sistemas lineares cálculo numérico prof. wellington d. previero [email protected] aula de...

Sistemas Lineares

Cálculo Numérico

Prof. Wellington D. Previero

[email protected]

www.pessoal.utfpr.edu.br/previero

Aula de Cálculo Numérico de Wellington D. Previero foi licenciado com uma Licença Creative Commons - Atribuição - NãoComercial - CompartilhaIgual 3.0 Não Adaptada.

Sites de Buscas

2

Sites de Buscas Objetivo dos sites de buscas: atribuir a uma página uma

nota com relação a uma dada consulta, bem como retornar os resultados com as páginas com notas maiores em primeiro lugar.

3

Classificação Baseada em Conteúdos

Frequência de palavras Quantidade de vezes que uma determinada palavra

aparece em uma página Web. Aquelas com frequência maior são consideradas mais relevantes.

.

4


.

5


Posição no documento classificar páginas com notas maiores se os termos

aparecerem mais próximo do topo da página.

6

Classificação Baseada em Links Externos

Links externos

levar em consideração as informações que outras páginas fornecem a respeito de uma determinada página (quem criou o link e o que disseram a respeito dela);

páginas com conteúdos duvidosos provavelmente não serão mencionadas (não terão links externos).


Contagem Simples de Links

usar como critério de classificação o número total de links que apontam para uma página em questão.

problema: alguém pode criar diversos sites apontando para uma página que queira promover.

o usuário pode estar interessado em resultados que tenham atraído a atenção de páginas populares.


O Filipe é um excelente jogador de futebol! Esse tem futuro!


O Renan também tem futuro. O Israel, o Sandro e Wellington então, entende Jô?

Alex, o que você colocou na caneca?


Google - Pagerank desenvolvido por Larry Page e Sergey Brin; é um método que classificada documentos da web por sua

importânca ou relevância através de um número; essa importância dá pelo número de votos (links) que uma

página recebe; também analisa a página que envia o voto.


Google – Pagerank fórmula:

PR(P) = pagerank da página P

Pi = página Pi que tem link para a página P

c(Pi) = número de links da página Pi

p = fator de amortecimento (damping)

)1()(

)()( p

Pc

PPRpPPR

i

i


Exemplo: p=0.85

)1()(

)()( p

Pc

PPRpPPR

i

i

15.0)(85.0)( CPRAPR

15.02

)(85.0)(

APRBPR

15.0)(2

)(85.0)(

BPR

APRCPR

Sistema com três incógnitas: PR(A), PR(B) e PR(C).Solução: PR(A) = 1,16

PR(B) = 0,64PR(C) = 1,19

Classificação Baseada em Links Externos O sistema pode ter milhões ou bilhões de variáveis;

Métodos para resolução de sistemas lineares: Métodos diretos: Método de Eliminação de Gauss e

Fatoração LU

Métodos iterativos

Sistemas LinearesConsidere o sistema linear

Onde: aij são os coeficientes do sistema

xj são as incógnitas

bj são as constantes

nnnnnn

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

......

......

......

2211

22222121

11212111

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Sistemas LinearesPodemos escrever o sistema na forma matricial

(Ax=b)

nnnnnn

n

n

b

b

b

x

x

x

aaa

aaa

aaa

2

1

2

1

21

22221

11211

...

...

...

Método de Eliminação de GaussTeorema: Seja Ax=b um sistema linear. Aplicando sobre as equações deste sistema uma sequência de operações descritas abaixo, obtemos um novo sistema A’x=b’ equivalente ao sistema Ax=b.

a) trocar duas linhas;

157

82

yx

yx

82

157

yx

yx

Método de Eliminação de Gaussb) multiplicar uma equação por uma constante não nula;

c) adicionar um múltiplo de uma equação a uma outra equação;

157

82

yx

yx

157

1624

yx

yx2

157

82

yx

yx

27

82

23 y

yx

2

7

+

Método de Eliminação de GaussConsidere o sistema

4444343242141

3434333232131

2424323222121

1414313212111

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

Método de Eliminação de GaussEtapa k=0

onde:

