cálculo numérico em computadores provas e projetos ii

5/24/2018 C lculo Num rico Em Computadores Provas e Projetos II

157

Universidade Federal de Santa CatarinaCentro Tecnolgico

Departamento de Informtica e Estatstica

LIVITEC Laboratrio de Informtica

para Vigilncia Tecnolgica

CLCULO NUMRICOEM COMPUTADORES

-Provas e Projetos-

Volume 2

Bernardo Gonalves RisoMirela Sechi Moretti Annoni Notare

Florianpolis, SC, 2011


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SUMRIO

VOLUME 1

Apresentao 3

PARTE I PROVAS

PROVA 1 - Sistemas de Numerao 6PROVA 2 - Representao em Ponto Flutuante 12PROVA 3 Erros 20PROVA 4 - Introduo s Equaes Algbricas e Transcendentes 24PROVA 5 - Mtodo da Bisseo 32PROVA 6 - Mtodo da Falsa-Posio 39PROVA 7 - Mtodo de Newton-Raphson 46PROVA 8 - Introduo s Equaes Polinomiais 53

PROVA 9 - Mtodo de Birge-Vieta 62PROVA 10 - Mtodo de Mller 74PROVA 11 - Introduo aos Sistemas de Equaes Lineares 84PROVA 12 - Mtodo de Eliminao Gaussiana 89PROVA 13 - Mtodo de Fatorao LU 97PROVA 14 - Mtodo Iterativo de Gauss-Seidel 109PROVA 15 - Introduo aos Sistemas No-Lineares 116PROVA 16 - Mtodo de Newton 121

PARTE II PROJETOS

PROJETO 1 - Programa Mudana de Base 131PROJETO 2 Programa Leitura de Registro 133PROJETO 3 Programa Clculo de Erros 137PROJETO 4 Programa Valores Funcionais 139PROJETO 5 - Programa Bisseo 142PROJETO 6 Programa Falsa_Posio 144PROJETO 7 Programa Newton_Raphson 146PROJETO 8 Programa Descartes 148PROJETO 9 Programa Birge_Vieta 150PROJETO 10 Programa Mller 153

VOLUME 2

Sumrio 158Agradecimentos 160Apresentao 161

PARTE I PROVAS 174

PROVA 17 - Mtodo da Secante 175PROVA 18 - Mtodo Quase Newton 184

PROVA 19 - Introduo ao Ajustamento de Curvas 191


159

PROVA 20 - Ajuste Polinomial 200PROVA 21 - Ajuste No Polinomial 209PROVA 22 - Interpolao Lagrangeana 217PROVA 23 - Interpolao de Gregory-Newton 225PROVA 24 - Integrao de Newton-Ctes 232

PROVA 25 - Integrao de Simpson 241

PARTE II PROJETOS 250

PROJETO 11 - Programa Sistema Linear 251PROJETO 12 - Programa Gauss 255PROJETO 13 - Programa LU 257PROJETO 14 - Programa Gauss-Seidel 260PROJETO 15 - Programa No Linear 263PROJETO 16 - Programa Newton 266

PROJETO 17 - Programa Quase_Newton 270PROJETO 18 - Programa Tabela 273PROJETO 19 - Programa Ajuste_de_Parbola 277PROJETO 20 - Programa Ajuste_Exponencial 281PROJETO 21 - Programa Interpolao_Linear 285PROJETO 22 - Programa Lagrange 287PROJETO 23 - Programa Trapzios 290PROJETO 24 - Programa Simpson_1/3 293PROJETO 25 - Programa Gauss_Dois_Pontos 296PROJETO 26 - Programa Runge_Kutta_4 297PROJETO 27 - Programa Relaxao 298


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AGRADECIMENTOS

Os autores desejam agradecer ao senhorItamar Annoni Notarepelo

empenho na organizao dos captulos deste segundo volume de ClculoNumrico em Computadores. Sem sua contribuio o texto ora apresentadono poderia ter o mesmo bom gosto na distribuio das matrias quecompem esta monografia.


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APRESENTAO

Nesta apresentao do segundo volume do livro Clculo Numrico emComputadores Provas e Projetosdiscorremos sobre um conjunto de resultados deuma pesquisa de natureza cientfica e educacional sobre aspectos relacionados investigao de metodologiaspara:(a) o estabelecimento de um modelo deprovasde avaliao de conhecimento; e(b) a elaborao deprojetoscomputacionais na rea de clculo numrico.

Em tal contexto, estudamos as propostas nesse sentido j apresentadas naliteratura, fazemos a crtica dessas propostas e desenvolvemos o que acreditamos seruma nova concepo metodolgicapara a abordagem dessa rea de conhecimento. Essanova concepo determina uma estrutura original para as provas de domnio de

contedo de clculo numrico computacional (que so submetidas a alunos degraduao das reas tcnicas e cientficas), alm de umprocedimento sistemtico para acriao de algoritmos estruturados. As provas, os algoritmos e os correspondentes

programas computacionais devem constituir um livro que apresente caractersticasoriginais se comparado aos textos disponveis atualmente. Para melhor estruturar estaapresentao, dividimos os assuntos em sees numeradas e tituladas.

Naseo 1desta apresentao preparamos uma introduo. Naseo 2,fazemosuma rpida reviso de cinco livros didticos da rea de clculo numrico, em busca deindicaes de modelos de provas e projetos. Na seo seguinte, a seo 3,desenvolvemos uma metodologia para a definio da estrutura e confeco de questesde provas para disciplinas de Clculo Numrico em Computadores, assim como para aforma de apresentao das respostas a essas questes. Na ltima seo, a seo 4,definimos uma metodologia para a realizao de projetos que resultem em programascomputacionais didticos do clculo numrico. Seguem concluses preliminares desseesforo, naseo 5,e algumas referncias bibliogrficas, naseo 6.

1. Introduo.A disciplina Clculo Numrico em Computadoresrene, em seucontedo programtico, uma srie de mtodos numricos adequados resoluo de

problemas oriundos da modelagem matemtica de fenmenos que so de interesse emvrias reas da cincia e da tcnica. Em sala de aula, uma vez estudado um mtodo

numrico, e discutidas as principais caractersticas desse mtodo, realizam-se exemplosde sua utilizao em casos simples e ilustrativos. O passo seguinte do procedimentodidtico, ainda em sala de aula, consiste no desenvolvimento de algoritmos quegeneralizam e automatizam o emprego de tal mtodo.

Aps uma srie de aulas com o estudo de vrios mtodos numricos, estudo esserelizado de acordo com a sistemtica apresentada no pargrafo anterior, aplica-se uma

prova parcial para avaliar o conhecimento dos alunos. Essa prova tem as seguintescaractersticas gerais:

(a) trata-se de uma prova com consulta livre ao material que o aluno traz decasa; e


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(b) apresenta quatro questes de igual valor, sendo a primeira de naturezadissertativa, a segunda e a terceira de natureza numrica, e, na ltima, pede-se para oaluno construir um algoritmo.

A investigao de natureza cientfica sobre procedimentos sistemticos

convenientes elaborao e resoluo de provas como as descritas acima, e aodesenvolvimento de projetos computacionais que programem algoritmos, envolve adefinio de metodologiasque dem a essa investigao um suporte terico. No que serefere s provas, preciso, portanto, que haja uma metodologia para a sua elaboraoque atenda s necessidades de clareza na redao das questes, de objetividade e devarredura dos temas submetidos avaliao. J, no que se refere aos algoritmos, indispensvel que se tenha uma metodologia para a sua construo, de modo que atendaa, pelo menos, trs requisitos: simplicidade, eficincia e sistematicidade.

No livro Provas e Projetos de Clculo Numrico em Computadores,em fasede desenvolvimento e que, uma vez pronto, se pretende submeter Editora

Universitria, apresenta-se uma proposta resultante de um trabalho de pesquisacientfica sobre a melhor maneira de:

(a) confeccionar e resolver provas de clculo numrico computacional; e(b) de desenvolver projetos para a construo e execuo de programas

numricos de modo que se obtenha, no final do processo de desenvolvimento, umproduto de natureza didtica, legvel e facilmente analisvel.

Os livros didticos, normalmente encontrveis no contexto universitrio doensino de disciplinas da rea de clculo numrico, no costumam trazer modelos de

provas nem projetos de implementao de programas computacionais que sigam umametodologia de refinamentos sucessivos. No h, de nosso conhecimento, nenhum livrodessa rea que proponha modelos de provas. Alguns livros apresentam algoritmos, massomente uns poucos apresentam programas computacionais correspondentes aosmtodos numricos.

2. Reviso Bibliogrfica. Nesta seo fazemos uma anlise preliminar de cincolivros didticos, devotados rea de clculo numrico, em busca de sugestes demodelos de provas e de modos de confeco de projetos de programas computacionais.Os livros considerados so os seguintes:

[1] Clculo Numrico Caractersticas Matemticas e Computacionais dos

Mtodos Numricos, cujos autores so: Dcio Sperandio, Joo Teixeira Mendes eLuiz Henry Monken e Silva;

[2] Programao e Mtodos Computacionais, em dois volumes, de autoria deTrcio Pacitti e Cyril P. Atkinson;

[3] Clculo Numrico com Estudos de Casos em Fortran IV, de William S. Dorne Daniel D. McCracken, traduzido do ingls por Jos Abel Royo dos Santos e AnaLcia Serio dos Santos;

[4] Algoritmos Numricos Seqenciais e Paralelos, que tem a autoria de

Bernardo Gonalves Riso, Christianne Marie Schweitzer e Gastn Pedro AlauzetHeerdt; e


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[5] Clculo Numrico em Computadores Provas e Projetos, de autoria deBernardo Gonalves Riso e Mirela Sechi Moretti Annoni Notare.

No primeiro livro relacionado, o livro [1], temos um excelente texto didtico,moderno, bem organizado e que apresenta interessantssimas discusses sobre aaplicabilidade dos mtodos numricos. um livro muitssimo bem confeccionado. Soaspectos positivos desse livro a qualidade do texto, dos exemplos, das figuras, dastabelas, e a preocupao com o rigor matemtico das expresses e das dedues, almda apresentao de teoremas e suas demonstraes. Ao final de cada captulo, sugere aoleitor uma grande quantidade de exerccios. Na pgina 3, esse livro apresenta a seguintedefinio de algoritmo:

a descrio seqencial dos passos que caracterizam um mtodo numrico. Oalgoritmo fornece uma descrio completa de operaes bem definidas por meio das

quais o conjunto de dados de entrada transformado em dados de sada. Por operaesbem definidas entendem-se as aritmticas e lgicas que um computador pode realizar.Dessa forma, um algoritmo consiste de uma seqncia de npassos, o algoritmo devefornecer valores ao menos prximos daqueles que so procurados. O nmero npodeno ser conhecido a priori. o caso de algoritmos iterativos cuja idia ser enfocada aseguir. Nesse caso, em geral tem-se para napenas uma cota superior.

No h, contudo, nesse extraordinrio livro, modelos de provas para a verificao doconhecimento adquirido pelos estudantes. Tambm no h projetos de algoritmos ou de

programas computacionais.

J, no livro [2] encontramos, no primeiro volume, uma bem desenvolvidaapresentao das caractersticas da linguagem FORTRAN, e dos modos de utiliz-la.Trata-se, portanto, podemos dizer, de um excelente manual de programao FORTRANde aplicao geral, no especificamente de mtodos numricos. O segundo volume,entretanto, volta-se para a apresentao de mtodos numricos. Nesse volumeapresentam-se numerosos algoritmos e os programas computacionais em FORTRANque lhes so correspondentes. Os algoritmos tm a forma de fluxogramas, e seguem umsumrio computacional que indica as principais etapas da resoluo de problemas. Emseguida apresentao de um algoritmo, exibe-se o programa FORTRAN associado aoalgoritmo, assim como o relatrio de uma execuo desse programa para um particular

conjunto de dados. A nosso ver, os programas so excessivamente complexos para uminiciante, pois utilizam recursos avanados de programao, alm de sub-rotinas, eelaborados formatos para a apresentao de resultados.

Pelo que podemos observar, no h nesse livro (pioneiro da computao numricano Brasil), apesar de todos os mritos de que merecedor, nenhuma sugesto sobre aelaborao de provas para avaliar o conhecimento dos leitores. Faz-se, contudo, arealizao de projetos computacionais, mas com o emprego de um estilo criticvel sob o

ponto de vista da evoluo do processo de desenvolvimento. Pois no se tem,propriamente, um procedimento gradual, estruturado e progressivo, de refinamentossucessivos de uma idia inicial, que permita acompanhar o longo e difcil raciocnio que

culmina com o detalhamento de um algoritmo e a realizao do seu programa.


