clculo num©rico m³dulo iii

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Cálculo Numérico Módulo III. Erros. Profs.: Bruno Correia da Nóbrega Queiroz José Eustáquio Rangel de Queiroz Marcelo Alves de Barros. Erros - Roteiro. Existência Tipos Propagação. 2. Erros - Existência I. Premissa - PowerPoint PPT Presentation

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  • Profs.: Bruno Correia da Nbrega QueirozJos Eustquio Rangel de QueirozMarcelo Alves de Barros

    ErrosClculo NumricoMdulo III

  • *Erros - Roteiro Existncia

    Tipos

    Propagao

  • Premissa

    Impossibilidade de obteno de solues analticas para vrios problemas de Engenharia.

    Consequncia

    Emprego de mtodos numricos na resoluo de inmeros problemas do mundo real.

    Erros - Existncia I

  • *Erro Inerente

    Erro sempre presente nas solues numricas, devido incerteza sobre o valor real.

    Ex. 01: Representao intervalar de dados (50,3 0,2) cm(1,57 0,003) ml(110,276 1,04) KgCada medida um intervalo e no um nmero.Erros - Existncia II

  • Mtodo NumricoMtodo adotado na resoluo de um problema fsico, mediante a execuo de uma sequncia finita de operaes aritmticas.

    Consequncia

    Obteno de um resultado aproximado, cuja diferena do resultado esperado (exato) denomina-se erro .Erros - Existncia III

  • Natureza dos Erros I

    Erros inerentes ao processo de aquisio dos dados

    Relativos impreciso no processo de aquisio/entrada, externos ao processo numrico.Erros - Existncia IV

  • Erros Inerentes aos DadosProvenincia Processo de aquisio/entrada (medidas experimentais)

    Sujeitos s limitaes/aferio dos instrumentos usados no processo de mensurao

    Erros inerentes so inevitveis!

  • Natureza dos Erros II

    Erros inerentes ao modelo matemtico adotado

    Relativos impossibilidade de representao exata dos fenmenos reais a partir de modelos matemticos

    Necessidade de adotar condies que simplifiquem o problema, a fim de torn-lo numericamente solvel Erros - Existncia V

  • Erros Inerentes ao ModeloProvenincia Processo de modelagem do problema

    Modelos matemticos raramente oferecem representaes exatas dos fenmenos reais

    Equaes e relaes, assim como dados e parmetros associados, costumam ser simplificados

    Factibilidade e viabilidade das solues

  • Natureza dos Erros III

    Erros de truncamento

    Substituio de um processo infinito de operaes por outro finito

    Em muitos casos, o erro de truncamento precisamente a diferena entre o modelo matemtico e o modelo numrico.Erros - Existncia VII

  • Natureza dos Erros IV

    Erros de arredondamento

    Inerentes estrutura da mquina e utilizao de uma aritmtica de preciso finitaErros - Existncia VII

  • Fontes de Erros IErros - Existncia VIII

  • Fontes de Erros IIErros - Existncia IX

  • Representao Numrica em Mquinas Digitais I

    Discreta Conjunto finito de nmeros em qualquer intervalo [a, b] de interesse

    Implicao imediata Possibilidade de comprometimento da preciso dos resultados, mesmo em representaes de dupla precisoErros - Existncia X

  • Resultado na Sada

    Incorporao de todos os erros do processo Quo confivel o resultado aproximado?

    Quanto erro est presente no resultado?

    At que ponto o erro presente no resultado tolervel?Erros - Existncia XI

  • Acurcia (ou Exatido)

    Quo prximo um valor computado/mensurado se encontra do valor real (verdadeiro)

    Preciso (ou Reproducibilidade)

    Quo prximo um valor computado/ mensurado se encontra de valores previamente computados/mensuradosErros - Existncia XII

  • Inacurcia (ou Inexatido)

    Desvio sistemtico do valor real

    Impreciso (ou Incerteza)

    Magnitude do espalhamento dos valoresErros - Existncia XIII

  • Erros - Existncia XIVExatido x Preciso

  • Erros - Existncia XVIndicador de Preciso de um Resultado

    Nmero de algarismos significativos

    Algarismos significativos (as)

    Algarismos que podem ser usados com confiana

  • Erros - Existncia XVIAs de um nmero I

    Exemplo 02: Considerem-se os seguintes valores de mdias obtidas em um experimento estatstico

    = 138 0 casas decimais (cd)

    = 138,7 1 cd

    = 138,76 2 cd

    = 138,76875 5 cd

    = 138, 7687549 7 cd

    = 138, 768754927 9 cd

  • Erros - Existncia XVIIAs de um nmero II

    Exemplo 02: Os valores das mdias podem ser representadas como:

    = 138 = 0,138 . 103

    = 138,7 = 0,1387 .103

    = 138,76 = 0,13876 . 103

    = 138,76875 = 0,13876875 . 103

    = 138, 7687549 = 0,1387687549 . 103

    = 138, 768754927 = 0,138768754927 . 103

  • Erros - Existncia XVIIIAs de um nmero III

    Exemplo 02:

    = 0,138 x 103 3 as

    = 0,1387 x 103 4 as

    = 0,13876 x 103 5 as

    = 0,13876875 x 103 8 as

    = 0,1387687549 x 103 10 as

    = 0,138768754927 x 103 12 as

  • Erros nos Mtodos I Mtodo Numrico

    Aproximao da soluo de um problema de Matemtica

    Truncamento de uma soluo em srie, considerando apenas um nmero finito de termos

    Exemplo 03: exp(x)

  • Erros nos Mtodos IIExemplo 03: Determinao do valor de e.

