, temos que

�

(0(*(=0(*

=(0(*�<

=A

�

� De forma genérica, temos que

�

(0(B(=0(B

=(0((*C�<)

�0� <=

(0(*0�<

�0� <=

(0(*�0� <

−�<

�0� <=

A

�0�−

�

�0�=

A0�

�0�

Fórmulas de Newton-Cotes

� Assim, aplicando a mudança de variável onde � = � + 8 e �� = �8, teremos que

� 5�� = �

(0(*(=0(*

(0(>(=0(>

…(0(=?>(=0(=?>

(0(=@>(=0(=@>

…(0()(=0()

��()(*

� 5�� = �

A

�

A0�

�0�…

A0�C�

�0�C�

A0�0�

�0�0�…

A0�

�0��8

�

Fórmulas de Newton-Cotes

� De forma mais sintética, temos que:

� � -�� � ��

()(*

= 5�� =

0� )?=.<

�! �0� !�

G)(A)

A0��8

�

,

� Com H� = 8 8 − 1 8 − 2 … (8 − �)

Método dos trapézios

� Calcula a área sob uma curva como uma série de trapézios

� Substitui, em cada subintervalo [��; ��C�], a função �por uma reta

� Calcula-se a área de cada trapézio e, em seguida, soma-se cada área

Método dos trapézios

�

� = � �� ��… � = ��

Método dos trapézios

� Soma de cada subintervalo

� � � ! $ %

= � � ! + � � ! I J

J %

+⋯+ � � ! $ $?J

� Usando o método de Newton-Cotes no intervalo %; J temos que

� � � ! = ∑ 5�� � �� + 7�

�. = 5� � � + 5�

� � �� + 7 > %

� Como 5� = 5�

� =<

�, obtemos que

� � � � �� =<

�� � +

<

�� �� + 7�

(>(*

� � � � �� =<

�� �� +

<

�� �� + 7�

(L(>

� � � � �� =<

�� �� +

<

�� �M + 7M

(N(L

� …

� � � � �� =<

�� ��0� +

<

�� �� + 7�

()()?>

Método dos trapézios

� � � � �� = O (* CO ()

�+ ∑ � ��

�0��.� + 7

()(*

� 7 ⇒ PQQR�RSéUR�R�RVUQ�Wé8XRV

� Podemos reescrever o método dos trapézios como

� � � � �� ≅ (Z �⁄ + \ + �)(>(*

,onde

� E -> somatório das imagens nos pontos extremos

� P -> somatório das imagens nos pontos pares (sem extremos)

� I -> somatório das imagens nos pontos ímpares (sem extremos)

Método dos trapézios – Exemplo

� Exemplo: Calcule, aproximadamente, o valor da

integral � ] ! %,^

%,%usando o método dos trapézios,

considerando 7 pontos dentro do intervalo [0,0;0,6]

Método dos trapézios – Exemplo

� Poderíamos ainda...

Exercício

� Calcule, usando a regra do trapézio com 7 pontos,

� Resposta:

Exercício

Método de Simpson

� “O método de Simpson se propõe a dar uma melhor precisão uma vez que são usadas partes de parábolas para aproximar a curva a ser integrada.”

Método de Simpson

� “Neste caso n tem que ser par, pois são somados dois subintervalos por vez.”

Método de Simpson

Método de Simpson

Método de Simpson

� Outro caminho:

� Encontrar o polinômio e integrá-lo.

Método de Simpson

Método de Simpson

Exemplo 6.2

Exemplo 6.2 - Solução

Exercício

� Usando a regra de Simpson para 7 pontos, calcular:

� Solução

Exercício – Solução

Dúvidas?

Referências

� Santos, J.D.; Silva, Z. C. Métodos Numéricos, Ed. Universitária UFPE. 3ª ed. Recife-PE, 2010.

� Cuminato, J.A. Cálculo Numérico. Notas de Aula ICMC/USP. Disponível em: http://www.ceunes.ufes.br/downloads/2/riedsonb-Apostila%20-%20Cuminato.pdf