04

03

02

01

044

043

042

041

034

033

032

031

023

023

022

021

013

013

012

011

b

b

b

b

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

ii

ijij

bb

aaa

0

00 0,11

)( 21m


04

03

02

01

044

043

042

041

034

033

032

031

024

023

022

021

014

013

012

011

b

b

b

b

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

01111

11

0210

21121 a

a

aaa

11221

022

122 amaa

111

021

21 a

am

11321

023

123 amaa

11421

024

124 amaa

1121

02

12 bmbb

Linha 2

04

03

12

11

044

043

042

041

034

033

032

031

124

123

122

114

113

112

111

0

b

b

b

b

aaaa

aaaa

aaa

aaaa

Linha 1

L11= L0

1

04

03

02

11

044

043

042

041

034

033

032

031

024

023

022

021

114

113

112

111

b

b

b

b

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa+

)( 31m


04

03

12

11

044

043

042

041

034

033

032

031

124

123

122

114

113

112

111

0

b

b

b

b

aaaa

aaaa

aaa

aaaa

01111

11

0310

31131 a

a

aaa

11231

032

132 amaa

111

031

31 a

am

11331

033

133 amaa

11431

034

134 amaa

1131

03

13 bmbb

Linha 3

04

13

12

11

044

043

042

041

134

133

132

124

123

122

114

113

112

111

0

0

b

b

b

b

aaaa

aaa

aaa

aaaa

+

)( 41m


04

13

12

11

044

043

042

041

134

133

132

124

123

122

114

113

112

111

0

0

b

b

b

b

aaaa

aaa

aaa

aaaa

01111

11

0410

41141 a

a

aaa

11241

042

142 amaa

111

041

41 a

am

11341

043

143 amaa

11441

044

144 amaa

1141

04

14 bmbb

Linha 4

14

13

12

11

144

143

142

134

133

132

124

123

122

114

113

112

111

0

0

0

b

b

b

b

aaa

aaa

aaa

aaaa

+

)( 32m


14

13

12

11

144

143

142

134

133

132

124

123

122

114

113

112

111

0

0

0

b

b

b

b

aaa

aaa

aaa

aaaa

02222

22

1321

32232 a

a

aaa

222

132

32 a

am

22332

133

233 amaa

22432

134

234 amaa

2232

13

23 bmbb

Linha 3

14

23

22

21

144

143

142

234

233

224

223

222

214

213

212

211

0

00

0

b

b

b

b

aaa

aa

aaa

aaaa

Linha 1L2

1= L11

Linha 2L2

2= L12

14

13

22

21

144

143

142

134

133

132

224

223

222

214

213

212

211

0

0

0

b

b

b

b

aaa

aaa

aaa

aaaa

+

)( 42m


14

23

22

21

144

143

142

234

233

224

223

222

214

213

212

211

0

00

0

b

b

b

b

aaa

aa

aaa

aaaa

02221

22

1421

42242 a

a

aaa

222

142

42 a

am

22342

143

243 amaa

22442

144

244 amaa

2242

14

24 bmbb

Linha 4

24

23

22

21

244

243

234

233

224

223

222

214

213

212

211

00

00

0

b

b

b

b

aa

aa

aaa

aaaa

+

)( 43m


24

33

32

31

244

243

334

333

323

323

322

313

313

312

311

00

00

0

b

b

b

b

aa

aa

aaa

aaaa

03333

33

2432

43343 a

a

aaa

333

243

43 a

am

33443

244

344 amaa

3343

24

34 bmbb

Linha 4

34

33

32

31

344

334

333

324

323

322

314

313

312

311

000

00

0

b

b

b

b

a

aa

aaa

aaaa

24

23

22

21

244

243

234

233

224

223

222

214

213

212

211

00

00

0

b

b

b

b

aa

aa

aaa

aaaa

Linha 1L3

1= L21

Linha 2L3

2= L22

Linha 3L3

3= L23

+

Método de Eliminação de GaussAssim, o sistema original

é equivalente

4444343242141

3434333232131

2424323222121

1414313212111

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

344

344

334

3343

333

324

3243

3232

322

314

3143

3132

3121

311

bxa

bxaxa

bxaxaxa

bxaxaxaxa

Método de Eliminação de GaussExercício 1: Resolva o sistema linear utilizando o método de Eliminação de Gauss.

