clculo num©rico - apostila - portugus

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1unesp CAMPUS DE GUARATINGUET Computao e Clculo Numrico Prof. G.J. de Sena - Depto. de Matemtica Ed. 2005. CAPTULO 1 ARITMTICA DE PONTO FLUTUANTE 1.1.RepresentaodeNmerosnumSistemadeAritmticade Ponto Flutuante OSistemaComputacionaldeAritmticadePontoFlutuante utilizadoporcalculadorasecomputadoresnarepresentaodos nmeroseexecuodasoperaes.Umnmeroqualquernabase em aritmtica de ponto flutuante de t dgitos tem a forma: etd d d ) ...2 1(. onde (. ... ) d d dt 1 2 a mantissa , 0 dj - 1, j = 1, ... t e um expoente no intervalo [m, M] Observaes: - m, M dependem da mquina utilizada - umnmeroemaritmticadepontoflutuanteestnormalizadose d10 - o nmero mximo de dgitos da mantissa (t) definido em termos do comprimento da palavra do computador - dadoumnmeroN,suarepresentaoemaritmticadeponto flutuante de t dgitos efetuada por truncamento ou arredondamento. - errosdecorrentesdaimpossibilidadedeserepresentarumnmero dado: "OVERFLOW"SE e M >"UNDERFLOW" SE e m < Preservamos o mximo de exatido normalizando todos os resultados. Ex.: t mM= = = =3 410 4 REPRESENTAO xARREDONDAMENTOTRUNCAMENTO 1,25 2.71828 -238.15 0.000007 718235.82 0.125 x 10 0.272 x 10 -0.238 x 103 - - 0.125 x 10 0.271 x 10 -0.238 x 103 - - 2Uma representao com t dgitos na mantissa dada estar em preciso simples. Um sistema de preciso dupla um sistema de aritmtica de ponto flutuante comaproximadamente o dobro de dgitos disponveis para a mantissa 1.2. ERROS ABSOLUTOS E RELATIVOS ERRO ABSOLUTO: a diferena entre o valor exato de um nmero x e seu valor aproximadox: EA x xX= Ex.:( ) 314 315 . , . , um valor tomado dentro deste intervalo, EA = < 0 01 .(limitante superior p/ o mdulo do erro) Ex.: ( )xxEAx= A figura a seguir ilustra a situao de convergncia alternada. 1 ) ( ' < x Teorema da Convergncia de M.I.L.: SejaxoumaaproximaoparaaraizdaequaoF(x)=0numa vizinhana[ ]. , + = I Sejaumafunodeiteraoparaa equao F(x) = 0 e suponha-se que e ' sejam contnuos em I. Ento, se( ) , , 1 ' I x x < a sequncia gerada por ( ) K , 3 , 2 , 1 , 0 ,1= =+n x xn nconverge para . Observao: como o valor de desconhecido, substitui-se o valor dexo na derivada para se concluir sobre a convergncia. Esboo da demonstrao: M.I.L. ( ) ( ) = 1 n nx x Teorema do valor mdio: ( ) ( ) ( ) = = 1 1'n n nx x x 22Seja L o valormximo de( ) ' xno intervalo I, ou seja,( ) L x ' no intervalo I. 1 n nx L xDo mesmo modo nnnn n n nx n I x L Sex L xo continuandx L x x L xaumentando , intervalo, todo em 1 00222 1 ( )( ) diverge processo o 1 ' converge processo o 1 'I xxx)` Exemplo: estudar a convergncia das funes de iterao do exemplo anterior. Resoluo: ( ) 5 . 15 002= = = = x a a x x F( ) ( )( )( )( ) para converge no 1 222 . 225 . 255 . 15

12 200'12'11> = = = = ==xaxxaxxax a ( ) ( )( )( ) ( ) para converge 1 < 611 . 0 222 . 2 121=96 . 15121