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O livro [3] , provavelmente, um caso nico de texto de clculo numrico em que semostra a aplicao de mtodos numricos em situaes prticas do mundo real, oumuito prximo dele. Os mtodos numricos so apresentados em detalhe e suascaractersticas so bem discutidas. Alm disso, apresenta grafos de processos para aaplicao desses mtodos e algoritmos na forma de fluxogramas. As listagens dos

programas FORTRAN so ento exibidas, assim como os relatrios de suas execues.Infelizmente, tambm aqui no h sugestes sobre a elaborao de provas paraaveriguar o aprendizado dos estudantes. Mas h, podemos dizer, o desenvolvimento denumerosos projetos computacionais com a realizao de algoritmos e de programasnumricos, embora esses algoritmos e programas sejam apresentados sem um desejvel

processo de desenvolvimento progressivo que venha facilitar o entendimento por partede iniciantes no assunto.

Diferentemente dos livros mencionados anteriormente, o livro [4] preocupa-se emestabelecer uma metodologia de refinamentos sucessivos para a criao de algoritmosnumricos didticos. Nesse livro prope-se conceber um algoritmo em basicamente trs

etapas de refinamentos sucessivos. Cada etapa apresenta duas verses para o algoritmo:uma verso grfica; e uma verso literal. Naprimeira etapa, faz-se uma representaogrfica do algoritmo na forma de uma caixa preta com aberturas para o recebimento dedados e para a emisso de resultados, e uma representao literal, em pseudo-linguagemde programao, na qual se definem os tipos de algumas variveis e j se esboa o corpodo algoritmo. Nasegunda etapaconsideram-se aspectos internos da caixa preta definidana etapa anterior e faz-se a representao literal correspondente. Finalmente, na ltimaetapa a metodologia faz estabelecer a representao grfica e a correspondenterepresentao literal do algoritmo completamente detalhado. Nesse livro no se

propem modelos para a realizao de provas de conhecimento, mas sugere-se, dealgum modo, um procedimento sistemtico para o projeto computacional de mtodosnumricos.

O livro [5], por sua vez, o resultado de uma investigao que visa oestabelecimento de um modelo de provas e de projetos computacionais na rea declculo numrico, apresentando nvel de complexidade supostamente compatvel comum primeiro estudo universitrio nessa rea. Sugere a submisso de provas comconsulta ao material selecionado livremente pelo aluno, aproximando esse aluno desituaes que poder encontrar durante sua vida profissional. Alm disso, prope que as

provas devam ter quatro questes de igual valor, sendo uma dissertativa, duasnumricas e um algoritmo. Essas questes precisam ser respondidas de modo detalhado

e a adequao dos resultados deve ser brevemente comentada para que o alunodemonstre conscincia do que se passa. Os algoritmos necessitam ser construdospaulatinamente, seguindo uma sistemtica baseada em refinamentos sucessivos.

Um aspecto importante a levar em conta que os textos tradicionais, isto , os livrosdidticos de clculo numrico so elaborados por professores - de altssimo gabaritotcnico, que escrevem para seus leitores, estudantes universitrios. Os livros [5] eaquele que estamos agora escrevendo tm uma caracterstica diferente. Eles se colocamnaposio do estudante que respondea um conjunto de questes de prova (estas, sim,elaboradas por um professor) e desenvolve projetos computacionais (tambm propostos

pelo mestre). Mas a perspectiva diferente daquela dos textos didticos clssicos:

enquanto l se escreve do professor para o estudante, em [5] e no livro que agora se


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escreve em continuao a [5], supostamente o estudante quem escreve textos para serlidos e avaliados pelo professor.

Em resumo, podemos dizer que o livro que estamos atualmente escrevendo procuradar continuidade ao livro [5], respeitando todas as suas consideradas boas

caractersticas. A contribuio que esses livros trazem - o livro [5] e o livro que oraescrevemos - a de apresentar uma nova abordagempara o estudo, para a avaliao epara a criao de projetos que envolvem o desenvolvimento de programas do clculonumrico.

3. Metodologia para a confeco de provas. O sistema de avaliao prev arealizao de quatro provasdistribudas ao longo de um perodo letivo. Cada prova valedez pontos e a nota final a mdia aritmtica das notas dessas quatro provas. Ocabealho de cada prova anuncia o tema especfico que avaliado. Oferecem-se quatroquestes ao estudante.

Aprimeiraquesto de natureza dissertativa, pois pede a descrio resumida deum determinado assunto ligado ao tema da prova; a segunda e a terceira pedem aaplicao de algum mtodo numrico (com o auxlio, possivelmente, de umacalculadora cientfica) para a resoluo de problemas, e so, por esse motivo,qualificadas como questes numricas; e, finalmente, a quartaquesto, caracterizadacomo algoritmo, procura verificar a desenvoltura do estudante no que diz respeito elaborao de algoritmos numricos simples e de carter didtico, descritos comutilizao de uma pseudolinguagem de programao, e referente a um mtodo numricoincludo no mbito da prova. Como exemplo de uma prova com as caractersticasdescritas acima, tem-se:

PROVA 17 Mtodo Quase-Newton

FOLHA DE QUESTES:

Questo 1 (descritiva) Por favor, considere o problema da resoluo numricade Sistemas de Equaes No-Lineares. Apresente um Mtodo Quase Newtonadequado resoluo desse tipo de sistema. Compare as caractersticas desse mtodocom as do Mtodo de Newton. No deixe de escrever, pelo menos, uma pgina. Seachar conveniente, use frmulas, grficos e tabelas para ilustrar a sua exposio.

Questo 2 (numrica)Use um Mtodo Quase-Newtonpara tentar resolver osistema dado a seguir:

x + 2y 2,1 = 03x2+ y2 6,9 = 0

Adote x = y = 0,5 como estimativa inicial da soluo do sistema. Faa duasiteraes, indicando sempre todas as operaes efetuadas. Para apresentar os resultados

organizadamente, preencha uma tabela com o cabealho:


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i xi yi desvioi= abs(xi+1- xi) + abs(yi+1- yi)

Por favor, no final, escreva um comentrio que avalie a evoluo do processoiterativo.

Questo 3 (numrica) Tente resolver o sistema de equaes no lineares dadoabaixo com a aplicao de umMtodo Quase Newton:

F(x, y) = 2x - 2y 2,1 = 0G(x, y) = x3+ 3y2 6,9 = 0

Adote x = y = 0,5 como estimativa inicial da soluo do sistema. Faa trsiteraes sempre indicando as operaes efetuadas. Preencha uma tabela que apresenteos resultados organizadamente. Por favor, no deixe de escrever um comentrio que

avalie o processo iterativo.

Questo 4 (algoritmo) Por favor, construa um algoritmo estruturado em trsblocos funcionais de instrues (Entrada dos Dados, Processamento dos Clculos eSada dos Resultados) que permita a aplicao de umMtodo Quase-Newtonno caso daresoluo do sistema de equaes no lineares dado a seguir:

F(x, y) = x + 2y 1,9 = 0

G(x, y) = 3x2+ y27,11 = 0

Boa Prova!

4. Metodologia para a criao de algoritmos. No desenvolvimento dealgoritmos didticos do Clculo Numrico em Computadores, a simplicidade importante porque se pretendem obter, antes de tudo, algoritmos simples. Eles apenasfixam, de modo claro e fcil de assimilar, a lgica de cada mtodo numrico

programado. Esses algoritmos no precisam ter recursos muito sofisticados para arepresentao dos dados ou dos resultados. Por isso, a formatao das informaes no uma preocupao tpica desses algoritmos. Alm disso, aspectos de robustez (para que

dados mal escolhidos sejam denunciados e rejeitados logo, isto , antes que se percamuito tempo com o seu processamento) e eficincia computacional (de modo a evitardesperdcio de memria e de tempo de processamento) no precisam ser consideradoscom muito empenho.

A eficincia da metodologia permite que ela seja empregada com sucesso namaioria dos casos, resultando em um produto com boas caractersticas: estruturao,legibilidade, facilidade de anlise e de implementao, alm de facilidade para extensodas funcionalidades.

A estruturao contribui para a boa e rpida compreenso do algoritmo. Para

obt-la, considera-se a diviso do algoritmo em trs grandes blocos funcionais, a saber:Entrada dos Dados (caracterizado, principalmente, pelo emprego de comandos de


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leitura, do tipo LEIA...); Processamento dos Clculos(este bloco, que caracterizadopelas instrues que constituem o mtodo implementado, contm, sobretudo, comandosde atribuio, expresses matemticas e estruturas lgicas de repetio e seleo; ele ,quase sempre, o bloco mais complexo de todo o algoritmo); e Sada dos Resultados(bloco caracterizado por instrues que mandam escrever resultados numricos tanto

intermedirios como finais, assim como imprimir anlises e comentrios que avaliam aqualidade dos resultados, o sucesso ou o insucesso da aplicao do mtodo; a maioria deseus comandos do tipo ESCREVA...).

A sistematicidade do processo de desenvolvimento, garantida pelo uso dametodologia para a construo de algoritmos, estabelece certo nmero de etapas quedevem ser observadas pelos criadores de algoritmos. De acordo com uma concepo dedesenvolvimento passo-a-passo, partindo dos aspectos mais abstratos e de alto nvel,

pode-se incluir refinamentos progressivamente (abordagem top-down). Desse modo, averso final obtida com o mnimo de esforo e, talvez, o que mais importante:apresenta um formato padronizado.

4.1. Etapas de refinamento sucessivo. Na primeira etapa, utiliza-se um recursogrfico (caro aos engenheiros e tcnicos) na forma de uma caixa preta com duasaberturas: uma, para a aquisio dos dados; a outra, para a emisso dos resultados. Essesfluxos de entrada e sada de informaes so representados por setas. Sob a seta deentrada dos dados, escrevem-se os nomes das variveis portadoras dos dados. Sob a setade sada dos resultados, escrevem-se os identificadores das variveis portadores dosresultados esperados com a execuo do algoritmo.

A caixa preta deve ser identificada com o nome escolhido para o algoritmo, porexemplo, BISSEO. Ainda na primeira etapa do desenvolvimento do algoritmo, a suarepresentao grfica traduzida para uma concepo literalem que aparece o nome doalgoritmo, e tambm os tipos (REAL, INTEIRO, etc.) de algumas das variveis. Dessemodo, produz-se um texto todo escrito com letras maisculas cujo emprego visa

padronizao e ao melhor entendimento do algoritmo. A equao algbrica outranscendente f(x) = 0, que se deseja resolver, fornece a funo F(X) = ... que definidainicialmente no interior da caixa preta e, depois, na verso literal (logo aps adeclarao dos tipos das variveis).

Alm disso, j que a concepo inicial um mero esboo do algoritmopretendido, destina-se um espao (indicado, preliminarmente, por reticncias e que ser

DADOS RESULTADOSBISSEO

F(X) = ...

A, B,PARTMAX

RAIZ =, XM


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mais tarde preenchido com blocos de instrues) para o corpo do algoritmo, o qual estsituado entre as palavras reservadas INCIO e FIM DO ALGORITMO. Veja a figura aseguir. Nela se considera, como exemplo de aplicao da metodologia proposta, odesenvolvimento de um algoritmo para oMtodo da Bisseo. Observe que as palavrasreservadas da pseudolinguagem de programao so realadas com tipos em negrito:

Na segunda etapa do desenvolvimento do algoritmo, abre-se a caixa pretainicial, isto , faz-se o primeiro conjunto de refinamentos. Tal se consegue considerandoa caixa preta constituda de trs outras caixas pretas:

(1) ENTRADA DOS DADOS;(2) PROCESSAMENTO DOS CLCULOS; e(3) SADA DOS RESULTADOS.Elas representam os principais blocos de instrues de um algoritmo numrico.

Cada bloco correspondente a um tipo de funcionalidade, sugerido pelo nome do bloco.Esses blocos de instrues so executados em seqncia. Veja a figura a seguir:

A essa representao grfica com trs caixas pretas corresponde uma outra, com trsblocos de instrues, que so as suas verses literais. No caso do Mtodo da Bisseo(concebido de modo extremamente simples), pode-se ter:

(* ENTRADA DOS DADOS: *)LEIAA, B, PARTMAX

(* FIM DA ENTRADA DOS DADOS. *)

BISSEO

ENTRADADOSDADOS

PROCESSAMENTODOSCLCULOS

SADADOSRESULTADOS

ALGORITMOBISSEOREALA, B, XMINTEIROPART, PARTMAXF(X) = ...

INCIO.........

FIM DO ALGORITMOBISSEO.


