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Cálculo Numérico Computacional

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  • Calculo Numerico e Computacional { CNC

    Luiza Amalia Pinto Cant~ao

    luiza@sorocaba.unesp.br

  • Sumario

    1 Introduc~ao a Teoria de Erros e Estabilidade 3

    1.1 Representac~ao de Numeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

    1.2 Aritmetica de Ponto Flutuante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

    1.3 Erros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

    1.4 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

    2 Sistemas de Equac~oes Lineares 7

    2.1 Metodos Diretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

    2.1.1 Sistemas Triangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

    2.1.2 Metodo de Eliminac~ao de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

    2.1.3 Fatorac~ao LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

    2.2 Metodos Iterativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

    2.2.1 Metodo de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

    2.2.2 Metodo de Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

    2.2.3 Converge^ncia dos Metodos de Jacobi e Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    2.3 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    3 Equac~oes N~ao-Lineares 20

    3.1 Fase I: Isolamento das Razes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

    3.2 Fase II: Renamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

    3.2.1 Criterio de Parada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

    3.2.2 Metodo da Bissec~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

    3.2.3 Metodo de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

    3.2.4 Metodo da Secante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

    3.3 Sistemas N~ao-Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

    3.3.1 Metodo de Newton para Sistemas N~ao-Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

    3.4 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

    4 Ajuste de Curvas 33

    4.1 Interpolac~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

    4.1.1 Polino^mio Interpolador de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

    4.1.2 Polino^mio Interpolador de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

    4.2 Quadrados Mnimos Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

    4.3 Interpolac~ao com Splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

    4.3.1 Interpolac~ao por Spline Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

    4.3.2 Interpolac~ao por Spline Cubico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

    1

  • SUM

    ARIO SUM

    ARIO

    4.4 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

    5 Integrac~ao Numerica 51

    5.1 Formula de Newton-Cotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

    5.1.1 Formula dos Trapezios: n = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

    5.1.2 Formula de Simpson: n = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

    5.1.3 Formulas de Newton-Cotes para n = 3 e n = 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

    5.2 Formulas Repetidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

    5.3 Integrac~ao de Romberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

    5.3.1 Extrapolac~ao de Richardson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

    5.3.2 Integrac~ao de Romberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

    5.4 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

    6 Aproximac~oes para Equac~oes Diferenciais Ordinarias 59

    6.1 Diferencas Finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

    6.2 Metodos de Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

    6.3 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

    Refere^ncias Bibliogracas 67

    2

  • CAP

    ITULO 1

    Introduc~ao a Teoria de Erros e Estabilidade

    1.1 Representac~ao de Numeros

    Exemplo 1. Calcule a area de uma circunfere^ncia de raio igual a 100m.

    Resultados Obtidos:

    1. A = 31400m

    2

    ;

    2. A = 31416m

    2

    ;

    3. A = 31415:92654m

    2

    .

    Como justicar as diferencas entre os resultados apresentados no exemplo 1?

    E possvel obter exatamente esta

    area?

    Os erros ocorridos dependem da representac~ao do numero (neste caso, do numero ) na maquina utilizada

    1

    e

    do numero maximo de dgitos usados na sua representac~ao.

    O numero , por exemplo, n~ao pode ser representado atraves de um numero nito de dgitos decimais. No

    exemplo 1, o numero foi escrito como 3.14, 3.1416 e 3.141592654 respectivamente. Para cada representao

    foi obtido um resultado diferente, e o erro neste caso depende exclusivamente da aproximac~ao escolhida para .

    Qualquer que seja a circunfere^ncia, a sua area nunca sera obtida exatamente de forma numrica!

    Logo, qualquer calculo que envolva numeros que n~ao podem ser representados atraves de um numero nito de

    dgitos n~ao fornecera como resultado um valor exato.

    1.2 Aritmetica de Ponto Flutuante

    Um computador ou calculadora representa um numero real no sistema denominado aritmetica de ponto utu-

    ante. Ou seja, um numero pode ser representado com ponto xo, por exemplo, 12:34 ou com ponto utuante

    0:1234 10

    2

    . Assim, o numero r sera representado na forma:

    0:d

    1

    d

    2

    d

    3

    : : : d

    t

    10

    e

    onde:

    1

    Calculadora ou computador.

    3

  • Captulo 1. Introduc~ao a Teoria de Erros e Estabilidade CNC

    d

    i

    , para i = 1; 2; 3; : : : t, s~ao os dgitos da parte fracionaria, tais que 0 d

    i

    9 e d

    1

    6= 0;

    t e o numero de dgitos na mantissa;

    e e um expoente inteiro.

    Exemplo 2. Sejam tre^s dgitos na mantissa (t = 3) e um expoente e 2 [5; 5].

    Os numeros ser~ao representados na seguinte forma nesse sistema:

    0:d

    1

    d

    2

    d

    3

    10

    e

    ; 0 d

    j

    9; d

    1

    6= 0; e 2 [5; 5]:

    O menor numero sera m = 0:100 10

    5

    = 10

    6

    , e o maior numero, M = 0:999 10

    5

    = 99900, ambos em

    valor absoluto.

    Considere o conjunto dos numeros reais R e o seguinte conjunto:

    G = fx 2 R =m jx j Mg:

    Dado um numero real x , tre^s situac~oes poder~ao ocorrer:

    Caso (1) x 2 G:

    por exemplo: x = 235:89 = 0:23589 10

    3

    . Se nesta maquina houver precis~ao de tre^s dgitos signicativos

    na mantissa, ent~ao x sera representado por 0:235 10

    3

    ou por 0:236 10

    3

    ;

    Caso (2) jx j < m:

    por exemplo: x = 0:345 10

    7

    e e 2 [5;1). Neste caso, a maquina acusa a ocorre^ncia de underow e

    geralmente ajusta para zero.

    Caso (3) jx j > M:

    por exemplo: x = 0:875 10

    9

    e e 2 (1; 5]. Neste caso, a maquina acusa a ocorre^ncia de overow e leva

    a falhas na computac~ao.

    1.3 Erros

    O formato de um numero em aritmetica de ponto utuante limita a mantissa em k dgitos decimais. Existem

    duas maneiras de obter essa limitac~ao. Um metodo, chamado de truncamento, consiste em simplesmente cortar

    os dgitos d

    k+1

    d

    k+2

    : : :.

    O outro metodo, chamado de arredondamento trunca a mantissa em k dgitos (como no caso acima), porem

    duas situac~oes podem ocorrer:

    1. Se d

    k+1

    5, d

    k

    = d

    k

    + 1;

    2. Se d

    k+1

    < 5, d

    k

    = d

    k

    .

    Exemplo 3. Podemos escrever o numero na forma de aritmetica de ponto utuante com 5 dgitos usando:

    1. O metodo de Truncamento: = 0:31415 10

    1

    ;

    2. O metodo de Arredondamento: = 0:31416 10

    1

    .

    Estes dois processos geram erros nos calculos numericos e s~ao conhecidos como erros de truncamento e erros

    de arredondamento, respectivamente.

    L. A. P. Cant~ao 4

  • Captulo 1. Introduc~ao a Teoria de Erros e Estabilidade CNC

    Erros Absolutos e Relativos

    O erro absoluto e a diferenca entre o valor exato de um numero x e seu valor aproximado x :

    EA

    x

    = jx x j:

    Em geral, apenas o valor x e conhecido, e neste caso, e impossvel obter o valor exato do erro absoluto. O que

    se faz e obter um limitante superior ou uma estimativa para o modulo do erro absoluto.