121

21 20'22'22= ||

\| =||

\| =||

\|+ =xxaxxax x b Observaes: (1)AmaiordificuldadedeM.I.L.estemencontrarumafuno de iterao satisfazendo o critrio de convergncia. (2)O teste( ) 1 '0< x pode levar a um engano se xo no estiver suficientemente prximo da raiz. (3)Avelocidadedeconvergnciadependerde( ) ' : quanto menor este valor, mais rapidamente o processo convergir. Exemplo: ( )( )( )( ) 1 555 . 095'2360679 . 2 35020002< = = ===== =xaxxaxaxa x x F 23 Aplicao: ( )( )( ) converge! no 667 . 1999 . 25999 . 2667 . 15667 . 13532 31 20 10= = == = == = ==x xx xx xx Exemplo:estudaraconvergnciadasfunesdeiteraesobtidas anteriormente para a equao ( ) 9 . 0 0 sen02= = = x para x x x F ,obter uma aproximao para a raiz da equao. Sol.:( )( )( )iterao de funessensensen23221)`== + =x arc xx xx x x x Derivadas: ( )( ) xxxx xcossen 21 x cos 1 2'2'1 = + = ( ) xxx 2114'3= No ponto: 9 . 0 x0=( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )1 069 . 39 . 0 19 . 0 . 29 . 01 351 . 00885 . 2622 . 09 . 0 sen 29 . 0 cos9 . 01 178 . 2 9 . 0 cos 1 9 . 0 2 9 . 04'2 0'2'2 0'2'1 0'1> == =< = = = => = + = = xxx Somente( ) 2x dever convergir. Isolamento da raiz: ( )( ) ( ) ( ) ( ) . sen x g =sen22x x h e x x g onde x hx x x F= = = Aplicao de M.I.L( ) ( )32 010 sen e 9 . 0 = = = x x x x 24( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 001 . 0 878 . 0 879 . 0 sen006 . 0 879 . 0 885 . 0 sen015 . 0 885 . 0 9 . 0 sen9 . 03 2 32 1 21 0 10= = = == = = == = = == x xx xx xx ( ) ( )( ) ( )para o aproxima uma 877 . 010 877 . 0 877 . 0 sen001 . 0 877 . 0 878 . 0 sen3 -5 4 54 3 4= = = == = = = x xx x Obs.: ( ) ( ) ( ) ( )4 210 051 . 3 877 . 0 sen 877 . 0 877 . 0= = = x F F Exerccios: (1)Calculararaizdaequao( ) . 01 . 0 com 0 ln2 = + = x x x FUsar o M.I.L.( ) 65 . 0 : = R(2)Calculararaizdaequao( ) . 01 . 0 com 0 103 = = x x FUsar o M.I.L.( ) 15 . 2 : = R(3)Calculararaizdaequao( ) 0 33 2= + =xe x x F , -310 com , usando o M.I.L. ( )R: . = 03521 Algoritmo: Adaptadoparadeterminarumaaproximaoparaaraizdaequao ( ) 0 1 sen2= = x x x F ,usandoafunodeiterao: ( ) 1 sen + = x x Incio (* MIL*) Defina Fi(x) =1 sen + xSolicite a aproximao inicial (x0) Leia Xv Solicite a preciso (E) Leia E Solicite o limite de iteraes (N) Leia N Para i de 1 at N Faa Xn = Fi(Xv) Se |Xn Xv| E Ento Escreva aprox ,Xn,com ,i, iteracoes Saia da repetio Seno Xv=Xn Fim Se Fim para Se |Xn Xv| > E EntoEscreva Aplicao no converge ou Escreva grau de exatido no, pode ser alcanado com ,N, iteraes Fim Se Fim (* MIL *) 25MTODO DE NEWTON - RAPHSON (N-R) Descrio Seja I um intervalo contendo a raiz da equao F(x) = 0. Suponha-se que F'(x) 0 x I.F(x) = 0 0) ( ') (= x Fx Fxx Fx Fx = ) ( ') ( ) ( ') () (x Fx Fx x = ) ( ') (1nnn nx Fx Fx x =+

,... 2 , 1 , 0) (=nR N ComonoM.I.L.,oobjetivogerarumaseqncia{xn}apartirde uma aproximao inicial xo: ) ( ') () () ( ') () () ( ') () (1111 1 2000 0 1nnn n nx Fx Fx x xx Fx Fx x xx Fx Fx x x = = = = = =+M M Encontra-se portanto uma aproximao xn+1 de . Exemplo: Seja calcular uma aproximao para a raiz da eq. F(x) = x2 - senx - 1 = 0 no intervalo [1.0, 1.5], com grau de exatido 310 , utilizando o mtodo de N-R e adotando3 . 10 = x . Resoluo: x x x F yx x x F ycos 2 ) ( ' '1 sen ) (2 = = = = Equao para iterao:

= =+ +k kk kk kkkk kx xx xx xx Fx Fx xcos 21 sen) ( ') (21 1 310 1173 . 0 3 . 1 4173 . 10 1 14173 . 13325 . 22736 . 03 . 1) 3 . 1 cos( ) 3 . 1 ( 21 ) 3 . 1 sen(2) 3 . 1 (3 . 113 . 10> = = == = ==

x xxx 4096 . 1310 0001 . 0 4097 . 1 4096 . 12 3 34096 . 16590 . 2410 02 . 24097 . 1) 4097 . 1 cos( ) 4097 . 1 .( 21 ) 4097 . 1 sen(2) 4097 . 1 (4097 . 130076 . 0 4173 . 1 4097 . 11 2 24097 . 16817 . 20205 . 04173 . 1) 4173 . 1 cos( ) 4173 . 1 .( 21 ) 4173 . 1 sen(2) 4173 . 1 (4173 . 12=

< = = == = == = == = =x xxxx xx Interpretao Geomtrica 26 )1()1(1 2)1()1()2 1()1( )2 1( )1()1(2 10 )1(x Fx Fx xx Fx Fx xx F x x x Fx Fx xx Ftg = = = == )0()0(0 10 1)0()0()1(0( )0( )0()0(1 00 )0(x Fx Fx xx xx Fx Fx x x F x Fx Fx xx Ftg = = = == O mtodo de N-R conhecido como mtodo das tangentes. ) ( ') (1nnn nx Fx Fx x =+