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(* PROCESSAMENTO DOS CLCULOS: *)PART = 1ENQUANTO(PART MENORPARTMAX) FAA

XM = (A + B)/2SE(F(A)*F(XM) MENOR0) ENTOB = XM FIM SE

SE(F(XM)*F(B) MENOR0) ENTOA = XM FIM SESE(F(XM) IGUAL0) ENTOPART = PARTMAX FIM SEPART = PART + 1

FIM ENQUANTO(* FIM DO PROCESSAMENTO DOS CLCULOS.*)

(* SADA DOS RESULTADOS: *)ESCREVARAIZ = , XM

(* FIM DA SADA DOS RESULTADOS. *)

No presente caso, por se adotar uma concepo extremamente simples, o

refinamento realizado na segunda etapa j permite escrever o algoritmo completo(exclusivamente com letras maisculas, para facilitar a inspeo visual). Para obter essaverso completa, basta introduzir os trs blocos no corpo do algoritmo, indicando a suaexecuo em seqncia, e declarar os tipos de todas as variveis empregadas noalgoritmo. Em outras circunstncias, contudo, pode ser necessrio considerar que umaou mais das caixas pretas so susceptveis de mais refinamento progressivo. Nesse caso,cada caixa preta pode ser aberta e compreendida como a composio de uma ou maisdessas caixas. E assim por diante, conforme seja necessrio para a construo passo-a-

passo do algoritmo, at a sua verso final. A seguir apresenta-se uma viso doalgoritmocompletamente desenvolvido.

ALGORITMOBISSEOREALA, B, XM; INTEIROPART, PARTMAXF(X) = ...

INCIO(* ENTRADA DOS DADOS: *)

LEIAA, B, PARTMAX(* FIM DA ENTRADA DOS DADOS. *)(* PROCESSAMENTO DOS CLCULOS: *)

PART = 1ENQUANTO(PART MENORPARTMAX) FAA

XM = (A + B)/2SE(F(A)*F(XM) MENOR0) ENTOB = XM FIM SESE(F(XM)*F(B) MENOR0) ENTOA = XM FIM SESE(F(XM) IGUAL0) ENTOPART = PARTMAX FIM SEPART = PART + 1

FIM ENQUANTO(* FIM DO PROCESSAMENTO DOS CLCULOS.*)(* SADA DOS RESULTADOS: *)

ESCREVARAIZ = , XM(* FIM DA SADA DOS RESULTADOS. *)



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4.2. Ampliao da funcionalidade de algoritmos. A funcionalidade doalgoritmo BISSEO pode ser estendida introduzindo-se, por exemplo, um controlemais apurado do particionamento do intervalo [A; B] que contm a raiz XM da equaof(x) = 0. Assim, a cada particionamento pode-se calcular:

(1) a amplitude do intervalo: DIF = B A que deve ser comparado com umvalor de referncia DIFMAX, lido na entrada dos dados; e

(2) o valor da funo calculado no ponto mdio, XM, e tomado em valorabsoluto: FM = ABS(F(XM)), a ser comparado com um valor de referncia lido naentrada de dados: FMAX.

Introduzindo essas duas extenses de funcionalidade, o algoritmo pode assumiragora o seguinte aspecto:

ALGORITMOBISSEO

REALA, B, XM, DIF, DIFMAX, FM, FMAXINTEIROPART, PARTMAXF(X) = ...

INCIO

(* ENTRADA DOS DADOS: *)LEIAA, B, PARTMAX, DIFMAX, FMAX


(* PROCESSAMENTO DOS CLCULOS: *)PART = 1; DIFMAX = 0.0001; FM = 100ENQUANTO((PART MENORPARTMAX ) E(DIF MAIORDIFMAX) E(FM MAIORFMAX)) FAA

XM = (A + B)/2SE(F(A)*F(XM) MENOR0) ENTOB = XM FIM SESE(F(XM)*F(B) MENOR0) ENTOA = XM FIM SESE(F(XM) IGUAL0) ENTOPART = PARTMAX FIM SEDIF = B A; FM = ABS(F(XM)); PART = PART + 1

FIM ENQUANTO(* FIM DO PROCESSAMENTO DOS CLCULOS.*)

(* SADA DOS RESULTADOS: *)ESCREVARAIZ = , XMESCREVAVALOR FUNCIONAL CORRESPONDENTE = , FM



4.3. Implementao de algoritmos. A verso final do algoritmo deve estarpronta para ser implementada. Assim, o algoritmo BISSEO, por exemplo, que jincorpora a funcionalidade estendida, pode ser implementado imediatamente em

linguagem Pascal ou outra linguagem de programao. Para obter essa implementao


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em Pascal, as estruturas lgicas do algoritmo podem ser mapeadas em estruturas Pascalcorrespondentes.

O quadro dado a seguir constitui uma proposta inicial a ser considerada em umprojeto de pesquisa que visa definir possibilidades de mapeamento de estruturas

algortmicas (construdas em pseudolinguagem de programao) para construes deprogramas (em Pascal e, possivelmente, em outras linguagens de programao):

Mapeamento de Estruturas LgicasN. Estruturas algortmicas Estruturas PASCAL1 ALGORITMOBISSEO program bissecao; uses crt; var

2REAL A,B,XM,DIF,DIFMAX,FM,FMAX

a,b,xm,dif,difmax,fm,fmax: real;

3 INTEIROPART, PARTMAX part,partmax: integer;

4 F(X) = ((9 * X + 0) * X) 3function f(x:real):real; beginf:=((9*x + 0)*x) 3;end;{function}

5 INCIO begin6 (* ENTRADA DOS DADOS: *) { Entrada dos Dados: } clrs;

7LEIAA, B, PARTMAX, DIFMAX,FMAX

readln(a,b,partmax,difmax,fmax);

8 (*FIM DA ENTRADA DOS DADOS.*) { Fim da Entrada dos Dados. }

9(* PROCESSAMENTO DOSCLCULOS: *)

{ Processamento dos Clculos: }

10 PART = 1; DIFMAX = 0.0001; FM =100 part:=1; difmax:=0.0001;fm:=100;

11ENQUANTO((PART MENORPARTMAX ) E

while((partdifmax)and13 (FM MAIORFMAX)) FAA (fm>fmax))do begin14 XM = (A + B)/2 xm:=(a + b)/2;

15

SE(F(A)*F(XM) MENOR0) ENTOB = XM FIM SE

SE(F(XM)*F(B) MENOR0) ENTOA = XM FIM SE

SE(F(XM) IGUAL0) ENTOPART = PARTMAX FIM SE

if(f(a)*f(xm)


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22(* FIM DA SADA DOSRESULTADOS. *)

{ Fim da Sada dos Resultados. }

23 FIM DO ALGORITMOBISSEO.{ Fim do Algoritmo Bisseo.}end.

O programa obtido pode agora ser digitado em um arquivo da ferramentaBorland Pascal, ou de outra ferramenta, para ser compilado e executado para fins deteste. Caso se deseje, a verso final do algoritmo (muito simples, no exemploapresentado) pode ser ainda mais estendida com a incluso de recursos mais sofisticados(incluindo, possivelmente, a formatao de dados e resultados).

5. Concluses Preliminares. Inicialmente, podemos fazer uma discusso sobreas metodologias expostas. Nesta seo empreendemos uma investigao preliminarsobre as caractersticas principais da metodologia para a elaborao de provas (expostana seo 3) e para o desenvolvimento de projetos computacionais (exposta na seo 4).

No que se refere metodologia para a confeco de provas, temos vantagens edesvantagens.

Vantagens -trata-se de uma metodologia simples que leva, sistematicamente, aresultados padronizados e bem estruturados na maioria dos casos. Considerando essasqualidades, podemos dizer que ela uma metodologia adequadapara os fins aos quaisse destina.

Desvantagens: ela no uma metodologia conveniente para a confeco de

provas de altssimo nvel de complexidade. O desenvolvimento de algoritmos muitocomplexos pode exigir uma quantidade de tempo bem superior aos cem minutosprevistos para aquelas provas que temos em vista, alm, evidentemente, de tcnicassofisticadas de engenharia de software.

J, no que se refere realizao de projetos computacionais, neste trabalhoapresentamos uma metodologiapara a construo de algoritmos do Clculo Numricoem Computadores e, alm disso, para a implementao desses algoritmos na forma de

programas didticos. Essa metodologia ilustrada com um exemplo de implementaosimples doMtodo da Bisseo. A concluso a que podemos chegar a de que, no casode sistemas muito simples, a metodologia leva a um bom resultado. Contudo, se os

sistemas so mais complexos, a metodologia proposta exige complementao derecursos, notadamente no caso de haver necessidade de formatao de dados e deresultados.

6. Referncias Bibliogrficas Relacionadas com esta Apresentao:

[1] Sperandio, D.; Mendes, J. D.; Monken e Silva, L. H.: Clculo Numrico Caractersticas Matemticas e Computacionais dos Mtodos Numricos. EditoraPearson Prentice Hall. So Paulo. 2003.

[2] Pacitti, T.; Atkinson, C. P.: Programao e Mtodos Computacionais,em

dois volumes. Livros Tcnicos e Cientficos Editora S. A. Rio de Janeiro. 1976.


173

[3] Dorn, W. S.; McCracken, D. D.: Clculo Numrico com Estudos de Casosem Fortran IV, traduzido do ingls por Jos Abel Royo dos Santos e Ana Lcia Seriodos Santos. Editora da Universidade de So Paulo e Editora Campus. So Paulo. 1978.

[4] Riso, B. G.; Schweitzer, C. M.; Heerdt, G. P. A.: Algoritmos Numricos

Seqenciais e Paralelos. Florianpolis, SC, Editora da UFSC, 1996.

[5] Riso, B. G.; Notare, M. S. M. A.: Clculo Numrico em Computadores Provas e Projetos, Volume 1. Florianpolis, SC, UFSC, 2010.

[6] Riso, B. G.; Notare, M. S. M. A.: Clculo Numrico em Computadores Provas e Projetos. Florianpolis, SC, UFSC, 2011. (Livro em preparao).

[7] Riso, B. G.; Oliveira, C. A. de: Ensino de Clculo Numrico emComputadores. Painel em forma de artigo apresentado na SEPEX 2009, Florianpolis,SC, UFSC.

Bernardo Gonalves RisoMirela Sechi Moretti Annoni Notare


174

Parte I - PROVAS


175

PROVA 17 Mtodo da Secante

FOLHA DE QUESTES:

Questo 1 (dissertativa) Apresente oMtodo da Secante. Por favor, ao apresent-lo,diga em que situaes esse mtodo pode ser aplicado e o que se deve esperar comoresultado de sua utilizao. Sua resposta precisa ocupar, pelo menos, uma pgina. Sedesejar, ilustre a descrio desse mtodo com figuras, frmulas e esquemas grficos quecomplementem e enriqueam o texto.

Questo 2 (numrica)Por favor, considere a equao

f(x) = 4x3+ 3x -1 = 0.

Tente obter uma raiz real dessa equao com o emprego do Mtodo da Secante. Adote

x1= 0 e x2= 1 como estimativas iniciais da raiz procurada. Faa cinco iteraes, sempreindicando as operaes que vier a efetuar. Por favor, escreva um comentrio sobre aevoluo dos clculos, e armazene os principais resultados em uma tabela com oseguinte cabealho:

i xi xi+1 xi+2 yi yi+1 yi+2 xi+1 - xi

Questo 3 (numrica) Por favor, use oMtodo da Secantepara tentar obter uma raiz

real da equao dada a seguir:f(x) = 2x4+ 3x2-10 = 0.

Faa trs iteraes a partir das estimativasx1= 0,5 e x2= 1,2. Analise a evoluo doprocesso iterativo, buscando indcios de convergncia. Indique todas as operaesefetuadas e no deixe de armazenar os resultados dos clculos em uma tabela com ocabealho:

i xi xi+1 f(xi) f(xi+1) xi+1 - xi

No final, escreva um comentrio sobre a evoluo dos clculos.

Questo 4 (algoritmo) Por favor, escreva um algoritmo estruturado em trs blocosfuncionais (Entrada dos Dados, Processamento dos Clculos e Sada dos Resultados)

para automatizar a aplicao do Mtodo da Secante no caso da determinao de umaraiz real da equao polinomialp(x) = 4x3+ 3x -1 = 0.

Boa Prova!


176

RESPOSTAS:

Resposta Questo 1 O Mtodo da Secante um mtodo iterativo que se aplicatanto s equaes algbricas (entre estas se situam as equaes polinomiais) quanto sequaes transcendentes. Ele permite determinar razes reais, e tambm razes

complexas, desses dois tipos de equaes. Assim, dada a equao f(x) = 0 e duasestimativas iniciais x1 e x2 de uma raiz dessa equao, podem-se obter novasaproximaes de com o emprego da expresso

xi+1= [xip(xi-1) xi-1p(xi)] / [ (xi-1) p(xi)]

em que i pode assumir os valores 1, 2, 3, ...

Sendo que a seqncia de valores x1, x2, x3, ... pode, ou no, convergir para o valor daraiz procurada, .

