notas da disciplina clculo num©rico

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  • Notas da disciplina Clculo Numrico

    Leonardo F. Guidi

    24 de junho de 2016

  • Instituto de Matemtica

    Universidade Federal do Rio Grande do Sul

    Av. Bento Gonalves, 9500

    Porto Alegre - RS

    2

  • Sumrio

    1 Representao de nmeros emmquinas 7

    1.1 Sistema de numerao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

    1.1.1 Mudana de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

    1.1.2 Bits e bytes (e nibbles tambm...) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

    1.2 Aritmtica de mquina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

    1.2.1 Representao de nmeros inteiros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

    1.2.2 Representao de nmeros com parte fracionria ponto-fixo . . . . . . 16

    1.2.3 Representao de ponto flutuante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    1.2.4 Aritmtica de ponto flutuante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

    1.2.5 Cancelamento catastrfico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

    1.2.6 Padro IEEE754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

    1.3 Erros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

    1.3.1 Origem dos erros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

    1.3.2 Conceitos iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

    1.3.3 Propagao de erros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

    1.3.4 Instabilidade numrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

    1.4 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

    2 Sistemas de equaes lineares 35

    2.1 Mtodos diretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

    2.1.1 Eliminao Gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

    2.1.2 Estabilidade do mtodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

    2.1.3 Condicionamento em sistemas de equaes lineares . . . . . . . . . . . . 42

    2.2 Refinamento iterativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

    2.3 Mtodos iterativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

    2.3.1 Mtodo de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

    2.3.2 Mtodo Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

    2.4 Exemplos comentados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

    2.5 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

    3 Equaes no lineares 69

    3.1 Mtodos de quebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

    3.1.1 Mtodo da bisseco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

    3.1.2 Mtodo da falsa posio ou regula falsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

    3.2 Mtodos de ponto fixo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

    3.2.1 Mtodo da iterao linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

    3

  • Sumrio

    3.2.2 Mtodo Newton-Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

    3.3 Mtodos de mltiplos pontos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

    3.3.1 Mtodo da secante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

    3.4 Razes de polinmios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

    3.5 Newton-Raphson modificado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

    3.6 Sistemas de Equaes no lineares (mtodo de Newton-Raphson) . . . . . . . . . 85

    3.7 Exemplos comentados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

    3.8 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

    4 Derivao numrica 101

    4.1 Extrapolao de Richardson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

    4.2 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

    5 Interpolao 111

    5.1 Interpolao polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

    5.1.1 Interpolao pelos polinmios de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . 113

    5.1.2 Interpolao de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

    5.1.3 Erros de truncamento na interpolao por polinmios . . . . . . . . . . . 119

    5.2 Interpolao spline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

    5.2.1 Interpolao spline cbica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

    5.3 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

    6 Ajuste de mnimos quadrados 139

    6.1 Ajuste de mnimos quadrados linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

    6.2 Ajustes linearizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

    6.3 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

    7 Integrao numrica 155

    7.1 Quadratura por interpolao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

    7.2 Quadraturas newtonianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

    7.2.1 Regra do trapzio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

    7.2.2 Regra de Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

    7.2.3 Regras de ordem superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

    7.2.4 Regras compostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

    7.2.5 Mtodo de Romberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

    7.3 Quadratura gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

    7.4 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

    8 Equaes Diferenciais Ordinrias 173

    8.1 Mtodo da srie de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

    8.2 Mtodo de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

    8.3 Mtodo Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

    8.4 Sistema de equaes diferenciais de 1 ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

    4

  • Sumrio

    8.5 Mtodos de mltiplos passos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

    8.5.1 Mtodo Adams-Bashforth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

    8.5.2 Mtodo Adams-Moulton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

    8.6 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

    9 Cdigos Scilab 195

    9.1 Eliminao Gaussiana com pivotamento parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

    9.2 Mtodo de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

    9.3 Mtodo Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

    9.4 Mtodo da Bisseco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

    9.5 Mtodo Newton-Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

    9.6 Mtodo da Secante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

    10Respostas de alguns exerccios 207

    10.1 Captulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

    10.2 Captulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

    10.3 Captulo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

    10.4 Captulo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

    10.5 Captulo 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

    10.6 Captulo 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

    10.7 Captulo 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

    10.8 Captulo 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

    5

  • 1 Representao de nmeros emmquinas

    1.1 Sistema de numerao

    Um sistema de numerao formado por uma coleo de smbolos e regras para representar con-

    juntos de nmeros de maneira consistente. Um sistema de numerao que desempenhe satisfato-

    riamente o seu propsito deve possuir as seguintes propriedades:

    1. Capacidade de representar um conjunto de nmeros distintos de maneira padronizada.

    2. Deve refletir as estruturas algbricas e aritmticas dos nmeros

    O sistema mais utilizado o sistema de numerao posicional de base 10 ou sistema de numera-

    o base-10 o sistema decimal. Em um sistema de numerao posicional a posio relativa dos

    smbolos guarda informao sobre o nmero que se quer representar. Mais especificamente, posi-

    es adjacentes esto relacionadas entre si por uma constante multiplicativa denominada base do

    sistema de numerao. Assim, cada smbolo em uma determinada posio contribui aditivamente

    com uma quantidade dada pela multiplicao do valor numrico do smbolo pela base elevada ao

    expoente dado pelo posio. Dessa forma, o numeral, formado por uma sequncia de smbolos,

    representa o nmero calculado a partir da soma da contribuio conjunta de cada smbolo e de

    sua posio.

    Definio 1.1.1 (Sistemas de numerao base-b). Sistemas de numerao base-b. Dado um natu-

    ral1 b > 1, a coleo de smbolos , , e os algarismos2 {0, 1, . . . , b 1}, o numeral 3

    dndn1 d1d0,d1 b (1.1.1)

    representa o nmero real positivo jn

    djbj . (1.1.2)

    A