,... 2 , 1 , 0) (=nR N ObtenodafrmuladeN-Rapartirdodesenvolvimentodey= f(x) em srie de Taylor ... ) .(! 2) ( ") )( ( ) f(x = f(x): Taylor de Frmula2000 0 0+

+ +x xx fx x x f 0 ) )( ( ) (... 2 , 1 , 0 0 ) )( ( ) ( ) (11 1= + = = + =++ +n n n nn n n n nx x x F x Fn x x x F x F x F 0) () (1= ++ n nnnx xx Fx F ) () (1nnn nx Fx Fx x =+n = 0,1,2... SOBRE A CONVERGNCIA DO MTODO Para que um processo iterativox x = ( ) seja convergente, devemos ter 0, 1 ) ( I xx < ,ondeI0umavizinhanadaraizdaequao F(x)=0. 2)) ( () ( " ). (2)) ( () ( " ). (2)) ( (2)) ( (2)) ( ()] ( " ). ( ) ( ). ( [1 ) () () () (x Fx F x Fx Fx F x F x F x Fx Fx F x F x F x Fxx Fx Fx x=+ = = = Portanto, o processo ser convergente se 271)] ( [) ( " ). () (2 x F x F . 28 Exemplo: Calcular a raiz da equao0 sen ) (2= = x x x Fusando o mtodo de N-R) 10 ; 9 . 0 (30< = xResoluo: ) () (1nnn nx Fx Fx x =+ x x x Fx x x Fcos 2 ) (sen ) (2 = = n nn nn nx xx xx xcos 2) sen (21 = + Condies para convergncia: x x Fx x x F asen 2 ) ( "cos 2 ) ( ) (+ = = Conclui-se, pelo mtodo grfico, que ( . , ) 0 5 1com relao a F(x): 4 43 4 42 1anula se .nosinal .preserva0 cos 2 ) () 0 . 1 , 5 . 0 (> = x x x Fx Com relao a F"(x): . 0 sen 2 ) ( " , ) 0 . 1 , 5 . 0 ( > + = x x F x 9 . 00cos 2sen210 )0( " ).0(783 . 2 ) 9 . 0 sen( 2 ) 9 . 0 ( " )0( "03 . 0 ) 9 . 0 sen(2) 9 . 0 ( ) 9 . 0 ( )0( ) (= =+>= + = == = =|||

\|xnxnxnxnxnxnxx F x FF x FF x F b [ ][ ]310 0006 . 0 8773 . 0 8767 . 028767 . 01154 . 1410 395 . 68773 . 0) 8773 . 0 cos( ) 8773 . 0 .( 28773 . 0 sen(2) 8773 . 0 (8773 . 020227 . 0 9 . 0 8773 . 018773 . 01784 . 10267 . 09 . 0) 9 . 0 cos( ) 9 . 0 .( 2) 9 . 0 sen(2) 9 . 0 (9 . 01< = === = == == = =xxx 8767 . 0 = Exemplo: Calcular a raiz da equao F(x) = 2x - cos x usando o mtodo de N-R ( )410< Resoluo: 29 {{h(x) - g(x) = F(x) x cos 2x ] 5 . 0 , 0 [ Funo de iterao xx xx xxx xx xx x Fx x x Fnx Fx Fx xnn nn nnnn nsen 2) cos 2 () (sen 2) cos 2 (sen 2 ) (cos 2 ) (... 2 , 1 , 0) () (11+ = + = = == =++ Condies para convergncia (suficientes) a. vizinhan na sinal o preservam e anulam se0 ) ( "0 ) (] 5 . 0 , 0 [] 5 . 0 , 0 [cos ) ( "sen 2 ) (nox Fx Fx x Fx x Fx)`>> =+ = 0 ) ( " ). (0 1 0 cos ) ( "0 1 0 cos 0 . 2 ) (00 ) ( " ). ( ) (0 00000 0< > = =< = ==>x F x Fx Fx Fxx F x F b 0 ) ( " ). (0 878 . 0 ) 5 . 0 cos( ) ( "0 > 0.12 = 0.878 - 1 ) 5 . 0 cos( - ) 05 .( 2 ) (5 . 00 0000> > = == ==x F x Fx Fx Fx Aplicao do mtodo de N-R [ ]4506 . 04794 . 21224 . 05 . 05 . 0 sen 2) 5 . 0 cos( ) 5 . 0 .( 25 . 05 . 0sen 2) cos 2 (101= =+ ==+ =+xxxx xx xnn nn n [ ]4502 . 04355 . 210 014 . 14506 . 0) 4506 . 0 sen( 2) 4506 . 0 cos( ) 4506 . 0 .( 24506 . 00494 . 0 5 . 0 4506 . 0320 1 1= =+ == = =xxx x [ ]4502 . 04355 . 210 99 . 34502 . 0) 4502 . 0 sen( 2) 4502 . 0 cos( ) 4502 . 0 .( 24502 . 00004 . 0 4506 . 0 4502 . 0531 2 2= =+ == =