O processo iterativo no deve continuar indefinidamente. Ele precisa serinterrompido quando se obtiver:

(a) uma boa preciso para representar do valor da raiz , de acordo com algumcritrio de preciso previamente estabelecido, tal como, por exemplo, o valor funcionalf(xk) < fmin, e em que fmin um valor arbitrariamente pequeno, estabelecido de acordocom o interesse do usurio do mtodo e xk um valor da seqncia obtida com aaplicao da frmula que resume o Mtodo da Secante;

(b) um estreitamento suficiente do intervalo que contm a raiz, isto , de modoque xi+1 xi< dmin, em que dmin um valor arbitrrio, suficientemente pequeno, eque relaciona-se ao objetivo da utilizao prtica da raiz procurada; e

(c) uma quantidade de iteraes que iguale o nmero mximo permitido e

previamente fixado. Por exemplo, definindo-se itmax = 100 iteraes. Assim, impede-seque, no caso de divergncia, no se tenha um prolongamento intil do esforo de buscade uma representao precisa da raiz .

Pode-se fazer uma interpretao grfica do Mtodo da Secante com uma figuracomo segue:

retasecante

f(x)

x1x2x3 X

Y


177

A deduo da frmula empregada no Mtodo da Secante para calcularem-se as novasestimativas da raiz pode partir da considerao de tringulos semelhantes:

Base do tringulo maior / Base do menor = Altura do maior / Altura do menor.Isto

(x1 x3) /(x2 x3) = f(x1) / f(x2)

Como, em uma proporo, o produto dos extremos igual ao produto dos meios, tem-se

(x1 x3) f(x2) = (x2 x3) f(x1)

Efetuando os produtos indicados,

[x1f(x

2) x

3f(x

2)] = [x

2f(x

1) x

3f(x

1)]

Isolando os termos que contm x3no primeiro membro,

x3 f(x1) x3 f(x2) = x2f(x1) x1f(x2)

Deixando x3em evidncia,

x3 = [x2f(x1) x1f(x2)] / [f(x1) f(x2)]

Que a formula qual desejvamos chegar.

Resposta Questo 2 Em cada iterao usaremos a frmula:

x i+2 = (xiyi+1 xi+1yi)/(yi+1 yi), i = 1, 2, 3

sendo: yi = f(xi) = 4xi3+ 3xi -1, com i = 1, 2, 3, 4, 5.

x1x2x3

f(x1)f(x2)


178

i xi xi+1 xi+2 yi yi+1 yi+2 abs(xi+1-xi)1 0 1 0,1428 - 1 + 6 - 0,560 12 0 0,1428 0,3245 - 1 - 0,560 + 0,110 0,14283 0,1428 0,3245 0,2947 - 0,560 + 0,110 - 0,0135 0,18174 0,3245 0,2947 0,2980 + 0,110 - 0,0135 - 0,0001 0,0298

5 02947 0,2980 0,2970 - 0,0135 - 0,0001 - 0,0042 0,0033

Linha i = 1:

Tem-se x1 = 0,com y1 = f(x1) = f(0) = 4(0)

3+ 3(0) 1 = 1; ex2= 1,com y2 = f(x2) = f(1) = 4(1)

3+ 3(1) 1 = 6.

Clculo de x3:x 3 = (x2y1 x1y2)/(y1 y2)x 3 = [(1)(- 1) (0)(6)]/[(- 1) (6)] = - 1/ - 7 x 3 = 0,1428

Clculo de y3:y3= f(x3) = f(0,1428) = 4(0,1428)

3+ 3(0,1428) -1y3= - 0,560

Clculo do intervalo que contm a raiz:x2 x1= 1 0= 1

.........................................................................................................................................

Linha i = 2:

Tem-se x2 = 0, com y2 = 1; ex3= 0,1428, com y3= - 0,560

Clculo de x4:x4 = (x3y2 x2y3)/(y2 y3)x4 = [(0,1428)(- 1) (0)(0,560)]/[(- 1) (0,560)]x4 = 0,3245

Clculo de y4:y4= f(x4) = f(0,3245) = 4(0,3245)

3+ 3(0,3245) -1y4 = 0,1102

Clculo do intervalo que contm a raiz:x3 x2= 0,1428 0= 0,1428

............................................................................................................................................

Linha i = 3:

Tem-se x3 = 0,1428, com y3 = - 0,560; e


179

x4= 0,3245, com y4 = 0,1102.Clculo de x5:

x5 = (x4y3 x3y4)/(y3 y4)x5 = [(0,3245)(- 0,5601) (0,1428)(0,1102)]/[(-0,560) (0,1102)]x5 = - 0,1974/- 0,67

x5 = 0,2947

Clculo de y5:y5= f(x5) = f(0,2947) = 4(0,2947)

3+ 3(0,2947) -1y5= - 0,01352

Clculo do intervalo que contm a raiz:x4 x3= 0,3245 0,1428= 0,1817

...........................................................................................................................................

Linha i = 4:

Tem-se x4 = 0,3245, com y4 = 0,1102; ex5= 0,2947, com y5 = - 0,01352.

Clculo de x6:x6 = (x5y4 x4y5)/(y4 y5)x6 = [(0,2947)(0,1102) (0,3245)(- 0,01352)]/[(0,1102) (- 0,01352)]x6 = 0,03680/0,1235x6 = 0,2980

Clculo de y6:y6= f(x6) = f(0,2980) = 4(0,2980)

3+ 3(0,2980) -1y5= - 0,0001456


............................................................................................................................................

Linha i = 5:

Tem-se x5 = 0,2947, com y5 = - 0,0135; ex6= 0,2980, com y6 = - 0,000146.

Clculo de x6:x7 = (x6y5 x5y6)/(y5 y6)x7 = [(0,2980)(- 0,0135) (0,2947)(- 0,000146)]/[(- 0,0135) (- 0,000146)]x7 = - 0,00398 / - 0,0134x7 = 0,2970

Clculo de y7:y7= f(x7) = f(0,2970) = 4(0,2970)

3+ 3(0,2970) -1

y7= - 0,00421


180


Comentrio: o processo iterativo resultante da aplicao do Mtodo da Secanteapresenta uma seqncia de valores que se aproxima cada vez mais da raiz procurada. A

melhor representao obtida para essa raiz 0,2980.

Resposta Questo 3 Nesta questo, tem-se f(x) = 2x4+ 3x2 10. As estimativasiniciais da raiz procurada, , so: x1= 0,5 e x2= 1,2.

i = 1:x1= 0,5f(x1) = 2(0,5)

4+ 3(0,5)2-10 = -9,125

x2= 1,2

f(x2) = 2(1,2)4+ 3(1,2)2-10 = -1,5328

x2 x1= 1,2 0,5 = 0,7.

i = 2:x2= 1,2; f(x2) = -1,5328

x3 = [x2f(x1) x1f(x2)]/[f(x1) f(x2)]x3 = [(1,2)(-9,125) (0,5) (-1,5328)]/[(-9,125) (-1,5328)]x3= 1,34f(x

3) = 2(1,34)4+ 3(1,34)2-10 = 1,87

x3 x2= 1,34 1,2 = 0,14.

i = 3:x3= 1,34; f(x3) = 1,87

x4 = [x3f(x2) x2f(x3)]/[f(x2) f(x3)]x4 = [(1,34)(-2,5328) (1,2)(1,34)]/[(-1,5328) (1,87)]x4= 1,26f(x4) = 2(1,26)

4+ 3(1,26)2-10 = -0,123

x4 x3= 1,26 1,34 = -0,08.

i = 4:x4= 1,26; f(x4) = -0,123

x5 = [x4f(x3) x3f(x4)]/[f(x3) f(x4)]x5 = [(1,26)(1,87) (1,34)(-0,123)]/[(1,87) (-0,123)]x5= 1,2679f(x5) = 2(1,2679)

4+ 3(1,2679)2-10 = -8,72*10-3

x5 x4= 1,2679 1,26 = 0,0079.


181

Resumindo, em uma tabela, os clculos efetuados:

i xi xi+1 f(xi) f(xi+1) xi+1 -xi1 0,5 1,2 -9,125 -1,5328 +0,72 1,2 1,34 -1,5328 1,87 +0,14

3 1,34 1,26 1,87 -0,123 -0,084 1,26 1,2679 -0,123 -8,72*10-3 +0,0079

Comentrio: neste caso de aplicao do Mtodo da Secante, observa-se que o processoiterativo produz uma seqncia de valores que convergente para a raiz da equaodada. Essa convergncia fica evidente quando se considera que a diferena x i+1 - xidiminui progressivamente, em valor absoluto, a cada iterao. Aps realizar-se o

processo pode-se apresentar:

1,2679 com f(1,2679) = -8,72*10-3.

Resposta Questo 4 O algoritmo pode ser visualizado, em altssimo nvel deabstrao, como uma caixa preta identificada com a denominao Secante. Tal caixatem duas aberturas: na primeira, a da esquerda, d-se a entrada dos dados; e na segunda,a da direita, a sada dos resultados.

Neste caso, os dados so: as estimativas iniciais da raiz (variveis x1 e x2), aquantidade mxima de iteraes permitidas (varivel itmax) e o desvio mximo

permitido (varivel dmin) que deve ser um valor pequeno, para assegurar a apresentaode um valor preciso da raiz ao final das iteraes.

A execuo do algoritmo precisa fornecer um valor que represente a raiz compreciso (varivel raiz) no caso em que o processo iterativo produza uma seqncia devalores convergente. De qualquer modo, mesmo que no se verifique a convergncia,um comentrio sobre a qualidade do resultado pode ser impresso.

Deve-se prever a definio da funo f(x).

O esquema grfico da caixa preta corresponde a um trecho escrito em

pseudolinguagem de programao que j considera os tipos das variveis mencionadas ede outras variveis: IT para a contagem de iteraes; X1 e X2 para guardar as

Secante

f(x) =

Dados Resultados

x1, x1, itmax,dmin

raiz e/ou comentrio


182

aproximaes obtidas em duas iteraes sucessivas; e D, para guardar o valor dadiferena entre duas aproximaes, calculado a cada iterao.

ALGORITMO SECANTEINTEIRO IT, ITMAXREAL X1, X2, D, DMINF(X) =

INCIO...

FIM DO ALGORITMO SECANTE

Segunda etapa: abre-se a caixa preta para visualizar sua composio interna. Ascaixas pretasEntrada dos Dados,Processamento dos Clculose Sada dos Resultados,agora visveis, definem as principais partes (cada parte com sua funcionalidadeespecfica) do algoritmo que se est construindo.

AEntrada dos Dadospode, ento, ser detalhada, assim como oProcessamentodos Clculose a Sada dos Resultados. Os tipos das novas variveis so declarados. Oalgoritmo toma a seguinte feio:

ALGORITMO SECANTE

(* CALCULA UMA RAIZ REAL DE UMA EQUAO ALGBRICA

OU TRANSCENDENTE PELO MTODO DA SECANTE. *)REAL X1, X2, X3, Y1, Y2, Y3

Resul-tados

SECANTE

F(X) = ((4*X + 0)*X + 3)*X - 1

ENTRADADOSDADOS

PROCES-SAMENTODOSCLCULOS

SADADOSRESUL-TADOS

RAIZe/oucomen-trio

Dados

X1, X2,ITMAX,DMIN


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REAL DIF, DIFMININTEIRO I, IMAXF(X) = ((4*X + 0)*X + 3)*X - 1

INCIO

(* ENTRADA DOS DADOS: *)LEIA X1, X2, IMAX, DIFMIN


(* PROCESSAMENTO DOS CLCULOS: *)I = 1; DIF = 100ENQUANTO ((I MENOR IMAX) E (DIF MAIOR DIFMIN)) FAA

Y1 = F(X1); Y2 = F(X2)X3 = (X1*Y2 X2*Y1)/(Y2 Y1)(* CLCULO DO DESVIO: *)

DIF = ABS(X2 X1)(* FIM DO CLCULO DO DESVIO: *)SE (ABS(Y2) MENOR ABS(Y1) ENTO

X1 = X2FIM SEX2 = X3(* INCREMENTO DO CONTADOR DE ITERAES: *)

I = I + 1(* FIM DO INCREMENTO DO CONTADOR DE ITERAES: *)

FIM ENQUANTO(* FIM DO PROCESSAMENTO DOS CLCULOS. *)

(* SADA DOS RESULTADOS: *)SE (DIF MENOR OU IGUAL DIFMIN) ENTO

ESCREVA PRECISO OBTIDAESCREVA RAIZ = , X3

FIM SESE (DIF MAIOR DIFMIN) ENTO

ESCREVA PRECISO NO OBTIDAFIM SE


FIM DO ALGORITMO SECANTE.


