cálculo numérico módulo v

Profs.: Bruno Correia da Nóbrega Queiroz

José Eustáquio Rangel de QueirozMarcelo Alves de Barros

Resolução Numérica deSistemas Lineares – Parte I

Resolução Numérica deSistemas Lineares – Parte I

Cálculo NuméricoCálculo NuméricoMódulo VMódulo V

2

Sistemas Lineares

Forma Geral

onde:

aaijij coeficientes

xxii incógnitas

bbii termos independentes

nnnn22n11n

2nn2222121

1nn1212111

bxa...xaxa

bxa...xaxa

bxa...xaxa

nnnn22n11n

2nn2222121

1nn1212111

bxa...xaxa

bxa...xaxa

bxa...xaxa

3

Exemplo 01

2, 4, -5, 4, 1, -5, 2, 4 e 5 coeficientes

x1, x2 e x3 incógnitas

5, 2 e -1 termos independentes

Sistemas Lineares

1x5x4x2

2x5x1x4

5x5x4x2

321

321

321

1x5x4x2

2x5x1x4

5x5x4x2

321

321

321

4

Sistemas Lineares

Forma Matricial

na qual:

4

Ax = Ax = bb

Ax = Ax = bb

nn3n2n1n

n22221

n112

aaaa

aaa

aaa

A

11

nn3n2n1n

n22221

n112

aaaa

aaa

aaa

A

11

n

2

1

b

bb

b

n

2

1

b

bb

b

n

2

1

x

xx

x

n

2

1

x

xx

x

5

Sistemas Lineares

1x5x4x2

2x5x1x4

5x5x4x2

321

321

321

1x5x4x2

2x5x1x4

5x5x4x2

321

321

321

5

Exemplo 02

Forma Geral

Forma Matricial

125

xxx

.542514542

3

2

1

6

Sistemas Lineares

Classificação I

ImpossívelImpossível NãoNão possui solução

Exemplo 03

6

9x2x23xx

21

21

9x2x23xx

21

21

7

Sistemas Lineares

Classificação II

PossívelPossível Possui 1 ou mais soluções

DeterminadoDeterminado Solução únicaúnica

Exemplo 04

8xx4xx

21

21

8xx4xx

21

21

8

Classificação III


IndeterminadoIndeterminado Mais de Mais de umauma solução

Exemplo 05

Sistemas Lineares

8x2x24xx

21

21

8x2x24xx

21

21

9

Sistemas Lineares

Classificação IV


HomogêneoHomogêneo Vetor b=0b=0 (x=0 sempre existe solução)

Exemplo 06

0x3x20xx

21

21

0x3x20xx

21

21

10

Sistemas Lineares

nn3n2n1n

333231

2221

11

aaaa

0aaa00aa000a

A

nn3n2n1n

333231

2221

11

aaaa

0aaa00aa000a

A

Sistemas Triangulares:

Possibilidade de resolução de forma DiretaDireta

InferiorInferior

11

Sistemas Lineares

nn

n333

n22322

n1131211

a000

aa00aaa0aaaa

A

nn

n333

n22322

n1131211

a000

aa00aaa0aaaa

A

Sistemas Triangulares:

Possibilidade de resolução de forma RetroativaRetroativa

SuperiorSuperior

12

Solução Retroativa

Exemplo 7:

Dado o sistema:

Primeiro passo para sua resolução:

2x23x5x41x2xx10xx5x4x3

4

43

432

4321

2x23x5x41x2xx10xx5x4x3

4

43

432

4321

122

x4 122

x4

13


Exemplo 7:

Segundo passo:

Terceiro passo:

2x315x43x5x4

3

3

43

2x315x43x5x4

3

3

43

1x1122x1x2xx

2

2

432

1x1122x1x2xx

2

2

432

14


Exemplo 7:

Último passo:

1x10125)1(4x3

10xx5x4x3

1

1

4321

1x10125)1(4x3

10xx5x4x3

1

1

4321

15

Métodos Numéricos

DiretosDiretos

Solução pode ser encontrada a partir de um número finito de passos

Método de GaussMétodo de Gauss

Método da Eliminação de JordanMétodo da Eliminação de Jordan

Fatoração LUFatoração LU

16

Métodos Numéricos

IterativosIterativos

Solução a partir de uma seqüência de seqüência de aproximações aproximações para o valor do vetor solução xx , até que seja obtido um valor que satisfaça à precisão pré-estabelecida

Método de JacobiMétodo de Jacobi

Método de Gauss – SeidelMétodo de Gauss – Seidel

17

Método de Gauss

Propósito

Transformação do sistema linear a ser resolvido em um sistema linear sistema linear triangulartriangular;

Resolução do sistema linear triangular de forma retroativaretroativa.

