APOSTILA Cl cul o N umri co Universidade Tecnolgica Federal do Paran - UTFPR - Professores: Lauro Csar Galvo Luiz Fernando Nunes Clculo Numrico (Lauro / Nunes)ii ndice 1Noes bsicas sobre Erros ................................................................................ 1-1 1.1Erros............................................................................................................ 1-1 1.2Erros Absolutos e Relativos........................................................................ 1-1 1.2.1Erro Absoluto............................................................................................ 1-1 1.2.2Erro Relativo ou Taxa de Erro.................................................................. 1-2 1.3Erros de Arredondamento e Truncamento.................................................. 1-2 1.3.1Erro de Arredondamento .......................................................................... 1-2 1.3.2Erro de Truncamento ................................................................................ 1-2 1.4Aritmtica de Ponto Flutuante .................................................................... 1-2 1.5Converso de Bases .................................................................................... 1-3 1.5.1Converso da Base para a Decimal (10) ......................................... 1-3 1.5.2Converso da Base Decimal para a (10) ......................................... 1-4 1.5.3Exerccios: Converso de Bases ............................................................... 1-6 1.6Operaes de Pontos Flutuantes ................................................................. 1-7 1.6.1Representaes ......................................................................................... 1-7 1.6.2Exerccios ................................................................................................. 1-7 1.6.3Exerccios complementares ...................................................................... 1-8 2Zeros reais de funes reais ................................................................................ 2-1 2.1Introduo ................................................................................................... 2-1 2.2Fase I: Isolamento das razes ...................................................................... 2-1 2.3Fase II: Refinamento - Critrios de Parada................................................. 2-5 2.3.1Mtodo da Bisseco (ou Mtodo da Dicotomia) .................................... 2-5 2.3.2MtododoPontoFixo(ouMtododaIteraoLinearouMtododas Aproximaes sucessivas) ........................................................................ 2-8 2.3.3Mtodo de Newton, Newton-Raphson (ou Mtodo das Tangentes)....... 2-15 2.3.4Comparao entre os mtodos ................................................................ 2-18 3Resoluo de sistemas de equaes lineares ...................................................... 3-1 3.1Introduo ................................................................................................... 3-1 3.1.1Forma Algbrica de Sn.............................................................................. 3-1 3.1.2Forma Matricial de Sn .............................................................................. 3-1 3.1.3Matriz Aumentada ou Matriz Completa do Sistema ................................ 3-1 3.1.4Soluo do Sistema ................................................................................... 3-1 3.1.5Classificao de um Sistema Linear ......................................................... 3-1 3.1.6Classificao quanto ao Determinante de A............................................. 3-2 3.2Mtodos diretos .......................................................................................... 3-2 3.2.1Mtodo de Eliminao de Gauss .............................................................. 3-2 3.2.2Estratgia de Pivoteamento Completo...................................................... 3-5 3.2.3Refinamento de Solues ......................................................................... 3-6 3.3Mtodos iterativos ...................................................................................... 3-7 3.3.1Testes de parada........................................................................................ 3-8 3.3.2Mtodo de Gauss-Jacobi........................................................................... 3-8 3.3.3Mtodo de Gauss-Seidel......................................................................... 3-10 3.3.4Comparao entre os mtodos ................................................................ 3-11 3.3.5Critrio de Sassenfeld ............................................................................. 3-13 4Interpolao ........................................................................................................ 4-1 4.1Interpolao polinomial.............................................................................. 4-1 4.1.1Existncia e Unicidade do Polinmio Interpolador Pn(x) ......................... 4-1 4.1.2Forma de Lagrange ................................................................................... 