184

PROVA 18 Mtodo Quase-Newton

FOLHA DE QUESTES:

Questo 1 (dissertativa) Por favor, considere a resoluo numrica deSistemas de Equaes No-Lineares. Apresente um Mtodo Quase-Newton adequado resoluo desse tipo de sistema. Compare as caractersticas desse mtodo com as doMtodo de Newton. No deixe de escrever, pelo menos, uma pgina. Se acharconveniente, use frmulas, grficos e tabelas para ilustrar a sua exposio.

Questo 2 (numrica)Use um Mtodo Quase-Newtonpara tentar resolver osistema dado a seguir:

x + 2y 2,1 = 03x2+ y2 6,9 = 0

Adote x = y = 0,5 como estimativa inicial da soluo do sistema. Faa duas iteraes,indicando sempre todas as operaes efetuadas. Para apresentar os resultadosorganizadamente, preencha uma tabela com o cabealho:

i xi yi desvioi= abs(xi+1- xi) + abs(yi+1- yi)

Por favor, no final, escreva um comentrio que avalie a evoluo do processo iterativo.

Questo 3 (numrica) Tente resolver o sistema de equaes no lineares dadoabaixo com a aplicao de umMtodo Quase Newton:

F(x, y) = 2x - 2y 2,1 = 0G(x, y) = x3+ 3y2 6,9 = 0

Adote x = y = 0,5 como estimativa inicial da soluo do sistema. Faa trsiteraes. Preencha uma tabela que apresente os resultados organizadamente. Por favor,no deixe de escrever um comentrio que avalie o processo iterativo.

Questo 4 (algoritmo) Por favor, construa um algoritmo estruturado em trsblocos funcionais de instrues (Entrada dos Dados, Processamento dos Clculos eSada dos Resultados) que permita a aplicao de umMtodo Quase-Newtonno caso daresoluo do sistema de equaes no lineares dado a seguir:

F(x, y) = x + 2y 1,9 = 0

G(x, y) = 3x2+ y27,11 = 0

Boa Prova!


185

RESPOSTAS:

Resposta Questo 1 Para os sistemas de equaes no lineares, no existemmtodos analticos gerais de soluo, isto , mtodos analticos que se apliquem a todo equalquer desses sistemas. Por esse motivo, em muitos casos, a resoluo de tais

sistemas precisa ser efetuada com o emprego de um mtodo numrico. Mesmo que setrate de um tipo particular de sistema no linear para o qual tenha sido desenvolvido ummtodo analtico, ainda assim pode ser conveniente a utilizao de um mtodonumrico. Esse o caso, por exemplo, em que se dispe de uma eficienteimplementao computacional de tal mtodo.

Esses fatos ilustram bem a importncia da aplicao de mtodos numricos nocontexto de sistemas de equaes no lineares e justificam o seu estudo. Ainda mais quesabemos que esse tipo de sistema ocorre com muita freqncia na modelagemmatemtica de muitos fenmenos estudados nas diversas cincias exatas e natecnologia.

Para resolver numericamente um sistema de equaes no lineares pode-selanar mo, por exemplo, do Mtodo de Newton e de mtodos denominados Quase

Newton.

No caso do Mtodo de Newton, as frmulas a utilizar iterativamente podem serobtidas realizando-se uma analogia com o Mtodo de Newton-Raphson, que empregado na resoluo de equaes algbricas e transcendentes isoladas. Agora,trabalha-se com matrizes e, em vez de uma derivada total, tem-se uma matriz dederivadas parciais: a jacobiana do sistema.

Assim, dado o sistema de equaes no lineares, F(X) = 0, em uma notaovetorial; e uma estimativa preliminar da soluo, X1; em cada iterao resolve-se osistema linear

J D = F

em que J a matriz jacobiana calculada para essa iterao, e F o vetor dos valoresfuncionais calculados com a ltima estimativa. O vetor D tem como seus elementos asincgnitas do sistema linear. Ele representa a correo que se deve aplicar estimativaobtida na iterao anterior para se obter a nova estimativa:

Xi+1 = Xi+ Di

O processo iterativo resultante da aplicao do Mtodo de Newton podeapresentar uma seqncia de valores que se aproxima mais ou menos rapidamente dasoluo exata. Nesses casos, diz-se que h convergncia. Em alguns casos, entretanto, aseqncia no convergente. Convm, ento, reescrever o sistema ou adotar umaestimativa inicial mais prxima da soluo exata. Ou empregar outro mtodo.

Os mtodos numricos ditos Quase Newton assemelham-se ao Mtodo deNewton. Um desses mtodos calcula a jacobiana uma nica vez e a emprega em todas

as iteraes. Outra variante adapta a frmula do Mtodo de Newton-Raphson de modo


186

que, em lugar da derivada total, emprega a derivada parcial. Por exemplo, dado osistema de equaes no lineares:

F1(x, y) = x + 2y 1,9 = 0

F2(x, y) = 3x2

+ y2

7,11 = 0

em cada iterao (i = 1, 2, 3...) faz-se o clculo de nova estimativa:

xi+1 = xi F1(xi, yi)/DXF1(xi, yi)yi+1 = yi F2(xi, yi)/DYF2(xi, yi)

Nessas expresses, DXF1(xi, yi) representa a derivada parcial de F1(x, y) emrelao a x, calculada para x = xi e y = yi; e, de modo semelhante, DYF2(xi, yi)corresponde derivada parcial de F2(x, y) em relao a y, calculada para x = xie y = yi.

Resposta Questo 2 Nessa questo, tem-se

f(x, y) = x + 2y 2,1 = 0g(x, y) = 3x2+ y2 6,9 = 0

Assim, f/x = 1; e g/y = 2y

Primeira iterao(i = 1).

Tem-se a estimativa inicial: x1= y1= 0,5; deseja-se obter x2e y2.

x2 = x1 f(x1, y1) / f/x calculada para x = x1e y = y1y2 = y1 g(x1, y1) / g/y calculada para x = x1e y = y1

x2 = 0,5 [0,5 + 2(0,5) 2,1] / [1] = 0,5 0,5 -1 + 2,1 = 1,1y2 = 0,5 [3(0,5)

2+ (0,5)2 6,9] / [2(0,5)] = 0,5 [-5,9] / [1] = 6,4

desvio1= 1,1 0,5+ 6,4 0,5= 6,5

Segunda iterao(i = 2).

Tem-se a estimativa: x2= 1,1 e y2= 6,4; deseja-se obter x3e y3.

x3 = x2 f(x2, y2) / f/x calculada para x = x2e y = y2y3 = y2 g(x2, y2) / g/y calculada para x = x2e y = y2

x3 = 1,1 [1,1 +2(6,4) 2,1] / [1] = 1,1 1,1 12,8 + 2,1 = -10,7y3 = 6,4 [3(1,1)

2+ (6,4)2 6,9] / [2(6,4)] = 6,4 [37,69] / [12,8] = 3,455

desvio2= -10,7 1,1+ 3,455 6,4= 14,745


187

i xi yidesvioi=

(xi+1-xi) +(yi+1-yi)

1 0,5 0,5 6,52 1,1 6,4 14,745

3 -10,7 3,455 -

Comentrio: o aumento do desvio da primeira iterao para a segunda (de 6,5para 14,745) indica divergncia. Nesse caso, torna-se conveniente adotar outraestimativa inicial, ou reescrever as frmulas empregadas ou, ainda, buscar outro mtodo

para resolver o sistema dado.

Resposta Questo 3 Tem-se o sistema no linear:

F(x, y) = 2x - 2y 2,1 = 0G(x, y) = x3+ 3y2 6,9 = 0

e x = y = 0,5 como estimativa inicial da soluo. As derivadas parciais das funesenvolvidas que interessam ao Mtodo Quase Newton so: F/x = 2; e G/y = 6y.

Primeira iterao(i = 1).Tem-se a estimativa inicial: x1= y1= 0,5; deseja-se obter x2e y2.x2 = x1 {F(x1, y1) / F/x calculada para x = x1e y = y1}y2 = y1 {G(x1, y1) / G/y calculada para x = x1e y = y1}x2 = 0,5 {[2(0,5) 2(0,5) 2,1] / [2]} = 0,5 {[ 2,1] / [2]} = 1,55

y2 = 0,5 {[(0,5)

3

+ 3(0,5)

2

6,9] / [6(0,5)]} = 0,5 {[ 6,025] / [3]} = 2,508desvio1= 1,55 0,5+ 2,508 0,5= 1,05 + 2,008 = 3,058

Segunda iterao(i = 2).Tem-se a estimativa: x2= 1,55 e y2= 2,508; deseja-se obter x3e y3.x3 = x2 {F(x2, y2) / F/x calculada para x = x2e y = y2}y3 = y2 {G(x2, y2) / G/y calculada para x = x2e y = y2}x3 = 1,55 {[2(1,55) - 2(2,508) 2,1] / [2]} = 1,55 {[- 4,016] / [2]} = 3,558y3 = 2,508 {[ (1,55)

3+ 3(2,508)2 6,9] / [6(2,508)]} =y3= 2,508 {[15,69] / [15,048]} = 1,465desvio2= 3,558 1,55+ 2,508 1,465= 2,008 + 1,043 = 3,051

Terceira iterao(i = 3).Tem-se a estimativa: x3= 3,558 e y3= 1,465; deseja-se obter x4e y4.x4 = x3 {F(x3, y3) / F/x calculada para x = x3e y = y3}y4 = y3 {G(x3, y3) / G/y calculada para x = x3e y = y3}x4 = 3,558 {[2(3,558) 2(1,465) 2,1] / [2]}x4 = 3,558 {[- 4,016] / [2]} = 5,566y4 = 1,465 {[(3,558)

3+ 3(1,465)2 6,9] / [6(1,465)]}y4= 1,465 {[44,58] / [8,79]}= 3,607desvio3= 5,566 3,558+ 3,607 1,465= 2,008 + 5,072 = 7,080


188

i xi yidesvioi=

(xi+1-xi) +(yi+1-yi)

1 0,5 0,5 3,0582 1,55 2,508 3,051

3 3,558 1,465 7,0804 5,566 3,607 -

Comentrio: como se pode observar na tabela, embora tenha havido umapequena diminuio do desvio da primeira para a segunda iterao, de 3,058 para 3,051,em seguida o desvio aumentou consideravelmente, de 3,051 para 7,080. Pode-seinterpretar esse fato como uma oscilao que no garante que haja convergncia naseqncia dos valores que constituem as estimativas da soluo do sistema. Nesse caso,

pode ser conveniente realizarem-se mais iteraes para verificar como o processoiterativo passa se comporta.

Resposta Questo 4 Constri-se um algoritmo estruturado para aplicar o MtodoQuase Newton ao sistema dado no enunciado da questo:

F(x, y) = x + 2y 1,9 = 0

G(x, y) = 3x2+ y27,11 = 0

O algoritmo pode, inicialmente, ser representado por uma caixa preta

identificada como QUASE_NEWTON. Ela dispe de duas aberturas de cada lado. Nada esquerda, d-se a entrada dos dados. E na da direita, a sada dos resultados:

Esse esquema grfico inicial corresponde a um esboo do algoritmo escrito em

pseudolinguagem de programao. Tal esquema contempla j os tipos das variveismencionadas:

QUASE_NEWTON

Dados Resultados

x1, y1, itmax,dminn Soluo do

sistema


189

ALGORITMO QUASE_NEWTON

REAL X(100), Y(100), D(100), DMIN

INTEIRO IT, ITMAXF(X, Y) = X+2*Y1.9; G(X, Y) = 3*X*X+Y*Y7.11DFX(X, Y) = 1; DGY(X, Y) = 2*Y

INCIO...

FIM DO ALGORITMO QUASE_NEWTON.

Abrindo-se a caixa preta para visualizao de sua composio interna,

distinguem-se as trs caixas que correspondem aos blocos de instrues com asprincipais funcionalidades de um algoritmo numrico. As caixas pretas so: Entradados Dados,Processamento dos Clculose Sada dos Resultados.