18

Método de Gauss

Transformação do Sistema Linear

Troca da ordem das linhas;

Multiplicação de uma das equações por um número real não nulo;

Substituição de uma das equações por uma combinação linear dela mesma com outra equação.

19

Método de Gauss

Passos do Método de Gauss

Construção da matriz aumentada AbAb

19

nnn3n2n1n

2n22221

1n11211

baaaa

baaabaaa

Ab

nnn3n2n1n

2n22221

1n11211

baaaa

baaabaaa

Ab

20

Método de Gauss


Passo 1:

Eliminar os coeficientes de xEliminar os coeficientes de x11 presentes nas linhas 2,3,...,n - sendo a21 = a31, = ... = an1 = 0 - sendo aa1111 chamado de pivô da pivô da colunacoluna

Substituir a linha 2, LL22, pela combinação linear

11

21211212 a

am:qualna,LmL

21

Método de Gauss

11

313113133 a

am:qualna,LmLL


Substituir a linha 3, L3, pela combinação linear:

22

Método de Gauss


Continuar a substituição até a linha n;

Caso algum elemento app=0, achar outra linha k onde akp≠ 0 e trocar tais linhas. Caso a linha k não exista, o sistema linear não possui solução.

23

Método de Gauss


Eliminar os coeficientes de x2 nas linhas 3, 4, ..., n (fazer a32=a42=...=an2 = 0);

Eliminar os coeficientes de x3 nas linhas 4, 5, ..., n (fazer a43=a53=...=an3 = 0) e assim sucessivamente.

24

Método de Gauss

Exemplo 8:

Resolver o sistema:

Matriz aumentada Ab

1xx3x23x3x4x4

5xx3x2

321

321

321

1xx3x23x3x4x4

5xx3x2

321

321

321

1132

33445132

Ab

25

Método de Gauss

Exemplo 8:

Faz-se:

Assim:

2aa

m,LmLL11

212112122 2

aa

m,LmLL11

212112122

7120L

513223344L

2

2

26

Método de Gauss

Exemplo 8:

Faz-se:

Assim:

1aa

m,LmLL11

312313133 1

aa

m,LmLL11

312313133

6260L

513211132L

3

3

27

Método de Gauss

Exemplo 8:

Obtém-se a matriz:

62607120

5132Ab

62607120

5132Ab

28

Método de Gauss

Exemplo 8:

Substituindo a linha 3 por:

Têm-se:

3aa

m,LmLL22

323213233 3

aa

m,LmLL22

323213233

15500L

712036260L

3

3

29

Método de Gauss

Exemplo 8:

A matriz [Ab] fica assim com os seguintes valores:

155007120

5132Ab

155007120

5132Ab

30

Método de Gauss

Exemplo 8:

Usa-se a solução retroativa:

1x22x5362x

5xx32x

2x732x7x2x

3x155x

111

321

2232

33

31

Método de Gauss

Exemplo 9:

Resolver o sistema.

Representando o sistema pela matriz aumentada:

9,8x8,7x7,5x7,27,11x5,4x3,2x2,4

10x3,3x4,5x5,1

321

321

321

9,8x8,7x7,5x7,27,11x5,4x3,2x2,4

10x3,3x4,5x5,1

321

321

321

9,88,77,57,27,115,43,22,4

103,34,55,1]AB[

32

Método de Gauss

Exemplo 9:

Escolhendo a primeira linha como pivô, obtém-se:

9,11,864,020 L

103,35,41,5(2,7/1,5)8,97,85,72,7LmLL

16,34,7412,820 L

103,35,41,5(4,2/1,5)11,74,52,34,2LmLL

3

13133

2

12122

9,11,864,020 L

103,35,41,5(2,7/1,5)8,97,85,72,7LmLL

16,34,7412,820 L

103,35,41,5(4,2/1,5)11,74,52,34,2LmLL

3

13133

2

12122

33

Método de Gauss

Exemplo 9:

Representando o sistema pela matriz aumentada:

9,11,864,020

16,34,7412,820

103,35,41,5

[AB]

9,11,864,020

16,34,7412,820

103,35,41,5

[AB]

34

Exemplo 9:

Escolhendo agora a segunda linha como pivô, têm-se:

Método de Gauss

3,98883,346300L

16,34,7412,82012,824,02/9,11,864,020L

LmLL

3

3

13233

3,98883,346300L

16,34,7412,82012,824,02/9,11,864,020L

LmLL

3

3

13233

35

Exemplo 9:

Obtêm-se a seguinte matriz ampliada:

Método de Gauss

3,98883,346300

16,34,7412,820

103,35,41,5

[AB]

36

Método de Gauss

Exemplo 9:

O que termina com a triangulação:

3,9888x3,3463x0x0

16,3x4,74x12,82x0

10x3,3x5,41,5x

321

321

321

3,9888x3,3463x0x0

16,3x4,74x12,82x0

10x3,3x5,41,5x

321

321

321

37

Método de Gauss

Exemplo 9:

Com solução:

x3 = -3,9888/3,3463=-1,1918

x2 =[ -16,3 - (-4,74)(-1,1920)]/(-12,82) = 1,7121

x1 = [10 - 5,4(1,7122) - 3,3(-1,1920)]/1,5 = 3,1251

38

Método do Pivoteamento Parcial

Semelhante ao método de Gauss;

Minimiza a amplificação de erros de arredondamento durante as eliminações;

Consiste em escolher o elemento de maior módulo em cada coluna para ser o pivô.

39


Exemplo 10:

Resolver o sistema com precisão de 4 casas decimais

9,8x8,7x7,5x7,27,11x5,4x3,2x2,4

10x3,3x4,5x5,1

321

321

321

9,8x8,7x7,5x7,27,11x5,4x3,2x2,4

10x3,3x4,5x5,1

321

321

321

40


Exemplo 10:

Matriz aumentada original deve ser ajustada:

9,88,77,57,27,115,43,22,4

103,34,55,1

9,88,77,57,2103,34,55,1

7,115,43,22,4

41


Exemplo 10:

Sistema inalterado, elemento pivô 4,24,2.

Encontrar as novas linhas:

]1,37864,90714,22140[L

]11,74,52,34,2[(2,7/4,2)]8,97,85,72,7[LmLL

]5,82141,69294,57860[L

]11,74,52,34,2[1,5/4,2)]103,35,41,5[LmLL

3

13133

2

12122

(

]1,37864,90714,22140[L

]11,74,52,34,2[(2,7/4,2)]8,97,85,72,7[LmLL

]5,82141,69294,57860[L

]11,74,52,34,2[1,5/4,2)]103,35,41,5[LmLL

3

13133

2

12122

(

42


Exemplo 10:

A matriz ampliada fica da forma:

Como o elemento já é o pivô da 2ª coluna, tem-se:

1,37864,90714,22140

5,82141,69294,57860

11,74,52,34,2

1,37864,90714,22140

5,82141,69294,57860

11,74,52,34,2

]3,98863,346300[L

]5,82141,69294,57860[5786)(4,2214/4, ]1,37864,90714,22140[LmLL

3

23233

4,5786

43


Exemplo 10:

A matriz ampliada fica na forma:

3,9886-3,346300

5,82141,69294,57860

11,74,52,34,2

3,9886-3,346300

5,82141,69294,57860

11,74,52,34,2

44


Exemplo 10:

A solução do sistema triangular que resultou dessas operações é:

x3 = -3,9886/3,3463 = -1,1919

x2 = [5,8214-1,6929(-1,1919)]/(4,5786) = 1,7121

x1 = [11,7- 2,3(1,7121)- 4,5(-1,1919)]/4,2 = 3,1252

45


Exemplo 9: Exemplo 10 (com pivoteamento):

x3 = -1,1918 x3 = -1,1919

x2 = 1,7121 x2 = 1,7121

x1 = 3,1252 x1 = 3,1251

Solução encontrada no Matlab:x1 = -1,19198135198135

x2 = 1,71216783216783

x3 = 3,12522144522145

46

Método de Jordan

Consiste em efetuar operações sobre as equações do sistema, com a finalidade de obter um sistema diagonal equivalente;

Um sistema diagonal é aquele em que os elementos aaijij da matriz coeficiente [A] são iguais a zero, para ii≠j≠j,

i, j = 1,2,...,n.

