clculo num©rico - ex©rcicios resolvidos

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exércicios

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RESOLUO DE EXERCCIOS Universidade Tecnolgica Federal do Paran - UTFPR - Professores: Lauro Csar Galvo Luiz Fernando Nunes Clculo Numrico (Lauro / Nunes)ii ndice 1Noes bsicas sobre Erros ....................................................................... 1-1 2Zeros reais de funes reais ....................................................................... 2-2 3Resoluo de sistemas de equaes lineares ............................................. 3-1 4Interpolao ............................................................................................... 4-1 5Ajuste de curvas pelo mtodo dos mnimos quadrados ............................. 5-1 6Integrao Numrica.................................................................................. 6-2 7Soluo numrica de equaes diferenciais ordinrias ............................. 7-1 Clculo NumricoNoes bsicas sobre Erros Lauro / Nunes 1-1 1Noes bsicas sobre Erros 1.Calcular a rea da superfcie terrestre usando a formulaoA=4t2r . Resoluo:Aproximaes (ERROS): MODELAGEM:aTerramodeladacomoumaesfera,umaidealizaodesuaforma verdadeira. O raio da Terra obtido por medidas empricas e clculos prvios. RESOLUO: o valor de t requer o truncamento de um processo infinito; os dados de entrada e os resultados de operaes aritmticas so arredondados pelo computador. OBS. 1: Caractersticas do planeta Terra. -Caractersticas Fsicas: Dimetro Equatorial: 12756Km; Dimetro Polar: 12713Km; Massa: 5,982410 Kg; Permetro de Rotao Sideral: 23h 56min 04seg; Inclinao do Equador Sobre a rbita: 23o 27. -Caractersticas Orbitais: Raio da rbita, isto , 1U.A. (unidade astronmica): 149897570Km; Distncia Mxima do Sol: 152100000Km; Distncia Mnima do Sol: 147100000Km; Perodo de Revoluo Sideral: 365dias 6h 9min 9,5seg; Velocidade Orbital Mdia: 29,79Km/seg. 2.Calcular os erros absoluto e relativo, nos itens a) e b). a)x =1,5 ex =1,49;b)y =5,4 ey =5,39. Resoluo: a) xEA=0,01=210b) yEA=0,01=210 xER=0,00666667 yER=0,00185185 3.Arredondar t na quarta casa decimal, sendo que t=3,1415926535. Resoluo: id=5 e 1 + id =9>5 id+1=5+1=6. Logo: t=3,1416. 4.Aproximar t truncando na quarta casa decimal, sendo que t=3,1415926535. Resoluo: id=5 t=3,1415. 5.Sabendo-se que xepode ser escrito como xe ==0 iiix!, faa a aproximao de 2eatravs de um truncamento aps quatro termos da somatria. Resoluo: xe ==0 iiix! =1+ x +! 22x+! 33x+! 44x+! 55x+.Truncando-seapsquatrotermos, tem-se: 2e =1+2+! 222+! 323=1+2+24+68=5+34=319. Clculo NumricoNoes bsicas sobre Erros Lauro / Nunes 1-2 6.Considerando no sistema de base 10, |=10, represente os seguintes nmeros, em aritmtica de ponto flutuante: a) 0,34510;b) 31,41510. Resoluo:a) 0,34510 =

103+2104+((3105-010 ; b) 31,41510=

103+2101+3104+4101+((5105-210 . 7.Considerando no sistema binrio, |=2, represente o nmero 1012 em aritmtica de ponto flutuante. Resoluo:1012 = 0,101-32=

21+220+((321-32 . 8.10112 = 10x . Resoluo:10112 = 0,1011-42=

21+220+321+((421-42=32+2+1=11 10112 = 1110 x =11. 9.11,012 = 10x . Resoluo:11,012 = 0,1101-22=

21+221+320+((421-22=2+1+221=3,25 11,012 = 3,2510 x =3,25. 10.403,125 = 10x . Resoluo:403,125 = 0,40312-35=