    Lembrar que . Logo:

    um truncamento no sexto termo gera:

  • Erros nos Mtodos IIIExemplo 03:

    Ento, o erro de truncamento, ET , ser:

  • Erros nos Mtodos IVExemplo 04: Determinao do nmero de termos para a aproximao de cos(x) com 8 as, considerando x=/3.

    Lembrar que:

  • Erros nos Mtodos VExemplo 04: Ento

    Observe-se que o segundo as no mais se alterar.

  • Erros nos Mtodos VIExemplo 04: E que o quarto as no mais se alterar a partir de:

    nem o sexto as a partir de:

    nem o oitavo as a partir de:

  • Erros nos Mtodos VIIExemplo 04:

    Assim sendo, o nmero de termos para a aproximao de cos(x) com 8 as igual a 7 (incluindo o termo de ordem 0, igual a 1)

  • Erros nos Mtodos VIIIExerccio 01: Determinar o nmero de termos para a aproximao de

    log(1+x) com 8 as, considerando x = 0,09

    sen(x) com 6 as, considerando x= 4/3

    exp(x) com 7 as, considerando x= 1/3

    Qual a concluso a que se chega a partir destes clculos?

  • *Erros - Existncia XIXErro de Representao x Erro de Truncamento de Dgitos

    Erro de Representao

    Associado converso numrica entre bases (representao humana e de mquina) ou realizao de operaes aritmticas

    Erro de Truncamento de Dgitos

    Associado quantidade de informao que a mquina pode conter sob a forma de um nmero

  • *Representao dos nmeros reais com um nmero finito de dgitos (aproximao)

    Ex. 05: Clculo da rea de uma circunferncia de raio 100 mPossveis resultados:

    (1) A = 31400 m2

    (2) A = 31416 m2

    (3) A = 31415,92654 m2Erro de Representao no tem representao finita - 3,14 (1), 3,1416 (2) e 3,141592654 (3)Erros - Existncia XX

  • *Representao dos nmeros reais com um nmero finito de dgitos (aproximao)

    Dependncia da representao numrica da mquina utilizadaUm nmero pode ter representao finita em uma base e no finita em outraErros - Existncia XXIErro de RepresentaoOperaes com dados imprecisos ou incertos acarretam a propagao do erro.0,110 = 0,00011001100110011...2

  • *Erros - Existncia XXIIEx. 06:Determinar

    a partir de uma calculadora e um computador, para xi = 0,5 e xi = 0,1

    xiCalculadoraComputador0,5S= 1500S= 15000,1S= 300S=300,00909424 (preciso simples)S=299,999999999999720 (preciso dupla)

  • *Erros - Existncia XXIIIEx. 07:Converso de 0,110 para a base 2.

    0,110 = 0,00011001100110011...2

    0,110 no tem representao exata na base 2A representao de um nmero depende da base em uso e do nmero mximo de dgitos usados em sua representao.

  • *Erros - Tipos IAbsoluto

    Diferena entre o valor exato de um nmero e o seu valor aproximado (em mdulo)

  • *Erros - Tipos IIRelativo

    Razo entre o erro absoluto e o valor exato do nmero considerado (em mdulo)

    Erro Percentualx = ERx . 100%

  • *Erros - Tipos IIIRelativo

    Este tipo de erro utilizado em processos iterativos pois, sendo o processo convergente, a cada iterao o valor atual est mais prximo mais do valor exato do que o valor anterior

  • *Erros - Tipos IVErro Absoluto - Consideraes I

    EAx s poder ser determinado se x for conhecido com exatido

    Na prtica, costuma-se trabalhar com um limitante superior para o erro, ao invs do prprio erro (|E | < , sendo o limitante)

    Ex. 08: Para (3,14; 3,15)

  • *Erros Tipos VErro Absoluto - Consideraes IIEx. 08: Sejam a = 3876,373 e b = 1,373

    Considerando-se a parte inteira de a (a) o erro absoluto ser:

    e a parte inteira de b (b) , o erro absoluto ser:

  • *Erros Tipos VIErro Absoluto - Consideraes III

    Obviamente, o resultado do erro absoluto o mesmo nos dois casos

    Entretanto, o peso da aproximao em b maior do que em a

  • *Erros Tipos VIIErro Relativo - Considerao

    O erro relativo pode, entretanto, traduzir perfeitamente este fato, pois:

  • *Ex. 09: Clculo do erro relativo na representao dos nmeros a = 2112,9 e e = 5,3, sendo |EA| < 0,1

    |ERa| = |a - |/|a| = 0,1/2112,9 4,7 x 10-5 |ERe| = |e - |/|e| = 0,1/5,3 0,02

    Concluso:a representado com maior preciso do que eErros - Tipos VIII

  • *Arredondamento

    Truncamento de DgitosQuanto menor for o erro, maior ser a preciso do resultado da operao.Erros Tipos IX

  • *Erros Tipos XArredondamento I

    Ex. 10: Clculo de utilizando uma calculadora digital

    Valor apresentado: 1,4142136

    Valor real: 1,41421356...

  • *Erros Tipos XIArredondamento II

    Inexistncia de forma de representao de nmeros irracionais com uma quantidade finita de algarismos

    Apresentao de uma aproximao do nmero pela calculadora

    Erro de arredond