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Amintas

engenharia

Clculo Numrico

Amintas Paiva Afonso

1. Introduo

O que o Clculo Numrico?

1. Introduo

O Clculo Numrico corresponde a um conjunto de ferramentas ou mtodos usados para se obter a soluo de problemas matemticos de forma aproximada.

Esses mtodos se aplicam principalmente a problemas que no apresentam uma soluo exata, portanto precisam ser resolvidos numericamente.

1. Introduo

O Clculo Numrico uma metodologia para resolver problemas matemticos por meio de uma mquina calculadora ou um computador, sendo de grande importncia pois, embora os mtodos analticos usualmente nos forneam a resposta em termos de funes matemticas, existem problemas que no possuem soluo analtica. Mas, mesmo nestes casos podemos obter uma soluo numrica para o problema.Uma soluo via Clculo Numrico um conjunto de dados numricos que fornecem uma aproximao para a soluo exata do problema, aproximao esta que pode ser obtida em grau crescente de exatido.

1. Introduo

Utilizamos apenas as quatro operaes aritmticas (soma, subtrao, multiplicao e diviso) e operaes lgicas para computar um resultado numrico, o que torna a combinao computador-clculo numrico perfeita.

1. Introduo

Fluxograma Soluo Numrica

PROBLEMA

MODELO MATEMTICO

SOLUO

modelagem

resoluo

PROBLEMA

ESCOLHA DO MTODO NUMRICO

IMPLEMENTAO COMPUTACIONAL

CONSTRUO DO MODELO MATEMTICO

LEVANTAMENTO DE DADOS

ANLISE DOS RESULTADOS

VERIFICAO

1. Introduo

Duas fases podem ser identificadas no diagrama:

MODELAGEM - a fase de obteno de um modelo matemtico que descreve o comportamento do sistema fsico em questo.RESOLUO - a fase de obteno da soluo do modelo matemtico atravs da aplicao de mtodos numricos.

1. Introduo

A escolha do mtodo mais eficiente deve envolver:

Preciso desejada para os resultados;Capacidade do mtodo em conduzir aos resultados desejados (velocidade de convergncia);Esforo computacional despendido (tempo de processamento, economia de memria necessria para a resoluo).

1. Introduo

A soluo numrica envolve:

A elaborao de um algoritmo, que a descrio seqencial dos passos que caracterizam um mtodo numrico;A codificao do programa, quando implementamos o algoritmo numa linguagem de programao escolhida; O processamento do programa, quando o cdigo antes obtido editado em um arquivo para que possa ser executado pelo computador.

1. Introduo

Duas idias so freqentes em clculo numrico, a de iterao ou aproximao sucessiva e a de aproximao local.

Aproximao inicial: consiste em uma primeira aproximao para a soluo do problema numrico.Teste de parada: o instrumento por meio do qual o procedimento iterativo finalizado.

Iterao. Em um sentido amplo, iterao significa a repetio sucessiva de um processo. Um mtodo iterativo se caracteriza por envolver os seguintes elementos:

Aproximao local. Aqui a idia aproximar uma funo por outra que seja de manuseio mais simples. Por exemplo, aproximar uma funo no linear por uma funo linear em um determinado intervalo do domnio das funes.

1. Introduo

Exemplo:

Circuito eltrico composto de uma fonte de tenso e um resistor.

Soluo exata

Introduo de um diodo no circuito:

Soluo utilizando mtodos numricos

1. Introduo

V

R

i

V

R

D

i

Por que produzir resultados numricos?

1. Introduo

Um problema de Matemtica pode ser resolvido analiticamente, mas esse mtodo pode se tornar impraticvel com o aumento do tamanho do problema.

Exemplo:

soluo de sistemas de equaes lineares.

1. Introduo

A existncia de problemas para os quais no existem mtodos matemticos para soluo (no podem ser resolvidos analiticamente).

Exemplos:

a) no tem primitiva em forma simples;

b) no pode ser resolvido analiticamente;

c)equaes diferenciais parciais no lineares podem ser resolvidas analiticamente s em casos particulares.

1. Introduo

Os mtodos numricos buscam solues aproximadas para as formulaes matemticas.

Nos problemas reais, os dados so medidas e, como tais, no so exatos. Uma medida fsica no um nmero, um intervalo, pela prpria impreciso das medidas. Da, trabalha-se sempre com a figura do erro, inerente prpria medio.

Os mtodos aproximados buscam uma aproximao do que seria o valor exato. Dessa forma inerente aos mtodos se trabalhar com a figura da aproximao, do erro, do desvio.

1. Introduo

Funo do Clculo Numrico na Engenharia

Buscar solucionar problemas tcnicos atravs de mtodos numricos

modelo matemtico

1. Introduo

Passos para a resoluo de problemas

PROBLEMA

MODELAGEM

REFINAMENTO

RESULTADO DE

CINCIAS AFINS

MENSURAO

ESCOLHA

DE MTODOS

ESCOLHA

DE PARMETROS

TRUNCAMENTO

DAS ITERAES

RESULTADO

NUMRICO

1. Introduo

Fluxograma Soluo Numrica

PROBLEMA

MODELO MATEMTICO

SOLUO

modelagem

resoluo

PROBLEMA

ESCOLHA DO MTODO NUMRICO

IMPLEMENTAO COMPUTACIONAL

CONSTRUO DO MODELO MATEMTICO

LEVANTAMENTO DE DADOS

ANLISE DOS RESULTADOS

VERIFICAO

1. Introduo

Influncia dos Erros nas Solues

Exemplo 1: Falha no lanamento de msseis

(25/02/1991 Guerra do Golfo mssil Patriot)

Erro de 0,34 s no clculo do tempo de lanamento

Limitao na representao numrica (24 bits)

1. Introduo

Influncia dos Erros nas Solues

Exemplo 2: Exploso de foguetes

(04/06/1996 Guiana Francesa foguete Ariane 5)

Erro de trajetria 36,7 s

aps o lanamento

Limitao na representao numrica (64 bits/ 16 bits)

Prejuzo: U$ 7,5 bilhes

1. Introduo

Aplicaes de clculo numrico na engenharia.

Determinao de razes de equaesInterpolao de valores tabeladosIntegrao numrica, entre outros.

1. Introduo

Fornecer condies para que os alunos possam conhecer, calcular, utilizar e aplicar mtodos numricos na soluo de problemas de engenharia.

Estudar a construo de mtodos numricos, analisar em que condies se pode ter a garantia de que os resultados computados esto prximos dos exatos, baseados nos conhecimentos sobre os mtodos.

1. Introduo

Viso de Engenharia x Matemtica/Computao

Conceitos e entendimentos bsicos de CNExemplos de custos de erros numricos nas engenhariasIncrementao do perfil profissional

Noes de preciso e eficincia nas solues

Introduo dos mtodos tradicionais

Aplicao de ferramentas disponveis

O que a disciplina vai oferecer?

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engenharia

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