47

Método de Jordan

Sistema diagonal equivalente:

nn

33

22

11

a000

0a0000a0000a

]A[

nn

33

22

11

a000

0a0000a0000a

]A[

48

Método de Jordan

Exemplo 11:

A partir do sistema:

Com matriz aumentada:

4x2x3x22x3x2x5

1xx5x

321

321

321

4x2x3x22x3x2x5

1xx5x

321

321

321

4232

1151

2325

4232

2325

1151

Ab

49

Método de Jordan

Exemplo 11:


Substituindo a linha 3 por :

0,21/5

aa

m0,60,44,60L

,2325(1/5)1151LmLL

11

21212

12122

,

0,21/5

aa

m0,60,44,60L

,2325(1/5)1151LmLL

11

21212

12122

,

0,42/5

aa

m3,20,82,20L

2325(2/5)4232LmLL

11

31313

13133

,

0,42/5

aa

m3,20,82,20L

2325(2/5)4232LmLL

11

31313

13133

,

50

Método de Jordan

Exemplo 11:

A matriz ampliada resulta em:


3,20,82,200,60,44,602325

Ab

3,20,82,200,60,44,602325

Ab

8, 0,472,2/4,6

aa

m2,9130,60900L

0,60,44,60(2,2/4,6)3,20,82,20LmLL

22

32323

23233

51

Método de Jordan

Exemplo 11:

A matriz ampliada resulta em:

Substituindo a linha 2 por

913,2609,0006,04,06,40

1325Ab

913,2609,0006,04,06,40

1325Ab

1,31304,60L

2,9130,60900)(0,4/0,609

0,60,44,60LmLL

2

32322

52

Método de Jordan

Exemplo 11:

Matriz ampliada resulta em:

Substituindo a linha 1 por

913,2609,000313,106,401325

Ab

913,2609,000313,106,401325

Ab

2/4,6

aa

m,1,571305L

,1,31304,60(2/4,6)1325L

22

12121

1

53

Método de Jordan

Exemplo 11:


A matriz ampliada fica da seguinte forma:

3/0,609aa

m12,779005L

2,9130,60900(3/0.609)

1,571305L

33

13131

1

3/0,609aa

m12,779005L

2,9130,60900(3/0.609)

1,571305L

33

13131

1

2,9130.609001,31304,60

12,779005Ab

54

Método de Jordan

Exemplo 11:

E as soluções são:

xx11 =-2,556 , x =-2,556 , x22= -0,285, x= -0,285, x33=4,783=4,783

55

Decomposição em LU

O objetivo é fatorar a matriz dos coeficientes AA em um produto de duas matrizes LL e UU.

Seja:

nn

n333

n22322

n1131211

3n2n1n

3231

21

u000

uu00uuu0uuuu

1lll001ll001l0001

LU

nn

n333

n22322

n1131211

3n2n1n

3231

21

u000

uu00uuu0uuuu

1lll001ll001l0001

LU

56


E a matriz coeficiente A:

Tem-se, então:

nn3n2n1n

n22221

n11211

aaaa

aaaaaa

A

nn3n2n1n

n22221

n11211

aaaa

aaaaaa

A

nn

n333

n22322

n1131211

3n2n1n

3231

21

nn3n2n1n

n22221

n11211

u000

uu00uuu0uuuu

1lll001ll001l0001

]LU[

aaaa

aaaaaa

A

57


Para se obter os elementos da matriz LL e da matriz UU, deve-se calcular os elementos das linhas de UU e os elementos da colunas de LL como segue.