54+250+353+451+((552-35=4-25 +0+3+51+252=100+3+0,2+0,08=103,28 403,125 = 103,2810 x =103,28. 11.Converta 5910 para a base 2. Resoluo:N =59 e |=2 N >| 592 1292 1142 072 132 11 5910 = 1110112 Clculo NumricoNoes bsicas sobre Erros Lauro / Nunes 1-3 12.Converta 5910 para a base 3. Resoluo:N =59 e |=3 N >| 593 2193 163 02 5910 = 20123 Nos exerccios a seguir, determinar o valor dex : 13.0,187510 = 2x . Resoluo: 0,18750,3750,750,5 2222 0,37500,7501,501,0 0,187510 = 0,00112. 14.0,610 = 2x . Resoluo: 0,60,20,40,80,6. 22222 1,20,40,81,61,2. 0,610 = 0,10011001.2. 15.13,2510 = 2x . Resoluo: -a) 1310 = ?N =13 e |=2 N >| 132 162 032 11 1310 = 11012. -b) 0,2510 = ? 0,250,5 22 0,501,0 0,2510 = 0,012. -Logo: 13,2510 = 1310 + 0,2510 = 11012 + 0,012 = 1101,012. Clculo NumricoNoes bsicas sobre Erros Lauro / Nunes 1-4 Transforme para a base que se pede (determine o valor dex ). 16.100101,10012 = 10x . Resoluo:100101,10012 = 0,1001011001-62=

21+220+320+421+520+621+721+820+920+((1021-62=52+22+1+21+421=32+4+1+0,5+0,0625=37,5625 100101,10012 = 37,562510 x =37,5625. 17.19,3867187510 = 4x . Resoluo: -a) 1910 = ?N =19 e |=4 N >| 194 344 01 1910 = 1034. -b) 0,3867187510 = ? 0,386718750,5468750,18750,75 4444 1,546875002,1875000,75003,00 0,3867187510 = 0,12034. -Logo: 19,3867187510 = 1910 + 0,3867187510 = 1034 + 0,12034 = 103,12034. 18.Transforme a medida 35 h48 min18 segpara minutos. DICA: 35:48,1860 = 10x min . Resoluo:35:48,1860 = 0,35:48:18-260=