Em seguida, detalhando cada um dos trs blocos de instrues:

ALGORITMO QUASE_NEWTON

(* ESTE ALGORITMO RESOLVE UM SISTEMA NOLINEAR DE DUAS EQUAES PELO MTODO

QUASE-NEWTON. *)

Resul-tados

QUASE_NEWTON

F(X, Y) = X+2*Y1.9G(X, Y) = 3*X*X+Y*Y7.11DFX(X, Y) = 1DGY(X, Y) = 2*Y

ENTRADADOS

DADOS

PROCES-SAMENTO

DOSCLCULOS

SADADOS

RESUL-TADOS X(IT)

Y(IT)

D(IT)

X(1)Y(1)ITMAXDMIN

Dados


190

REAL X(100), Y(100), D(100), DMININTEIRO IT, ITMAXF(X, Y) = X+2*Y1.9G(X, Y) = 3*X*X+Y*Y7.11DFX(X, Y) = 1

DGY(X, Y) = 2*Y

INCIO

(* ENTRADA DOS DADOS: *)LEIA X(1), Y(1), ITMAX, DMIN


(* PROCESSAMENTO DOS CLCULOS: *)IT = 1; D(1) = 100ENQUANTO ((IT MENOR ITMAX) E (D(IT) MAIOR DMIN)) FAA

X(IT+1) = X(IT) (F(X(IT), Y(IT)) / DFX(X(IT, Y(IT)))Y(IT+1) =Y(IT) (G(X(IT), Y(IT)) / DGY(X(IT, Y(IT)))D(IT+1) = ABS(X(IT+1) X(IT)) + ABS(Y(IT+1) Y(IT))IT = IT + 1

FIM ENQUANTO(* FIM DO PROCESSAMENTO DOS CLCULOS. *)

(* SADA DOS RESULTADOS: *)SE (D(IT) MENOR OU IGUAL DMIN) ENTO

ESCREVA O PROCESSO RESULTOU EM CONVERGNCIAESCREVA VALORES APROXIMADOS:ESCREVA X = , X(IT),Y =,Y(IT),DESVIO =,D(IT)

FIM SESE (D(IT) MAIOR DMIN) ENTO

ESCREVA NO SE OBTEVE RESULTADO PRECISOFIM SE

(* FIM DA SADA DOS RESULTADOS.*)

FIM DO ALGORITMO QUASE_NEWTON.


191

PROVA 19 Introduo ao Ajustamento de Curvas

FOLHA DE QUESTES:

Questo 1 (dissertativa) Apresente o problema do ajustamento de curvas. Diga comoesse problema pode ser resolvido com o Mtodo dos Mnimos Quadrados. Por favor,ocupe pelo menos uma pgina.

Questo 2 (numrica)Use oMtodo dos Mnimos Quadradospara ajustar uma retaaos dados tabelados apresentados a seguir. Por favor, estenda a tabela dada para oclculo dos somatrios. Indique todas as operaes efetuadas.

x 0,0 1,0 0,5 0,3 0,3 0,5 0,7 0,8

y 5,1 5,5 5,1 5,3 5,2 5,0 5,4 5,5

Questo 3 (numrica) Empregue oMtodo dos Mnimos Quadradospara ajustar umaparbolaaos dados da tabela apresentada a seguir. Estenda essa tabela para o clculodos somatrios. Por favor, indique todas as operaes efetuadas.

x 0,0 1,0 0,5 0,3 0,3 0,5 0,7 0,8y 5,1 5,5 5,1 5,3 5,2 5,0 5,4 5,5

Questo 4 (algoritmo) Construa um algoritmo para ler e imprimir uma tabela devalores (xi, yi), i = 1, n..

Boa Prova!


192

RESPOSTAS:

Resposta Questo 1 O problema do ajustamento de uma curva f(x) a um conjuntode m pares de dados (xi, yi), i = 1, 2, 3,...m, consiste em determinar a funo f(x), de umtipo previamente escolhido (uma funo polinomial, por exemplo) que traduz, de modo

suficientemente bom, a tendncia revelada pela disposio dos pontos (xi, yi), i = 1, 2,3,...m, que representam graficamente tais pares de dados.Essa tendncia pode ser observada convenientemente ao se marcar os pontos em

uma folha de papel. Ela pode ser crescente, decrescente, estvel, pode cresceraceleradamente ou decrescer aceleradamente, apresentar sinuosidade e assim por diante.Cabe ao observador do comportamento dos dados escolher um tipo de curva(polinomial, exponencial, logartmica,...) para ajustar aos pontos.

O ajuste de curvas pode ser realizado mo, com o emprego de recursosgrficos. Entretanto, mais adequado, muitas vezes, obter uma soluo numrica. Talsoluo deve resultar em uma expresso algbrica associada curva de ajustamento.

Assim, no caso de se desejar ajustar uma reta, ento p(x) = a1+ a2x e tem-se que

determinar o valor de a1e de a2, que so os dois coeficientes do polinmio do primeirograu que correspondem reta. No caso de se ajustar uma parbola, preciso determinaros trs coeficientes a1, a2e a3de p(x) = a1+ a2x + a3 x

2 .Uma teoria muito empregada em situaes prticas, e que orienta o

procedimento para a definio de tais expresses algbricas no ajustamento de curvas, a do Mtodo dos Mnimos Quadrados. A idia bsica dessa teoria a de que, uma vezescolhido o tipo que essa curva deve ter (por exemplo, uma reta), a melhor curva deajustamento, p(x), dever resultar no mnimo da soma dos quadrados dos desvios. Issoquer dizer que qualquer outra reta que viesse a ser escolhida resultaria em um valormaior para a soma dos quadrados dos desvios.

De acordo com essa concepo, e considerando como desvio a diferena

desvioi = [yi p(xi)]

em que yi uma ordenada de um par de dados (xi, yi), i = 1, 2, 3,...m, e p(xi) o valordo polinmio de ajustamento

p(x) = a1+ a2 x + ... + anxn-1+ an+1 x

n

calculado para o valor da abscissa xicorrespondente quela ordenada yi.

[desvioi ]2

= [yi p(xi)]2

A considerao do ponto de mnimo da funo

Q(a1, a2, a3, ..., an+1) = [yi p(xi)]2, i = 1, 2, 3,...m

denominada soma dos quadrados dos desvios, cujos argumentos so os n+1 coeficientesa1, a2, a3, ... an+1 de um polinmio de ajustamento p(x) de grau n, conduz s derivadas

parciais dessa funo (funo Q) em relao a cada um dos argumentos.No ponto de mnimo de Q, todas essas derivadas parciais so nulas.

Q/ai = 0, i = 1, 2, 3,...n+1


193

Tais equaes, consideradas simultaneamente, constituem um sistema de n+1equaes lineares com n+1 incgnitas. A resoluo desse sistema permite obter osvalores dos n+1 coeficientes: a1, a2, a3, ..., an+1 do polinmio de ajustamento p(x).

Como se v, os coeficientes so obtidos pela resoluo de um sistema deequaes lineares. Tem-se que resolver um sistema de duas equaes e duas incgnitas

para o caso da reta, um sistema de trs equaes e trs incgnitas para o caso daparbola, e assim por diante.O Mtodo dos Mnimos Quadrados pode ser estendido de maneira a permitir que

outros tipos de curvas, alm de polinmios, possam vir a ser utilizados em casos deajustamento. Vrios livros de Clculo Numrico, assim como livros de tabelas efrmulas matemticas trazem listas de funes que podem ser utilizadas para oajustamento com o Mtodo dos Mnimos Quadrados.

Resposta Questo 2 So dados oito pares (xi, yi), i = 1, 2, 3, ... 8 que representamoito pontos aos quais precisamos ajustar uma reta: p(x) = a1+ a2x. Os coeficientes a1e

a2 da reta de ajustamento podem ser obtidos ao se resolver o sistema de equaeslineares:

n xi a1 yi

= i = 1, 2, 3, ..., 8

xi xi2 a2 yixi

Clculo dos somatrios:

De modo que o sistema linear pode ser escrito como:

i xi yi xi2 xiyi

1 0,0 5,1 0,0 0,02 1,0 5,5 1,0 5,53 0,5 5,1 0,25 2,554 0,3 5,3 0,09 1,595 0,3 5,2 0,09 1,566 0,5 5,0 0,25 2,57 0,7 5,4 0,49 3,788 0,8 5,5 0,64 4,4

4,1 42,1 2,81 21,88


194

8 4,1 a1 42,1

=

4,1 2,81 a2 21,88

Resoluo do sistema linear pela Regra de Cramer:

Determinante principal da matriz dos coeficientes:det = (8)(2,81) (4,1)(4,1) = 5,67

Primeiro determinante caracterstico:det1 = (42,1)(2,81) (4,1)(21,88) = 28,593

Segundo determinante caracterstico:det2 = (8)(21,88) (42,1)(4,1) = 2,43

a1 = det1/det = 28,593/5,67 = 5,043a2 = det2/det = 2,43/5,67 = 0,429

Donde a reta de ajustamento: p(x) = 5,043 + 0,429 x, cuja utilizao conduz tabela:

k xk p(xk)1 0,0 0,4292 0,3 1,9423 0,5 2,9514 0,7 3,9595 0,8 4,4636 1,0 5,472

Resposta Questo 3 Nesta outra questo, pede-se para ajustar uma parbola:

p(x) = a1+ a2x + a3x2

a um conjunto de oito pontos. A determinao dos trs coeficientes a1, a2 e a3 daparbola envolve a resoluo de um sistema de trs equaes lineares com trsincgnitas.

na1 + a2x + a3x2 = y

a1x + a2x2 + a3x3= xy

a1x2+ a2x3 + a3x4 = x2y


195

em que n representa a quantidade de pontos (no presente caso, oito) e o ndice i, que fazvariar os valores de xi e yi nos somatrios tal que i = 1, 2, 3, ...,n. Clculo dossomatrios:

De modo que se tem o seguinte sistema de equaes lineares:

n a1 + x a2+ x2a3= y 8a1 + 4,1 a2 + 2,81 a3 = 42,1

xa1 +x2 a2+ x3a3= xy 4,1a1+2,81a2 + 2,159 a3= 21,88

x2 a1 +x3a2 +x4a3= x2y2,81a1 + 2,159 a2 + 1,7909 a3 = 14,0096

Em que n = 8 a quantidade de pontos, e i = 1, 2, 3, ... , 8.

Resolvendo o sistema com o auxlio da Regra de Cramer, calculamos odeterminante principal, det, da matriz dos coeficientes e os determinantescaractersticos: det1; det2; e det3, correspondentes a cada incgnita:

Determinante principal: det =

8 4,1 2,814,1 2,81 2,1592,81 2,159 1,7909

det = (8)(2,81)(1,7909) + (4,1)(2,159)(2,81) + (2,81)(2,159)(4,1)

(2,81)(2,81)(2,81) (2,159)(2,159)(8) (1,7909)(4,1)(4,1)

det = 90,00711 89,583318

det = 0,423792

Primeiro determinante caracterstico: det1 =

i xi yi xi2

xiyi xi3

xi4

xi2

yi1 0,0 5,1 0,0 0,0 0,0 0,0 0,02 1,0 5,5 1,0 5,5 1,0 1,0 5,53 0,5 5,1 0,25 2,55 0,125 0,0625 1,2754 0,3 5,3 0,09 1,59 0,027 0,0081 0,4775 0,3 5,2 0,09 1,56 0,027 0,0081 0,4686 0,5 5,0 0,25 2,5 0,125 0,0625 0,1257 0,7 5,4 0,49 3,78 0,343 0,2401 2,64468 0,8 5,5 0,64 4,4 0,512 0,4096 3,52

4,1 42,1 2,81 21,88 2,159 1,7909 14,0096


196

42,1 4,1 2,8121,88 2,81 2,15914,0096 2,159 1,7909

det1 = (42,1)(2,81)(1,7909) + (4,1)(2,159)(14,0096) + (2,81)(2,159)(21,88)

(2,81)(2,81)(14,0096) (2,159)(2,159)(42,1) (1,7909)(21,88)(4,1)

det1 = (211,865) + (124,012) + (132,741) (110,621) (196,240) (160,658)

det1 = 468,618 467,519

det1 = 1,0099

Segundo determinante caracterstico: det2 =

8 42,1 2,814,1 21,88 2,1592,81 14,0096 1,7909

det2 = (8)(21,88)(1,7909) + (42,1)(2,159)(2,81) + (2,81)(14,0096)(4,1) (2,81)(21,88)(2,81) (2,159)(14,0096)(8) (1,7909)(4,1)(42,1)

det2 = (313,479) + (118,362) + (161,405) (172,767) (241,974) (309,127)

det2 = (593,245) (481,894)

det2 = 111,351

Terceiro determinante caracterstico: det3 =

8 4,1 42,14,1 2,81 21,882,81 2,159 14,0096

det3 = (8)(2,81)(14,0096) + (4,1)(21,88)(2,81) + (42,1)(2,159)(4,1)

(42,1)(2,81)(2,81) (21,88)(2,159)(8) (14,0096)(4,1)(4,1)

det3 = (314,935) + (252,079) + (372,664) (332,426) (377,911) (235,501)

det3 = 939,678 945,836

det3 = 6,158

Clculo dos coeficientes da parbola:

a1= det1/det = 1,0099/0,423792 = 2,3830

a2= det2/det = 111,351/0,423792 = 262,75


197

a3= det3/det = 6,158/0,423792 = 14,531

Concluso: a parbola de ajustamento

p(x) = 2,3830 + 262,75 x 14,531 x2

Resposta Questo 4 Construiremos um algoritmo para:(1) na Entrada de Dados ler n, a quantidade de pontos, e as coordenadas [x i, y i]

desses pontos;(2) no Processamento dos Clculos, no h clculos a realizar; e(3) na Sada dos Resultados, imprimir os valores das coordenadas lidas.