58


1ª linha de U: Faze-se o produtoproduto da 11ªª linha de LL por todas todas as colunas de U U e a iguala com todos os elementos da 11ªª linha de AA, assim:

.n,...,2,1j,au,auau1

,auau1,auau1

j1j1

n1n1n1n1

12121212

11111111

.n,...,2,1j,au,auau1

,auau1,auau1

j1j1

n1n1n1n1

12121212

11111111

59


1ª coluna de L: Faz-se o produto de todas as linhas de L, (da 2 2ªª a até a n nªª),), pela 1ª coluna de U e a iguala com os elementos da 1ª coluna de A, (abaixo da abaixo da diagonal principaldiagonal principal), obtendo ,

.n,...,2,1l,ua

l

,ua

laul

,ua

laul

,ua

laul

11

1l1l

11

1l1l1l111l

11

3131311131

11

2121211121

.n,...,2,1l,ua

l

,ua

laul

,ua

laul

,ua

laul

11

1l1l

11

1l1l1l111l

11

3131311131

11

2121211121

60


2ª linha de U: Faz-se o produto da 2ª linha de L por todas as colunas de U, (da 22ªª até a n nªª), e igualando com os elementos da 2ª linha de A, (da diagonal da diagonal principal em dianteprincipal em diante), obtêm-se ,

.n,...,3j,ulau

,ulauauul

,ulauauul

,ulauauul

j121j2j2

n121n2n2n2n2n121

1321232323231321

1221222222221221

.n,...,3j,ulau

,ulauauul

,ulauauul

,ulauauul

j121j2j2

n121n2n2n2n2n121

1321232323231321

1221222222221221

61


2ª coluna de L: Faz-se o produto de todas as linhas de L (da 3 3ªª até a n nªª) pela 2ª coluna de U e a iguala com os elementos da 2ª coluna de A, (abaixo abaixo da diagonal principalda diagonal principal), obtendo ,

.n,...,3l,u

ulal

,u

ulalaulul

,u

ulalaulul

,u

ulalaulul

22

121l2l2l

22

121l2l2l2l222l121l

22

124142424222421241

22

123132323222321231

.n,...,3l,u

ulal

,u

ulalaulul

,u

ulalaulul

,u

ulalaulul

22

121l2l2l

22

121l2l2l2l222l121l

22

124142424222421241

22

123132323222321231

62


Temos a seguinte fórmula geral:

.jl,u/)ula(l

,jl,ulau

jjkjlkljlj

1l

1k

kjlkljlj

.jl,u/)ula(l

,jl,ulau

jjkjlkljlj

1l

1k

kjlkljlj

63


Resumo de Passos:

Seja um sistema Ax = bAx = b de ordem nn, onde A satisfaz as condições da fatoração LU.

Então, o sistema Ax = bAx = b pode ser escrito como:

LUx = bLUx = b

64


Resumo dos Passos:

Fazendo Ux = yUx = y, a equação acima reduz-se a Ly = bLy = b.

Resolvendo o sistema triangular inferior Ly = bLy = b, obtém-se o vetor yy.

65


Resumo dos Passos:

Substituição do valor de yy no sistema Ux = yUx = y Obtenção de um sistema triangular superior cuja solução é o vetor xx procurado;

Aplicação da fatoração LU na resolução de sistemas lineares Necessidade de solução de dois sistemas triangulares

66

Erros - Avaliação de Erros

No sistema AAx = bx = b , no qual:

o erro da soluçãoerro da solução é x – x’x – x’ .

n

2

1

n

2

1

nn2n1n

n22221

n11211

b

bb

b

x

xx

x

aaa

aaaaaa

]A[

n

2

1

n

2

1

nn2n1n

n22221

n11211

b

bb

b

x

xx

x

aaa

aaaaaa

]A[

67

Procedimento de Determinação do Erro

Determinar:

AAx’ = b’x’ = b’

Erros - Avaliação de Erros

68

Erros – Resíduo

Procedimento de Determinação do Erro

Fazer:

Resíduo Resíduo = b – b’

Resíduo =Resíduo = b – b’ = Ax - Ax’ = A(x – x’) = AAerroerro

69

Erros – Resíduo

Verifica-se que:

O resíduo nãonão é o erro, apenasapenas uma estimativa do mesmo;

Quanto menormenor for o resíduo, menormenor será o erro.