6035+26048+((36018-260= 35-60 + 48 + 6018 = 2100 + 48 + 0,3 = 2148,3 35:48,1860 = 2148,310. 35 h48 min18 seg= 2148,3 min . 19.Transforme 35,805 horas para horas, minutos e segundos. DICA: 35,80510 =60x . Resoluo: -a) 3510 = ?N =35 e |=60 N | 372 1182 092 142 022 01 3710 = 1001012 35.234510 = 2x . Resoluo:N =2345 e |=2 N >| 23452 111722 05862 02932 11462 0732 1362 0182 092 142 022 01 234510 = 1001001010012 36.Determinexcom 36 dgitos: 0,121710 = 2x . Resoluo: 0,12170,24340,48680,97360,94720,89440,78880,57760,1552 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0,24340,48680,97361,94721,89441,78881,57761,15520,3104 0,31040,62080,24160,48320,96640,93280,86560,73120,4624 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0,62081,24160,48320,96641,93281,86561,73121,46240,9248 0,92480,84960,69920,39840,79680,59360,18720,37440,7488 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1,84961,69921,39840,79681,59361,18720,37440,74881,4976 0,49760,99520,99040,98080,96160,92320,84640,69280,3856 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0,99521,99041,98081,96161,92321,84641,69281,38560,7712 Clculo NumricoNoes bsicas sobre Erros Lauro / Nunes 1-8 0,121710 = 0,0001111100100111101110110010111111102. 37.Determinexcom 8 dgitos: 2,4710 = 2x . Resoluo: -a) 210 = ?N =2 e |=2 N >| 22 210 = 102. 01 -b) 0, 4710 = ? 0,47 0,94 0,88 0,76 0,52 0,04 0,08 0,16 0,32 222222222 0,941,881,761,521,040,080,160,320,64 0, 4710 = 0,011110002. Logo: 2,4710 = 210 + 0, 4710 = 102 + 0,011110002 = 10, 011110002. Clculo NumricoZeros reais de funes reais Lauro / Nunes 2-2 2Zeros reais de funes reais 38.Isolar os zeros da funof ( x )=3x 9 x +3. Resoluo:Pode-se construir uma tabela de valores paraf ( x ) e analisar os sinais: x43210123 f ( x )+++++ Como0 3 4 < ) ( ) ( f f ,0 1 0 < ) ( ) ( f f e0 3 2 < ) ( ) ( f f ,conclui-se,deacordocomo teorema1, queexistemzerosde) (x f nosintervalos [4,3],[0,1]e[2,3].Como) (x f=0 tem exatamente 3 razes, pode-se afirmar que existe exatamente um zero em cada um destes intervalos. Pode-setambmchegarsmesmasconclusespartindodaequaof ( x )=3x 9 x+3=0,obtendo-seaequao equivalente 3x =9 x 3. Neste caso, tem-seque 3x x g = ) ( e 3 9 = x x h ) ( .Traandoosgrficosde) (x g e) (x h ,verifica-sequeasabscissasdos pontos de interseco destas curvas esto nos intervalos [4,3], [0,1] e [2,3]. Outraformadeseverificaraunicidadedezerosnestesintervalos,traarogrficoda funo derivada de) (x f ,9 32 = x x f ) ( 'e confirmar que a mesma preserva o sinal em cada um dos intervalos ]4,3[, ]0,1[ e ]2,3[, conforme a Error! Reference source not found.. yxy=f x ( )4 3 2 1 -1 -2 -3 -41o2o3oyx4 3 2 1 -1 -2 -3 -41o2o3og x ( )h x ( )Clculo NumricoZeros reais de funes reais Lauro / Nunes 2-3 39.Isolar os zeros da funo2 3, ln ) ( = x x x f . Resoluo:Pode-se construir uma tabela de valores para) (x f e analisar os sinais: x1234 ) (x f++ Como0 3 2 < ) ( ) ( f f ,conclui-se,deacordocomoteorema1,queexistemzerosde ) (x f no intervalo [2,3]. Pode-seaindaverificargraficamentequeafunoderivadadafuno) (x f , x x f ln ) ( ' + =1preserva o sinal no intervalo ]2,3[, neste caso0 > ) ( ' x f e x ]2,3[, o que pela Obs. 1 garante que s existe um zero de) (x fneste intervalo. yxy=f x ( )4 3 2 1 -1 -2 -3 -43 3-xy=f x ( )0-0,1-0,2-0,3-0,4-0,5-0,6-0,7-0,8-0,9-1,0-0,82,6 2,8 3,03,2 3,40,10,20,3yClculo NumricoZeros reais de funes reais Lauro / Nunes 2-4 40.Isolar os zeros da funox x x f 4 0 2 5 , log ) ( + = . Resoluo:Pode-se construir uma tabela de valores para) (x fe analisar os sinais: x123 ) (x f++ Como0 2 1 < ) ( ) ( f f ,conclui-se,deacordocomoteorema1,queexistemzerosde ) (x f no intervalo [1,2]. Pode-setambmchegaraestamesmaconclusopartindodaequaox x x f 4 0 2 5 , log ) ( + = =0,obtendo-seaequaoequivalentex x 4 0 2 5 , log = .Neste caso, tem-se que x x g log ) ( 5 =ex x h 4 , 0 2 ) ( = . Traando os grficos de) (x ge) (x h , verifica-sequeaabscissadonicopontodeintersecodestascurvasestnointervalo [1,2]. 41.Isolar os zeros da funo xe x x f = 5 ) ( . Resoluo:Pode-se construir uma tabela de valores para) (x f e analisar os sinais: x0123 ) (x f++ Como0 2 1 < ) ( ) ( f f ,conclui-se,deacordocomoteorema1,queexistemzerosde ) (x f no intervalo [1,2]. Pode-se tambm chegar a esta mesma concluso partindo da equaoxe x x f = 5 ) (=0,obtendo-seaequaoequivalente xe x= 5 .Nestecaso,tem-sequex x g = ) ( e xe x h= 5 ) ( .Traandoosgrficosde) (x g e) (x h ,verifica-sequeaabscissadonico ponto de interseco destas curvas est no intervalo [1,2]. yx 11x () fyxx ()o2 1 321hx () gClculo NumricoZeros reais de funes reais Lauro / Nunes 2-5 42.Determinar um valor aproximado para5 , com erro inferior a 210. Resoluo:Determinar5 equivalenteaobterozeropositivodafuno) (x f =2x 5. Sabe-se que o intervalo [2,3] contm este zero e a tolerncia neste caso c = 210. Assim, a quantidade mnima de iteraes para se obter a resposta com a preciso exigida : n >2 loglog ) log( c a bn >210 2 32loglog ) log( n >210 2 1loglog log +n >21 2 0log + n> 6,643856. Comondeve ser intero, tem-sen=7. n a x b f ( a )f ( x )f ( b )( b a )/2 12,02,53,0 ++ 0,5 22,02,252,5 ++ 0,25 32,02,1252,25 + 0,125 42,1252,18752,25 + 0,0625 52,18752,218752,25 + 0,03125 62,218752,2343752,25 + 0,015625 72,2343752,24218752,25 ++ 0,0078125 Portanto5 ~2,24218750,0078125 43.Um tanque de comprimentoLtem uma seco transversal no formato de um semicrculo com raio r (veja a figura). Quando cheio de gua at