4-2 4.1.3Forma de Newton..................................................................................... 4-4 4.2Estudo de erro na interpolao ................................................................... 4-5 Clculo Numrico (Lauro / Nunes)iii 4.2.1Estimativa para o Erro .............................................................................. 4-6 4.3Interpolao inversa: casos existentes ........................................................ 4-7 4.3.1Encontrarxtal que nP ) ( x ...................................................................... 4-7 4.3.2Interpolao inversa.................................................................................. 4-8 4.4Funes spline em interpolao.................................................................. 4-9 4.4.1Funo Spline ......................................................................................... 4-10 4.4.2Spline linear interpolante........................................................................ 4-10 4.4.3Spline cbica interpolante....................................................................... 4-11 5Ajuste de curvas pelo mtodo dos mnimos quadrados ...................................... 5-1 5.1Introduo ................................................................................................... 5-1 5.2Caso Discreto.............................................................................................. 5-2 5.3Caso Contnuo ............................................................................................ 5-6 5.4Famlia de Funes No Lineares nos Parmetros ..................................... 5-9 6Integrao Numrica........................................................................................... 6-1 6.1Frmulas de Newton-Cotes ........................................................................ 6-1 6.1.1Regra dos Trapzios ................................................................................. 6-1 6.1.2Regra dos Trapzios repetida.................................................................... 6-3 6.1.3Regra 1/3 de Simpson............................................................................... 6-4 6.1.4Regra 1/3 de Simpson repetida ................................................................. 6-7 7Soluo numrica de equaes diferenciais ordinrias ...................................... 7-1 7.1Introduo ................................................................................................... 7-1 7.2Problema de valor inicial (PVI).................................................................. 7-2 7.2.1Soluo numrica de um PVI de primeira ordem..................................... 7-2 7.2.2Mtodo de Euler ....................................................................................... 7-2 7.2.3Mtodos de Runge-Kutta.......................................................................... 7-5 7.2.4MtododeEulerAprimorado(MtododeRunge-KuttadeSegunda Ordem) ...................................................................................................... 7-7 7.2.5Frmulas de Runge-Kutta de Quarta Ordem............................................ 7-7 8Referncias Bibliogrficas .................................................................................. 8-1 Clculo NumricoNoes bsicas sobre Erros Lauro / Nunes 1-11Noes bsicas sobre Erros Fenmenos da natureza podem ser descritos atravs do uso de modelos matemticos. MODELAGEMMODELOMATEMTICORESOLUOSOLUO PROBLEMA MODELAGEM: a fase de obteno de um modelo matemtico que descreve o comportamento do problema que se quer estudar. RESOLUO: a fase de obteno da soluo do modelo matemtico atravs da aplicao de mtodos numricos. 1.1 Erros Paraseobterasoluodoproblemaatravsdomodelomatemtico,errosso cometidos nas fases: MODELAGEM e RESOLUO. 1.Calcular a rea da superfcie terrestre usando a formulaoA42r . Resoluo:Aproximaes (ERROS): MODELAGEM: RESOLUO: OBS. 1: Caractersticas do planeta Terra. Caractersticas Fsicas: Dimetro Equatorial: 12756Km; Dimetro Polar: 12713Km; Massa: 5,982410 Kg; Permetro de Rotao Sideral: 23h 56min 04seg; Inclinao do Equador Sobre a rbita: 23o 27. Caractersticas Orbitais: Raio da rbita, isto , 1U.A. (unidade astronmica): 149897570Km; Distncia Mxima do Sol: 152100000Km; Distncia Mnima do Sol: 147100000Km; Perodo de Revoluo Sideral: 365dias 6h 9min 9,5seg; Velocidade Orbital Mdia: 29,79Km/seg. 1.2Erros Absolutos e Relativos 1.2.1Erro Absoluto omdulodadiferenaentreumvalorexatox deumnmeroeseuvalor aproximadox . xEA x x , ondex o valor exato ex o valor aproximado. Geralmente no se conhece o valor exatox .Assim,o quesefaz obter um limitante superior (1kmajorante) ou uma estimativa para o mdulo do erro absoluto. xEA 1k . Clculo NumricoNoes bsicas sobre Erros Lauro / Nunes 1-21.2.2Erro Relativo ou Taxa de Erro Erro relativo dex o mdulo do quociente entre o erro absoluto xEAe o valor exato xou o valor aproximadox , sexoux 0. xERxEAxxx x ou xERxEAxxx x . 2.Calcular os erros absoluto e relativo, nos itens a) e b). a)x 1,5 ex 1,49;b)y 5,4 ey 5,39. Resoluo: 1.3Erros de Arredondamento e Truncamento 1.3.1Erro de Arredondamento Arredondarumnmeronacasa id desconsiderarascasas j id+( j 1,,)detal forma que: idseja a ltima casa se 1 + id