70

Exemplo 12:

Refinar a solução do sistema:

Cuja solução encontrada através pelo método de Gauss, utilizando a solução retroativa é:

1,1918]´- 1,7121 [3,1252x (0) 1,1918]´- 1,7121 [3,1252x (0)

Erros – Resíduo

9,8x8,7x7,5x7,2

7,11x5,4x3,2x2,4

10x3,3x4,5x5,1

321

321

321

9,8x8,7x7,5x7,2

7,11x5,4x3,2x2,4

10x3,3x4,5x5,1

321

321

321

71

Exemplo 12:

O resíduo calculado é:

Vê-se pelo resíduo que a precisão alcançada não foi satisfatória.

O vetor xx(0)(0) é chamado de vetor vetor soluçãosolução.

0.0010

0.0006

0.0002

Axbr (0)(0)

0.0010

0.0006

0.0002

Axbr (0)(0)

Erros – Resíduo

72

Exemplo 12:

Com o intuito de melhorar a solução, considera-se um novo vetor xx(1)(1)

chamado de vetor solução vetor solução melhoradomelhorado.

Erros – Resíduo

73

Exemplo 12:

De forma que : xx(1) = (1) = xx(0) + (0) + δδ(0)(0), onde δδ(0)(0) é o vetor de correçãovetor de correção. Assim:

)0()0(

)0()0(

)0()0(

)0()0(

)1(

rAAxbA

bAAxb)x(A

bAx

)0()0(

)0()0(

)0()0(

)0()0(

)1(

rAAxbA

bAAxb)x(A

bAx

Erros – Resíduo

74

Exemplo 12:

Calcular o vetor de correção:

0,0010

0,0006

0,0002

δ

δ

δ

3

2

1

.9,88,77,57,27,115,43,22,4

103,34,55,1

0,0010

0,0006

0,0002

δ

δ

δ

3

2

1

.9,88,77,57,27,115,43,22,4

103,34,55,1

Erros – Resíduo

75

Exemplo 12:

A solução é:

0,0002

0,0001

0,0000(0)δ

0,0002

0,0001

0,0000(0)δ

Erros – Resíduo

76

Exemplo 12:

Desta forma, a solução melhorada será:

1920,17122,11252,3

δxx )0()0()1(

1920,17122,11252,3

δxx )0()0()1(

Erros – Resíduo

77

Exemplo 12:

Cujo novo resíduo é:

0,0000

0,0000

0,0000

Axbr (1)(1)

0,0000

0,0000

0,0000

Axbr (1)(1)

Erros – Resíduo

78

Exemplo 12:

Em exemplos onde o resíduo ainda não seja satisfeito pode-se utilizar o mesmo procedimento:

xx(2)(2)=x=x(1)(1)++δδ(1)(1)

Assim, o vetor correção δδ(1)(1), será calculado por A A δδ(1) (1) =r=r(1)(1).

Erros – Resíduo

79

Exemplo 12:

Acha-se assim, sempre uma solução melhorada e com resíduo tendendo a zero.

Erros – Resíduo

80

Sistemas Lineares - Bibliografia

Ruggiero, M. A. Gomes & Lopes, V. L. da R. Ruggiero, M. A. Gomes & Lopes, V. L. da R. Cálculo Numérico: Aspectos teóricos e Cálculo Numérico: Aspectos teóricos e computacionaiscomputacionais. MAKRON Books, 1996, 2. MAKRON Books, 1996, 2ªª ed. ed.

Asano, C. H. & Colli, E. Asano, C. H. & Colli, E. Cálculo Numérico: Cálculo Numérico: Fundamentos e AplicaçõesFundamentos e Aplicações. Departamento de . Departamento de

Matemática Aplicada – IME/USP, 2007.Matemática Aplicada – IME/USP, 2007.

Sanches, I. J. & Furlan, D. C. Sanches, I. J. & Furlan, D. C. Métodos Métodos NuméricosNuméricos. DI/UFPR, 2006.. DI/UFPR, 2006.

Paulino, C. D. & Soares, C. Erros e Paulino, C. D. & Soares, C. Erros e Propagação de Erros, Propagação de Erros, Notas de aulaNotas de aula, SE/ DM/ , SE/ DM/ IST IST [Online] [Online] http://www.math.ist.utl.pt/stat/pe/qeb/semeshttp://www.math.ist.utl.pt/stat/pe/qeb/semestre_1_2004-2005/PE_erros.pdftre_1_2004-2005/PE_erros.pdf [Último acesso [Último acesso 07 de Junho de 2007].07 de Junho de 2007].

cálculo numérico módulo v

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