O algoritmo pode, inicialmente, e no nvel mais alto de abstrao, serrepresentado por uma caixa preta identificada como TABELA. A caixa tem duasaberturas de cada lado: na da esquerda, d-se a entrada dos dados; e na da direita, a

sada dos resultados:

Esse esquema grfico inicial corresponde a um trecho escrito empseudolinguagem de programao. Tal esquema contempla j os tipos das variveismencionadas:

ALGORITMO TABELAINTEIRO I, NREAL X(50), Y(50)

INCIO...

FIM DO ALGORITMO TABELA.

Em uma segunda etapa, agora abrindo-se a caixa preta para visualizao de suacomposio interna, distinguem-se as caixas que correspondem s principaisfuncionalidades de um algoritmo numrico. As caixas pretas Entrada dos Dados,

Processamento dos Clculose Sada dos Resultados.

TABELA

Dados Resultados

n, xi, yii = 1,2,...,n

n, xi, yi


198

AEntrada dos Dadospode ser detalhada como segue:

(* ENTRADA DOS DADOS: *)LEIA NPARA (I DE 1 AT N) FAA

LEIA X(I), Y(I)FIM PARA


NoProcessamento dos Clculos, no h contas a fazer:

(* PROCESSAMENTO DOS CLCULOS: *)(* NO H CONTAS A FAZER *)

(* FIM DO PROCESSAMENTO DOS CLCULOS. *)

NA Sada dos Resultados, manda-se escrever o valor de cada coordenada, naordem em que foram lidas:

(* SADA DOS RESULTADOS: *)PARA (I DE 1 AT N) FAA

ESCREVA X(,I,) = ,X(I)ESCREVA Y(,I,) = ,Y(I)

FIM PARA(* FIM DA SADA DOS RESULTADOS. *)

Agora, reunindo os trs blocos de detalhamentos, apresenta-se o algoritmocompleto:

ALGORITMO TABELA

(* ESTE ALGORITMO L E IMPRIMEUM CONJUNTO DE PARES DE DADOS. *)

REAL X(50), Y(50)

Resul-tados

TABELA

ENTRADADOS

DADOS

PROCES-SAMENTO

DOSCLCULOS

SADADOS

RESUL-TADOS N,

X(I),Y(I)I = 1, 2,..., N

N,X(I),Y(I)I = 1,2,...,N

Dados


199

INTEIRO N, IINCIO

(* ENTRADA DOS DADOS: *)LEIA N

PARA (I DE 1 AT N) FAALEIA X(I), Y(I)FIM PARA


(* PROCESSAMENTO DOS CLCULOS: *)(* NO H CLCULOS A FAZER*)


(* SADA DOS RESULTADOS: *)PARA (I DE 1 AT N) FAA

ESCREVA X(,I,) = ,X(I)ESCREVA Y(,I,) = ,Y(I)

FIM PARA(* FIM DA SADA DOS RESULTADOS. *)

FIM DO ALGORITMO TABELA.


200

PROVA 20 Ajuste Polinomial

FOLHA DE QUESTES:

Questo 1 (dissertativa) Estabelea o problema do ajuste polinomial com o empregodo Mtodo dos Mnimos Quadrados. Descreva brevemente o ajuste linear, o ajuste

parablico e o ajuste cbico. Por favor, ocupe, com a sua descrio, pelo menos, umapgina.

Questo 2 (numrica) Considere os dados apresentados na tabela dada abaixo.

x 0,5 0,6 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1

y -4 -3 -2 0 -1 -3 -5 -7

Por favor, ajuste uma retap(x) = a + b x

a esses dados com a utilizao do Mtodo dos Mnimos Quadrados. Agora, para cadavalor de x, calcule o correspondente valor p(x). Finalmente, responda: qual o valor de

p(0,4)?

Questo 3 (numrica) Ajuste uma parbola p(x) = a1+ a2x + a3x2ao conjunto de

pares de valores apresentados na tabela dada a seguir. Use o Mtodo dos MnimosQuadrados. Por favor, no deixe de indicar todas as operaes efetuadas. No final,apresente a expresso da parbola com destaque.

x 0,1 0,30,5

0,7

0,9

0,9

1,0

1,3

y 4 8 10 0 -1 -2 -2 -3

Questo 4 (algoritmo) Construa um algoritmo estruturado que programe o ajusteparablico com o auxlio do Mtodo dos Mnimos Quadrados. Por favor, faa-o em trsetapas de refinamento sucessivo. A estrutura do algoritmo deve apresentar trs blocos

principais de instrues para; (a) entrada dos dados; (b) processamento dos clculos; e(c) sada dos resultados.

Boa Prova!


201

RESPOSTAS:

Resposta Questo 1 Pode-se dizer que o problema do ajustamento polinomialconsiste, basicamente, em determinar um polinmio p(x) do grau m,

p(x) = a1+ a2x + a3x2

+ a4x3

+ ... + am+1xm

que represente, de modo formal, a tendncia de um fenmeno descrito por um conjuntode n pares de valores [xi, yi], i = 1, 2, 3, ..., n.

Os pares de valores podem ter sido obtidos, por exemplo, em uma experincia delaboratrio com uso de instrumentos de medio, seguindo uma metodologia especficade coleta de valores numricos, ou em um levantamento de dados em campo.

O resultado obtido nesses casos constitui uma tabela de pares de valores [xi, yi],i = 1, 2, 3, ... , n que podem ser interpretados como coordenadas de n pontos marcados

em um plano cartesiano.

Conforme a disposio desses pontos no plano, pode-se escolher um ajustamentolinear; nesse caso, m = 1, e

p(x) = a1+ a2xou um ajuste parablico, caso em que m = 2 e

p(x) = a1+ a2x + a3x2

ou, ainda, m = 3, para se ajustar uma cbica:p(x) = a1+ a2x + a3x

2+ a4x3

e assim por diante.

Usando-se a teoria que d embasamento ao Mtodo dos Mnimos Quadrados,obtm-se o polinmio que fornece o mnimo da soma dos quadrados dos desvios.

Esses desvios podem ser definidos como

di= p(xi) yi,i = 1, 2, 3, ... , n.

A soma dos quadrados dos desvios pode ser representada como uma funo Q devrias variveis:

Q(a1, a2, a3, ... , am+1) = (di)2= [p(xi) yi]

2i = 1, 2, 3, ... , n.

No ponto de mnimo, todas as derivadas parciais de Q, em relao s variveis,so nulas:

Q/a1 = 0Q/a2 = 0Q/a3 = 0

...Q/am+1 = 0


202

Assim, substituindo Q pela expresso que a define e derivando-se em relao acada uma das variveis, obtm-se um sistema de m+1 equaes lineares com m+1incgnitas.

n a1 + a2xi+ ... + am+1xim= yi

a1xi+a2xi2 + ... + am+1xim+1= xiyi...........a1xim +a2xim+1+... + am+1xi2m= ximyi

i = 1, 2, 3, ... n.

A resoluo desse sistema linear fornece os m+1 valores dos coeficientes dopolinmio p(x), do grau m, escolhido para o ajustamento.

Resposta Questo 2 Nesta questo, o valor de n, que representa a quantidade depontos da tabela, 8. Como o ajuste linear, o valor de m, que representa o grau dopolinmio de ajustamento, 1. Para se obter a reta de ajustamento p(x) = a + bx,resolve-se o sistema de duas equaes lineares com duas incgnitas:

n a + bxi=yi

a xi+ bxi2= xiyi

i = 1, 2, 3, ... n.

A obteno dos somatrios pode ser realizada com o auxlio de uma tabela:

i xi yi xi2 xiyi

1 0,5 -4 0,25 - 2,02 0,6 -3 0,36 - 1,83 0,6 -2 0,36 - 1,24 0,7 0 0,49 0,05 0,8 -1 0,64 - 0,86 0,9 -3 0,81 - 2,77 1,0 -5 1,00 -5,08 1,1 -7 1,21 - 7,7

- xi= 6,2 yi = - 25 xi2 = 5,12 xiyi = - 21,2

Introduzindo os valores dos somatrios tem-se, ento, o sistema:


203

(8) a + (6,2) b = - 25(6,2) a + (5,12) b = - 21,2

Resolvendo o sistema com a Regra de Cramer,

Det = (8)(5,12) (6,2)(6,2) = 40,96 38,44 = 2,52DetA = (-25)(5,12) (6,2)(- 21,2) = -128 (-131,44) = 3,44DetB = (8)(- 21,2) (-25)(6,2) = - 169,6 (- 155) = - 14,6

a = DetA/Det = 3,44 / 2,52 = 1,365b = DetB / Det = - 14,6 / 2,52 = - 5,794

O polinmio de ajustamento nesse caso

p(x) = 1,365 5,794 x

Clculo dos valores de p(xk), considerando que, na tabela originalmente dada,havia repetio de abscissas, agora eliminada.

k = 1, 2, 3, ... 7

k 1 2 3 4 5 6 7xk 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1

p(xk) -1,532 -2,111 -2,691 -3,270 -3,850 -4,429 -5,008

Para completar a respsta, p(0,4) = 1,365 5,794(0,4) = -0,9526

Resposta Questo 3 Pede-se, nesta questo, para utilizar o Mtodo dos MnimosQuadrados no ajuste de uma parbola p(x) = a1+ a2x + a3x

2a um conjunto de oitopares de valores apresentados em uma tabela. Para determinar os coeficientes a1, a2e a3da parbola, vamos resolver o sistema de trs equaes lineares com trs incgnitas:

n a1 + a2xi+ a3xi2= yi

a1xi+a2xi2 + a3xi3= xiyi

a1xi2 +a2xi3+a3xi4= xi2yi

Para obter os valores dos somatrios, construiremos uma tabela.


204

i xi yi xi

2 xi3 xi

4 xiyi xi2yi

1 0,1 4 0,01 0,001 0,0001 0,4 0,042 0,3 8 0,09 0,027 0,0081 2,4 0,72

3 0,5 10 0,25 0,125 0,0625 5,0 2,504 0,7 0 0,49 0,343 0,2401 0,0 0,005 0,9 -1 0,81 0,729 0,6561 -0,9 -0,816 0,9 -2 0,81 0,729 0,6561 -1,8 -1,627 1,0 -2 1,00 1,000 1,0000 -2,0 -2,008 1,3 -3 1,69 2,197 2,8561 -3,9 -5,07

5,7 14 5,15

5,151

5,4791

-0,8

-6,24

Agora, construindo o sistema de equaes lineares que permite obter os valores doscoeficientes do polinmio de segundo grau que corresponde parbola de ajustamento:

8 a1 + 5,7 a2+ 5,15 a3= 14

5,7a1 +5,15 a2+ 5,151 a3= - 0,8

5,15 a1 +5,151 a2 +5,4791 a3= - 6,24

Resoluo do sistema com o emprego da Regra de Cramer:

Det = (8)(5,15)(5,4791) + (5,7)(5,151)(5,15) + (5,15)(5,151)(5,7) (5,15)(5,15)(5,15) (5,151)(5,151)(8) (5,4791)(5,7)(5,7)

Det = 225,73892 + 151,2076 + 151,2076 136,59087 212,2624 178,01595Det = 528,15413 526,86924 = 1,284888

Det1 = (14)(5,15)(5,4791) + (5,7)(5,151)(-6,24) + (5,15)(5,151)(-0,8)- (5,15)(5,15)(-6,24) (5,151)(5,151)(14) (5,4791)(-0,8)(5,7)

Det1 = 190,61022 180,97411 = 9,636102

Det2 = (8)(-0,8)(5,4791) + (14)(5,151)(5,15) + (5,15)(-6,24)(5,7)- (5,15)(-0,8)(5,15) (5,151)(-6,24)(8) (5,4791)(5,7)(14)

Det2 = 153,14566 158,87626 = - 5,7306

Det3 = (8)(5,15)(-6,24) + (5,7)(-0,8)(5,15) + (14)(5,151)(5,7)- (14)(5,15)(5,15) (-0,8)(5,151)(8) (-6,24)(5,7)(5,7)

Det3 = 130,4778 135,611 = - 5,1332


205

Ento:

a1= Det1/Det = 9,636102/ 1,284888 = 7,4995657 7,5a2= Det2/Det = - 5,7306/ 1,284888 = - 4,4599996 - 4,5a3= Det3/Det = - 5,1332/ 1,284888 = - 3,9950563 - 4,0

E a parbola de ajustamento p(x) = 7,5 4,5 x 4,0 x2

Resposta Questo 4 Vamos construir um algoritmo para:

(1) na Entrada de Dados ler n (a quantidade de pontos aos quais ajustaremosuma parbola), e as coordenadas [xi, yi] desses pontos;

(2) no Processamento dos Clculos, obtm-se os somatrios, depois osdeterminantes e, finalmente, os coeficientes da parbola; e

(3) na Sada dos Resultados, mandam-se imprimir os valores dos coeficientescalculados.