5234

6223

7322

10432

4321

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

Método de Eliminação de GaussEtapa k=0 Etapa k=1

51234

62123

73212

104321 ......

35151050

2410840

135430

104321 ......

Método de Eliminação de Gauss

Solução:

Etapa k=3Etapa k=2

2

0

1

0

4

3

2

1

x

x

x

x

340

320

310

320

310

38

00

00

135430

104321 ......

5000

00

135430

104321

25

320

310

38

.

.

.

.

.

.

Método de Eliminação de Gauss Algoritmo

Qual o papel de cada etapa k no método de Eliminação de Gauss?

Quantas etapas são necessárias no método de Eliminação de Gauss num sistema nxn?

Laço de Repetição: k variando de 1 até n-1

Método de Eliminação de Gauss Algoritmo

Em cada etapa k, as linhas abaixo da diagonal principal são atualizadas. Numa etapa k, quais linhas serão atualizadas? Laço de repetição: i variando de (k+1) até n.

Para cada linha i, deve-se calcular o multiplicador m para que todos os elementos j sejam atualizados, coluna por coluna.

Para a linha i, quais colunas serão atualizadas? Laço de repetição: j variando de k até n.

Método de Eliminação de Gauss AlgoritmoPara k=1 até n-1

Para i=k+1 até n m=aik/akk

Para j=k até n aij = aij - m* akj

Fim bi = bi – m* bk

FimFim

•Resumo:

k = quantidade de etapas (de 1 até n-1)

i = linhas alteradas na etapa k (de k+1 até n)Para cada linha deve ser calculado o multplicador m

j = elementos que serão alterados na linha i na etapa k (de k até n)Atualizar o coeficiente aij

Atualizar a constante bi

Método de Eliminação de GaussVamos agora desenvolver o algoritmo para resolver o sistema triangular superior:

4444

3434333

2424323222

1414313212111

bxa

bxaxa

bxaxaxa

bxaxaxaxa


4444

3434333

2424323222

1414313212111

bxa

bxaxa

bxaxaxa

bxaxaxaxa

44

444444 a

bxbxa

33

434333434333 a

xabxbxaxa

22

424323222424323222

)(

a

xaxabxbxaxaxa


4444

3434333

2424323222

1414313212111

bxa

bxaxa

bxaxaxa

bxaxaxaxa

11

414313212111414313212111

)(

a

xaxaxabxbxaxaxaxa


11

414313212111414313212111

)(

a

xaxaxabxbxaxaxaxa

Assim temos:

44

444444 a

bxbxa

33

434333434333 a

xabxbxaxa

22

424323222424323222

)(

a

xaxabxbxaxaxa

Sistema Triangula Superior

ininiiiiii bxaxaxa ...11,

De modo geral, num sistema nxn o valor de xi é determinado por:

ii

niniiiii a

xaxabx

)...( 11

Sistema Triangular Superior Algoritmo

xn = bn/ann

Para i = n-1 até 1 soma = 0

Para j = i+1 até n soma = soma + aij* xj

Fim xi = (bi-soma)/aii

Fim

nn

nn a

bx

.

.

.

ii

niniiiii a

xaxabx

)...( 11,

.

.

.

11

121211

)...(

a

xaxabx nn

11

111

)(

nn

nnnnn a

xabx

Método de Eliminação de Gauss Estratégia de Pivotamento

O algoritmo para o método de Eliminação de Gauss requer o cálculo dos multiplicadores

em cada iteração.

O termo akk é denominado pivô.

O que acontece se o pivô for nulo?

kk

ikik a

am


Pivotamento Parcial no início de cada etapa k, escolher como pivô o elemento

de maior módulo entre os coeficientes aik, i=k,...,n; trocar as linhas k e i se for necessário.

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