Inicialmente, representa-se o algoritmo, graficamente, e no nvel mais alto deabstrao, como uma caixa preta identificada como PARBOLA. A caixa tem duasaberturas: na da esquerda, d-se a entrada dos dados; e, na da direita, a sada dosresultados:

O esquema grfico inicial corresponde a um trecho escrito em pseudolinguagemde programao. Tal esquema j define os tipos das variveis relacionadas na entradados dados e na sada dos resultados:

ALGORITMO PARBOLAINTEIRO I, NREAL X(50), Y(50)REAL A1, A2, A3

INCIO...

FIM DO ALGORITMO PARBOLA.

Em uma segunda etapa, abre-se a caixa preta para visualizao de suacomposio interna, ainda usando um esquema grfico. Distinguem-se ento trs caixas

pretas. Elas correspondem aos blocos de instrues das principais funcionalidades de

PARBOLA

Dados Resultados

n, xi, yii = 1,2,...,n

a1a2a3


206

um algoritmo numrico. As caixas pretas so:Entrada dos Dados, Processamento dosClculose Sada dos Resultados.

AEntrada dos Dadospode ser detalhada como segue:




NoProcessamento dos Clculos,

(* PROCESSAMENTO DOS CLCULOS: *)(* CLCULO DOS SOMATRIOS: *)

SX = 0; SX2 = 0; SX3 = 0; SX4 = 0SY = 0; SXY = 0; SX2Y = 0PARA (I DE 1 AT N) FAA

SX = SX + X(I)SX2 = SX2 + X(I)*X(I)SX3 = SX3 + X(I)*X(I)*X(I)SX4 = SX4 + X(I)*X(I)*X(I)*X(I)SY = SY + Y(I)SXY = SXY + X(I)*Y(I)SX2Y = SX2Y + X(I)*X(I)*Y(I)

FIM PARA(* FIM DO CLCULO DOS SOMATRIOS. *)(* CLCULO DOS DETERMINANTES: *)

DET = N*SX2*SX4 + SX*SX3*SX2 + SX2*SX3*SX- SX2*SX2*SX2 SX3*SX3*N SX4*SX*SX

DET1 = SY*SX2*SX4 + SX*SX3*SX2Y + SX2*SX3*SXY- SX2*SX2*SX2Y SX3*SX3*SY SX4*SXY*SX

DET2 = N*SXY*SX4 + SY*SX3*SX2 + SX2*SX2Y*SX- SX2*SXY*SX2 SX3*SX2Y*N SX4*SX*SY

DET3 = N*SX2*SX2Y + SX*SXY*SX2 + SY*SX3*SX- SY*SX2*SX2 SXY*SX3*N SX2Y*SX*SX

(* FIM DO CLCULO DOS DETERMINANTES. *)(* USO DA REGRA DE CRAMER: *)

Resultados

PARBOLA

ENTRADADOSDADOS

PROCES-SAMENTODOSCLCULOS

SADADOSRESUL-TADOS A1, A2, A3

Dados

N, X(I),Y(I)I = 1, 2,...,N


207

A1 = DET1/DET; A2 = DET2/DET; A3 = DET3/DET(* FIM DO USO DA REGRA DE CRAMER. *)


Na Sada dos Resultados, manda-se escrever o valor de cada coordenada, naordem em que foram lidas:

(* SADA DOS RESULTADOS: *)ESCREVA P(X) = A1 + A2 *X + A3 *X*XESCREVA A1 = , A1ESCREVA A2 = , A2ESCREVA A3 = , A3


Reunindo os trs blocos de detalhamentos, e definindo-se os tipos das variveis

utilizadas para os somatrios e determinantes, tem-se o algoritmo completo:

ALGORITMO PARBOLA

(* AJUSTA UMA PARBOLA A UM CONJUNTODE PARES DE DADOS COM O EMPREGO DOMTODO DOS MNIMOS QUADRADOS. *)

REAL X(50), Y(50)REAL A1, A2, A3REAL SX, SX2, SX3, SX4REAL SY, SXY, SX2YINTEIRO I, N

INCIO



(* FIM DA DENTRADA DOS DADOS. *)

(* PROCESSAMENTO DOS CLCULOS: *)(* CLCULO DOS SOMATRIOS: *)

SX = 0; SX2 = 0; SX3 = 0; SX4 = 0SY = 0; SXY = 0; SX2Y = 0PARA (I DE 1 AT N) FAA

SX = SX + X(I)SX2 = SX2 + X(I)*X(I)SX3 = SX3 + X(I)*X(I)*X(I)SX4 = SX4 + X(I)*X(I)*X(I)*X(I)SY = SY + Y(I)

SXY = SXY + X(I)*Y(I)SX2Y = SX2Y + X(I)*X(I)*Y(I)


208

FIM PARA(* FIM DO CLCULO DOS SOMATRIOS. *)(* CLCULO DOS DETERMINANTES: *)

DET = N*SX2*SX4 + SX*SX3*SX2 + SX2*SX3*SX- SX2*SX2*SX2 SX3*SX3*N SX4*SX*SX

DET1 = SY*SX2*SX4 + SX*SX3*SX2Y + SX2*SX3*SXY- SX2*SX2*SX2Y SX3*SX3*SY SX4*SXY*SXDET2 = N*SXY*SX4 + SY*SX3*SX2 + SX2*SX2Y*SX

- SX2*SXY*SX2 SX3*SX2Y*N SX4*SX*SYDET3 = N*SX2*SX2Y + SX*SXY*SX2 + SY*SX3*SX

- SY*SX2*SX2 SXY*SX3*N SX2Y*SX*SX(* FIM DO CLCULO DOS DETERMINANTES. *)(* USO DA REGRA DE CRAMER: *)

A1 = DET1/DET; A2 = DET2/DET; A3 = DET3/DET(* FIM DO USO DA REGRA DE CRAMER. *)


(* SADA DOS RESULTADOS: *)ESCREVA P(X) = A1 + A2 *X + A3 *X*XESCREVA A1 = , A1ESCREVA A2 = , A2ESCREVA A3 = , A3


FIM DO ALGORITMO PARBOLA.


209

PROVA 21 Ajuste No-Polinomial

FOLHA DE QUESTES:

Questo 1 (dissertativa) Apresente o problema do ajuste no-polinomial. Como esseproblema pode ser resolvido com a utilizao do Mtodo dos Mnimos Quadrados? Porfavor, no escreva menos do que uma pgina.

Questo 2(numrica)Ajuste a curva exponencial Y = ABxaos dados apresentados natabela dada a seguir. Aps obter os valores de A e B, use esses valores para calcular asordenadas correspondentes aos valores das abscissas. Por favor, no deixe de indicartodas as operaes efetuadas.

x 1,3 2,8 5,9 7,8y 1,2 5,9 15,9 30,4

Questo 3 (numrica) Faa o ajustamento da curva Y = AeBxaos dados apresentadosna tabela abaixo. Use a curva de ajustamento para obter a ordenada correspondente a x= 4,5. Por favor, indique todas as operaes efetuadas.

x 2,2 3,9 4,6 5,8 6,6 7,8 8,1 9,0 10,0y 4,0 9,8 11,5 32,7 55,0 70,3 90,8 100,0 99,0

Questo 4 (algoritmo) Construa um algoritmo para ajustar a curva Y = ABx a umconjunto de dados. Desenvolva o seu algoritmo em trs fases de refinamento sucessivo.A verso final do algoritmo deve reunir todas as partes que tenham sido elaboradas emseparado.

Boa Prova!


210

RESPOSTAS:

Resposta Questo 1 O problema do ajustamento no polinomial pode serapresentado como aquele de se definir uma determinada curva de natureza algbrica outranscendente, por exemplo, exponencial, ou logartmica ou outra, mas no polinomial,

que se pode ajustar a um conjunto de n pontos dados pelas suas coordenadascartesianas: [xi, yi], com i assumindo os valores 1,2,3,...,n.

Vrias curvas podem ser utilizadas para o fim do ajustamento no polinomialcom o auxlio do Mtodo dos Mnimos Quadrados. Muitos livros de Clculo Numrico,de Estatstica e de frmulas e tabelas matemticas oferecem uma coleo bastanteextensa de tais funes.

Algumas dessas funes so, por exemplo:

Y = ABx (neste caso, tem-se uma funo exponencial); e

Y = AeBX (neste outro caso, e a base dos logaritmos naturais: e =2,718281828...).

Para ajustar a primeira dessas funes podem-se aplicar logaritmos decimais noseguinte sentido:

log Y = log (ABx )

log Y = log A + (log B)x

Agora, p(x) pode ser associado a log Y; j, log A (uma constante) associado aa1e log B (outra constante), a a2.

Tem-se, ento, p(x) = a1+ a2x, recaindo-se no caso de ajustamento polinomial,neste caso, de uma reta. Usa-se, ento, o Mtodo dos Mnimos Quadrados para oclculo de a1e a2.

Para ajustar a segunda funo, podem-se aplicar logaritmos naturais (ouneperianos):

ln Y = ln (AeBX

)

ln Y = ln A + (ln e) Bx, como ln e = 1,

ln Y = ln A + Bx

De modo semelhante ao que foi feito para o primeiro exemplo, novamente, p(x)pode ser associado a ln Y; ln A associado a a1e B, a a2.

Tem-se, ento, p(x) = a1+ a2x, recaindo-se, tambm neste caso, no ajustamentopolinomial de uma reta em que o Mtodo dos Mnimos Quadrados empregado para a

obteno dos valores de a1e a2.


211

Resposta Questo 2 Deseja-se ajustar a curva exponencial Y = ABxaos dados databela

x 1,3 2,8 5,9 7,8

y 1,2 5,9 15,9 30,4

Aplicando logaritmos decimais expresso Y = ABx, tem-se

log Y = log A + x log B

ou

p(x) = a1 + a2x

Ento A = 10a1 e B = 10a2

Para obter a1e a2, resolvemos o sistema de duas equaes lineares com duas incgnitas:

n a1+ a2x = log y

a1x + a2x2 = x log y

em que n = 4, corresponde quantidade de pontos definidos na tabela. Para calcular os

somatrios, construmos uma tabela.

i xi yi log yi x log yi xi2

1 1,3 1,20 0,079181 0,102935 1,6902 2,8 5,90 0,770852 2,158386 7,8403 5,9 15,9 1,201397 7,088242 34,814 7,8 30,4 1,482874 11,56642 60,84

17,8 - 3,534304

20,91598

105,18

Temos ento o sistema:

4 a1+ 17,8 a2= 3,534304

17,8 a1+ 105,18a2= 20,91598

Cuja resoluo pela regra de Cramer apresentada em seguida:


212

Det = (4) (105,18) (17,8)(17,8) = 420,72 316,84 = 103,88

Det1 = (3,534304)( 105,18) (17,8)( 20,91598) = 371,738 372,304 = - 0,5663

Det2 = (4)( 20,91598) (3,534304)(17,8) = 83,6639 62,9106 = 20,753

De modo que

a1= Det1 / Det = - 0,5663/103,88 = - 0,0054515

a2= Det2 / Det = 20,753/103,88 = 0,19978

A = 10a1 = 10-0,0054515= 0,9875 e

B = 10a2 =100,19978 = 1,5841

Concluso: Y = (0,9875)(1,5841)x

Resposta Questo 3 Nesta questo, pede-se para fazer o ajustamento da curva

Y = AeBx

aos dados da tabela abaixo. Alm disso, pede-se para usar a curva de ajustamento eobter a ordenada correspondente a x = 4,5.

x 2,2 3,9 4,6 5,8 6,6 7,8 8,1 9,0 10,0y 4,0 9,8 11,5 32,7 55,0 70,3 90,8 100,0 99,0

Empregando logaritmos naturais expresso Y = AeBx, obtemos

ln Y = ln A + Bx,

isto , podemos proceder como se fizssemos o ajustamento da reta p(x) = a1+ a2x, emque a1 = ln A e a2 = B. Resolvemos o sistema de duas equaes lineares com duas

incgnitas descrito abaixo:

n a1+ a2x = ln y

a1x + a2x2 = x ln y

em que n = 9 a quantidade de pontos a considerar. Para obter os somatrios,construmos uma tabela.


213

i xi yi ln yi x ln yi xi

2

1 2,20 4,0 1,386 3,0492 4,842 3,90 9,8 2,282 8,8998 15,21

3 4,60 11,5 2,442 11,2332 21,164 5,80 32,7 3,487 20,2246 33,645 6,60 55,0 4,007 26,4462 43,566 7,80 70,3 4,253 33,1734 60,847 8,10 90,8 4,509 36,5229 65,618 9,

cálculo numérico em computadores provas e projetos ii

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